Giáo án Đại số NC 10 Chương 1 Bài 2: Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

Tuần 1 Bài 2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO 
Tiết 3 SUY LUẬN TOÁN HỌC
Ngày soạn: 30/08/2006
Ngày dạy: 07/09/2006
I. Mục tiêu:
 * Về kiến thức:
Phân biệt được giả thiết, kết luận của định lý.
Biết sử dụng thuật ngữ: điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ.
Biết cách chứng minh phản chứng.
 * Về kỹ năng:
Chỉ rõ được giả thiết, kết luận của định lý.
Thành thạo cách phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ.
Vận dụng được cách chứng minh phản chứng.
 * Về tư duy và thái độ:
Tư duy logic.
Hiểu rõ các định lý, mệnh đề phát biểu theo dạng nào.
II. Chuẩn bị phương tiện dạy học:
 Bảng phụ – Kết quả của mỗi hoạt động.
III. Phương pháp dạy học: 
 Gợi mở, vấn đáp thông qua các hoạt động điều kiển tư duy.
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động:
Ổn định lớp
Kiểm tra bài cũ
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
· Gọi học sinh lên bảng.
 Nêu khái niệm mệnh đề, mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương.
 Áp dụng: Cho hai mệnh đề:
 P: “ ∆ABC cân”
 Q: “ ∆ABC có hai trung tuyến bằng nhau”
Phát biểu mệnh đề P Þ Q; P Û Q.
Mệnh đề P Þ Q có đúng không?
· Trong trường hợp mệnh đề P Þ Q đúng thì ta nói nó là một định lý, P gọi là giả thiết và Q gọi là kết luận của định lý. Và ta có thể phát biểu mệnh đề này theo cách khác, cụ thể ta nghiên cứu bài sau:
 Hs lên bảng trả bài.
 · Mệnh đề (1,5đ).
 · Mệnh đề kéo theo (1,5đ).
 · Mệnh đề tương đương (1,5đ).
 a) Phát biểu P Þ Q: “Nếu ∆ABC cân thì tam giác đó có 2 trung tuyến bằng nhau” (1,5đ).
 P Û Q: “∆ABC cân khi và chỉ khi tam giác đó có 2 trung tuyến bằng nhau” (1đ).
 b) Mệnh đề đúng (1đ).
 3. Giảng bài mới
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung
* HĐ 1: Nhắc lại khái niệm định lý và cách chứng minh.
1. Định lý và chứng minh định lý:
 · Trong toán học, định lý là một mệnh đề đúng. Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng:
 Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung
· Từ việc kiểm tra bài cũ, GV hình thành cho hs biết định lý và chỉ rõ đâu là giả thiết, đâu là kết luận của định lý.
· Để chứng minh định lý ta có thể chứng minh trực tiếp hoặc gián tiếp. Chứng minh trực tiếp nghĩa là từ giả thiết và các kiến thức cơ bản chứng minh điều kết luận
· Theo ví dụ trên ta sử dụng giả thiết để chứng minh kết luận. GV cần để hs chọn một vài giá trị của n để xem kết quả đúng không. Thử nhiều khó nên ta cần chứng minh, cần phân tích n thành một biểu thức để tính n2 –1.
· Đôi khi ta chỉ dùng giả thiết để chứng minh phần kết luận gặp khó khăn. Vì vậy có cách chứng minh gián tiếp nhờ phản chứng, nghĩa là phủ định điều kết luận. Cụ thể:
· Hướng dẫn hs phủ định phần kết luận.
· Cần lưu ý cho hs về phần giả sử, hầu như hs không hiểu mà chỉ giả sử giả thiết sai trước.
* HĐ2: Từ định lý “"x∈X, P(x) Þ Q(x)”, phát biểu theo điều cần, điều kiện đủ.
· Cho một số ví dụ về mệnh đề P(x) Þ Q(x) và nhận xét tính đúng sai của các mệnh đề đó.
· Nếu mệnh đề đúng thì ta chứng minh thế nào, và nhắc lại đâu là giả thiết, kết luận trong định lý.
· Thử một vài giá trị của n.
· Nếu n chẵn thì ta phân tích thế nào? (n = 2k), sau đó phân tích n lẻ.
· Học sinh về nhà chép 2 cách chứng minh trực tiếp trong SGK.
· Hãy phủ định lại điều kết luận trên.
 a ≥ 1 hoặc b ≥ 1 (sai, cần dùng từ “và” ).
· Nhận xét: trái giả thiết thì điều giả sử có đúng không.
 “"x ∈ X, P(x) Þ Q(x)” (1)
 Trong đó P(x) và Q(x) là những mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó.
 Chứng minh định lý dạng (1) là dùng suy luận và những kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ rằng "x ∈ X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng.
· Phép chứng minh trực tiếp:
 + Lấy x tuỳ ý thuộc X mà P(x) đúng.
 + Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết để chỉ ra rằng Q(x) đúng.
VD1: Chứng minh định lý sau: “Với n ∈, nếu n lẻ thì n2 –1 chia hết cho 4”.
Giải:
Ta có n lẻ Þ n = 2k + 1, k ∈ 
Þ n2 –1 = 4k2 + 4k + 1 –1
 = 4k(k +1) 
Þ n2 –1 chia hết cho 4.
· Phép chứng minh phản chứng:
 + Giả sử $x0 ∈ X sao cho P(x0) đúng và Q(x0) sai, tức là mệnh đề (1) là mệnh đề sai.
 + Dùng suy luận và những kiến thức toán học đã biết để đi đến mâu thuẫn.
VD2: Chứng minh phản chứng:
“Nếu a + b < 2 thì một trong 2 số a và b nhỏ hơn 1”.
Giải:
 Giả sử a ≥ 1 và b ≥ 1
 Ta có: a + b ≥ 2 (trái giả thiết)
 Vậy một trong 2 số a và b phải nhỏ hơn 1.
2. Điều kiện cần, điều kiện đủ:
 Cho định lý dưới dạng:
 “"x ∈ X, P(x) Þ Q(x)” (1)
 P(x) được gọi là giả thiết và Q(x) là kết luận của định lý.
 Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung
· Có thể phát biểu định lý P Þ Q theo cách sau:
 Điều kiện đủ để có Q là có P, và điều kiện cần để có P là có Q.
· Cho một số ví dụ để hs áp dụng: “Nếu ∆ABC vuông thì nó có một góc trong bằng tổng hai góc còn lại”. Hoặc: “Nếu tứ giác có tổng 2 góc bằng 1800 thì nó nội tiếp được trong một đường tròn”.
· Các em đã học mệnh đề P Þ Q và mệnh đề đảo Q Þ P, đối với định lý cũng tương tự, nó cũng có định lý thuận và đảo. Cụ thể:
· Cần lưu ý các kí hiệu: “Þ “ phát biểu là “Nếu ... thì...”, hoặc “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, ... còn kí hiệu “Û “ phát biểu “khi và chỉ khi”, “điều kiện cần và đủ”,....
· Hs sử dụng các thuật ngữ trên phát biểu định lý đã cho.
· Phát biểu: điều kiện cần, điều kiện đủ theo cách đặt các từ này ở vị trí đầu câu.
· Cho một số ví dụ khác về việc áp dụng các thuật ngữ này.
· Hs phát biểu mệnh đề Q(x) Þ P(x), và nhận xét nó đúng hay sai.
· Nếu mệnh đề đảo trên đúng thì nó có phải là định lý không?
· Phát biểu định lý ở ví dụ 4 đặt “điều kiện cần và đủ” ở vị trí đầu câu.
· Chú ý: (1) còn được phát biểu:
 P(x) là điều kiện đủ để có Q(x).
Hoặc Q(x) là điều kiện cần để có P(x).
VD3: Xét định lý: “Với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 24 thì nó chia hết cho 8”.
· “n chia hết cho 24 là điều kiện đủ để n chia hết cho 8”.
