Giáo án Đại số CB 10 Bài 2: Phương trình qui về bậc nhất, bậc hai một ẩn

Tuần 9
Tiết 19,20,21 Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC NHẤT 
Ngày soạn: 20/10/2007 BẬC HAI MỘT ẨN 
Ngày dạy: 
I. Mục đích yêu cầu: 
 * Về kiến thức: 
Củng cố thêm một bước vấn đề biến đổi tương đương các phương trình.
Hiểu cách giải và biện luận phương trình ax + b = 0, pt ax2 + bx + c = 0.
Nắm được các ứng dụng của định lí Vi-et.
 * Về kỹ năng: 
Giải và biện luận thành thạo phương trình ax + b = 0 , pt ax2 + bx + c = 0.
Biết vận dụng định lí Vi-et vào việc xét dấu của các nghiệm và tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của ptrình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước.
Biết biện luận số giao điểm của một đường thẳng và một parabol và kiểm nghiệm lại bằng đồ thị.
Biết giải các bài toán thực tế bằng cách lập và giải pt bậc nhất và pt bậc hai.
Biết giải phương trình bậc hai bằng máy tính bỏ túi.
 * Về tư duy:	
Hiểu được các bước biến đổi để có thể giải được pt quy về bậc hai đơn giản.
Biết quy pt lạ về quen.
 * Về thái độ: 
Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, óc tư duy logic.
Biết được toán học có ứng cụng trong thực tiễn.
II. Đồ dùng dạy học:
Máy tính Casio fx 500MS.
Bảng tóm tắt các công thức.
III. Phương pháp dạy học:
 Gợi mở vấn đáp, thông qua các hoạt động điều khiển tư duy và đan xen hoạt động nhóm. 
IV. Nội dung và tiến trình lên lớp:
 1. Kiểm tra sĩ số và Ổn định lớp:
 2. Kiểm tra bài cũ:
 3. Bài mới:
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung
· Cho biết dạng của pt bậc nhất một ẩn?
· Cho 4 pt sau:
 1. x – 1 = 0 (1)
 2. – 2x + 3 = 0 (2)
 3. 3x + 1 = 3(x - 2) (3)
 4, –5x +5 = 5(–x +1) (4)
· Gọi 4 HS lên bảng viết đề và 4 tổ thảo luận đưa ra kết quả?
· Chỉnh sửa bài cho hoàn thiện (nếu có).
· Hướng dẫn lại cách làm của từng trường hợp.
· Giải pt sau:
 mx – 3 = 0 (với m tham số) 
 Hỏi muốn tìm x ta làm ntn ?
 + Có phải luôn thực hiện được phép chia cho m hay không ?
 Từ đó dẫn đến việc xét 2 Trường hợp:
m = 0 , m ¹ 0 
® cách giải như trên gọi là giải và biện luận pt 
 + Để giải và biện luận pt
 ax + b = 0
ta phải xét các hệ số a , b ở những TH nào ? 
+ Tổng hợp kiến thức,tóm tắt PP giải và biện luận pt ax + b = 0.
 + Ở VD 1 muốn giải và biện luận pt ta phải biến đổi pt về dạng nào ?
Cho biết hệ số a là mấy ?
+ Cho HS thảo luận nhóm.
? HS cho biết dạng của pt bậc hai một ẩn x ? 
? HS nêu công thức tính biệt thức D ?
+ Cho 4 pt sau:
x2 + x – 6 = 0
– x2 – 3x + 4 = 0
3x2 + 2x + 7 = 0
x2 – 6x + 9 = 0
Chia HS làm 4 nhóm giải pt trên. 
+ Hướng dẫn cách bấm máy tính fx
? Trong trường hợp nào thì pt: ax2 + bx + c = 0
 + có 1 nghiệm duy nhất 
 + Vô nghiệm 
+ Chuẩn bị sẵn câu hỏi cho HS làm TNKQ sau:
 + Hãy cho biết các hệ số a , b ,c trong pt (2) ?
 + Để giải và biện luận pt trình (2) ta cần xét mấy TH của hệ số a ?(Lưu ý HS thường quên không xét tr.h a = 0)
+ Gọi HS tính D và biện luận theo D.
+ Ở TH hệ số a = 0 thì pt (2) thuộc dạng pt nào ?
+ HS giải và bl pt: 
(x – 1)(x – mx + 2) = 0 theo tham số m.
+ Gợi ý: C1: giải theo pt tích. C2: khai triển VT đưa về pt bậc 2 (1 – m)x2 + (m + 1)x – 2 = 0 với D = (m – 3)2.
+ Số nghiệm pt (3) bằng số giao điểm của parabol (P): y = x2 + 2x + 2 và đthẳng (d) :y = a. Quan sát đồ thị ta thấy đỉnh của parabol (P) là điểm M(-1, 1).
khi a thay đổi thì đt (d) cũng thay đổi nhưng luôn song song (hoặc trùng) với trục hoành. Từ đó suy ra số nghiệm của pt (3): 
+ Chú ý; Khi viết pt (3) dưới dạng x2 + 3x + 2 = x + a, ta thấy kết quả trên còn cho biết số giao điểm của parabol y = x2 + 3x + 2 với đt y = x + a.
+ Có thể khoanh tròn sợi dây dài 40cm thành một hình chữ nhật có diện tích S cho trước trong mỗi tr.h sau đây được hay không?
99cm2.
100cm2.
101cm2.
+ Sử dụng định lí Vi-ét nhẩm nghiệm của pt sau : x2 – 5x + 6 = 0 
 + Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 f(x) = x2 – 5x + 6
+ Sau đây ta sẽ tìm hiểu một số ứng dụng quan trọng khác của định lý Vi-et 
là xét dấu các nghiệm của pt bậc hai. Định lý Vi-et cho phép ta nhận biết dấu các nghiệm của pt bậc hai mà không cần tìm các nghiệm đó.
 Nhận xét : 
 Cho pt bậc hai ax2+ bx + c = 0 có hai nghiệm x1 và x2 (x1£ x2). 
Đặt Khi đó :
 - Nếu P < 0 thì x1 < 0 < x2 ( hai nghiệm trái dấu ) 
 - Nếu P > 0 và S > 0 
thì 0 < x1 £ x2 (2 nghiệm dương )
 - Nếu P > 0 và S < 0
thì x1 £ x2 < 0 (2 nghiệm âm)
+ Đối với trường hợp P > 0, ta chưa biết rõ pt đó có nghiệm hay không nên ta phải tính thêm D để xem pt có nghiệm hay không rồi mới tính S để xác định dấu các nghiệm.
? Muốn xét dấu các nghiệm của một pt bậc hai ta làm ntn?
? Với mỗi pt đã cho sau: hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho:
a. pt:–0,5x2 + 2,7x + 1,5 = 0 
(A) Có hai nghiệm trái dấu;
(B) Có hai nghiệm dương;
(C) Có hai nghiệm âm;
(D) Vô nghiệm.
· Pt bậc nhất (ẩn x) là pt có dạng ax + b = 0 
(a và b là 2 số đã cho với a ¹ 0)
· 4 HS lên bảng viết đề, chia làm 4 tổ thảo luận và 1 HS đại diện lên ghi kết quả.
x = 1
x = 
pt vô nghiệm.
pt đúng "xÎR
+ Ghi nhận kiến thức.
+ Chia cả 2 vế pt cho m
+ Để chia cả 2 vế pt cho m ta phải biết m = 0 hay m ¹ 0.
+ HS nhắc lại để giải và biện luận pt ax + b = 0 ta làm như thế nào?
+ Ta xét hệ số a ở hai TH : a ¹ 0 , a = 0 
Riêng ở trường hợp
 a = 0 ta phải xét thêm hệ số của b 
+ HS ghi bảng tóm tắt PP giải và biện luận pt ax + b = 0.
+ Hệ số a ở VD1 là:
m2 – 1
+ HS lên bảng làm.
+ Phương trình bậc hai (ẩn x) là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 (a, b và c là 3 số đã cho với a ¹ 0); 
+ D = b2 – 4ac,
 D’= b¢2 – 4ac 
 (với b = 2b’).
+ HS thảo luận và ghi kết quả:
x = – 3 v x = 2
x = 1 v x = – 4
pt vô nghiệm
pt có nghiệm kép: x = 3.
* pt có nghiệm duy nhất 
 + a = 0 và b ¹ 0
 + a ¹ 0 và D = 0 
* pt vô nghiệm 
 + a = b =0 và c ¹ 0
 + a ¹ 0 v à D < 0
+ HS làm TNKQ sau: 
Pt ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm khi:
D = 0
a = 0 và b ¹ 0 
a ¹ 0 
 D = 0
 a = 0
 b ¹ 0
Không xảy ra.
