Giáo án phụ đạo Toán 10

Ebook4Me.Net 
1 
PHẦN 1 HÀM SỐ BẬC NHẤT y ax b  
I. Kiến thức cơ bản: 
 1. Hàm số  0y ax b a   : 
 - Tập xác định D R . 
 - Hàm số y ax b  đồng biến trên 0R a  
 - Hàm số y ax b  nghịch biến trên 0R a  
 - Đồ thị là đường thẳng qua  0; , ;0
b
A b B
a
 
 
 
. 
 2. Hàm số hằng y b : 
 - Tập xác định D R . 
 - Đồ thị hàm số y b là đường thẳng song song với trục hoành Ox và đi qua  0;A b . 
3. Hàm số y x : 
- Tập xác định D R . 
- Hàm số y x là hàm số chẵn. 
- Hàm số đồng biến trên  0; . 
- Hàm số nghịch biến trên  ;0 . 
 4. Định lý:   :d y ax b  và  ' : ' 'd y a x b  
-  d song song  'd  'a a và 'b b . 
-  d trùng  'd  'a a và 'b b . 
-  d cắt  'd  'a a . 
Bài tập ví dụ: 
1) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ: 2y x ; 2 2y x  ; 3y x   ; 2y  
 Hàm số 2y x Hàm số 2 2y x  Hàm số 3y x   
 Cho 0 0x y   ,  0;0O cho 0 2x y    ,  0; 2B  cho 0 3x y   ,  0;3D 
 Cho 1 2x y   ,  1;2A cho 1 0x y   ,  1;0C cho 1 2x y   ,  1;2A 
 Hàm số 2y  là đường thẳng song song với trục hoànhOx và đi qua điểm  0; 2E 
(Học sinh tự vẽ hình) 
2) Tìm a,b để đồ thị hàm số y ax b  đi qua hai điểm  2;1A và  1;3B  . 
Giải: Vì đồ thị hàm số y ax b  đi qua hai điểm  2;1A và  1; 4B  nên ta có hệ phương trình
2 1
4
a b
a b
 

  
 Giải hệ ta được 1a   và 3b  . Vậy hàm số cần tìm là 3y x   . 
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số bậc nhất: tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị 
hai hàm số bậc nhất sau đây 2 1y x  và 3 2y x  . 
Giải: Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ 
2 1 2 1 3 2 1
3 2 3 2 1
y x x x x
y x y x y
       
   
      
 . 
Vậy giao điểm cần tìm là điểm  1;1M 
4) Tìm a,b để đường thẳng y ax b  đi qua  1;1M  và song song với đường thẳng 3 2y x  
Giải: Vì đường thẳng y ax b  song song với đường thẳng 3 2y x  nên ta có 3a  . 
Ebook4Me.Net 
2 
 Vì y ax b  đi qua  1;1M  nên ta có 1 1.a b   , thế 3a  ta tìm được 4b  
 Vậy đường thẳng cần tìm là 3 4y x  . 
5) Vẽ đồ thị hàm số cho bởi nhiều công thức: 
Vẽ đồ thị hàm số  
1, khi 1
2 , khi 1
x x
y f x
x x
 
  
 
Với 1x  ta có 1y x  Với 1x  ta có 2y x  
Cho 1 2x y   ,  1;2A cho 0 2x y   ,  0; 2C 
Cho 2 3x y   ,  2;3B cho 1 3x y    ,  1;3D  
BÀI TẬP 
1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ: 2 ; 2 ; 2 3 ; 2y x y x y x y      . 
2. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
 a) 
1, khi 0
2 , khi 0
x x
y
x x
 
 
 
 b) 
3 1, khi 1
1, khi 1
x x
y
x x
  
 
   
 c) 
2 4, khi 2
4 2 , khi 2
x x
y
x x
 
 
 
 d) 
2, khi 1
2 1, khi 1
x x
y
x x
  
 
 
