Đề thi Olympic Toán học Hùng vương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÒA BÌNH
NGUYỄN VĂN MẬU (CHỦ BIÊN)
ĐẶNG HUY RUẬN, NGUYỄN MINH TUẤN
KỶ YẾU
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG
LẦN THỨ IV - 2008
HÒA BÌNH 18-21/2008
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Đề thi Olympic Toán học Hùng vương 8
1.1 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1, năm 2005 . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3, năm 2007 . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4, năm 2008 . . . . . . . . . . . . 10
2 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương 12
2.1 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1 . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4 . . . . . . . . . . . . . 22
3 Một số phương pháp giải toán 26
3.1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Phương pháp chứng minh bằng qui nạp . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Vận dụng phương pháp qui nạp để giải toán đại số và số học . . 28
3.1.4 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải bài tập hình học . . . . . 37
3.2 Phương pháp phản chứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Nguyên lý Dirichlet còn được phát biểu dưới nhiều dạng tương tự
khác: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải toán . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải các bài toán không
mẫu mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Phương pháp suy luận trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Phương pháp mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2
MỤC LỤC 3
3.4.1 Khái niệm về logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Các phép toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.3 Công thức của logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.4 Các luật của logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Phương pháp bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Phương pháp sơ đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết đồ thị . . . . . 66
3.7.2 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 73
4.1 Phương pháp nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Phương pháp bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Phương pháp đưa về hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Phương pháp đảo ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Phương pháp sử dụng các tính chất đặc biệt của hệ thức . . . . . . . . . 90
4.6 Phương pháp Lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6.2 Trình tự lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6.3 Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7 Sử dụng định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8 Sử dụng định lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.9 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.10 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.10.1 Sử dụng phép biến đổi hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.10.2 Sử dụng tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.10.3 Đẳng cấp hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.10.4 Sử dụng hình học, vectơ, toạ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.10.5 Sử dụng hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 Số đối xứng và một số quy luật của phép nhân 139
5.1 Số đối xứng và một số tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 Nhận xét về một số quy luật trong bản cửu chương . . . . . . . . . . . . 142
6 Một số phương pháp giải bài toán chia hết 146
MỤC LỤC 4
6.1 Các số nguyên và các phép tính số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2 Các định lý về chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3 Phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của phép chia có dư . . . . . . . . . . . . 149
6.4 Phương pháp dùng phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5 Phương pháp đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5.1 Phép đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5.2 Phương pháp đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.6 Phương pháp sử dụng tính tuần hoàn khi nâng lên lũy thừa . . . . . . . 161
6.6.1 Sự tuần hoàn của các số dư khi nâng lên lũy thừa . . . . . . . . . 161
6.6.2 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.7 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.7.1 Nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.7.2 Phương pháp chứng minh bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . . 166
6.7.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải các bài toán chia hết . . . 168
6.8 Tiêu chuẩn chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.8.1 Phương pháp đồng dư với 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.8.2 Phương pháp dãy số dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.8.3 Phương pháp nhóm chữ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7 Biểu diễn toạ độ của các phép biến hình phẳng 182
7.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.1 Các khái niệm đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.2 Các khái niệm bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2 Biểu diễn toạ độ của phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.3 Phép biến hình tuyến tính (affin) và các tính chất . . . . . . . . . . . . . 190
7.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.3.2 Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.4 Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8 Một số phép biến hình phẳng thường gặp 196
8.1 Các phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
MỤC LỤC 5
8.1.1 Phép tịnh tiến song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1.2 Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.1.3 Phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.1.4 Phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.2 Phép vị tự và phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.1 Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.2 Phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3 Một số phép biến hình khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.1 Phép co trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.2 Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.1 Bài tập lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.2 Sử dụng phép biến hình giải bài tập hình học . . . . . . . . . . . 215
Lời nói đầu
Trên bốn mươi năm thực hiện "Chương trình đào tạo và bồi học sinh năng khiếu
toán bậc phổ thông" là một chặng đường của một chu trình đặc biệt gắn với sự khởi
đầu, trưởng thành và ngày càng hoàn thiện xuất phát từ một mô hình đào tạo năng
khiếu Tóan học đặc biệt tại Đại học Tổng hợp Hà Nội. Hướng đào tạo mũi nhọn này
mang tính đột phá cao, đã đào tạo ra các thế hệ học sinh có năng khiếu trong lĩnh vực
toán học, tin học và khoa học tự nhiên: Vật lý, Hoá học, Sinh học và khoa học sự sống.
Trong điều kiện thiếu thốn về vật chất kéo dài qua nhiều thập kỷ và trải qua nhiều
thách thức, chúng ta đã tìm ra hướng đi phù hợp, đã đi lên vững chắc và ổn định, đã
tìm tòi, tích luỹ kinh nghiệm và có nhiều sáng tạo đáng ghi nhận. Các thế hệ Thầy và
Trò đã định hình và tiếp cận với thế giới văn minh tiên tiến và khoa học hiện đại, cập
nhật thông tin, sáng tạo phương pháp và tập dượt nghiên cứu. Gắn với việc tích cực đổi
mới phương pháp dạy và học, chương trình đào tạo các hệ chuyên đang hướng tới xây
dựng hệ thống chuyên đề, đang nỗ lực và đã tổ chức thành công Kỳ thi Olympic Toán
quốc tế lần thứ 48, năm 2007 tại Việt Nam đã thành công tốt đẹp, được bạn bè quốc tế
ca ngợi.
Sau gần nửa thế kỷ hình thành và phát triển, có thể nói, giáo dục mũi nhọn phổ
thông (giáo dục năng khiếu) đã thu được những thành tựu rực rỡ, được Nhà nước đầu
tư có hiệu quả, được xã hội thừa nhận và bạn bè quốc tế khâm phục. Các đội tuyển
quốc gia tham dự các kỳ thi Olympic quốc tế có bề dày thành tích mang tính ổn định
và có tính kế thừa. Đặc biệt, các trường THPT Chuyên các tỉnh khu vực miền núi phía
bắc đã tiến những bước dài trên còn đường nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo
học sinh giỏi bậc phổ thông. Nhiều học sinh đã dành các giải cao tại các kỳ thi Olympic
quốc tế, Olympic khu vực và các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia.
Từ năm 2005, các trường THPT chuyên đã có sáng kiến tạo ra một trại hè đặc thù,
sân chơi văn hóa và khoa học cho đội ngũ các thầy, các cô và học sinh năng khiếu thuộc
các trường THPT Chuyên các tỉnh khu vực miền núi phía bắc, đó là Trại Hè Hùng
Vương. Trong các nội dung sinh hoạt của trại hè Hùng Vương đối với các môn Toán
học, Vật lý, Sinh học và Văn học có các kỳ thi Olympic Hùng Vương. Kỳ thi trong
khuôn khổ kiến thức lớp 10 phổ thông như là một sự tập dượt của các đội tuyển chuẩn
bị hành trang cho các kỳ thi Olympic Hà Nội mở rộng, Olympic Singapore mở rộng và
kỳ thi học sinh giỏi quốc gia. Học sinh các lớp năng khiếu đã tiếp thu tốt các kiến thức
cơ bản do Hội đồng cố  ... au tạo với nhau những
góc bằng nhau.
Bài toán 126. 5 Chứng minh rằng một đa giác có tâm đối xứng khi và chỉ khi số cạnh
của đa giác là chẵn và hai cặp cạnh đối bất kỳ luôn song song và bằng nhau.
Bài toán 127. 6 Trong đường tròn C cho hai dây cung AB và CD. Q là điểm bất
kỳ, cố định trên dây cung CD. Tìm trên đường tròn điểm M sao cho các đường thẳng
AM, BM chắn trên dây CD một đoạn thẳng KL bị chia đôi bởi điểm Q.
Bài toán 128. 7 Cho đường tròn C và ba đường thẳng a, b, c đi qua tâm O của C. Hãy
dựng tam giác ABC nhận C làm đường tròn nội tiếp và có các dỉnh nằm trên các đường
thẳng đã cho (mỗi đỉnh thuộc một đường).
Bài toán 129. 8 Hãy dựng tứ giác ABCD biết độ dài các cạnh của tứ giác và đường
chéo AC là phân giác của góc trong Aˆ.
Bài toán 130. 9 Trên mặt phẳng cho ba đường thẳng d1, d2, d3. Biết rằng d1 cắt d2 tại
P . Hãy dựng một hình vuông có một đường chéo nằm trên đường thẳng d3 và hai đỉnh
không thuộc đường chéo đó lần lượt nằm trên các đường thẳng d1 và d2.
8.4. Bài tập áp dụng phép biến hình 217
Bài tập về phép quay.
Bài toán 131. 1 1) Hãy chứng minh định lý sau:
Định lí 27. Cho hai điểm O1, O2 phân biệt, hai góc α1, α2 cùng dấu, thoả mãn
|α1 + α2| < 2pi. Chứng minh rằng:
Qα2O2 ◦Qα1O1 = Qα1+α2O .
Trong đó O là giao của hai đường thẳng d1, d2 với d1 là tạo ảnh của đường thẳng (O1O2)
qua phép quay tâm O1, góc
α1
2
còn d2 là ảnh của đường thẳng (O1O2) qua phép quay
tâm O2, góc
α2
2
2) Với các điều kiện của định lý trên, hãy xác định Qα1O1◦Qα2O2 và chứng tỏ rằng tích của
hai phép quay khác tâm không có tính giao hoán. 3) Hãy xét trường hợp |α1 + α2| = 2pi.
Sử dụng kết quả này ta có thể giải được bốn bài tập tiếp theo sau đây.
Bài toán 132. 2 Trên mặt phẳng cho hai hình vuông A1B1A2C1 và A2B2A3C2 với
đỉnh chung A2. Gọi )1, O2 là tâm của các hình vuông đó, B, C lần lượt là trung điểm
của các cạnh B1B2, C1C2. Chứng minh rằng O1BO2C là một hình vuông. HDG: Xét
f := Q90
0
O2
◦Q900O1 : B1 −→ B2.
⇒ f = DB ⇒ ∆O1BO2 vuông cân. Tương tự, ∆O1CO2 vuông cân.
Bài toán 133. 3 Trên các cạnh A2A3, A3A1, A1A2 của tam giác A1A2A3 dựng các
hình vuông với các tâm O1, O2, O3 nằm về phía ngoài của tam giác. Chứng minh rằng:
1) Các đoạn O1O2 và O3A3 bằng nhau và vuông góc với nhau. 2) Các trung điểm của
các cạnh A3A1, O1O2, A3A2, A3O3 là các đỉnh của một hình vuông. 3) Diện tích của
hình vuông tâm O3 gấp tám lần diện tích của hình vuông nói trong phần 2). HDG: 1)
Gọi B1 là trung điểm của A2A3, có Q
900
B1
: A3O3 −→ O1O2 ⇒  . 2) Gọi B2 là trung
điểm của A1A3. Xét Q
900
B2
◦ Q900B1 và làm tương tự bài tập trên. 3) B2B1 là đường trung
bình của tam giác A1A2A3.
Bài toán 134. 4 Trên mặt phẳng cho 12 điểm là các đỉnh của 4 hình vuông:
A1B1A2C1, A2C2A3B2, A3B3A4C3, A4C4A1B4
( các đỉnh của các hình vuông được xếp theo chiều kim đồng hồ ). Chứng minh rằng
B1B2B3B4 và C1C2C3C4 là các hình bình hành (có thể suy biến) thu được từ nhau qua
một phép quay góc 900. HDG: Xét các tích của hai phép quay với góc quay 900 và tâm
quay lần lượt là các đỉnh tương ứng của các hình vuông đã cho.
