Giáo án dạy thêm lớp 10 Toán

Vấn đề 1
Phương pháp véc tơ
A. Lý thuyết 
 - Quy tắc 3 điểm 
Cho 3 điểm A,B,C bất kỳ ta có
 (Chèn giữa)
 (Chèn gốc)
 (Chèn ngọn)
 - Quy tắc hình bình hành
 Cho hbh ABCD
 - Quy tắc trung điểm
 Cho đoạn thẳng AB I là trung điểm AB ó 
 Và M bất kỳ
 - Quy tắc trọng tâm
Cho tam giác ABC G là trọng tâm tam giác ó 
 Và M bất kỳ
 - Tích véc tơ với một số 
 ó cùng phương
 cùng hướng khi k > 0 ngược hướng khi k < 0
 không cùng phương thì tồn tại 1 cặp x,y sao cho với mọi 
 - M chia AB theo tỉ số k 
Cho điểm A,B,M nếu thì A,B,M thẳng hàng với |k| = 
 Và nếu k > 0 thì M nằm ngoài AB 
 Nếu k < 0 thì A nằm trong AB
 Nếu k = -1 thì M là trung điểm
Với điểm O bất kỳ (M,A,B thẳng hàng ) 
Chú ý : thì A trùng B
B. Bài tập ứng dụng 
Dạng 1. Chứng minh dẳng thức véc tơ, tìm điểm thoã mãn đẳng thức 
Bài 1 : Cho 4 điểm A,B,C,D bất kỳ I,J lần lượt là trung điểm của Ab và CD
a) Chứng minh rằng 
b)Xác định điểm O sao cho 
c) M là điểm bất kỳ CMR 
Bài 2: Cho tam giác ABCvà A’,B’,C’ lần lượt là trung điểm BC,CA,AB với mọi M 
 chứng minh rằng 
 Có nhận xét gì về trọng tâm 2 tam giác trên
Bài 3: Cho tam giác ABC , G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G
a) CMR : và 
b) Gọi M là trung điểm BC CMR 
c)Tìm điểm N sao cho 
BL : a) G là trung điểm HB ó 
 Gọi M là trung điểm BC 
Thay vào ta có điều phải chứng minh
 CMTT 
b) M là trung điểm BC ta có thay vào ta có đpcm
BTVN: 1)Cho 2 điểm phân biệt A,B tìm điểm K sao cho 
 2) Cho tam giác ABC . H là điểm đối xứng với trọng tâm G qua B 
 a) Chứng minh rằng 
 b) CMR , 
Dạng 2 Chứng Minh 3 điểm thẳng hàng , đồng quy
Chú ý : Nếu Thì AB, CD có chung trung điểm 
 thì A,B,C thẳng hàng 
Bài 1: Cho tam giác ABC , I,J là 2 điểm xác định bởi 
 , 
 CMR I, J , B thẳng hàng
HD: Ta CM - ó => I , J , B thẳng hàng
Bài 2
Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ và I,J,K,L,M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB, BC, CD, DA,AC,BD . CMR các đoạn thẳng IK, JL,MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 
HD: M là trung điểm AC : 
 N là trung điểm AD : 
=> 
 I là trung điểm AB : 
 K là trung điểm CD : 
=> 
TTự : . 