 e) 1y x  f) 2 3y x  g) 1y x  h) 1 2y x   
3. Tìm m để các hàm số: 
 a)  1 3y m x   đồng biến trên R . b)  2 3 6y m x   nghịch biến trên R . 
 c)  1 3 2y m x x m    tăng trên R . d)  2 3 2y m x x m    giảm trên R . 
4. Tìm a,b để đồ thị hàm số y ax b  : 
 a) Đi qua hai điểm  1; 3A  và  2;3B . c) Đi qua điểm  2; 1M  và song song với 
3y x  
 b) Đi qua gốc tọa độ và  2;1A . d) Đi qua gốc tọa độ và song song với 
2 2009y x  
5. Tìm m để: 
a) Đồ thị hàm số 3 5y x  cắt đồ thị hàm số  2 5y m x   . 
Ebook4Me.Net 
3 
b) Đồ thị hàm số 2 2y x  song song với đồ thị hàm số  2 1 2y m x m   . 
 c) Đồ thị hàm số 2y x  trùng với đồ thị hàm số 2 2y m x m  . 
6. Tìm tọa độ giao điểm nếu có của đồ thị hai ham số: 
 a) 3 1y x  và 1y x  b) 3 1y x  và 1y x  c) 5 6y x  và 6y x  
7. Tìm m để đồ thị của ba hàm số sau đồng quy (cùng đi qua một điểm): 
 a) 2y x và 3y x   và 1y mx  
 b) 1y x  và 3y x  và 2 3 2y m x m   
 c) 2y x  và 3y x m   và  2 5y m x   
8. Cho hàm số  1 2y m x   
 a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số trên luôn đi qua một điểm cố định với mọi m . 
 b) Tìm 0m  để đồ thị hàm số  1 2y m x   cắt ,Ox Oy tại hai điểm ,A B sao cho OAB cân tại O. 
PHẦN 2 
Hµm sè bËc hai - mét sè d¹ng to¸n liªn quan 
 
