Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Quảng Nam năm học 2008-2009 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 
 Môn TOÁN 
 Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) 
Bài 1 ( 1 điểm ): 
 a) Thực hiện phép tính: 
35
126320103
−
−−+
. 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2008xx −− . 
Bài 2 ( 1,5 điểm ): 
 Cho hệ phương trình:



=+
=−
5myx3
2ymx
 a) Giải hệ phương trình khi 2m = . 
 b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức 
3m
m
1yx
2
2
+
−=+ . 
Bài 3 (1,5 điểm ): 
 a) Cho hàm số 2x
2
1
y −= , có đồ thị là (P). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai 
điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là 2− và 1. 
 b) Giải phương trình: 1xx2x3x3 22 =+−+ . 
Bài 4 ( 2 điểm ): 
 Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua 
O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. 
 a) Chứng minh: 1
AB
MO
CD
MO
=+ . 
 b) Chứng minh: .
MN
2
CD
1
AB
1
=+ 
 c) Biết 2COD
2
AOB nS;mS == . Tính ABCDS theo m và n (với CODAOB S,S , ABCDS 
lần lượt là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD). 
Bài 5 ( 3 điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; C và D 
là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song. Gọi M là giao điểm của 
AC và BD. Chứng minh rằng: 
 a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp. 
 b) OM ⊥ BC. 
 c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 6 ( 1 điểm ): 
 a) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng: yx
x
y
y
x
22
+≥+ . 
 b) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 4n + là hợp số. 
======================= Hết ======================= 
Họ và tên thí sinh:  Số báo danh: .. 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 
 Môn TOÁN 
 Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 
I. Hướng dẫn chung: 
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần 
như hướng dẫn quy định. 
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo 
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi. 
3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25. 
II. Đáp án: 
Bài Nội dung Điểm 
1 
(1đ) 
a) Biến đổi được:
223
35
)223)(35(
+=
−
+−
0,25 
0,25 
b) Điều kiện 2008x ≥ 
4
8031
4
8031
)
2
1
2008x(
4
1
2008)
4
1
2008x.
2
1
.22008x(2008xx
2 ≥+−−=
−++−−−=−−
Dấu “ = “ xảy ra khi 
4
8033
x
2
1
2008x =⇔=− (thỏa mãn). Vậy giá trị nhỏ 
nhất cần tìm là 
4
8033
xkhi
4
8031
= . 
0,25 
0,25 
2 
(1,5đ) 
a) Khi m = 2 ta có hệ phương trình 




=+
=−
5y2x3
2yx2





−=
+
=
⇔




=+
=−
⇔
2x2y
5
522
x
5y2x3
22y2x2







−
=
+
=
⇔
5
625
y
5
522
x
0,25 
0,25 
0,25 
b) Giải tìm được: 
3m
6m5
y;
3m
5m2
x
22 +
−
=
+
+
= 
Thay vào hệ thức 
3m
m
1yx
2
2
+
−=+ ; ta được 
3m
m
1
3m
6m5
3m
5m2
2
2
22 +
−=
+
−
+
+
+
Giải tìm được 
7
4
m = 
0,25 
0,25 
0,25 
 3 
(1,5đ) 
a) Tìm được M(- 2; - 2); N )
2
1
:1( − 
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M và N nên 