Từ đó ta có AM + AN = AI + AK =ẠJ+ AK => ĐPCM
Bài 3 : Cho tam giác ABCD gọi O,H,G ,I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp , trực tâm , trọng tâm , tâm đương tròn đi qua trung điểm 3 cạnh 
 a) Chứng minh 
 b) CMR H, G ,O thẳng hàng , ( HG = 2 GO )
 c) CMR H, G, O, I thẳng hàng 
Bài tập về nhà :
Cho tam giác ABC có trọng tâm G , O là điểm tuỳ ý , Gọi M, N , P lần lượt là các điểm đx với O qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB 
CMR AM, BN , CP đồng quy tại H
 CMR O , H , G thẳng hàng 
HD: a) Trong tam giác ABC và OMN có Ị là đường trung bình nên
 và => ABMN là hình bình hành nên AM, BN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 
Tương tự AM cắt CP tại trung điểm mỗi đường => chùng đồng quy tại H
Vì I là trung điểm BC nên => 
 G là trọng tâm ta có => 3 điểm thẳng hàng
Dạng 3 Tìm tập hợp điểm thoã mãn đặng thức véc tơ 
Phương pháp : 
Nếu là hệ thức véc tơ thì ta biến đổi đưa về dạng : trong đó k là số thực thay đổi ; ; là véc tơ không đổi . Như vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A // với giá của 
Nếu là hệ thức về độ dài của tổng véc tơ thì rút gọn tổng đó đưa về dạng || = l với A có định , l là độ dài cho sẵn 
Chú ý : Nếu , A có định thì M trùng A
 Nếu MA = MB ( A,B cố định ) thì M thuộc đường trung trực của AB
 Nếu MA = k ( k > 0 , A cố định thì tập hợp M là đường tròn tâm A 
 bán kính R = k
Bài 1 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoã mãn các trường hợp sau 
a) HD Vì A khác B nên không tồn tại M để => tập rỗng 
b) : HDGọi G là trọng tâm thì M trùng G
c) | 
HD : Gọi E , F lần lượt là trung điểm AB và AC ta có và 
 => ME = MF => Tập hợp M là đường trung trực của EF
Bài 2 : Cho tam giác ABC và số thực không âm l tìm tập hợp M sao cho 
HD : l = 0 M trùng G
 l > 0 tập hợp M là đường tròn tâm G bán kính R = l/3
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A 
M là điểm bất kỳ trong tam giác có hình chiếu xuống BC,CA,AB theo thứ tự D,E,F 
a) Tìm tập hợp các điểm M biết rằng | cùng phương với 
b) Tìm tập hợp M biết 
HD : 
a)Ta có = gọi I là trung điểm AD 
 ta có = 2 Để cùng phương với thì cùng phương với => MI //BC mà I là trung điểm của PQ với PQ là đường trung bình của tam giác ABC => M thuộc PQ nên tập hợp M là đoạn PQ ( M nằm tromg tam giác 
b) Dựng đường cao AH cắt MI tại M’ Thì AM’DM là hình bình hành nên ta có 
 = nếu thì MA = MM’ = M’D
=> M thuộc trung trực của AM’
Mặt khác MA = MM’ = M’D
hai tam giác cân AMM’ và MM’B bằng nhau , gọi L là trung điểm AM’
AL = 1/2AM = 1/2LH => AL = 1/3 AH hay LH = 2/3 AH Nên quỹ tích của M là đoạn thẳng PQ song song và cách BC một khoảng bằng 2/3 AH
Bài tập về nhà 
Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M sao cho 
a) t là số thực thay đổi 
 b) 
Dạng 4 . Bài toán về tâm tị cự 
Bài toán 1: Cho 2 điểm A,B và 2 số thực x,y sao cho x + y # 0
1)Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm I sao cho : x + y = 0 
2) chứng minh rằng với mọi M ta có x + y = (x + y ) 
HD: 1)Từ x + y = 0 ó ó => có duy nhất 1 I
 2) Từ 1 suy ra 
Chú ý : +) x + y = 0 gọi là tâm tị cự của 2 điểm với bộ hai số (x,y)
 x = y # 0 thì I là trung điểm AB
 x # 0 , y = 0 thì I trùng A
 +) x + y = (x + y ) nếu x = y thì + = 2 
