Đề thi môn Toán lớp 10 kỳ thi olympic truyền thống 30/4 lần thứ XIII tại thành phố Huế

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4
LẦN THỨ XIII TẠI THÀNH PHỐ HUẾ
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10 
Thời gian làm bài: 180 phút
Chú ý: Mỗi câu hỏi thí sinh làm trên 01 tờ giấy riêng biệt
Câu 1 (4 điểm). 
Giải hệ phương trình:
Câu 2 (4 điểm). 
Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 3 (4 điểm). 
Cho tam giác ABC có các góc A, B thỏa điều kiện: 
.
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 4 (4 điểm). 
Cho tứ giác lồi ABCD. Xét M là điểm tùy ý. Gọi P, Q, R, S là các điểm sao cho:
; ;
; .
	Tìm vị trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD.
Câu 5 (4 điểm). 
Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên.
-------------------HẾT---------------------
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Đáp án Toán 10
 NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1:
Giải hệ phương trình:
* Điều kiện: x + y > 0
0,5
* (1) 	Û (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y)
	Û [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0
	Û (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0
	Û (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = 0
	Û (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0
1
 Û 
0,5
Từ (3) Þ x + y = 4, thế vào (2) ta được:
	x2 + x – 4 = 2 Û x2 + x – 6 = 0 Û .
1
(4) vô nghiệm vì x2 + y2 ≥ 0 và x + y > 0.
0,5
Vậy hệ có hai nghiệm là (–3; 7); (2; 2)
0,5
Đáp án Toán 10
 NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 2:
Cho các số thực , , , thỏa mãn điều kiện . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Viết lại .
0,5
Đặt , , . Ta có . Mà nên . Đẳng thức xảy ra khi là hình chiếu của trên . 
1,5
Suy ra .
1
Vậy đạt được chẳng hạn khi .
1
Đáp án Toán 10
 NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 3:
Cho tam giác ABC có các góc A, B thỏa điều kiện : 
sin + sin = 2cos.
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Ta có: sin( ) + sin() = 2 sin() cos() .
 1 sin() > 0; cos() > 0
 0 < 
 cos()cos() 
 cos()cos()
1
Từ sin( ) + sin() = 2cos() và cos()>0
Suy ra : 2sin()cos() >0 
Hay cos()>0. 
1
Kết hợp với sin()1, ta có sin()cos()cos() 
Do đó: 2 sin()cos() 2cos() 2cos()
1
Vì vậy nếu sin( ) + sin() = 2cos() thì phải có: 
 A = B = . 
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
1
Đáp án Toán 10
 NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 4:
Cho tứ giác lồi ABCD. Xét M là điểm tùy ý. Gọi P, Q, R, S là các điểm sao cho
; 
; 
Tìm vị trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD.
Giả sử có điểm M thỏa bài toán. Gọi G là điểm sao cho
.
0,5
Từ , ta có .
Tương tự , , .
1
Do đó PA = QB = RC = SD GA = GB = GC = GD.
1
Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn tâm O thì G trùng O và M là điểm duy nhất xác định bới . Kiểm tra lại thấy thỏa PA = QB = RC = SD.
1
Nếu ABCD không phải là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn thì không tồn tại điểm M.
0,5
Đáp án Toán 10
 NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 5:
Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên. 
Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên. 
Coi đỉnh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 5.
(xi; yi) có thể rơi vào những trường hợp sau: 
(2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) với k, k’ Î Z 
1,5
Do đa giác có 5 đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có ít nhất 2 đỉnh có tọa độ thuộc một trong bốn kiểu trên.
1,5
Khi đó trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh ấy sẽ có tọa độ nguyên.
Do ngũ giác là lồi nên điểm này ở miền trong hoặc trên cạnh của ngũ giác đó. 
1
Câu I  (7 điểm).
Cho hàm số    (1)
1) Tùy theo giá trị của a, hãy lập bảng biến thiên của hàm số (1).
2) Tìm a sao cho phương trình: 
có nghiệm duy nhất.
Câu II   (4 điểm)
Cho hệ phương trình:
1) Giải hệ phương trình với m = -1.
2) Tìm m để hệ có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Câu III   (5 điểm)
Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c thứ tự là độ dài các cạnh BC, CA, AB và A, B, C là độ lớn các góc: và 
Chứng minh:
Câu IV   (4 điểm).
Chứng minh bất đẳng thức:
--------------------------------------------------------HẾT-------------------------------
Câu I  (4 điểm).
1) Chứng minh với mọi số thực dương a, ta luôn có:
2) Giải phương trình:
Câu II   (6 điểm)
Tìm giá trị của m để bất phương trình:
có ít nhất một nghiệm không âm.
Câu III   (4 điểm)
Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình:
Tìm các điểm của tập hợp S làm cho biểu thức F = y - x đạt giá trị lớn nhất.
Câu IV   (6 điểm).
Cho tam giác ABC có H là trực tâm, biết AB = c, AC = b và BC = a. Gọi   lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HAC, HBC.
Tính theo a, b, c bán kính đường tròn đi qua 3 điểm .
--------------------------------------------------------HẾT-------------------------------
Câu I   (3 điểm).
Giải phương trình sau: 
Câu II   (6 điểm)
1) Cho a, b là 2 số không âm. Chứng minh:
2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
.
Câu III   (8 điểm)
Cho tam giác ABC là tam giác đều có các cạnh bằng 1. Một đường thẳng thay đổi cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng chu vi của tứ giác BCNM. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích của tam giác AMN và tứ giác BCNM.
1) Chứng minh tỏ rằng AM + AN không đổi.
2) Chứng minh rằng: .
3) Chứng minh rằng: 
Câu IV   (3 điểm).
Cho a, b và c là 3 số dương. Chứng minh bất đẳng thức:
--------------------------------------------------------HẾT---------------------------------
Câu I   (7 điểm).
Cho hệ phương trình sau: 
      (với m là tham số).
1) Giải hệ khi 
2) Hỏi có thể tồn tại m để hệ có nhiều hơn một nghiệm (x;y) hay không?
Câu II   (6 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA.
2) Chứng minh rằng: 
Câu III   (4 điểm)
Cho hàm số     với 
Kí hiệu là giá trị lớn nhất của khi 
1) Chứng minh rằng: 
2) Xác định a để đạt giá trị lớn nhất.
Câu IV   (3 điểm).
Cho a, b và c là các số dương. Chứng minh rằng:
--------------------------------------------------------HẾT--------------------------------
Câu I   (6 điểm).
Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 
Câu II   (3 điểm)
Giải phương trình:   
Câu III   (5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta luôn có hệ thức:
Câu IV   (3 điểm).
Cho hệ phương trình:
Với ẩn (x;y;z) và các hệ số thực a, b, c trong đó 
Chứng minh rằng: nếu thì hệ đã cho vô nghiệm.
Câu V   (3 điểm).
Cho tam giác ABC là một tam giác đều và điểm M thay đổi thuộc miền trong của tam giác đó. Gọi A1, B1, C1 thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh rằng: 
--------------------------------------------------------HẾT----