Giáo án Dạy thêm Hình 10

Phần 1 VEC TƠ
A. Khái niệm véc tơ
 Cho DABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR : = 
Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với 
b/ Xác định các vectơ bằng 
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ và bằng 
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ = . CMR :
a/ I là trung điểm AB và = 
b/ = = 
Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng = và = 
a/ CMR : = 
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR : = 
B. Phép toán véc tơ
Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : + = + 
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. 
CMR : + + = + 
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. 
CMR : + + = + + 
Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. 
CMR : + + + = + + + 
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/ + = 
b/ + =
c/ + + + = 
d/ + = + (với M là 1 điểm tùy ý)
Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR : + = + 
Cho DABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý , , 
CMR : + + = + + .
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính ỳỗ theo a
Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính ẵỗ
b/ Dựng = . Tính ỳẵ
Cho DABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng = . 
b/ Tính ỳẵ.
Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ có độ dài bằng nhau và = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật
Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : + + = 
b/ CMR : + + = + + 
Cho DABC có trọng tâm G. Gọi MẻBC sao cho = 2
a/ CMR : + 2 = 3
b/ CMR : + + = 3
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : + = 2
b/ CMR : + + + = 
c/ CMR : + + + = 4 (với M tùy ý)
 d/ Xác định vị trí của điểm M sao choẵ + ++ẵ nhỏ nhất
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : + + + = 
b/ CMR : +++ = +++
c/ CMR : + = 4 (với G là trung điểm FH)
Cho hai DABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. 
CMR : + + = 3
Cho hình bình hành ABCD có tâmO và E là trung điểm AD. CMR :
a/ + + + = 
b/ + + 2 = 3
c/ + 2+ 4= 
Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : - = + 
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/* + - - + - = 
b/ - - = - - 
c/ - - = - + 
Cho DABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/ - + = 
b/ - + = 
c/ - + = 
d/ - - = 
e/ + - + = 
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính ẵ- ỗ
b/ Dựng = - . Tính ẵỗ
Cho DABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính ẵỗ
b/ Tính ẵ- ỗ
Cho DABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. 
Tính ẵỗ
Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : + + = 
b/ CMR : + + = + + 
Cho DABC có trọng tâm G. Gọi M ẻ BC sao cho = 2
a/ CMR : + 2 = 3
b/ CMR : + + = 3
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : + = 2
b/ CMR : + + + = 
c/ CMR : + + + = 4 (với M tùy ý)
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : + + + = 
b/ CMR : ++ + = + + + 
c/ CMR : + + = 4 (với G là trung điểm FH)
Cho hai DABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. 
CMR : + + = 3
Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/ + + + = 
b/ + + 2 = 3
c/ + 2 + 4 = 
Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
	a) Tính 
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính theo và 
Cho DABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho = . Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR : = + 
b/ CMR : = + 
Cho DABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho = 2 , = 3. Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
a/ = + 
b/ = + 
Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 + 3 = 5
CMR : B, C, D thẳng hàng.
Cho DABC, lấy M, N, P sao cho = 3;+3= và + = 
a/ Tính , theo và 
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
	a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
	b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
a/ .
b/ 
c/ |
d/ 
e/ | 
C. Trục – Toạ độ trên trục:
Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của .
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 + 5 = 
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 + 3 = -1
Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho + - = 
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 - 3 = 
Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 - 2 = 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho + 3 = 
Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(-2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR : + = 
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR : 
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR : 
D. Toạ độ trên mặt phẳng:
Viết tọa độ của các vectơ sau : =- 3, = + ; = -+ ; = 3 ; = -4.
Viết dưới dạng = x+ y, biết rằng :
= (1; 3) ; = (4; -1) ; = (0; -1) ; = (1, 0) ; = (0, 0)
Trong mp Oxy cho = (-1; 3) , = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/ = 3 - 2
b/ = 2 + 
c/ = 4 - 
Trong mp Oxy cho A(1; -2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ , , 
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : = 2 - 3
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : + 2 - 4 = 
Trong mp Oxy cho DABC có A(4; 3) , B(-1; 2) , C(3; -2).
a/ CMR : DABC cân. Tính chu vi DABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.
Trong mp Oxy cho DABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; -1).
a/ CMR : DABC vuông. Tính diện tích DABC.
b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Trong mp Oxy cho DABC có A(-3; 6) , B(9; -10) , C(-5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp DABC và tính bán kính đường tròn đó.
Trong mp Oxy cho A(-3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho DABM vuông tại M.
Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho DABC cân tại C.
b/ Tính diện tích DABC.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(-1; -1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.
c/ CMR : DABC vuông cân.
d/ Tính diện tích DABC.
Cho DABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a/ CMR : 2 + + = 
b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2 + + = 4
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm DABC.
a/ CMR : 2 = 2 + 
b/ CMR : 3 = + + 
Cho DABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho = 3. Tính theo và 
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a/ CMR : = ( + 2)
b/ CMR : + + = 
c/ Tìm điểm M thỏa : - + = 
Cho DABC và 1 điểm M tùy ý.
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho = + , = + và = + . CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M.
b/ CMR : + + = + + 
Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/ = 
b/ + + = 
c/ ỳ + ỗ = ỳ - ỗ
d/ ỳ + ỗ = ỳỗ + ỳỗ
e/ ỳ + ỗ = ỳ + ỗ
Cho DABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi = 2, = 
a/ Tính , , theo và 
b/ CMR : D, E, G thẳng hàng.
Cho DABC. Gọi D là điểm xác định bởi = và M là trung điểm đoạn BD.
a/ Tính theo và .
b/ AM cắt BC tại I. Tính và 
Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích D OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm D OAB.
d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số nào ?
e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.
Phần ii phương trình đường thẳng
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm:
a) A(1;3); B(2;6)	 b) A(3;2) và B(-1;-5)
2. Viết phương trình đường thẳng (d) 
a) đi qua điểm M(1;2) và có vtcp b) đi qua điểm A(3;1) và song song với đt (α): x-4y-2=0
3. Viết phương trình đường thẳng (d)
a. đi qua điểm M(-2;4) và có vtpt b) đi qua điểm A(3;2) và vuông góc với đt (α): 2x-3y-9=0
4. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau
a) 2x+3y-1=0 và 3x+y+2=0	b) 4x-y+2=0 và 	c) và 
5. Tính góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau
a) x-2y+5=0 và 2x+y-8=0	b) 3x-4y+1=0 và 	 c) 
6.Cho 3 điểm A(-3;4), B(-5;-1), C(4;3)
a) Tính độ dài các cạnh AB, BC, AC	b) Viết pt đường cao AH
7. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết toạ độ trung điểm là: M(2;1), N(5;3),
P(3;-4).
8. Viết phương trình đường thẳng qua A(0;1) tạo với đường thẳng: x+2y+3=0 một góc 450
9. Cho tam giác ABC, biết cạnh BC có phương trình: 7x+5y-8=0, các đường cao BI, 
CK lần lượt có phương trình là: 9x-3y-4=0 và x+y-2=0. Lập phương trình các cạnh AB, AC và đường cao AH.
10Cho hình thoi ABCD trong đó A(1;3), B(4;-1) biết AD song song với Ox và đỉnh 
D có hoành độ âm. Tìm tọa độ C, D.
11. Viết ptđt qua I(-2;3) và cách đều 2 điểm A(5;-1), B(3;7).
12. Cho tam giác ABC, A(1;1), các đường cao từ B và C có phương trình lần lượt là:-2x+y-8=0 và 2x+3y-6=0. Viết phương trình đường cao AH, tìm tọa độ các điểm B và C.
13.) Cho tam giác ABC phương trình cạnh AB: 5x-3y+2=0. Các đường cao từ A và B 
có phương trình là: 4x-3y+1=0 và 7x+2y-22=0. Lập phương trình các cạnh và các đường cao còn lại.
14. Cho tam giác ABC, M(-1;1) là trung điểm cạnh BC, phương trình các 
cạnh AB, AC lần lượt là: x+y-2=0 và 2x+6y+3=0. Tìm tọa độ các điểm A, B, C và lập phương trình đường cao AH.
15. Viết phương trình đường thẳng qua M(-5;13) và vuông góc với đường thẳng 2x-3y+3=0
16. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;-1) đường cao và trung 
tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình lần lượt là (d1): 2x-3y+12=0 và (d2): 2x+3y=0
17. Cho phương trình 2 cạnh của tam giác ABC là: 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0. Viết phương 
trình cạnh thứ 3 của tam giác biết trực tâm tam giác trùng với gốc tọa độ O(0;0).
18. Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
a) Đi qua điểm A(1;1) và có hệ số góc k=2
b) đi qua điểm B(5;-2) và tạo với hướng dương của trục Ox một góc 600	
c) đi qua điểm C(3;7) và tạo với trục Ox một góc 450
19. Viết phương trình các trung trực của tam giác ABC biết các trung điểm ba cạnh AB, 
BC, CA lần lượt là: M(2;3), N(4,-1), P(-3;5)
20. Cho A(10;5), B(15;-5), D(-20;0) là 3 đỉnh của hình thang cân ABCD biết AB song 
song CD tìm tọa độ của C.
21. Cho tam giác ABC biết B(-4;5) và 2 đường cao có phương trình lần lượt là: 
5x+3y-4=0 và 3x+8y+13=0. Lập phương trình các cạnh của tam  ... số nghiệm thỡ (C1) trựng (C2)
Phương phỏp 2: 
	- (C1) cú tõm I1 (a1; b1) và bỏn kớnh R1
	- (C2) cú tõm I2 (a2; b2) và bỏn kớnh R2
	- Tớnh I1I2 = d
	- Biện luận vị trớ tương đối:
	+ Nếu thỡ (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phõn biệt. 
	+ Nếu thỡ (C1) và (C2) tiếp xỳc ngoài nhau.
	+ Nếu thỡ (C1) và (C2) tiếp xỳc trong nhau. 
	+ Nếu thỡ (C1) và (C2) ngoài nhau.
	+ Nếu thỡ (C1) và (C2) chứa trong nhau. 
Nhận xột: 
	- Đối với phương phỏp 1 ta chỉ ra được hai đường trũn cú cắt nhau hay khụng và cũn chỉ ra được toạ độ giao điểm của hai đường trũn nhưng trong trường hợp hai đường trũn tiếp xỳc nhau thỡ khụng chỉ ra được tiếp xỳc trong hay ngoài.
	- Đối với phương phỏp 2: Ta chỉ ra được vị trớ tương đối của hai đường trũn một cỏch cụ thể tuy nhiờn khụng tỡm được toạ độ tiếp điểm nếu cú.
	Tuỳ từng bài toỏn cụ thể để lựa chọn phương phỏp giải phự hợp hoặc cú thể phải phối hợp hai phương phỏp.
Vớ dụ 22: Xột vị trớ tương đối của hai đường trũn sau: (C) x2 + y2-2x -6y +-15 = 0
(C) x2 + y2-6x -2y -3 = 0
Giải: 
	(C1) cú tõm I1(1;3) và bỏn kớnh R1 = 5
	(C2) cú tõm I2(3;1) và bỏn kớnh R2 = 
	I1I2 = 2
	Ta thấy: ị hai đường trũn cắt nhau.
Vớ dụ 23: Cho hai đường trũn: (C): x2 + y2 = 1 và (Cm): x2 + y2-2(m+1)x +4my -5 = 0
Xỏc định m để (Cm) tiếp xỳc với (C).
Giải: 
	(C) cú tõm O(0;0) và bỏn kớnh R = 1.
	(Cm) cú tõm I(m+1; -2m) và bỏn kớnh R' = 
	Ta thấy OI = < R' ị điểm O nằm trong đường trũn tõm I ị (C) và (Cm) chỉ cú thể tiếp xỳc trong nhau.
	Điều kiện để hai đưũng trũn tiếp xỳc trong là R' – R = OI
	Û -1 =
	Giải phương trỡnh này ta được: m = -1 hoặc m = 3/5
	Chỳ ý: Để chứng minh hai đường trũn tiếp xỳc nhau thụng thường ta phải xột hai trường hợp tiếp xỳc trong và tiếp xỳc ngoài.
Dạng 2: Viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của hai đường trũn.
	Để viết phương trỡnh tiếp tuyến chung D của hai đường trũn ta làm như sau: 
	*) Kiểm tra xem đường thẳng cú dạng x = m( đường thẳng khụng cú hệ số gúc) cú phải là tiếp tuyến chung của hai đường trũn khụng.
	*) Xột D : y = ax+ b. 
	Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai đường trũn Û khoảng cỏch từ I1 đến D = R1 và khoảng cỏch từ I2 đến D = R2 Û 
	Giải hệ này ta sẽ tỡm được a và b.
Vớ dụ 24: Tỡm toạ độ giao điểm của hai đường trũn: 
(C1): x2 + y2-8x -2y + 7 = 0 , (C2): x2 + y2-3x -7y + 12 = 0 và viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của hai đường trũn ấy.
Giải: 
	Toạ độ giao điểm của hai đường trũn là nghiệm của hệ phương trỡnh: 
Giải hệ này ta được hoặc 
Viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của hai đường trũn.
*) Xột đường thẳng x = m Û x – m = 0.
	Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai đường trũn Û hệ này vụ nghiệm ị đường thẳng dạng x = m khụng phải là tiếp tuyến chung của hai đường trũn.
*) Xột đường thẳng D cú dạng: y = ax + b ị ax – y + b = 0
	D là tiếp tuyến chung của hai đường trũn Û 
	Giải hệ này ta được: ị cú 2 tiếp tuyến thoả món là: y = -3x + 3 và y = -1/3 x + 17/3
VẤN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN LIấN QUAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRềN
	Trong vấn đề này ta thường gặp một số bài toỏn liờn quan đến họ đường trũn như sau: 
	Cho họ đường trũn (Cm) : f(x, y, m) = 0	
Bài toỏn 1: Tỡm tập hợp tõm của đường trũn (Cm)
Phương phỏp giải: 
	- Tỡm điều kiện để phương trỡnh đó cho là phương trỡnh đường trũn.
	- Tỡm toạ độ tõm I của đường trũn đó cho (theo m) .
	- Từ hệ trờn khử m để tỡm mối liờn hệ giữa xI và yI.
	- Kết hợp với điều kiện tỡm được ở trờn để giới hạn quỹ tớch tỡm được.
Bài toỏn 2: Tỡm điểm cố định mà họ đường trũn luụn đi qua với mọi m.
Phương phỏp giải: 
	- Giải sử A(x0;y0)) là điểm cố định mà họ đường trũn luụn đi qua với mọi m	
	Û phương trỡnh f(x0, y0, m) = 0 đỳng với mọi m.
	- Viết phương trỡnh trờn dưới dạng phương trỡnh ẩn m sau đú cho tất cả cỏc hệ số của m bằng 0 kể cả hệ số tự do.
	- Giải hệ đú ta sẽ tỡm được x0 và y0.
Bài toỏn 3: Tỡm điểm mà họ đường trũn khụng bao giờ đi qua với mọi m.
Phương phỏp giải: 
	- Giải sử A(x0;y0)) là điểm mà họ đường trũn khụng bao giờ đi qua với mọi m	
	Û phương trỡnh f(x0, y0, m) = 0 vụ nghiệm m.
	- Viết phương trỡnh trờn dưới dạng phương trỡnh ẩn m sau đú cho tất cả cỏc hệ số của m bằng 0 cũn hệ số tự do khỏc 0.
	- Giải hệ đú ta sẽ tỡm được điều kiện của x0 và y0.
Vớ dụ 26: Cho (Cm): x2 + y2+2mx -2(m-1)y + 1 = 0
Tỡm m để (Cm) tiếp xỳc với đường thẳng: D : x + y + 1 + 2= 0
Tỡm m để từ điểm A(7;0) cú thể kẻ được 2 tiếp tuyến với (Cm) vuụng gúc với nhau.
Tỡm m để từ điểm A(7;0) cú thể kẻ được 2 tiếp tuyến với (Cm) và tạo với nhau gúc 600.
Giải: 	
	Điều kiện để (Cm) là đường trũn là: m2 + (m-1)2 – 1 > 0 Û 
	Với điều kiện trờn thỡ đường trũn này cú tõm I(-m; m-1) và bỏn kớnh R = 
I
A
H
K
(Cm) tiếp xỳc với D Û d(I;D ) = R Û Û (tm)
Từ giả thiết ị AHIK là hỡnh vuụng ị AI = R
ị m = 4±
c) Từ giả thiết ị (tm)
Vớ dụ 27: Cho đường cong: (Cm) cú phương trỡnh: x2 + y2+(m+2)x –(m+4)y + m+1 = 0
Chứng minh rằng (Cm) luụn là đường trũn với mọi giỏ trị của m.
Tỡm tập hợp cỏc tõm của đưũng trũn khi m thay đổi.
Chứng minh rằng khi m thay đổi họ cỏc đường trũn (Cm) luụn đi qua hai điểm cố định.
Tỡm những điểm trong mặt phẳng mà họ (Cm) khụng đi qua dự m lấy bất kỳ giỏ trị nào.
Giải: a)Ta cú : a2 + b2 – c = > 0 " m ị (Cm) là đường trũn với mọi m.
b) Toạ độ tõm I của đường trũn là 
	Khử m từ hệ này ta được x + y – 1 = 0.
Giới hạn quỹ tớch: khụng cú.
	Vậy tập hợp tõm I của đường trũn là đường thẳng x + y – 1 = 0.
c) Gọi M(x0;y0) là điểm cố định mà họ (Cm) luụn đi qua. Khi đú ta cú: 
	x02 + y02+(m+2)x0 –(m+4)y0 + m+1 = 0 " m.
Û (x0 – y0 + 1) m + x02 + y02 + 2x0 – 4y0 + 1 = 0 " m
M1
M2
O
Û . Vậy cú hai điểm cố định mà họ (Cm) luụn đi qua " m
d) (Cm) khụng đi qua điểm (x1;y1) với mọi m
 khi và chỉ khi phương trỡnh ẩn m:
 (x1 – y1 + 1) m + x12 + y12 + 2x1 – 4y + 1 = 0 vụ nghiệm m
Û 
Vậy tập hợp cỏc điểm trong mặt phẳng toạ độ mà học (Cm) khụng bao giờ đi qua với mọi giỏ trị của m là đường thẳng D cú phương trỡnh y = x + 1, bỏ đi hai điểm M1 ( -1;0) và M2 (1;2).
B. BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC.
Bài 1: Đại học cao đẳng khối D năm 2003.
	Trong mặt phẳng toạ độ cho đường trũn (C): (x-1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0. Viết phương trỡnh đường trũn (C) đối xứng với (C) qua d. Tỡm toạ độ cỏc giao điểm của (C) và (C).
Giải: Đường trũn (C) cú tõm I(1; 2) và bỏn kớnh R = 2. Khi đú (C) là đường trũn cú tõm I' là điểm đối xứng của I qua d và cững cú bỏn kớnh bằng 2. 
*) Tỡm I'. 
	Gọi H là hỡnh chiếu của I trờn d dễ dàng tỡm được toạ độ của H là H(2;1).
	ị Toạ độ của I' là (3;0) ị phương trỡnh (C) là: (x – 3)2 + (y2 = 4
*) Giao của (C) và (C) chớnh là giao của d với (C).
	Xột hệ phương trỡnh: Giải hệ này ta tỡm được hai giao điểm là: (1;0) và (3; 2).
Bài 2: Đại học Cao đẳng khối B năm 2005.
	Trong mặt phẳng toạ độ cho A(2;0) và B(6;4). Viết phương trỡnh đường trũn (C) tiếp xỳc với trục hoành tại điểm A và khoảng cỏch từ tõm của (C) đến B bằng 5.
	Giải: Đường trũn (C) tiếp xỳc với Ox tại A(2;0) nờn tõm I(x0;y0) của nú nằmg trnờn đường thẳng x = 2. Do đú ta cú x = 2, Vậy I(2; y0).
	Vỡ IB = 5 ị IB2 = 25 ị (x0 – 6)2 + (y0 – 4)2 = 25 Û y02 – 8y0 + 7 = 0 ị y0 = 7 hoặc y0 = 1.
	Vậy cú hai đường trũn thoả món là: (C): (x – 2)2 + ( y – 7)2 = 49
	(x – 2)2 + ( y – 1)2 =1
Bài 3: Đại học, Cao đẳng khối D năm 2006.
	Trong mặt phẳng toạ độ cho đường trũn (C): x2 + y2-2x -2y + 1 = 0
và đường thẳng d: x – y + 3 = 0. tỡm toạ độ M ẻ d sao cho đường trũn tõm M cú bỏn kớnh gấp đụi bỏn kớnh của đường trũn (C) và tiếp xỳc ngoài với (C).
Giải: (C) cú tõm I(1;1) và bỏn kớnh R = 1. Gọi M(x ; y) ẻ d ị M(x; x+3). bỏn kớnh đường trũn tõm M phải bằng 2. Để đường trũn này tiếp xỳc ngoài với nhau thỡ IM = 3 ị IM2 = 9
	Giải điều kiện này ta được M(1;4) hoặc M (-2;1).
Bài 4: Đại học, Cao đẳng khối B năm 2006.
	Trong mặt phẳng toạ độ cho đường trũn (C): x2 + y2-2x -6y + 6 = 0 và điểm M(3;1). Gọi T1, là cỏc tiếp điểm của cỏc tiếp tuyến kẻ từ M độn (C). Viết phương trỡnh đường thẳng T1 T2.
	Giải: (C) cú tõm I(1; 3) bỏn kớnh R = 2. 
	Giả sử T1(x1; y1) và T2(x2;y2) là cỏc tiếp điểm của cỏc tiếp tuyến MT1 và MT2.
	Phương trỡnh tiếp tuyến MT1 cú dạng: (x – 1)(x1 – 1) + (y – 3)(y1 – 3) = 4
	Phương trỡnh tiếp tuyến MT2 cú dạng: (x – 1)(x2 – 1) + (y – 3)(y2 – 3) = 4
	Do hai tiếp tuyến đều đi qua điểm M(-3;1) ị 
ị (x1; y1), (x2; y2) thoả món phương trỡnh: 4( 1- x) + 2( 3 – y) = 4 Û 2x + y – 3 = 0.
Đõy chớnh là phương trỡnh đường thẳng cần tỡm.
Nhận xột: Trong cỏch giải trờn khụng hề tớnh tới tiếp điểm, nhưng đũi hỏi phải thuộc cụng thức phương trỡnh tiếp tuyến với đường trũn tại một điểm M thuộc đường trũn.
Với bài toỏn này ta cú cỏch giải khỏc như sau: 
Dựa vào điểm M(-3; 1) và đường trũn cú tõm I( 1; 3) và bỏn kớnh R = 2 nờn thấy ngay đường thẳng y = 1 là một tiếp tuyến của đường trũn qua M ị tiếp điểm T2 (1;1). Tiếp điểm T1 đối xứng với T2 qua đường MI nờn nằm trờn đường thẳng đi qua T2 và vuụng gúc với MI ị phương trỡnh T1 T2 là: 2x + y – 3 = 0.
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm A(8; 0), B(0;6), C(9; 3). Chứng minh ABC là tam giỏc vuụng và viết phương trỡnh đường trũn nội, ngoại tiếp tam giỏc.
Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ viết phương trỡnh đường trũn qua A(2;4) và tiếp xỳc với đường trũn: (C): x2 + y2-2x -4y + 4= 0
Đỏp số: x = 2 và 3x – 4y + 10 = 0.
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ cho đuờng trũn (C): (x – 1)2 + (y – 3)2 = 9 và đường thẳng d: x – 3y – 1 = 0.
	1/ Tỡm điểm A, B là giao của d với (C).
	2/ Tỡm C để tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng và nội tiếp trong (C).
Đỏp số: 1/ A(1;0), B(-4/5; -3/5)
	2/ C(14/5; -27/5) hoặc C(1;-6)
Bài 4: Cho đuờng trũn (C) x2 + y2-2x +6y + 6 = 0. Viết phương trỡnh tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ.
Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A(1; 2), B(4; 1) và đường thẳng (d): 2x – y – 5 = 0. Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm nằm trờn đường thẳng d và qua A, B.
	Đỏp số: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25.
Bài 6: Ba đường thẳng d: x – 2y + 8 = 0, d: 2x – y + 4 = 0, d : y = 0 tạo thành tam giỏc ABC.
	1/Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC.
	2/ Viết phương trỡnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC.
	Đỏp số: 1/ (x+5)2 + (y-4)2 = 25
	2/ (x+5-)2 + (y+1-)2 = (-1)2
Bài 7: Cho hai đường trũn (C) : x2 + y2-x -6y + 8 = 0và (C) : x2 + y2-2mx -1 = 0 
	Tỡm m để (C) tiếp xỳc với (C). Núi rừ loại tiếp xỳc.
	Đỏp số: (C) tiếp xỳc ngoài với (C): m = 2 hoặc m = -11/2.
	- Khụng cú tiếp xỳc trong.
Bài 8: Cú bao nhiờu tiếp tuyến chung với hai đường trũn (C1) và (C2) sau:
	(C1): x2 + y2-4x -6y + 8 = 0
	(C2): x2 + y2-16x + 44 = 0
	Đỏp số: (C1) tiếp xỳc ngoài với (C2) nờn cú 3 tiếp tuyến chung.
Bài 9 : Cho hai họ đường thẳng phụ thuộc tham số m: d: mx – y – m = 0, d': x + my + 5 = 0.
	Chứng minh rằng khi m thay đổi giao điểm I của hai đường thẳng nằm trờn một đường trũn.
Đỏp số: I nằm trờn đường trũn: (x – 3)2 + y2 = 4
Bài 10: Cho đường trũn (C): x2 + y2-2x -4y + 3 = 0 lập phương trỡnh đường trũn (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x – 2 = 0.
	Đỏp số: (x-3)2 + (y-2)2 = 2