Giáo án tự chọn 10 cơ bản môn Toán

 B
A 
 C
 D 
 M
 N
CHƯƠNG 1: VÉC TƠ
.cùng phương cng hướng.
.cùng phương ngược hướng
§1.CÁC ĐỊNH NGHĨA
1. Véc tơ :
+ Định nghĩa: 
+ Ký hiệu: chỉ véc tơ có : 
+ Véc tơ : Là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
	. 
	. 
	. Véc tơ có độ dài bằng 0 và có phương bất kỳ. 
2. Véc tơ cùng phương:
3. Véc tơ bằng nhau: 
 a) Định nghĩa: 	
 A B
D C 
	Ký hiệu: 
*Nếu ABCD là hình bình hành thì: 
 Đảo lại có đúng không? 	
 	b) Tính chất: . 
	 . 
 . và 
	HĐ1: Các khẳng định sau đây có đúng không? Giải thích?
Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương.
Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác thì cùng phương.
Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng.
Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác thì cùng hướng.
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau.
	HĐ2 :Cho trung tuyến AD, BE, CF. Hãy chỉ ra các bộ ba véc tơ khác và đôi một bằng nhau ( các véc tơ này có điểm đầu và điểm cuối được lấy trong sáu điểm A, B, C, D, E, F)
Nếu G là trọng tâm thì có thể viết hay không? Vì sao?
HĐ3: Cho và điểm O bất kỳ. Hãy xác định A sao cho . Có bao nhiêu điểm A như vậy?
§2. TỔNG CỦA CÁC VECTƠ.
1.Định nghĩa:
B
A
C
... 
Ký hiệu: 
2.Tính chất:
 a) = 
b) = 
 c) 
 d) 
3.Quy tắc cần nhớ:
 a) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có: ..
 b) Quy tắc hình bình hành: Trong hình bình hành ABCD, ta có:
..
..
..
..
..
HĐ1: Vẽ , rồi xác định các véc tơ tổng sau
a) a)=
b) =
HĐ 2: Vẽ hình bình hành ABCD với tâm O. Hãy viết vectơ dưới dạng tổng của hai vectơ mà các điểm đầu mút của chúng được lấy trong năm điểm A, B, C, D, O
HĐ 3: Cho 2 vectơ . Hãy dựng và so sánh hai vectơ: và . 
HĐ 4: Cho 3 vectơ Hãy dựng Tìm và so sánh hai vectơ: và . 
Bài toán 1:CMR với 4 điểm bất kỳA, B, C, D ta có: 
Bài toán 2: a) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của véc tơ tổng: 
	b) Cho , vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. CMR: 
Bài toán 3: a) Gọi M là trung điểm đoạn AB. CMR: 
b)Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, CMR : 
Bài toán 4: các hệ thức sau đúng hay sai? ( với mọi )
	a); b) ; c) 
Bài toán 5: ( B 12/14 SGK) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm 0.
Xác định điểm M, N, P sao cho: 
 ; 
Chứng minh rằng: 
§3. HIỆU CỦA HAI VECTƠ.
 B
A
 C
 D 
1.Véc tơ đối của một vectơ:
 a) Định nghĩa:
.
Ký hiệu:
 b) Tính chất: . 
 . I là trung điểm AB 
 . 
 A 
O 
 B 
. Véc tơ đối của là: 
2. Hiệu của hai vectơ:
 a) Định nghĩa:
Hỏi: Giải thích vì sao ta có 
 b) Quy tắc ba điểm: 
HĐ1: Cho hình bình hành ABCD , tâm O.
 a) Tìm các véc tơ đối của ; 
 A B
 D C 
 b) Tìm các cặp véc tơ đối nhau mà có điểm đầu là O và điểm cuối là cácđỉnh của hbh đó.
HĐ2: Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, D. Dùng quy tắc về hiệu vec tơ. CMR: 
§4 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MÔT SỐ.
1.Định nghĩa: 
 . 
..
..
..
..
Quy ước: 
Vd: SGK/19
2. Tính chất:
 a).. 
b) 
c)  
d) .
HĐ1:a) Nếu K là trung điểm AB thì:
b) G là trọng tâm và AM là trung tuyến thì: 
c) Trên đoạn BC lấy I sao cho: 
IB thì 
HĐ2: Vẽ hbh ABCD 
 a) Xác định điểm E sao cho 
 b) Xác định điểm F sao cho 
HĐ3: Vẽ với và 
 a) Xác định điểm A’ sao cho 
 điểm C’ sao cho 
 b) Có nhận xét gì về hai vectơ: và 
 Bài toán 1: Chứng minh rằng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với M bất kỳ, ta có: 
 Bài toán 2: Cho trọng tâm G . CMR với M bất kỳ ta có: 
3. Điều kiện để 2 vectơ cùng phương:
 *
 * Ba điểm A, B, C thẳng hàng cùng phương hay 
4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương:
 Định lý: Cho hai vectơ không cùng phương . Khi đó mọi vectơ đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ , nghĩa là có duy nhất cặp số m, n sao cho 
Btoán: Cho có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
 a) I là trung điểm BC. CMR: 
..