D¹ng 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ 
Bµi 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: 
 a)y= x2- 6x+ 3 b)y= x2- 4x+ 3 c)y= -x2 + 5x- 4 
 d) y= 3x2+ 7x+ 2 e) y= -x2- 2x+ 4 
Bµi 2. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: 
 a) 2y x 4x 3   b) 2y x 4x 3   c) 2y x 4 x 3   
 d) 2y x 4 x 3   e) 2y x 4x 3   
Bµi 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè: 
 a) y = x2 -5x + 7 trªn ®o¹n [-2;5] b) y = -2x2 + x -3 trªn ®o¹n [1;3] 
 c) y = -3x2 - x + 4 trªn ®o¹n [-2;3] d) y = x2 + 3x -5 trªn ®o¹n [-4; -1] 
Bµi 4. T×m m ®Ó c¸c bÊt ph­¬ng tr×nh sau ®óng víi mäi gi¸ trÞ cña m: 
 a) x2 - 3x + 1 > m b) -x2 +2x - 1 > 4m c) 22x x 1 2m 1    
Ebook4Me.Net 
4 
 d) 23x x 3 3m    e)     x 1 x 2 x 3 x 4 m     f) 2 2x 2x 1 m m    
 g)      x 3 x 5 x 2 x 4 3m 1      
D¹ng 2. LËp ph­¬ng tr×nh cña parabol khi biÕt c¸c yÕu tè cña nã 
Bµi 5. X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh c¸c parabol: 
a) y= x2+ ax+ b ®i qua S(0; 1) 
b) y= ax2+ x+ b ®i qua S(1; -1) 
c) y= ax2+ bx- 2 ®i qua S(1; 2) 
d) y= ax2+ bx+ c ®i qua ba ®iÓm A(1; -1), B(2; 3), C(-1; -3) 
e) y= ax2+ bx+ c c¾t trôc hoµnh t¹i x1= 2vµ x2= 3, c¾t trôc tung t¹i: y= 6 
f) y= ax2+ bx+ c ®i qua hai ®iÓm m(2; -7), N(-5; 0) vµ cã trôc ®èi xøng x= -2 
g) y= ax2+ bx+ c ®¹t cùc tiÓu b»ng –6 t¹i x= -3 vµ qua ®iÓm E(1; -2) 
h) y= ax2+ bx+ c ®¹t cùc ®¹i b»ng 7 t¹i x= 2 vµ qua ®iÓm F(-1; -2) 
i) y= ax2+ bx+ c qua S(-2; 4) vµ A(0; 6) 
Bµi 6. T×m parabol y=ax2+ bx+ 2 biÕt r»ng parabol ®ã: 
 a) §i qua hai ®iÓm A(1; 5) vµ B(-2; 8) b)C¾t trôc hoµnh t¹i x1= 1 vµ x2= 2 
 c) §i qua ®iÓm C(1; -1) vµ cã trôc ®èi xøng x= 2 d)§¹t cùc tiÓu b»ng 3/2 t¹i x= -1 
 e) §¹t cùc ®¹i b»ng 3 t¹i x= 1 
Bµi 7. T×m parabol y= ax2+ 6x+ c biÕt r»ng parabol ®ã 
 a) §i qua hai ®iÓm A(1; -2) vµ B(-1; -10) b)C¾t trôc hoµnh t¹i x1= -2 vµ x2= -4 
 c) §i qua ®iÓm C(2; 5) vµ cã trôc ®èi xøng x= 1 d)§¹t cùc tiÓu b»ng -1 t¹i x= -1 
 e) §¹t cùc ®¹i b»ng 2 t¹i x= 3 
Bµi 8. LËp ph­¬ng tr×nh cña (P) y = ax2 + bx + c biÕt (P) ®i qua A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi ®­êng 
th¼ng (d) y = 5x +1 t¹i ®iÓm M cã hoµnh ®é x = 1 
D¹ng 3. Sù t­¬ng giao cña parabol vµ ®­êng th¼ng 
Bµi 9. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña c¸c hµm sè sau: 
 a) y= x- 1 vµ y= x2- 2x- 1 b) y=-x+ 3 vµ y= -x2- 4x +1 
 c) y= 2x- 5 vµ y=x2- 4x+ 4 d) y= 2x+ 1 vµ y=x2- x- 2 
 e) y= 3x- 2 vµ y= -x2- 3x+ 1 f) y= -
4
1
x+ 3 vµ y= 
2
1
x2+ 4x+ 3 
 Bµi 10. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña c¸c hµm sè sau: 
 a) y= 2x2+3x+ 2 vµ y= -x2+ x- 1 b) y= 4x2- 8x+ 4 vµ y= -2x2+ 4x- 2 
 c) y= 3x2+ 10x+ 7 vµ y= -4x2+ 3x+ 1 d)y= x2- 6x+ 8 vµ y= 4x2- 5x+ 3 
 e)y= -x2+ 6x- 9 vµ y= -x2+ 2x+ 3 f) y= x2- 4 vµ y= -x2+ 4 
Bµi 11 BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng (d) víi parabol (P) 
Ebook4Me.Net 
5 
a) (d): y= mx- 1 vµ (P): y= x2- 3x+ 2 
b) (d): y= x- 3m+ 2 vµ (P): y= x2- x 
c) (d): y= (m- 1)x+ 3 vµ (P): y= -x2+ 2x+ 3 
d) (d): y= 5x+ 2m+ 5 vµ (P): y= 5x2+ 3x- 7 
Bµi 12. Cho hä (Pm) y = mx
2 + 2(m-1)x + 3(m-1) víi m0. H·y viÕt ph­¬ng tr×nh cña parabol 
thuéc hä (Pm) tiÕp xóc víi Ox. 
Bµi 13Cho hä (Pm) y = x
2 + (2m+1)x + m2 – 1. Chøng minh r»ng víi mäi m ®å thÞ (Pm) lu«n c¾t 
®­êng th¼ng y = x t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm ®ã b»ng h»ng sè. 
D¹ng 4. Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña Parabol 
Bµi 14. ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (P) y = x2 - 2x +4 biÕt tiÕp tuyÕn: 
a) TiÕp ®iÓm lµ M(2;4) b) TiÕp tuyÕn song song víi ®­êng th¼ng (d1) y = -2x + 1 
c) TiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(1:2) d) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi (d2) y = 3x + 2 
Bµi 15. ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (P) y = -2x2 + 3x -1 biÕt tiÕp tuyÕn: 
a) TiÕp ®iÓm lµ M(-1;3) b) TiÕp tuyÕn song song víi ®­êng th¼ng (d1) y = 3x -2 
c) TiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(-3:2) d) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi (d2) y = -3x -1 
D¹ng 5. §iÓm ®Æc biÖt cña Parabol 
Bµi 16. T×m ®iÓm cè ®Þnh cña (Pm): y = mx
2 + 2(m-2)x - 3m +1. 
Bµi 17. T×m ®iÓm cè ®Þnh cña (Pm): y = (m+1)x
2 - 3(m+1)x - 2m -1 
Bµi 18. T×m ®iÓm cè ®Þnh cña (Pm): y = (m
2 - 1)x2 - 3(m+1)x - m2 -3m + 2 
D¹ng 6. QuÜ tÝch ®iÓm 
Bµi 19. T×m quÜ tÝch ®Ønh cña (Pm) y = x
2 - mx + m 
Bµi 20. T×m quÜ tÝch ®Ønh cña (Pm) y = x
2 - (2m+1)x + m-1 
Bµi 21. Cho (P) y = x2 
a) T×m quü tÝch c¸c ®iÓm mµ tõ ®ã cã thÓ kÎ ®­îc ®óng hai tiÕp tuyÕn tíi (P). 
b) T×m quü tÝch tÊt c¶ c¸c ®iÓm mµ tõ ®ã ta cã thÓ kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn tíi (P) vµ hai tiÕp tuyÕn 
®ã vu«ng gãc víi nhau. 
 D¹ng 7. Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm liªn quan ®Õn parabol 
Bµi 22. Cho (P) 
2x
y
4
  vµ ®iÓm M(0;-2). Gäi (d) lµ ®­êng th¼ng qua M cã hÖ sè gãc k 
a) Chøng tá víi mäi m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. 
b) T×m k ®Ó AB ng¾n nhÊt. 
Bµi 23. Cho (P) y = x2, lÊy hai ®iÓm thuéc (P) lµ A(-1;1) vµ B(3;9) vµ M lµ mét ®iÓm thuéc cung 
AB. T×m to¹ ®é cña M ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c AMB lµ lín nhÊt. 
Bµi 24. Cho hµm sè y = x2 +(2m+1)x + m2 - 1 cã ®å thÞ (P). 
Ebook4Me.Net 
6 
a) Chøng minh r»ng víi mäi m, ®å thÞ (P) lu«n c¾t ®­êng th¼ng y = x t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt vµ 
kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm nµy kh«ng ®æi. 
b) Chøng minh r»ng víi mäi m, (P) lu«n tiÕp xóc víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh. T×m ph­¬ng tr×nh 
®­êng th¼ng ®ã. 
Bµi 25. Cho (P) 2y 2x x 3   . Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm di ®éng trªn (P) sao cho AB=4. T×m quÜ 
tÝch trung ®iÓm I cña AB. 
D¹ng 8. øng dông cña ®å thÞ trong gi¶i ph­¬ng tr×nh, bpt 
Bµi 26. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 
a) x2 + 2x + 1 = m b) x2 -3x + 2 + 5m = 0 c) - x2 + 5x -6 - 3m = 0 
Bµi 27. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 
a) 2x 5x 6 3m 1    b) 2x 4 x 3 2m 3     c) 22x x 4m 3 0    
Bµi 28. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:    
2
2 2x 2x 4 x 2x 5 m     
Bµi 29. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã 4 nghiÖm ph©n biÖt: 2x x 2 4m 3    
Bµi 30. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã 3 nghiÖm ph©n biÖt: 2x x 2 5 2m     
Bµi 31. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña ( ) 4 3 2y f x x 4x x 10x 3      trªn ®o¹n [-1;4] 
Bµi 32. Cho x, y, z thay ®æi tho¶ m·n x2 + y2 + z2 = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña P= x + 
y + z + xy + yz + zx 
Bµi 33. T×m m ®Ó bÊt ®¼ng thøc 2 2x 2x 1 m 0    tho¶ m·n víi mäi x thuéc ®o¹n [1;2]. 
PHẦN III 
Ebook4Me.Net 
7 
Ph­¬ng tr×nh bËc hai & hÖ thøc Vi-Ðt 
Bµi tËp 1 : §Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh 
 2 ( 1) 5 20 0x m m x m     
 Cã mét nghiÖm x = - 5 . T×m nghiÖm kia. 
Bµi tËp 2 : Cho ph­¬ng tr×nh 
 2 3 0x mx   (1) 
a) §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt. 
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm b»ng 1? T×m nghiÖm kia. 
Bµi tËp 3 : Cho ph­¬ng tr×nh 
 2 8 5 0x x m    (1) 
a) §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt. 
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm gÊp 3 lÇn nghiÖm kia?  ... 
4 5 0
x x
x
x
x x
x x
 
   
   

   
Phương trình và bất phương trình có chứa trị tuyệt đối: 
1) 2 5 4 4x x x    2) 2 22 8 1x x x    3) 2 5 1 1 0x x    
4) 31 1x x x    5) 2 1 2 0x x   6) 1 4 2 1x x   
7) 2 23 2 2x x x x    8) 2 5 7 4x x   9) 
2
2
4
1
2
x x
x x


 
10) 
2
2
5 4
1
4
x x
x
 


 11) 
2 5
1 0
3
x
x

 

 12) 
2
2
3
5 6
x
x x


 
Ebook4Me.Net 
29 
13) 
2
2
x x
x
 
 14) 2
2
2
1x
x
  15) 
2
2
4 3
1
5
x x
x x
 

 
16) 2 3 3x x   17) 
 
2 1 1
2
2
x x
x x
  


 18) 2 4 2x x x    
19) 3 1 2x x    20) 
2
2
2 4
1
2
x x
x x
 

 
 21) 1 3x x x x    
22) 
2 6
2
2
x x
x
x
 


 23) 2 1 5x x    24) 1 2x x x    
Phương trình và bất phương trình có chứa căn : 
1) 2 2 4 2x x x    2) 23 9 1 2x x x    3) 2 12 7x x x    
4) 221 4 3x x x    5) 21 2 3 5 0x x x     6) 
 2 1
2 1
2
x
x
x

 

7)
2 16 5
3
3 3
x
x
x x

  
 
 8) 2 8 12 4x x x     9) 
2 4 3
2
x x
x
  
 
10) 2 22 2 4 3x x x x     11)     21 2 3 4x x x x     12) 2 23 12 3x x x x    
13)     26 2 32 34 48x x x x     14)   23 6 3x x x x    
15)    24 1 3 5 2 6x x x x      16) 2 24 6 2 8 12x x x x     
17)   22 1 1 1x x x x     18) 2 23 5 7 3 5 2 1x x x x      19)   2 22 4 4x x x    
20) 
 2
2
3 4 9
2 3
3 3
x
x
x

 

 21)   2 23 4 9x x x    22) 
2
2
9 4
3 2
5 1
x
x
x

 

23) 6 3 34 4 2x x x    24) 3 4 1 8 6 1 1x x x x        
25)   26 9 6 9 1x x x x      26) 1 2 3x x x     27) 
4 1 3
1 4 2
x x
x x

 

28) 
1 1 1
1
x
x
x x x

    
* tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: 
1) 2 3 4 8y x x x     2) 
2 1
2 1 2
x x
y
x x
 

  
 3) 
2 2
1 1
7 5 2 5
y
x x x x
 
   
4) 2 5 14 3y x x x     5) 
2
3 3
1
2 15
x
y
x x

 
  
Các dạng toán có chứa tham số: 
Bài1: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương: 
a) 2 4 5x x m   b)  2 2 8 1x m x m    c)  
22 4 2x x m   
d)    23 1 3 1 4m x m x m     e)      21 2 1 3 2m x m x m     
Bài 2: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm: 
a)    24 1 2 1m x m x m     b)   22 5 4m x x   c) 2 12 5mx x  
Ebook4Me.Net 
30 
d)  2 24 1 1x m x m     e) 2 22 2 2 1x m x m    f)    22 2 3 1m x m x m     
Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x: 
a)    21 2 1 3 3 0m x m x m      b)    2 24 5 2 1 2 0m m x m x      
c) 
 
2
2
8 20
0
2 1 9 4
x x
mx m x m
 

   
 d) 
   
2
2
3 5 4
0
4 1 2 1
x x
m x m x m
 

    
Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình: 
a)  2 2 1 9 5 0x m x m     có hai nghiệm âm phân biệt 
b)   22 2 3 0m x mx m     có hai nghiệm dương phân biệt. 
c)   25 3 1 0m x mx m     có hai nghiệm trái dấu 
Bài 5: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình : 
 4 2 21 2 1 0x m x m     
a) vô nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm phân biệt 
Bài 6 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:   4 2 21 1 0m x mx m     có ba nghiệm phân biệt 
Bài 7: Cho phương trình:    4 22 2 1 2 1 0m x m x m      . Tìm các giá trị của tham số m để pt trên có: 
a) Một nghiệm b) Hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm 
Bài 8: Xác định các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: 
a) 
2
2
1
1
2 2 3
x mx
x x
 

 
 b) 
2
2
2 4
4 6
1
x mx
x x
 
  
  
 c) 
2
2
5
1 7
2 3 2
x x m
x x
 
  
 
Bài 9: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau vô nghiệm: 
2 10 16 0
3 1
x x
mx m
   

 
Bài 10: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: 
a) 
 
2 2 15 0
1 3
x x
m x
   

 
 b) 
 
2 3 4 0
1 2 0
x x
m x
   

  
PHƯƠNG TRÌNH, BPT VÔ TỶ 
Bài 1. Giải các pt sau: 
1) x 1 8 3x 1    22) x 2 4 2-xx   
23) 3x 9 1 x-2x   24) 3x 9 1 x-2x   
5) 3x 7- x 1 2   2 26) x 5 x 8 4 5x x      
Bài 2. Giải các bpt sau: 
21) x 12 7-xx   22) 21-4x-x x 3  
23) 1-x 2x 3 5 0x    24) x 3 10 x-2x   
25) 3 -x 6 2(2x-1) 0x    26) 3x 13 4 2-x 0x    
7) x 3- 7-x 2x-8  8) 2x 3 x 2 1    
29) 2x x 1 x 1    10) 2-x 7-x - -3-2x  
11) 11-x- x-1 2 
4
12) - 2-x 2 
2-x
 
2x 16 5
13) x-3
3 x-3x

 

 14) 1-4x 2x 1  
Ebook4Me.Net 
31 
2
1 3 1 1
16) -
x 4 x 2
  
2
1 1 4 3
17) - 
x 2 x 4
  
18) 33 3x 5 x 6 2x 11     19) 3 33x 1 3x 1 2x 1     
20) 3 3 3x 1 x 2 x 3 0      21) 3 31 x 1- x 2    
23)   2 2x 3 x 4 x 9    24) 2 2x 4x 3 2x 3x 1 x 1       
25) 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7        
26) 2 2 2x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4        
27) 
1
3 x x 1
2
    28) 3x +1 2x -3 
29) 2 2x - 4x +3 < 2x - 10x + 11 30) 2x - x - 1 3 - x 
31) 4 - 1 - x > 2 - x 32) x + 3 < 1 - x 
33) 2x + x - 6 < x - 1 34) 25x + 61x < 4x + 2 
35) 2x - 1 2x - 3 36) 2x + 6x + 8 2x + 3 
37) 2x - 4x - 12 x - 4 38) x - 3. x + 1 +3 > 0 
39) 2x - 3x - 10 < x - 2 40) 2x - 16 2x - 7 
41) 22x - 1 > 1 - x 42) 2x - 5x - 14 2x - 1 
43) 2x - x - 12 x- 1 44) 2x - 4x - 12 2 3x  
45) 2-x - 8x-12 > x + 4 46) 2-x + 6x- 5 > 8 - 2x 
47) 2x + 4x - 5 > x 48) 2 2(x - x) > x - 2 
49)  4 2x 2 1 > 1 - xx 50) 2x - 3x + 2 > 2x - 5 
51) 2x - 4x + 5 +2x 3 52) (x + 1)(4 - x) > x - 2 
53) 2-x +6x-5 > 8-2x 54) 22x - 6x + 1 - x + 2 > 0 
55) 
2- x + 4x-3
2
x
 56) 
2
2x-4
> 1
x - 3x- 10
57) 
x + 5
< 1
1-x
 58) 
251- 2x-x
< 1
1-x
59) 
2
1 1
>
2x - 12x + 3x - 5
 60) 
21 - 1 - 4x
 < 3
x
61) 
28 - 2x - x
> 1
x + 2
 62) x - 1 - x - 2 > x-3 
63) 3x + 4 + x - 3 4x + 9 64) 5x - 1 - 3x - 2 - x - 1 > 0 
65) x + 3 2x - 8 + 7 - x 66) x + 5 - x + 4 > x +3 
67) 5x - 1 - x - 1 > 2x - 4 68) 2 24 - x + 1- x < 2 
Ebook4Me.Net 
32 
69) 4 2 4 2 2x +x -1 + x -x +1 2x 70) x+3 - x-1< x-2 
71) x+1 - x-1 x 72) 5x+1 - 4x-1 3 x 
73) x+1 > 3- x+4 74) x+2 - 3-x< 5-2x 
75) 2 2 2x +x+1+ x - x+1 2x +6x+2 76) 6x + 1 - 2x + 3 < 8x - 4x + 2 
77) x + x + 9 x + 1 + x + 4 78) 3 3 12 - x + 14 + x 2 
79) 3 3 4 - x + x + 8 2 80) 2x 1 - x < 0 
81) 
2
2
9x - 4
0
5x - 1
 82)   22x - 5 2x - 5x + 2 0 
83) 2 2(x - 4x + 3) x - 4 >0 84) 
2
(x-1)
x(x + 2) 0
(x-2)
 
85) 2 2(x - 3x) 2x - 3x - 2 0 86) 2 2( 2) x + 4 x - 4x   
87) 
2
2
3(4x -9)
2x +3
3x - 3
 88) 2 2(x - 3) x + 4 x -9 
89) 
2
2
9x - 4
3x+2
5x - 1
 90) 2 2x(x - 4) 4x - x 4 - (2 - x) 
91) 
2x
 - 3x - 2 1 - x
3x - 2
 92) 
2
2 2
2
x
x - x - 4+ 4-x
2 - 4-x
 
93) 
x+3
4x+1 - 3x-2
5
 94) 
2
2 2
2
x
3x - 2x +1 - 25 - x
5 + 25 - x
95) 2
2
40
x + x +16
x +16
 96) 2 23x +5x+7 - 3x +5x+2 >1 
97) 
2
2
4x
 < 2x + 9
(1 - 1 + 2x )
 98) 
2x
> 2x + 2
2x + 1 - 1
99) 2 24(x + 1) < (2x + 10)(1 - 3 + 2x) 100) 
2
2
2x
x + 21
(3 - 9 + 2x )
 
101) 
2
2
x
 > x - 4
(1 + 1 + x )
 102) 2 29(x + 1) (3x + 7)(1 - 3x + 4) 
103) (x-1) 2x - 1 3(x-1) 104) 
2x
> 2x + 2
2x + 1 - 1
105) 
2
2
x
 > x - 4
(1 + 1 + x )
 106) 
2
2
4x
 < 2x + 9
(1 - 1 + 2x )
107) 
2
2
2x
x + 21
(3 - 9 + 2x )
 108) 2 24(x + 1) < (2x + 10)(1 - 3 + 2x) 
109) 2 2x + 4x (x + 4) x - 2x + 4 110) 2 29(x + 1) (3x + 7)(1 - 3x + 4) 
Ebook4Me.Net 
33 
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: 
Bài 1. Giải các pt sau: 
2 21) 3x 5 8- 3x 5 1 1x x     2 22) x 9- x 7 2   
21 x 21 21
3) 
x21 x 21
x
x
  

  
 2 2 24) 3x 6 16 2 2 x 2 4 x x x x       
5)  (x 5)(x-2) 3 x x 3 0    6) 2(x 1)(x 4) 5 x 5 28x     
7) 2 23x 5 7- 3x 5 2 1x x     8) 2(x 4)(x 1)-3 x 5 2 6 x     
9)    24 4 x 2 x x 2x 8      10) 2 22x x 5x 6 10x 15     
11) 2 22x 4x 3 3 2x x 1     12) 26 (x - 2)(x - 32) x - 34x+48 
13) 2x(x + 3) 6 - x - 3x 14) 2(x +4)(x +1) - 3 x +5x+2<6 
15) 2 2x - 4x - 6 2x - 8x+12 16) 22x(x-1) +1 > x - x+1 
17) 2(x +1)(x +4) < 5 x +5x+28 18) 2 2x + 2x + 5 4 2x + 4x+3 
19) 2 22x + x -5x -6 >10x+15 20) 
4x x-1 3
 - >
x-1 4x 2
21) 
x x+1
- 2 >3
x+1 x
 22) 4 
6x 12x 12x
 - - 2. 0
x-2 x-2 x-2
23) 3 6x-2 x-2 x-2+2. + -4 0
x+1 x+1 x+1
 24) 
5 1
5 x+ < 2x+ +4
2x2 x
25) 
2 1
4 x+ < 2x+ +2
2xx
 26) 
3 1
3 x+ < 2x+ -7
2x2 x
27) 3x > 1 + x-1 28) 3 2(x + 1) + (x + 1) + 3x x+1 > 0 
29) x - 1 + x + 3 + 2 (x - 1)(x + 3) > 4 - 2x 30) 2 2x + 1- x x. 1- x 
31) x + 5 + -x - 3 < 1 + (x + 5)(-x - 3) 32) 
2
x 35
x+ >
12x -1
33) 27x+7 + 7x-6 + 2 49x +7x- 42 <181-14x 34) 
2
2x
x+ >3 5
x -4
35) 22x + x + x + 7 + 2 x + 7x 35 36) 
2 2
1 3x
+1>
1-x 1-x
37) 2 2 2x - 4x + 6 + x - 4x + 8 2x - 8x + 32 38) 
2
2 2
2 2
5a
2(x+ x +a )
x +a
 
39) 2 2x -1 2x x +2x 40) 2 2x -1 2x x -2x 
41) 2x-1 x( x-1 - x ) + x - x 42) 
2 2
1 3x
 + 1 > 
1 - x 1 - x
43) 3 3(4x - 1) x +1 2x + 2x + 1 44) 22x +12x +6 - 2x -1 > x +2 
45) x - 1 + x + 3 + 2 (x - 1)(x + 3) > 4 - 2x 46) 22x - 6x + 8 - x x - 2 
47) x + 5 + -x - 3 < 1 + (x + 5)(-x - 3) 48) 3 2 2x - 2x + x x x + x - 2x 
Ebook4Me.Net 
34 
49) 27x+7 + 7x-6 +2 49x +7x-42 <181-14x 50) 22x -10x+16 - x-1 x-3 
51)  42 3x -2+ x+2 3 (3x -2)(x+2) 52) 
21 x+1 (x+1)
x- + < 2x-1+
2 4 8
53) 2 2x + 1- x x. 1- x 54) 
2
1 1
2+
x1- x
 
55) 
2
x 3 5
x + 
2x - 1
 56) 2 5 5(1 - x ) + 1x  
57) 
2
2x
x + > 3 5
x - 4
 58) 
2
2 2
2 2
5a
2(x + x + a ) (a 0)
x + a
  
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ: 
1) x+1 + 2x+3 > 5 2) x+9 + 2x+4 > 5 
3) 2x+1 > 7 - x 4) 31 - x < x + 5 
5) 2 3x + 1 1 - 2x + x - x 6) 2 2x - 2x + 3 - x - 6x + 11 > 3 - x - x - 1 
7) 2x + x - 1 1 8) 2x - 1 + x - 1 (x + 1)(3 - x) 
9) 2 2 2 23x - 7x + 3 + x - 3x + 4 > x - 2 + 3x - 5x - 1 
PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ: 
 (Đánh giá bằng BĐT): 
1) 2 2x + x - 1 + x - x +1 x+1 2)
2x
1 + x + 1 - x 2 + 
4
 3 
3) 2 2x - x -1+ x + x -1 2 4) 1 + x - 1 - x x 
5) 2 22x + 4 + 2 2 - x 2 6 6) 22x - 10x + 16 - x - 1 x - 3 
7) 2 4 22 x - x + x + 1 - x 1 + 2 8) x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1 2 
9) 2 2 4 3 2(2x - 3x + 1) - 4x - 20x + 25x < 2x + 1 10) 3 2 3x - 2 2 - x 
11) 
x x 2
 - > 
1 - x + x 1 - x - x x
 (Đánh giá bằng đạo hàm): 
 1) 5 5(1 -x) + (1 +x) 4 2 2) 
2x
1 + x + 1 - x 2 - 
4
 
3) 
3 2002
3x +1 + 2x +4 < 3 - x
189
 4) 3 22x + 3x + 6x + 16 > 2 3 + 4 - x 
5) 2 2 3
23
x + (1 - x )
27