· “n chia hết cho 8 là điều kiện cần để n chia hết cho 24”.
3. Định lý đảo, điều kiện cần và đủ:
 Xét mệnh đề đảo của định lý dạng (1): “"x ∈ X, Q(x) Þ P(x)”.
 Mệnh đề trên có thể đúng hay sai. Nếu nó đúng thì ta gọi nó là định lý đảo của định lý thuận(1).
 Định lý thuận và đảo gộp lại thành một định lý:
 “"x ∈ X, P(x) Û Q(x)”.
 Khi đó ta nói: P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x).
VD4: Theo em hs trả bài: “ ∆ABC cân là điều kiện cần và đủ để tam giác đó có 2 đường trung tuyến bằng nhau”.
 4. Củng cố:
 Các em cần biết đâu là giả thiết, đâu là kết luận của định lý, và biết phát biểu định lý trên bằng thuật ngữ: điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ. Trong đó có cách chứng minh mới, là chứng minh bằng phản chứng, nghĩa là ta giả sử kết luận sai và chứng minh điều mâu thuẫn giả thiết.
 5. Dặn dò:
 Làm bài tập trang 12 và phần luyện tập trang 13, 14.
Tuần 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO 
Tiết 4 SUY LUẬN TOÁN HỌC
Ngày soạn: 30/08/2006
Ngày dạy: 07/09/2006
I. Mục tiêu:
 * Về kiến thức: Biết phát biểu định lý dưới dạng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ”, phân biệt đâu là giả thiết, đâu là kết luận của định lý, và đặc biệt biết cách chứng minh bằng phản chứng.
 * Về kỹ năng:
Thành thạo cách phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ.
Thành thạo cách chứng minh phản chứng.
 * Về tư duy:
Tư duy logic.
Hiểu rõ các định lý, mệnh đề phát biểu theo dạng nào.
 * Về thái độ: cẩn thận, chính xác trong các cách phát biểu.
II. Chuẩn bị phương tiện dạy học:
 Phiếu trả lời ngắn – Kết quả của mỗi hoạt động.
III. Phương pháp dạy học: 
 Gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động:
Ổn định lớp
Kiểm tra bài cũ
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
· Cho hs lên trả bài theo câu hỏi:
Phát biểu 2 cách chứng minh một định lý (trực tiếp và gián tiếp).
Áp dụng: Dùng phản chứng, chứng minh định lý sau: “"n ∈*, nếu n2 chẵn thì n chẵn”.
· Để hiểu rõ cách chứng minh này, và sử dụng đúng các thuật ngữ: điều kiên cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ, ta xét một số bài sau:
· Hs làm trên bảng:
 a) Cách chứng minh trực tiếp (2đ).
 Cách chứng minh gián tiếp (2đ).
 b) Giả sử n lẻ thì n = 2k + 1, k ∈.
Þ n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 
Þ n2 lẻ vì (4k2 + 4k) chẵn và 1 là lẻ, nên trái giả thiết.
 Vậy n lẻ. (4đ).
 3. Giảng bài tập
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung
· Đây là định lý, có dạng P(x) Þ Q(x), nhưng khi xét mệnh đề đảo thì chưa biết đúng hay sai, nên chưa khẳng định là định lý đảo.
· Hs tự phát biểu mệnh đề trên.
· Hãy giải thích tại sao không gọi là định lý đảo.
6/ Phát biểu mệnh đề đảo của định lý: “Trong một tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau”. Mệnh đề đảo đó đúng hay sai?
 Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung
· Nhắc lại cách chứng minh bằng phản chứng là giả sử kết luận sai, chứng minh điều trái giả thiết.
· Nhắc nhở hs dễ sai phủ định của dấu “≥ “ là “≤ “.
· Hỏi hs thấy biểu thức trên giống hằng đẳng thức nào?
· Nhắc lại mệnh đề: P(x) Þ Q(x) có thể phát biểu: Điều kiện đủ để có Q(x) là có P(x).
· Chú ý: điều kiện này chưa phải là điều kiện cần. Chẳng hạn: cho thì a + b = 2 là số hữu tỉ nhưng a và b là số vô tỉ.
