Đề và đáp án thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh lớp 10 THPT năm học 2010 – 2011 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
 ®Ò chÝnh thøc
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT
 NĂM HỌC 2010 – 2011. 
MÔN TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 5 /4/2011
Câu 1. 1. Giải phương trình: .
 2. Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh phương 
 trình có nghiệm. 
Câu 2. Giải hệ phương trình: .
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho các điểm . Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4. Tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức: . 
 1.Xác định góc giữa hai đường trung tuyến và của tam giác ABC khi .
 2.Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi .
Câu 5. Ba số dương thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:.
− Hết −
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ tên thí sinh.. Số báo danh..
Câu
Điểm
Câu I
1
Giải phương trình (1)
Điều kiện 
Khi đó (1) 
 thỏa mãn điều kiện
Kết luận: Nghiệm của phương trình 
2
 2. Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh phương trình (1) có nghiệm 
 - Trường hợp 1: suy ra 
PT (1) trở thành (2) 
 + Nếu : PT (2) có nghiệm (vô định)
 + Nếu PT (2) có nghiệm (duy nhất)
- Trường hợp 2: 
Ta có .
Vậy Pt (1) luôn có nghiệm 
Câu II
Giải hệ phương trình 
TH1 . suy ra là nghiệm của hệ
TH2 Chia hai vế của (1) cho , (2) cho 
Suy ra (loại)
Với ta có 
Kết luận: Hệ có 3 nghiệm 
T
Câu III.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,cho điểm . Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng sao cho nhỏ nhất
Gọi là điểm thỏa mãn 
VậyTa có
Như vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất. Suy ra M là hình chiếu của I trên d
Phương trình tham số của d Gọi tọa độ 
Suy ra . Ta có 
Vậy 
1 Ta có 
Khi . Ta có 
Ta có: 
Suy ra . Suy ra . Vậy góc giữa và bằng .
2. 
Ta có . Suy ra . 
Dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều
Cho là các số dương thỏa mãn 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Ta có 
Suy ra (1)
Tương tự (2)
 (3)
Cộng theo vế của (1),(2) và (3) suy ra 
Mặt khác 
Suy ra 
Dấu = xảy ra khi .