..
 b) Chứng minh: 
 c)CMR: O, G, H thẳng hàng.( Đường thẳng qua O, G, H gọi là đường thẳng Ơle.)
§5. TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
I. Trục tọa độ:
1) Định nghĩa:	
 0 I x 
 2) Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm trên trục:
  Cho nằm trên trục . Khi thì : 
  Cho M nằm trên trục . Khi thì : 
3. Độ dài đại số của vectơ trên trục:
w A, B nằm trên trục 0x thì tọa độ của vectơ được ký hiệu là và gọi là độ dài đại số của vectơ trên trục 0x. Ta có:. .
w Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi: 
O
y
 x
w Hệ thức Sa-lơ: ( Quy tắc 3 điểm)
II. Hệ trục tọa độ:
.
.
.
III. Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ:
Nhận xét: 
IV. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ:
1. Tổng quát: Cho . Khi đó:
2. Ví dụ: VD1: Cho 
	a) Hãy biểu thị các vectơ qua hai vectơ .
b) Tìm tọa độ của các vectơ: 
VD2: Tìm cặp vectơ cùng phương:
	a)	b) 
	c) 	d) 
V.Tọa độ của điểm:
1) Định nghĩa: 	
M
H
y
x
K
O
Nhận xét: 
2) Tọa độ = 
3) Tọa độ trung điểm M của đoạn AB:
4) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
 	 	 	 ..
	 ..
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ 0xy, cho các điểm A(2 ; 0), B(0 ; 4), C(1 ; 3).
Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ
1. Định nghĩa:
y
x
0
M
Ví dụ 1: Tìm giá trị lượng giác của góc: 1350 ; 00 ; 1800 ; 900;
2. Dấu của các giá trị lượng giác:
	Góc
I ( 00<< 900)
II ( 900<< 1800)
Sin
Cos
Tan
cot
3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan:
	a) Hai góc bù nhau:
b) Hai góc phụ nhau:
4. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
Góc
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
Sin
Cos
Tan
Cot
5. Chú ý: Các hệ thức lượng giác cơ bản:
Ví dụ 2: a) Cho . Tính các giá trị lượng giác còn lại?
b) Chứng minh rằng: 
 + CMR: A = độc lập với x.
c) Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. 
CMR: 
§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Góc giữa hai vectơ:
O
A
B
A
B
C
500
 HĐ1: Cho vuông tại A, có góc B = 500. Tính các góc: 
2. Tích vô hướng của hai vectơ:
A
B
C
G
Ví dụ: : Cho đều có cạnh bằng a vàtrọng tâm G. Tính:
 ? Trong trường hợp nào thì 
 Bình phưong vô hướng:
3. Tính chất của tích vô hướng:
q) Định lý: 	
q) Các bài toán:
Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD:
CMR: 
A
B
C
D
Từ đó suy ra: Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là
tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau. 
Bài toán 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a và số k2 . 
Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 
Bài toán 3: Chohai vectơ 
Tổng quát: 	
Bài toán 4: Cho đường tròn tâm O và điểm M cố định. Một đường thẳng thay đổi, luôn đi qua M, cắt đường tròn tại hai điểm A và B. CMR: .
Chú ý: 	
4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
 a) Các hệ thức quan trọng:
b) Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm M(-2; 2) và N(4; 1) 
 1) Tìm trên 0x các điểm P cách đều hai điểm M, N.
 2) Tính 
Bài tập ôn
Cho ABC vuông tại A và BC = a, góc B = 600. Tính tích vô hướng .
Cho ABC vuông cân tại A và BC = a. Tính tích vô hướng .
Cho ABC, trên BC lấy 2 điểm E, F sao cho BE = EF = FC với 
Biểu thị .
Tính .
Tính .
Tính 
Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR: .
Cho ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi M, N là hai điểm sao cho 
. 	a) Biểu diễn 
	 	b) Tính . Suy ra độ dài cạnh MN.
 8) Cho ABC với AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 8cm.
	a) Tính giá trị góc B.
	b) Goi M, N là hai điểm sao cho . Tính độ dài MN.
	c) Tìm D trên AC sao cho BD ^ MN.
 9) Cho ABC có góc A = 1200 , AB = 3cm, AC = 5cm.
	a) Tính độ dài cạnh BC và trung tuyến BM.
	b) N là điểm sao cho Xác định k để AN ^ BM
 10) Cho 
	a) Tìm tọa độ .
	b) Tính .
	c) Tính độ dài trung tuyến AM của ABC.
 11) Cho 
	a) Tìm tính chất ABC suy ra tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC.
	b) Tính và .
 12) Cho 
	a) Tìmtrọng tâm G của ABC.
b) Tìm trực tâm H của ABC.
c) Tìm tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC. Và CMR: G, I, H thẳng hàng.