−=+
−=+−
2
1
ba
2ba2
Tìm được 1b;
2
1
a −== . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 1x
2
1
y −= 
0,25 
0,25 
0,25 
b) Biến đổi phương trình đã cho thành 01xx2)xx(3 22 =−+−+ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Đặt xxt 2 += ( điều kiện t 0≥ ), ta có phương trình 01t2t3 2 =−− 
Giải tìm được t = 1 hoặc t = 
3
1
− (loại) 
Với t = 1, ta có 01xx1xx 22 =−+⇔=+ . Giải ra được 
2
51
x
+−
= hoặc 
2
51
x
−−
= . 
0,25 
0,25 
0,25 
4 
(2đ) 
Hình vẽ 
O
A B
CD
NM
0,25 
a) Chứng minh được 
AD
MD
AB
MO
;
AD
AM
CD
MO
== 
Suy ra 1
AD
AD
AD
MDAM
AB
MO
CD
MO
==
+
=+ (1) 
0,25 
0,50 
b) Tương tự câu a) ta có 1
AB
NO
CD
NO
=+ (2) 
(1) và (2) suy ra 2
AB
MN
CD
MN
hay2
AB
NOMO
CD
NOMO
=+=
+
+
+
Suy ra 
MN
2
AB
1
CD
1
=+ 
0,25 
0,25 
 c) 
n.mSn.mS
S
S
S
S
OC
OA
OD
OB
;
OC
OA
S
S
;
OD
OB
S
S
AOD
222
AOD
COD
AOD
AOD
AOB
COD
AOD
AOD
AOB
=⇒=⇒
=⇒===
Tương tự n.mSBOC = . Vậy 
222
ABCD )nm(mn2nmS +=++= 
0,25 
0,25 
5 
(3đ) 
Hình vẽ (phục vụ câu a) 
O
I
C
D
M
B
A
0,25 
a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau 
 - sđ góc AMB bằng sđ cung AB 
 Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau 
 O và M cùng phía với AB. Do đó tứ giác AOMB nội tiếp 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC (1) 
 - M nằm trên đường trung trực của BC (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra BCOM ⊥ 
0,25 
0,25 
0,25 
c) Từ giả thiết suy ra OMd ⊥ 0,25 
Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, 
suy ra góc OMI bằng 090 , do đó OI là đường kính của đường tròn này 
Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại 
tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định. 
Vậy d luôn đi qua điểm I cố định. 
0,25 
0,25 
0,25 
 6 
(1đ) 
a) Với x và y đều dương, ta có yx
x
y
y
x
22
+≥+ (1) 
 0)yx)(yx()yx(xyyx 233 ≥−+⇔+≥+⇔ (2) 
(2) luôn đúng với mọi x > 0, y > 0. Vậy (1) luôn đúng với mọi 0y,0x >> 
0,25 
0,25 
b) n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là số tự 
nhiên lớn hơn 0. 
- Với n = 2k, ta có k24n4 4)k2(4n +=+ lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do đó 
n4 4n + là hợp số. 
-Với n = 2k+1, tacó 
 2k2k22k4k24n4 )2.n.2()4.2n()4.2(n4.4n4n −+=+=+=+ 
 = (n
2
 + 2
2k+1 
+ n.2
k+1
)(n
2
 + 2
2k+1
 – n.2
k+1
) = [( n+2
k
)
2 
+ 2
2k
 ][(n – 2
k
)
2
 + 2
2k
 ]. 
Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n4 + 4n là hợp số 
0,25 
0,25 
======================= Hết ======================= 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 
 Môn TOÁN 
( Dành cho học sinh chuyên Tin) 
 Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) 
Bài 1 (1,5 điểm ): 
 a) Thực hiện phép tính: 
35
126320103
−
−−+
. 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2008xx −− . 
Bài 2 (2 điểm ): 
 Cho hệ phương trình:



=+
=−
5myx3
2ymx
 a) Giải hệ phương trình khi 2m = . 
 b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức 
3m
m
1yx
2
2
+
−=+ . 
Bài 3 (2 điểm ): 
 a) Cho hàm số 2x
2
1
y −= , có đồ thị là (P). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai 
điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là 2− và 1. 
 b) Giải phương trình: 1xx2x3x3 22 =+−+ . 
Bài 4 ( 1,5 điểm ): 
 Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua 
O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. 
 a) Chứng minh: 1
AB
MO
CD
MO
=+ . 
 b) Chứng minh: .
MN
2
CD
1
AB
1
=+ 
Bài 5 ( 3 điểm ): 
 Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; C và D là hai 
điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song. Gọi M là giao điểm của AC 
và BD. Chứng minh rằng: 
 a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp. 
 b) OM ⊥ BC. 
 c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định. 
======================= Hết ======================= 
Họ và tên thí sinh:  Số báo danh: .. 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 
 Môn TOÁN 
 (Dành cho học sinh chuyên Tin) 
 Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 
I. Hướng dẫn chung: 
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần 
như hướng dẫn quy định. 
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo 
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi. 
3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25. 
II. Đáp án: 
Bài Nội dung Điểm 
1 
(1,5đ) 
a) Biến đổi được:
223
35
)223)(35(
+=
−
+−
0,50 
0,25 
b) Điều kiện 2008x ≥ 
4
8031
4
8031
)
2
1
2008x(
4
1
2008)
4
1
2008x.
2
1
.22008x(2008xx
2 ≥+−−=
−++−−−=−−
Dấu “ = “ xảy ra khi 
4
8033
x
2
1
2008x =⇔=− (thỏa mãn). Vậy giá trị nhỏ 
nhất cần tìm là 
4
8033
xkhi
4
8031
= . 
0,50 
0,25 
2 
(2đ) 
a) Khi m = 2 ta có hệ phương trình 




=+
=−
5y2x3
2yx2





−=
+
=
⇔




=+
=−
⇔
2x2y
5
522
x
5y2x3
22y2x2







−
=
+
=
⇔
5
625
y
5
522
x
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
b) Giải tìm được: 
3m
6m5
y;
3m
5m2
x
22 +
−
=
+
+
= 
Thay vào hệ thức 
3m
m
1yx
2
2
+
−=+ ; ta được 
3m
m
1
3m
6m5
3m
5m2
2
2
22 +
−=
+
−
+
+
+
Giải tìm được 
7
4
m = 
0,50 
0,25 
0,25 
a) Tìm được M(- 2; - 2); N )
2
1
:1( − 
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M và N nên 
0,25 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
 3 
(2đ) 




−=+
−=+−
2
1
ba
2ba2
Tìm được 1b;
2
1
a −== . 
 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 1x
2
1
y −= 
0,25 
0,25 
0,25 
b) Biến đổi phương trình đã cho thành 01xx2)xx(3 22 =−+−+ 
Đặt xxt 2 += ( điều kiện t 0≥ ), ta có phương trình 01t2t3 2 =−− 
Giải tìm được t = 1 hoặc t = 
3
1
− (loại) 
Với t = 1, ta có 01xx1xx 22 =−+⇔=+ . Giải ra được 
2
51
x
+−
= hoặc 
2
51
x
−−
= . 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
4 
(1,5đ) 
Hình vẽ 
O
A B
CD
NM
0,25 
a) Chứng minh được 
AD
MD
AB
MO
;
AD
AM
CD
MO
== 
Suy ra 1
AD
AD
AD
MDAM
AB
MO
CD
MO
==
+
=+ (1) 
0,25 
0,50 
b) Tương tự câu a) ta có 1
AB
NO
CD
NO
=+ (2) 
(1) và (2) suy ra 2
AB
MN
CD
MN
hay2
AB
NOMO
CD
NOMO
=+=
+
+
+
Suy ra 
MN
2
AB
1
CD
1
=+ 
0,25 
0,25 
5 
(3đ) 
Hình vẽ (phục vụ câu a) 
O
I
C
D
M
B
A
0,25
a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau 
 - sđ góc AMB bằng sđ cung AB 
 Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau 
 O và M cùng phía với AB. Do đó tứ giác AOMB nội tiếp 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC (1) 0,25 
 - M nằm trên đường trung trực của BC (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra BCOM ⊥ 
0,25 
0,25 
c) Từ giả thiết suy ra OMd ⊥ 
Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, 
suy ra góc OMI bằng 090 , do đó OI là đường kính của đường tròn này. 
Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại 
tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định. 
Vậy d luôn đi qua điểm I cố định. 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
======================= Hết =======================