 x + y = (x + y ) là công thức mở rộng của + = 2 
Bài toán 2 Cho 3 điểm A,B,C và 3 số thực x, y , z sao cho x + y + z # 0
 1) CMR tồn tại duy nhất 1 điểm I sao cho x + y + z = 0
 2) CMR với mọi M ta có x + y + z = (x + y + z) 
HD: 1) x + y + z = x + y( + z() = 0
 ó = => I duy nhất 
 2) CMTT BT1
 Chú ý : Điểm I ở trên gọi là tâm tị cự
Nếu A,B,C không thẳng hàng và x = y = z # 0 thì I trùng với trọng tâm G 
Nếu x = y = 0 , z # 0 thì I trùng C
Nếu x = y # 0 , z = 0 Thì I là trung điểm AB
x + y + z = (x + y + z) nếu x = y = z # 0 thì nó là biểu thức 
 + + = 3 
Bài 1: Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M sao cho 
 HD là đường tròn tâm I bán kính AB/2
Bài 2 : Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c ,CMR tâm đường tròn nội tiếp I là tâm tị cự của 3 đỉnh A,B,C với bộ 3 số a,b,c
HD : Vẽ HBH IB’CA’ ta có IC = IA’ + IB’ (1)
Theo ta lét A,C/IB = CC1/BC1 ( C1 ,B1 là chân đường phân giác hạ từ A và B)
Hay IB’/IB = CC1/BC1
Theo định lý đường phân giác trong ta có 
CC1/BC1 = AC/AB = b/c
=> IB’ + b/cIB => = -b/c(4)
Tương tự ta có = -a/c(5)
Thay 4,5 vào 1 ta có a + b + c = 0 ĐPCM
Vấn đề 2:HÀM SỐ
I.Kiến thức cơ bản
Cho hàm số y = f(x)
1. TXĐ: D = { x R| y tồn tại} là các giá trị làm cho f(x) có nghĩa 
2. TGT I = { y R| x tồn tại } là các giá trị của hàm số đạt được tại những x D làm cho hàm số có nghĩa 
3. Sự biến thiên Với mọi x1 , x2 D 
 > 0 hàm số đồng biến 
 < 0 hàm số nghịc biến 
4. Tính chẵn lẻ, tính đối xứng 
 +)Hàm số y = f(x) lẻ ó D là tập đối xứng với xD => -x D và f(-x) = - f(x)
+)Hàm số y = f(x) chẵn ó D là tập đối xứng với xD => -x D và f(-x) = f(x)
5. Đồ thị 
Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua Oy, Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua O
II. Bài tập
A. Tập xác định 
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số 
a) y = b) y = c) y = 
HD: a) D = R\(-1;1)
 b) D = R vì x2 – x + 1 > 0 với mọi x
 c) D = R vì |x-2| + |x2+ 2x| = 0 vô nghiệm 
Bài tập về nhà 
Tìm tập xác định của cá hàm số sau 
a) y = b) y = tuỳ theo m
B. Tập giá trị của hàm số 
Phương pháp 
+) Điều kiện có nghiệm của phương trình 
+) Dùng bất đẳng thức 
+) Dùng bảng biến thiên
Phương pháp 1 . Điều kiện có nghiệm của phương trình xem y là tham số 
Bài tập 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau
a) y = x2 – 2x + 1 b) y = c) y = 
HD: a) TGT I = [0; +)
 b) y = ó x2 - yx+ 1 – y = 0 ( x 1)
 Phương trình này có nghiệm ó 
 ĐS: (-; -2 - 2) U ( - 2 + 2; +)
 c) I = [2/11;2]
BTVN : tìm giá trị NN của hàm số y = (x – 1)(x – 5)(x – 6)(x – 2)
 Tìm giá trị LN của hàn số y = x2 + 2x + 3 
Phương pháp 2 : Dùng bất đẳng thức 
VD :Tìm giá trị NN của hàm số f(x) = x2 + ( x 0)
 Tìm giá trị NN của hàm số f(x) = x3 + ( x (0 ; +)
HD a) Áp dụng cô si cho 2 số x2 và 3/x2
 GTNN củ f(x) = 2 khi x = 
 b) f(x) = x3 + x3 + + + Áp dụng cốsi cho 2 số x3 và 
 Dấu bằng xảy ra khi x3 = 
GTNN của hàm số là 5 khi x = 
C. Tính chẵn lẻ của hàm số 
Bài tập Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau 
f(x) = x10 – x8 + x6 – x4 + x2 - |x| + 1 – 1/x2 + 1/x4
f(x) = 
f(x) = 
 f(x) = 
HD: a) chẵn , b) lẻ , c chẵn , d chẵn
D. Điểm cố định
Bài toán : Cho họ đường cong Cm y = f(x,m) (*) m là tham số Tìm các điểm cố định mà họ đường cong đi qua 