· Hỏi hs xét điều kiện đủ có đúng không?
 Ta thấy 10 chia hết 5 nhưng không chia hết cho 15.
· Đây là một định lý nên sử dụng thuật ngữ trên hiển nhiên là mệnh đề đúng nhưng cũng giải thích cho hs biết về định lý này.
· Hs vẽ tam giác có hai đường cao bằng nhau và xét tam giác đó thế nào.
· Nêu lại cách chứng minh bằng phản chứng.
· Hs có thể thấy căn bậc hai bình phương cho dễ:
(a + b)2 < 4ab
Þ (a –b)2 < 0 (sai).
· Hs có thể phát biểu: “a và b là hai số hữu tỉ là điều kiện đủ để tổng a+b là số hữu tỉ (phát biểu đúng).
· Hãy so sánh cách phát biểu giữa điều cần và điều kiện đủ.
· Hs có thể phát biểu: “Một số tự nhiên chia hết cho 5 là điều kiện cần để nó chia hết cho 15”.
· Hs hãy phát biểu định lý trên bằng “điều kiện cần và đủ” đặt ở đầu câu và cuối câu.
· Xét mệnh đề đúng hay sai (có thể giải thích).
· Nhắc lại cách chứng minh bằng phản chứng.
· Mệnh đề đảo:”Nếu tam giác có hai đường cao bằng nhau thì tam giác đó cân”.
· Mệnh đề đảo trên đúng.
7/ Chứng minh định lý sau bằng phản chứng:
 “Nếu a, b là 2 số dương thì a + b ≥ ”.
Giải:
 Giả sử a + b < 
Þ a – + b < 0
Þ < 0 (sai)
 Vậy a + b ≥ .
8/ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu định lý: “Nếu a và b là hai số hữu tỉ thì tổng a + b cũng là số hữu tỉ”.
· Điều kiện đủ để tổng a + b là số hữu tỉ là cả hai số a và b đều là số hữu tỉ.
9/ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lý: “Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5”.
· Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5.
10/ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu định lý: “Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng 2 góc đối diện của nó là 1800 “.
· Điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng 2 góc đối diện của nó là 1800.
11/ Chứng minh định lý sau bằng phản chứng:
“Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”.
Giải:
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung
· Nhắc nhở hs dễ sai khi giả sử n2 không chia hết cho 5 rồi chứng minh ngược lại.
· Trong 4 trường hợp trên có thể gom 2 trường hợp chính là n = 5k ± 1 và n = 5k ± 2, rồi bình phương lên xem n2 có chia hết cho 5 hay không.
· Hãy cho biết số không chia hết cho 5, thì khi chia cho 5 dư bao nhiêu.
(dư 1, 2, 3, 4).
· Hs có thể xét 4 trường hợp của n rồi bình phương lên.
· Hãy nêu cách khai triển hằng đẳng thức (a – b)2 = ?
Giả sử n không chia hết cho 5
Ta có: n = 5k ± 1,
 hoặc n = 5k ± 2, k ∈ 
· Nếu n = 5k ± 1
 Þ n2 = 25k2 ± 10k +1 
 Þ n2 = 5k(5k ± 2) + 1
 Þ n2 không chia hết cho 5 (trái giả thiết n2 chia hết cho 5).
· Nếu n = 5k ± 2
 Þ n2 = 25k2 ± 20k +4 
 Þ n2 = 5k(5k ± 4) + 4
 Þ n2 không chia hết cho 5 (trái giả thiết n2 chia hết cho 5).
Vậy n chia hết cho 5 (đpcm).
 4. Củng cố:
 Các em cần nắm vững các cách phát biểu: điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ (rất hay dễ nhầm lẫn) và tính đúng sai của nó. Nhớ cách chứng minh bằng phản chứng là ta phủ định kết luận và chứng minh điều mâu thuẫn giả thiết.
 5. Dặn dò:
 Làm các bài luyện tập trang 13, 14, 15.