Giáo án Toán Đại số Lớp 10 - Chương IV, Bài 1: Bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC
I. Các kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b () là một bất đẳng thức
2. Các tính chất
a. Bắc cầu: 
b. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: 
Hệ quả 1: 
c. Cộng, trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều được bđt cùng chiều với bđt đã cho
 ( lưu ý: không có tính chất trừ vế với vế )
d. Nhân cả hai vế của bddt với cùng một số
 Hệ quả: 
e. Trừ từng vế của bđt ngược chiều: 
f. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm: 
g. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: 
- 	- 
- 
h. Lấy căn
Hệ quả: 
i. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bđt nếu hai vế cùng dấu
- 
- 
II. Các hằng đẳng thức
1. 2. 
3. 4. 
5. 
III. Các bổ đề hay sử dụng
1. 2. 
3. 4. 
5. 
IV. Các dạng toán
Dạng 1: Dùng định nghĩa và các phép biến đổi tương đương
- Để chứng minh: ta xét A – B và chứng minh 
Bài 1: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: 
Lời giải
Dấu “ = ” xảy ra 
Bài 2: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: 
Lời giải
Dấu “ = ” xảy ra 
Bài 3: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Bài 4: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 
Lời giải
Xét hiệu: 
Bài 5: Chứng minh rằng: với a, b, c > 0
Lời giải
Xét hiệu: 
Bài 6: Chứng minh rằng nếu thì 
Lời giải
Xét hiệu: 
Bài 7: Chứng minh rằng nếu ta luôn có: 
Lời giải
Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương
- Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh là đúng
- Nếu , với C < D luôn đúng
Bài 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực, CMR:
a. 	 b. 
c. 	 d. 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
d. 
Bài 2: Cho ba số thỏa mãn: abc = 1 và 
a. Chứng minh rằng: 	 
b. Chứng minh răng luôn tồn tại 1 trong ba số a, b, c nhỏ hơn 1
Lời giải
a. Ta có: 
và 
Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh
b. Giả sử tồn tại cả ba số a, b, c lớn hơn 1 ( mâu thuẫn với giả thiết )
Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1.
Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: 
Lời giải
Bài 4: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Tương tự: . Vậy 
Lại có: 
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: 
Bài 5: [ Vào 10, ĐHSP TPHCM năm 2007 – 2008 ].
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Bài 6: [ Vào 10 Thanh Hóa, năm 2007 – 2008 ].
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Bài 7: [ HSG – 1994 - 1995 ]
Chứng minh rằng với mọi số thực ta có 
Lời giải
Bài 8: [ Chuyên An Giang năm 2010 - 2011 ]
Cho 
Lời giải
Do 
Đặt 
Bài 9: [ Vào 10 chuyên KHTN, ĐHQGHN, năm 2000 – 2001 ]
Cho hai số thực 
Lời giải
Bài 10: [ Lớp 9 ]
Cho các số thực a,b. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
- Ta có: 
Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu )
- - 
- 
Bài 1: Cho a, b, c > 0. CMR: 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức dạng: ( tự chứng minh bđt)
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được: 
Bài 2: Cho a, b, c > 0. CMR: 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức dạng: 
Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta được: 
Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức: 
Ta được: 
Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: Tìm GTLN của 
Lời giải
Cách 1: 
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: 
Tương tự: 
Cộng ba vế của bất đẳng thức ta được: 
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức: 
Bài 6: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm GTNN: 
Lời giải
Lại có: 
Cộng theo vế ba bất đẳng thức: 
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Lại có: Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh.
Bài 2: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta được đpcm
Bài 3: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Dạng 4: Dùng các bất đẳng thức phụ
- - 
- - 
- - 
Bài 1: Cho hai số a và b thỏa mãn: a + b = 1. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Từ: 
Lại có: 
Từ (1)(2) 
Bài 2: Cho a + b > 1 . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Từ 
Có tiếp: 
Bài 3: Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Áp dụng: 
Bài 4: Cho a, b, c, d, > 0 và abcd = 1. CMR: 
Lời giải
Ta có: 
Từ : 
Có: 
Vậy 
Lại có: 
Bài 5: Cho . CMR: 
Lời giải
Lại có: 
Bài 6: Cho . CMR: 
Lời giải
Ta có: 
Bài 7: Cho . CMR: 
Lời giải
Có: 
Lại có: 
Bài 8: Cho . 
a. CMR: 	 b. 