 Nếu pt (*) có nghiệm với mọi m hay mọi đường cong của họ luôn đi qua M khi đó M là điểm cố định của họ Cm
PP tìm 
B1 : Gọi (x0;y0) là điểm cố định , Biến đổi phương trình đồ thị về phương trình theo
 m và xem x0 ,y0 là tham số 
B2: Cho tất cả các hệ số bằng 0
B3: Giải hệ này để tìm x, y 
B4 : KL ( Hệ có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu điểm cố định )
VD1: Cho hàm số y = mx2 + 3(m + 1)x + 2m + 5 
Tìm điểm cố định mà họ đồ thị luôn đi qua
ĐS: (-1;2) và (-2;-1)
VD2 : Cho hàm số y = x3 – 3(m+ 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) có đồ thi (Cm) 
a)Chứng minh rằng khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua một điểm cố định 
b) Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1
ĐS: a) (2;0)
 b) hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình 
 x3 – 3(m+ 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) = 0 
Vì đồ thị luôn đi qua điểm (2;0) nên phương trình (1) có nghiệm x = 2
Ta có (1) ó (x – 2)[x2 – (3m+1)x + 2m(m+ 1) ] = 0 ó x = 2 v x = m + 1v x = 2m
Để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoàng độ lớn hơn 1 thì 
m+ 1> 1 và 2m > 1 và m + 1 # 2 , 2m # 2 ó m > ½ và m # 1
 VD3: Cho hàm số y = 
ĐS: (0 ; 2)
BTVN . 
Cho hàm số : y = (m+ 3)x3 – 3(m+ 3)x2 - 6(m + 1)x + m + 1 ( m là tham số )
Chứng minh rằng đồ thị luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng 
E. Tương giao:
Cho 2 hàm số y = f(x) , y = g(x) Tìm mối tương giao giữa chúng 
PP1 Dùng đồ thị 
PP2 : Dùng nghiệm của phương trình 
 Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x)
 Phương trình có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu điểm chung 
VD 1 : Cho pẩbol y = -x2 + 4x – 3 
 a)Vẽ parabol
 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình -x2 + 4x – 4 + 2m = 0
 ) Tìm m để đường thẳng (d): y = 3m cắt parabol tại hai điểm phân biệt A, B 
 sao cho AB = 4
HD vì y = 3m là đường thẳng song song với Ox nên AB = |xA – xB| 
ĐS: x = 0 , x = 4 
VD2 : Cho đồ thị ( C) của hàm số 
 y= Tìm m để dường thẳng (d) : y = mx cắt đồ thị ( C) tại 3 điểm phân biêt 
HD : TXĐ : D = R
 Phương trình hoành độ giao điểm của d và C là = mx
 x[mx2 + (m – 1)x – 2m ] = 0
 suy ra x = 0 hoặc mx2 + (m – 1)x – 2m = 0
Muốn có 3 nghiệm phân biệt thì mx2 + (m – 1)x – 2m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thoã mãn khác 0,-2,1 
ĐS: m # 0
VD3 : Cho hàm số y = x3 – 3x + 12 có đồ thị (C)
 Tìm m để đường thẳng (d) : đi qua M (3;20) có hệ số góc m cắt đồ thị (C ) tại 3 điểm phân biệt 
HD : Phương trình đường thẳng d : y = m(x – 3) + 20 
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình (x – 3) ( x2 + 3x + 6 – m) = 0
Để (d) cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi đa thức f(x) = x2 + 3x + 6 – m có 2 nghiệm phân biệt khác 3 
ó > 0 và f(3) # 0 ó m > 15/4 và m # 24
VD: Cho hàm số y = có đồ thi (C ) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2
HD: ĐT y = m cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A(x1,m) , B(x2;m) ó = m có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 # 1 ó > 0 ó m ½
Mặt khác AB = 2 ó | x1 – x2| = 2 ( Dùng vi ét )
AB2 = 4 ó (x1 – x2)2 = 4 => 4m2 + 4m – 7 = 0 ó m = (nhận ) 
m = (loại)