Đề và đáp án thi thử đại học, cao đẳng môn thi: Toán (số 192)

 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012	 
 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 192)
Câu I: (2 điểm). Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.
Câu II: (2 điểm).
Giải phương trình : 1 + (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0
Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
Câu III: (2 điểm).
Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng D1 : , D2 : 
Chứng minh hai đường thẳng D1 và D2 chéo nhau.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D2 và tạo với đường thẳng D1 một góc 300.
Câu IV: (2 điểm).
Tính tích phân : .
Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
Câu Va: (2 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác Oxy, cho tam giác ABC cân tại A , phương trình cạnh AB: x + y – 3 = 0 , phương trình cạnh AC : x – 7y + 5 = 0, đường thẳng BC đi qua điểm M(1; 10). Viết phương trình cạnh BC và tính diện tích của tam giác ABC.
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết rằng 
(n là số nguyên dương, x > 0, là số chỉnhhợp chập k của n phần tử, là số tổ hợp chập k của n phần tử)
. Hết .
 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012	 
 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 192) 
Câu
Nội dung
Điểm
I-1
Khi m = 1. Ta có hàm số y = - x3 + 3x2 – 4.
Tập xác định D = R.
Sự biến thiên.
Chiều biến thiên.
y’ = - 3x2 + 6x , y’ = 0 Û x = 0 v x = 2.
y’> 0 " x Î( 0;2). Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2).
y’ < 0 " x Î(- ∞; 0) È (2; +∞).Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞;0) và (2; +∞).
0,25
Cực trị. Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = y(2) = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = y(0) = - 4.
Giới hạn. .Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
0,25
Tính lồi, lõm và điểm uốn.
y’’ = - 6x +6 , y’’ = 0 Û x = 1.
Bảng biến thiên.
x
-∞ 	0	1	2	+∞ 
y’
	-	0	+	0	-
y
+∞ 0	 
(I)
	- 2
 	- 4	-∞
0,25
Đồ thị.
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tai các điểm (- 1; 0) , (2; 0). Đồ thị hàm số cắt trục Oy tai điểm (0 ; -4). Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm uốn I(1;- 2).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là k = y’(1) = 3.
0,25
I-2
Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = 0 Û x = 0 v x = 2m.
Hàm số có cực đại , cực tiểu Û phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Û m ¹ 0.
0,25
Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1)
Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1)
Vectơ ; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là .
0,25
Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d Û 
0,25
Û Û m = 2
0,25
II-1
Tập xác định D = R.
Phương trình đã cho tương đương với 
0,25
Û Û 
0,25
Û Û 
0,25
Û 
0,25
II-2
Điều kiện: 
0,25
Phương trình đã cho tương đương với 
Û .	(1)
Đặt t = ; Khi x Î [ - 2; 4) thì t Î [ 0; 3] .	(2)
Phương trình trở thành : - t2 – mt + 2t – 6 – m = 0 Û . 
0,25
Xét hàm số ; f’(t) = ; f’(t) = 0 Û t = - 4 v t = 2.
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn [ 0 ; 3 ].
t
-∞ 	-4	-1	0	2	3	+∞ 
f’(t)
	-	0	+	+	+	0	-
f(t)
	- 2	
	 -6	 
0,25
 Phương trình đx cho có nghiệm x Î [ - 2; 4) Û Phương trình (2) có nghiệm t Î [ 0; 3 ] 
Û Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t) , t Î [ 0; 3 ] Û - 6 ≤ m ≤ - 2
0,25
III-1
Đường thẳng D1 có một vectơ chỉ phương , Điểm M º O(0; 0; 0) Î D1.
0,25
Đường thẳng D2 có một vectơ chỉ phương , điểm N(1;-1;1) Î D2.
0,25
Ta có ; .
0,25
Ta có . Suy ra hai đường thẳng D1 và D2 chéo nhau.
0,25
III -2
Phương trình đường thẳng D2 : .
0,25
Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D2 có dạng
l(x + y) + m(3y + z + 2) = 0 với l2 + m2 ¹ 0 Û lx + (l + 3m)y + mz + 2m = 0.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là .
0,25
Mặt phẳng (P) tạo với đường thẳng D1 một góc 300. Ta có sin(D1,(P)) = 
Û sin300 = Û 
0,25
Û 2l2 - lm - 10m2 = 0 Û (2l - 5m)(l + 2m) = 0 Û 2l = 5m v l = - 2m
Với 2l = 5m chọn l = 5, m = 2 ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 5x + 11y + 2z + 4 = 0
Với l = - 2m chọn l = 2, m = - 1 ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 2x – y – z – 2 = 0.
Kết luận: Có hai phương trình mặt phẳng (P) thoả mãn 5x + 11y + 2z + 4 = 0 ; 2x – y – z – 2 = 0.
0,25
IV-1
Đặt 
0,25
Do đó I = 
0,25
0,25
 = 
0,25
IV -2
Từ giả thiết ta có xyz ≥ x + y + z ≥ Û (xyz)3 ≥ 27.xyz Û xyz ≥ 3.
0,25
Áp dụng BĐT Cauchy ta có 
 x2 + yz + yz ≥ ; y2 + zx + zx ≥ ; z2 + xy + xy ≥ 
0,25
Từ đó ta có P 
0,25
Từ đó ta có Max P = đạt được khi .
0,25
Va-1
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: .Hay A(2;1)
Phương trình đường phân giác góc A là Û 
0,25
Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao.
* Nếu d1 là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A thì phương trình cạnh BC là 3x – y + 7 = 0
* Nếu d2 là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A thì phương trình cạnh BC là x + 3y - 31 = 0
0,25
TH1: Phương trình cạnh BC: 3x – y + 7 = 0
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình . Hay B(-1; 4)
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình . Hay C()
Diện tích tam giác ABC là : (đvdt)
0,25
TH2: Phương trình cạnh BC: x +3y - 31 = 0
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình . Hay B(-11; 14)
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình . Hay C()
Diện tích tam giác ABC là : (đvdt)
0,25
Va-2
Giải phương trình ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n Î N.
Phương trình tương đương với Û 
Û n2 – 11n – 12 = 0 Û n = - 1 (Loại) v n = 12.
0,25
Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: .
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là : Tk +1 = ; k Î N, 0 ≤ k ≤ 12
Hay Tk+ 1 = = . 
0,25
Số hạng này không chứa x khi .
0,25
Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T9 = 
0,25