Bài toán 135. 5 Hai điểm A, B chuyển động đều với cùng vận tốc góc trên hai đường
tròn C(O1), C(O2) ngược chiều kim đồng hồ. Chứng minh rằng đỉnh C của tam giác đều
ABC cũng chuyển động đều trên một đường tròn nào đó.
8.4. Bài tập áp dụng phép biến hình 218
Bài toán 136. 6 Trong tam giác đều ABC cho điểm M sao cho
AM = 1 ; BM =
√
3 ; CM = 2.
Hãy tính BC, ∠AMB ; ∠AMC.
HDG: Xét phép quay tâm (C) góc 600 sao cho A −→ B.
Đáp số:BC =
√
7, ∠AMB = 1500 ; ∠AMC = 1200.
Bài toán 137. 7 Trong tam giác đều ABC cho điểm M sao cho
AM = 1 ; BM =
√
2 ; ∠AMB = 1050.
Hãy tính CM, ∠BMC.
Đáp số:CM = 1, ∠BMC = 1050.
Bài toán 138. 8 Cho hình thoi ABCD có Aˆ = 1200. Trong hình thoi lấy điểm M sao
cho AM = 1, CM = 2, BM = 3. Hãy tính DM, AB.
HDG: Xét phép quay Q60
0
A sao cho C −→ B. Đáp số:AB =
√
7, DM =
√
3.
Bài toán 139. 9 Cho tam giác đều ABC. Trong góc ∠ACB lấy điểm M sao cho
AM =
√
2, BM = 2, ∠AMC = 150.
Hãy tính CM và ∠BMC.
HDG: Xét phép quay Q60
0
C sao cho A −→ B. Đáp số:CM = 1 +
√
3, ∠BMC = 300.
Chú ý . Trong các bài tập 6 −→ 9 trên đây ta sử dụng một kết quả quan trọng của
hình học tam giác là:
Định lí 28 (Pompei). Trên mặt phẳng chứa tam giác đều ABC lấy điểm M bất kỳ.
Khi đó: 1) Từ ba đoạn AM, BM, CM có thể dựng được một tam giác khi và chỉ khi M
không thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2) Trong ba đoạn trên có một đoạn
có độ dài bằng tổng độ dài hai đoạn còn lại khi và chỉ khi M thuộc đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
Bài toán 140. 10 Hãy tìm tập những điểm mà từ ba đoạn thẳng nói trong chú ý trên
có thể dựng được: a) Một tam giác vuông. b) Một tam giác nhọn. c) Một tam giác tù.
d) Một tam giác cân. d ) Một tam giác đều.
Bài toán 141. 11 Cho tam giác vuông cân ABC, C = 900. Trong tam giác lấy điểm
M sao cho AM = 2, BM =
√
2, CM = 1. Hãy tính AC, ∠BMC, ∠CMA.
HDG: Xét phép quay Q90
0
C sao cho A −→ B.
Đáp số:AC =
√
5, ∠BMC = 1350, ∠CMA = 900.
Bài toán 142. 12 Cho tam giác vuông cân ABC, C = 900. Trong tam giác lấy điểm
M sao cho AM = 2, ∠AMB = 1200, ∠AMC = 1050. Tính BM, CM.
Đáp số:BM =
√
3, CM =
√
2
2
.
Bài toán 143. 13 Cho tam giác vuông cân ABC, C = 900. Trong góc ACB lấy điểm
M sao cho BM = CM, ∠AMC = 750. Chứng minh rằng AC = CM, ∠BMC = 600.
Bài toán 144. 14 Cho tam giác vuông cân ABC, C = 900. Trong góc ACB lấy điểm
M sao cho BM = 1, CM =
√
2, ∠BMC = 1050. Hãy tính AM, AB, ∠AMC.
Đáp số:AM =
√
3 ; AB = 1 +
√
3 ; ∠AMC = 750.
8.4. Bài tập áp dụng phép biến hình 219
Các bài tập về phép biến hình nghịch đảo.
Xem thêm trong [3].
Bài toán 145. 1 Ta có thể coi đường thẳng trên [¶] là đường tròn đi qua điểm ∞. Khi
đó, hãy chứng minh rằng N[I; k] biến tập các đường tròn vào chính nó. Ngoài ra đường
tròn đi qua cực I sẽ biển thành đường tròn đi qua điểm ∞ (là ảnh của cực I ), đường
tròn đi qua điểm ∞ biến thành đường tròn đi qua cực I ( là ảnh của điểm ∞ ), đường
tròn đi qua I và ∞ là hình kép của N[I; k].
Bài toán 146. 2 Xét phép nghịch đảo N[I; k] (k > 0). Ta biết rằng đường tròn C(I;
√
k)
là tập các điểm bất động của N[I; k]. Nếu M ′ = N[I; k](M) thì hai điểm M, M ′ còn
được gọi là đối xứng với nhau qua đường tròn nghịch đảo C(I;
√
k). Chứng minh rằng:
1) Với điểm M ∈ C := C(I;√k), ta có N[I; k](m) =M . 2) Với điểm M nằm ngoài hình
tròn C, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới C. Đường thẳng (IM) cắt đường thẳng (AB) tại
M ′ (M ′ là trung điểm của AB ). Khi đó hai điểm M, M ′ đối xứng với nhau qua đường
tròn C. 3) Với điểm M nằm trong hình tròn C, kẻ đường thẳng vuông góc với (IM) tại
M . Đường thẳng đó cắt C tại hai điểm A, B. Dựng các tiếp tuyến với C tại A, B. Chúng
cắt nhau tại M ′. Khi đó hai điểm M, M ′ đối xứng với nhau qua đường tròn C.
Bài toán 147. 3 Chứng minh rằng ảnh của miền trong của hình tròn C := C(I;
√
k)
qua N[I; k] là miền ngoài của hình tròn C và ngược lại.
Bài toán 148. 4 Chứng minh rằng qua N[I; k] ảnh của hai đường tròn tiếp xúc ngoài
với nhau hoặc là hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau, hoặc là một đường tròn và một
tiếp tuyến của nó, hoặc là hai đường thẳng song song. Khi nào thì xảy ra mỗi trường
hợp cụ thể?. Hãy xét trường hợp hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.
Bài toán 149. 5 Trên đường tròn C cho hai điểm A, B. xét tất cả các cặp đường tròn
T1, T2 nằm trong C sao cho T1 tiếp xúc trong với C tại A, T2 tiếp xúc trong với C tại B
và T1 tiếp xúc ngoài với T2 tại D. Hãy tìm tập hợp tất cả các điểm D.
HDG: Xét phép nghịch đảo cực A với đường tròn nghịch đảo T1.
Ta ký hiệu X ′ là ảnh của X qua phép nghịch đảo này. Khi đó: C′ và T ′1 là hai đường thẳng
song song, tiếp xúc với đường tròn T ′2 tại B
′ và D′. Gọi là tập hợp điểm cần tìm. Do C
và các điểm A, B là cố định nên C′, B′ là cố định. Ngoài ra, tia ∆ = [B′D′)⊥C′ ⇒ ∆
là cố định. Vậy D′ ∈ ∆ cố định. Khi T1, T2 thay đổi thì T ′1, T ′2 thay đổi nhưng đường
thẳng ∆ không đổi và D′ ∈ ∆. Mặt khác, mỗi điểm D′ ∈ ∆ có thể là điểm tiếp xúc của
một đường thẳng T ′1 với một đường tròn T
′
2 tiếp xúc với C
′ tại B′. Vậy tia ∆ là ảnh của
, do đó là ảnh của tia ∆ qua phép nghịch đảo trên. Đó là phần nằm trong hình tròn C
của đường tròn Ω vuông góc với C tại A và B.
Bài toán 150. 6 Bốn đường tròn lần lượt tiếp xúc ngoài với nhau tại các điểm A, B, C, D.
Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D đồng viên.
Bài toán 151. 7 Trên đoạn AB lấy điểm M và dựng các nửa đường tròn C1, C2 với
các đường kính AB, AM.. Đường tròn C3 tiếp xúc với các nửa đường tròn trên và tiếp
xúc với đường thẳng vuông góc với (AB) tại M . Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của
C2 và C3 đi qua B (Hình 2).
8.4. Bài tập áp dụng phép biến hình 220
Bài toán 152. 8 Trên đoạn AB lấy điểm M và dựng các nửa đường tròn C1, C2, C2
với các đường kính AB, AM, BM.. Đường tròn C(O; r) tiếp xúc với các nửa đường tròn
trên. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng (AB) (Hình 3).
Bài toán 153. 9 Hãy dựng đường tròn T đi qua hai điểm A, B cho trước và tiếp xúc
với một đường thẳng d cho trước.
Lời giải .
Phân tích: Giả sử đã dựng được T. Xét N[A; 1] : T −→ T′ ; B −→ B′ ; d −→ d′.
Trong đó, T′ là đường thẳng chứa B′, còn d′ là đường tròn chứa A. Đường thẳng T′ tiếp
xúc với đường tròn d′. Từ đó suy ra cách dựng T:
Cách dựng: Dựng B′, d′ là ảnh của B, d qua N[A; 1]. Từ B′ kẻ tiếp tuyến T′ tới d′.
Khi đó, T = N[A; 1](T′). Nói chung, bài toán sẽ có hai nghiệm hình.
Bài toán 154. 10 Dựng đường tròn đi qua hai điểm cho trước và tiếp xúc với một đường
tròn cho trước.
Bài toán 155. 11 Dựng đường tròn tiếp xúc với một đường tròn C cho trước tại một
điểm A cho trước và: a) với một đường thẳng d cho trước. b) với một đường tròn T cho
trước.
Bài toán 156. 12(Bài toán Apollonia) Dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho
trước.
Bài toán 157. 13 Trên mặt phẳng cho ba điểm A, B, D. Dựng hai đường tròn C1 3
A, C2 3 B sao cho C1, C2 tiếp xúc với nhau tại D.
8.4. Bài tập áp dụng phép biến hình 221
Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Đăng Phất
Các phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải toán hình học. NXB Giáo
dục 2005.
2. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải và các tác giả khác.
Toán bồi dưỡng Hình học 10. NXB Hà Nội 1998.
3. Phụ san tạp chí KBANT 5/97.
4. Lê Hải Châu.
Các bài thi chọn học sinh giỏi Toán PTTH toàn quốc. NXB GD 1995.
5. Hội Toán học Việt Nam.
Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.
6. Tuyển các đề đề nghị IMO các năm từ 1984 đến 2000.
7. Đề thi vô địch 19 nước. NXB Hải Phòng.
8. KBAHT. Tạp chí (tiếng Nga) các năm 1980 - 1985.
9. Toán học trong nhà trường. Tạp chí (tiếng Nga) các năm 1980 - 1985.
10. Đ. O. Scliarxki ; N. N. Trenxop và I. M. Iaglom.
Tuyển tập các bài tập và Định lý của Toán sơ cấp. NXB Hayka 1976.
11. Selected Problems from IMO XXX - XXXVI. NXB ĐHQG Hà Nội 1995.
12. J. Kurshac và các tác giả khác.
Tuyển các đề thi vô địch Hungary (Bản tiếng Nga). NXB Mir 1976.
13. Thực hành giải toán sơ cấp . NXB Giáo dục 1987.