+ HS lên bảng làm VD 2.
+ HS trình bày phần kết luận sau khi đã xét hết các tr.h xảy ra đối với tham số(có thể kết luận theo cách liệt kê các nghiệm của pt hay cách viết ra tập nghiệm của pt trong mỗi tr.h).
+ Kết quả VD HS tự làm:
m = 1 pt có nghiệm duy nhất x = 1.
m = 3 pt có 1 nghiệm kép x = 1
m ¹ 1 và m ¹ 3 pt có 2 nghiệm x = 1 và 
 x = 
+ HS vẽ đồ thị của hàm số y = x2 + 2x + 2. và đt y = a trên cùng một hệ trục toạ độ.
+ Hình vẽ SGK trang 74
( Hình 3.1)
+ HS nhận xét vị trí tương đối của (P) và đt (d) từ đó suy ra số giao điểm của chúng.
+ pt có hai nghiệm 
x = 2 , x = 3 
f(x) = (x – 2)(x – 3)
+ Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (cm) và chiều dài là y (cm). 
khi đó ta có:
 x + y = 40: 2 = 20
x . y = P
Vậy x, y là nghiệm pt: 
X2 – 20 X + P = 0
a. P = 99 giải pt ta được x = 9, y = 11. Ta phải khoanh hcn kích thước là 9cm x 11 cm
b. Với P = 100, Ta có x = y = 10. ta khoanh hcn kích thước 10cm x 10cm.
c. Với P = 101, Khi đó pt X2 – 20X + 101 = 0 vô nghiệm. Vậy không có hìmh chữ nhật nào thoả mãn yêu cầu đề bài.
+ Dựa vào dấu của P, S học sinh hãy nêu dấu các nghiệm của pt bậc hai:
 - Nếu P < 0 thì x1<0< x2 ( hai nghiệm trái dấu ) 
 - Nếu P > 0 và S > 0 
thì 0 < x1 £ x2 (2 nghiệm dương )
 - Nếu P > 0 và S < 0
thì x1 £ x2 < 0 (2 nghiệm âm)
! Tính P:
- Nếu P < 0 ta kết luận pt có hai nghiệm trái dấu.
- Nếu P > 0, ta tính D:
- Nếu D < 0 pt vô nghiệm
- Nếu D ³ 0, ta tính S:
- Nếu S > 0 thì pt có hai nghiệm dương
- Nếu S < 0 thì pt có hai nghiệm âm.
a. ta có: a = - 0,5;c = 1,5 nên pt có 2 nghiệm trái dấu. Do đó ta chọn phương án (A).
b. Ta có P = > 0
S = + > 0
D = (–)2 > 0
Nên pt có 2 nghiệm cùng dấu dương.
Chọn phương án (B).
Đúng
Sai.
Vì khi pt (5) chỉ có nghiệm âm(hoặc một nghiệm kép âm, hoặc 2 nghiệm âm pb) thì pt (4) vô nghiệm.
b. pt: 
x2 – (+)x + = 0
(A) Có hai nghiệm trái dấu;
(B) Có hai nghiệm dương;
(C) Có hai nghiệm âm;
(D) Vô nghiệm.
? Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai ? 
 a/ Nếu pt (4) có nghiệm thì pt (5) có nghiệm 
 b/ Nếu pt (5) có nghiệm thì pt (4) có nghiệm 
1. Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0
Ta có: ax + b = 0 Û ax = – b (*)
a ¹ 0 
pt (*) có nghiệm duy nhất x = – 
a = 0 và b = 0
pt (*) trở thành 0x = 0 
 Þ pt nghiệm đúng "xÎR
a = 0 và b ¹ 0
pt (*) vô nghiệm. 
Ví dụ 1 : Giải và biện luận pt sau theo tham số m 
 m2x + 2 = x + 2m ( 1)
Giải
 Ta có m2x + 2 = x + 2m
 Û ( m2 – 1 )x = 2 ( m – 1 ) (1a)
 · m2 – 1 ¹0 Û m ¹ -1 và m ¹ 1 
 pt (1a) có nghiệm duy nhất .
 · m2 – 1 = 0 Û m = 1 hoặc m = -1 
 + m = 1 : pt (1a) trở thành 0x = 0 
 Þ pt nghiệm đúng "xÎR
 + m = -1 : pt (1a) trở thành 0x = -4
 Þ pt vô nghiệm 
Kết luận : 
 + m ¹ 1 và m ¹ -1:pt (1) có nghiệm .
 + m = 1 : pt (1) nghiệm đúng "xÎR
 + m = -1 : pt (1) vô nghiệm. 
2. Giải và biện luận phöông trình ax2 +bx + c = 0. 
 Ta có ax2 + bx + c = 0 
 · a ¹ 0 
 Tính D = b2 – 4ac
 + D > 0 : pt có hai nghiệm phân biệt 
 + D = 0 : pt có nghiệm kép 
 + D < 0 : pt vô nghiệm 
 · a = 0 : pttt bx + c = 0 
 (đã xét ở phần 1).
Ví dụ 2 : Giải và biện luận pt sau theo tham số m 
 mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (2) 
Giải
 · m ¹ 0 : D’ = 4 – m 
 * m 0 : pt (2) có hai nghiệm phân biệt: 
 * m = 4 Û D’ = 0 
 pt (2) có nghiệm kép: 
 * m > 4 Û D’ < 0 : pt (2) vô nghiệm
· m = 0 
 pt trở thành: 4x – 3 = 0 
Kết luận :
 + m > 4 : pt (2) vô nghiệm 
 + m = 0 : pt (2) có nghiệm 
 + m = 4 : pt (2) có nghiệm 
 + 0 ¹ m < 4: pt (2) có hai nghiệm phân biệt.
 Ví dụ 3 :
 Cho pt 3x + 2 = -x2 + x + a (3)
 Bằng đồ thị ,hãy biện luận số nghiệm của pt (3) theo các giá trị của tham số a. 
Giải
 Ta có 3x + 2 = -x2 + x +a (3)
 Û x2 + 2x + 2 = a 
 Số nghiệm pt (3) bằng số giao điểm của (P) ; y =x2 + 2x + 2 và đthẳng (d) :y = a .
 Dựa trên đồ thị ta thấy :
 · a < 1 : pt (3) vô nghiệm ((d) và (P) không có điểm chung) 
 · a = 1 : pt (3) có nghiệm kép ((d) tiếp xúc với (P)).
 · a > 1 : pt ( 3) có hai nghiệm phân biệt ((d) cắt (P) tại hai điểm)
3. Ứng dụng của định lí Vi-et :
 Định lí Vi-ét đối với pt bậc hai:
 Hai số x1 và x2 là các nghiệm của pt
bậc hai ax2 + bx + c =0 khi và chỉ khi
chúng thỏa mãn các hệ thức:
 và 
 Định lí Vi-ét có các ứng dụng :
1/ Nhẩm nghiệm của pt bậc hai 
2/ Phân tích đa thức thành nhân tử 
 Nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2 thì f(x) = a.(x- x1)(x-x2).
3/Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: 
 Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là các nghiệm của phương trình:
 X2 – SX + P = 0
 * Dấu các nghiệm số của pt bậc hai:
 Ví dụ 4: Phương trình: 
(1 – )x2 – 2(1 + )x + = 0 
có a = 1 – 0 nên P < 0
Vậy pt có hai nghiệm trái dấu.
 Ví dụ 5 : Xét dấu các nghiệm của pt sau (nếu có )
Giải :
 Ta có:
 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt
* Đối với phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (4) 
 Đặt t = x2 (t ³ 0) 
 pt trở thành at2 + bt + c = 0 (5) 
 Muốn biết số nghiệm của pt (4) , ta chỉ cần biết số nghiệm của pt (5) và dấu của chúng.
Ví dụ 6: Cho pt 
x4 – (–)x2 – = 0 (6)
Không giải pt, hãy xét xem pt (6) có bao nhiêu nghiệm?
Giải:
 Đặt t = x2 (t ³ 0) 
 Pt thành:x4 –(–)x2 – = 0 (7)
 Có a = > 0; c = – < 0
Þ Pt (7) có 2 nghiệm trái dấu
 Hay pt (7) có một nghiệm dương
 Vậy pt (6) có hai nghiệm đối nhau.
 4. Củng cố :
Cho HS nhắc lại các bước giải và biện luận pt bậc nhất , pt bậc hai. 
Nêu điều kiện để pt bậc hai có: hai nghiệm trái dấu , hai nghiệm phân biệt cùng dấu , hai nghiệm dương , hai nghiệm âm phân biệt.
Dựa vào dấu các nghiệm số suy ra số nghiệm của pt trùng phương.
5. Dặn dò : 
 Học thuộc bài và làm bài tập 1,2,4,5,6,7,8SGK trang 62và 63