Lời giải
a. Ta có: 
b. Theo chứng minh trên: 
Bài 9: Cho thỏa mãn: . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Áp dụng ta được: 
Mà: 
Bài 10: Cho thỏa mãn: . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Áp dụng ta có: 
Tương tự: 
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
Bài 11: Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Chứng minh: 
Áp dụng: 
Cộng vế các bất đẳng thức thức ta được điều phải chứng minh.
Bài 12: Cho . Tìm GTNN: 
Lời giải
Ta có: 
Thật vậy 
Hoặc: 
Áp dụng: 
Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: 
Bài 13: Cho . Tìm GTNN: 
Lời giải
 . mà: 
Áp dụng: 
Tương tự ta có: 
DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
- Muốn chứng minh bất đẳng thức đúng, ta giả sử là sai, tức là A < B là đúng
- Sau đó chứng minh A < B là sai là đúng
Bài 1: Cho . CMR: 
Lời giải
Giả sử , bình phương hai vế ta được: 
Mặt khác ta lại có: 
Mà 
Điều này mâu thuẫn với (1) nên 
Bài 2: Với mọi số thực a, b, c hãy chứng tỏ: . 
Lời giải
Giả sử: 
Vậy điều giả sử là sai 
Bài 3: Cho: . 
Giả sử 
Bài 4: Cho các số thực có ít nhất 1 trong ba bất đẳng thức sau là sai
Lời giải
Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng, nhân chúng với nhau theo vế, ta được:
Mặt khác, do nên a và 
Tương tự: 
Do đó: ( mâu thuẫn ). Vậy ta có đpcm
Bài 5: [ Chuyên Thái Bình: năm 2007 – 2008 ] 
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: 
Lời giải
Giả sử khi đó: 
Kết hợp với gỉa thiết: ( mâu thuẫn )
Bài 6: [ Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa: năm 2007 – 2008 ] 
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: 
Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều dương
Lời giải
Giả sử ba số a, b, c có 1 số không dương. Không mất tính tổng quát, ta giả sử: 
Mà lại có: 
Lại có: 
Từ giả thiết thứ hai: ab + bc + ca > 0, ta có: 
Vì thế abc < 0 ( mâu thuẫn ). Đpcm
Bài 7: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau. CMR: Tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn 
Lời giải
Giả sử: 
Theo đầu bài: a, b, c đôi một khác nhau nên: 
Từ (1)(2) ta thấy mâu thuẫn nên đpcm.
Bài 8: [ Chuyên HCM năm 2006 – 200 7 ] . 
Cho hai số dương x, y thỏa mãn: 
Lời giải
Do x, y dương 
Giả sử: 
 do 
Do đó (*) không thể xảy ra 
Bài 9: Cho cặp số (x; y) thỏa mãn các điều kiện sau: 
Lời giải
Ta đi chứng minh: 
Giả sử , khi đó 
+) 
+) 
Do đó nếu . Mà ( mâu thuẫn với 2) 
Ta đi chứng minh ( tương tự chứng minh ) 
Bài 10: [ Olympic Toán Ireland năm 1997 ]
Cho 
Lời giải
+) Nếu 1 trong ba số bằng 0 thì bất đẳng thức được chứng minh
Ta xét: a, b, c > 0
Giả sử ngược lại: 
Tương tự ta có: 
Lại có: 
Từ (1)(2) ( mâu thuẫn với giả thiết ) nên điều giả sử là sai
Bài 11: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng có ít nhất hai trong số các bất đẳng thức sau đúng: 
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
Ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng: 
Giả sử có ít nhất 2 trong 3 bất đẳng thức sau là sai, chẳng hạn: 
Cộng vế hai bất đẳng thức: 
Từ giả thiết: 
Bài 12: Cho bốn số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bđt sau là sai: 
Lời giải
Giả sử hai bđt trên đều đúng 
Theo giả thiết: