Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn thi: Toán năm 2011 Hà Nội

SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC	
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Môn thi : Toán
Ngày thi : 22 tháng 6 năm 2011
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,5 điểm)
Cho Với .
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của A khi x = 9.
3) Tìm x để .
Bài II (2,5 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Bài III (1,0 điểm)
Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): .
1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh và .
3) Chứng minh AM.BN = AI.BI .
4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng.
Bài V (0,5 điểm)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
........................................Hết........................................
Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh:............................................................ Số báo danh:...............................
Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2:
LẠNG SƠN PHÁI Đơn vị : THPT Bình Gia - Lạng Sơn
ĐÁP SỐ VÀ KHÔNG CÓ THANG ĐIỂM
Câu
Nội dung
Bài I
(2,5 đ)
1) Rút gọn : 
2) Khi x = 9 thì 
3) 
Đối chiếu với điểu kiện : .
Bài II
(2,5 đ)
(Hỏi gì đặt ẩn đấy) Gọi số ngày chở theo quy định là x ngày (x>0)
một ngày đội xe chở được tấn.
Nếu 1 ngày chở vượt mức 5 tấn : 
thì số ngày chở giảm 1 : x-1 ; và chở thêm được 10 tấn : 140 + 10 = 150 tấn.
Ta có phương trình : 
(loại)
Vậy theo kế hoạch đội xe chở hàng hết 7 ngày để vận chuyển.
Bài III
(1,0 đ)
1) với m = 1 ta có (d): y = 2x + 8
giải PT : 
Vậy toạ độ các giao điểm là (-2 ; 4), (4 ; 16).
2) PT giao điểm : (1)
để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung thì PT (1) phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 
Bài IV
(3,5 đ)
1) ta có nên 
tứ giác AMEI nội tiếp.
(tương tự tứ giác BNEI nội tiếp)
2) do tứ giác BNEI nội tiếp nên ( cùng chắn cung EI)
(Để cho tiện và dễ gọi, kí hiệu các góc như trên hình vẽ)
(góc nội tiếp) , (góc nội tiếp), 
mà (cùng phụ )
Nên 
3) do ( cùng phụ góc MIA) nên hai tam giác vuông :
 và đồng dạng AM.BN = AI.BI 
4) Do F là điểm chính giữa cung AB nên cung AF = 900
từ đó nên vuông cân tại A
( vuông cân tại B) nên 
Tương tự : 
Vậy 
Câu V
(0,5 đ)
 khi x = 1/2
Nhận xét bài IV và V (ý để học sinh lấy điểm tuyệt đối)
1. Bài toán diện tích ý 4 : học sinh biết được công thức tính diện tích 
(do tam giác MIN vuông tại I) và vấn đề là tính MI, NI theo R như thế nào.
giả thiết F là điểm chính giữa cung AB cho tương đối mạnh (mang tính đối xứng, tam giác vuông cân ABF, góc AOF = 900 ...) và do đó nếu học sinh nắm được góc nội tiếp chắn cung thì sẽ giải quyết được bài này.
Hoặc có thể học sinh biết được nhưng tính toán tương đối khó.
mở rộng bài toán này: khi biết MI, NI MN từ đó tính EI, tính EF ...
Tính diện tích hình thang vuông ABNM, đường thẳng MN đi qua điểm chính giữa cung AB chứa điểm E....
2. Bài V : nhận xét tinh tế là biến đổi M thành : hằng số.
Cô si : (ta không sử dụng cô si thì sử dụng hiệu bình phương)
Xác định điểm rơi để dấu bằng xảy ra ở cả 2 biểu thức ...
hằng số 2011 chẳng có ý nghĩa gì trong bài toán này, chỉ mang ý nghĩa tinh thần là đánh dấu năm thi mà thôi.
mở rộng bài toán này: tìm min với ...
(Đố đọc được số cuối cùng là bao nhiêu đấy ... đừng hoa mắt nhé)
Vui 1 chút : " giết gà bằng dao mổ trâu"
Bài IV ý 4: chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho gốc O,Ox, Oy.
Chuẩn hoá bài toán cho R = 1 ( lát nữa ta nhân tỉ lệ với R).
Ta có : A(-1 ; 0), B(1 ; 0), F(0 ; -1), I(-1/2 ; 0) ; PT đường tròn :.
PT đường thẳng FI là : y = - 2x - 1. Điểm E là giao điểm của FI và đường tròn ta giải HPT
 và y = - 2x - 1 ta được x = 0 ( điểm F) , x = -4/5 (điểm E) nên E(-4/5 ; 3/5)
Phương trình đường thẳng MN qua E và vuông góc với FI là : 
Do đó M(-1 ; -1/2) và N(1; 3/2) [ lý do ]
 ; 
Vậy do chuẩn hoá theo tỉ lệ R nên .