 13) Cho 
	a) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc A.
	b) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ABC.
 14) Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm BC. Kéo dài AB về phía B lấy G sao cho 
AB = BG. Kéo dài DC về phía C lấy F sao cho CF = CE.
CMR: .
CMR: DE ^ BF.
§3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Định lý côsin trong tam giác:
 A
 c b
 B a C
Hệ quả: 
 B
 30 
 600
 A 40 C
Ví dụ 1: ( Sgk trang 54)
Ví dụ 2: .
2. Định lý sin trong tam giác:
Ví dụ 3: ( Sgk trang 56)
 C
B 
 300
A H
15030’
Ví dụ 4: CMR: 
3. Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác:
 A
B M C
4. Diện tích tam giác:
 A
B H C
Ví dụ: 	
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
§1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
Phương trình tổng quát của đường thẳng:
Định nghĩa:	
b) Bài toán: Trong mp tọa độ, cho I(x0, y0) và vectơ là đường thẳng đi qua I và có vec tơ pháp tuyến là . Tìm điều kiện của x và y để M(x, y) nằm trên ?
M
0 x 
y
y
I
0 x 
Tổng quát:
Ví dụ: Cho cĩ A(-1;-1), B(-1; 3), C( 2; -4). 
Ø Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ B.
 Ø Viết phương trình tổng quát đường trung trực của AB.
d) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát: 
Ø	
o x 
y
 o x 
y
 o x 
y
 a o x 
y
b
Ø	
VD: Phương trình tổng quát của đường thẳng qua A(-2; 0) và B(0; 4) là: ..
Chú ý:
 o x 
y
 Ý nghỉa hình học của hệ số góc:	
Ví dụ: có hệ số góc là: 		 có hệ số góc là: 
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
..
§1. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
Vectơ chỉ phương của đương thẳng:
a) Định nghĩa: 
...
...
...
.... ...
 2. Phương trình tham số của đương thẳng:
y
Bài toán:
...
...
MO
...
IO
...
x
0
...
...
...
...
...
...
Ø Chú ý: ......
...
...
...
Ví dụ 3: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau đây:
 a) d đi qua A(1, 1) và song song với trục hoành.
...
...
...
...
...
 b) d đi qua B(2, -1) và song song với trục tung.
...
...
...
...
...
 c) d đi qua C(2, 1) và vuông góc với d’: 5x – 7y + 2 = 0. ...
...
...
...
...
...
...
...
 d) d đi qua D( 2, -3) và song song với d1: x – 3y + 2 = 0
...
...
...
...
...
...
...
 e) d đi qua hai điểm M(-4, 3) và N(1, -2)
...
...
...
...
...
...
...
§.3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
 y
0
x
M
1. Bài toán 1: Trong mp 0xy, cho . Hãy tính khoảng cách từ đến .
Giải: 
..
..
..
..
..
....
....
....
....
Tổng quát: ....
....
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ M đến trong mỗi trường hợp sau:
	a) 
....
	b) ....
 2. Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng:
Cho và điểm , không nằm trên . Khi đó:
....
....
Ví dụ 2: có và đường 
 Hãy xét xem d cắt cạnh nào của .
....
....
....
....
....
 3. Phương trình phân giác:
Bài toán 2: Cho v cắt nhau. CMR phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng đó có dạng:
Giải: ......
....
....
....
Ví dụ 3: Cho cĩ .Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.
Giải: ......
....
....
....
....
....
....
....
....
....
a
....
4. Góc giữa hai đường thẳng:
a) Định nghĩa: ....
b
....
....
Chú ý: - Góc giữa hai đường thẳng a, b được ký hiệu là: .
	- 
Ví dụ 4: Cho . Tìm véctơ chỉ phương của hai đường thẳng và tìm góc hợp bởi hai đường đó.
....
....
....
b) Công thức:
....
....
....
....
....
Ví dụ 5: 1) Tìm góc giữa hai đường thẳng và d:
a) ....
b) : x = 5 v d: 2x + y – 14 = 0 ....
c) ..
d) ..
y
§4. ĐƯỜNG TRÒN
1. Phương trình đường tròn:
 M
 y
y0
...
...
...
0 x0 x x
...
...
...
Ví dụ 1: Cho .
	a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
....
....
....
....
	b) Viết phương trình đường tròn đường kính AB.
....
....
....
....
	c) Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng 
....
....
....
....
2. Nhận dạng phương trình đường tròn:
....
....
....
....
....
....
Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm: 
....
....
....
....
....
....
....
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Ø Phương pháp: 
  Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M nhận làm véctơ pháp tuyến.
  Các dạng phương trình tiếp tuyến khác của đường tròn (C):
Viết dạng tổng quát của tiếp tuyến.
Dùng điều kiện tiếp xúc: 
Chú ý: + Tiếp tuyến qua A(x0; y0) có dạng: 
 +
 Ví dụ 3:
a) Cho đường tròn (C):.
 Chứng tỏ rằng M(4; 2) nằm trên (C) và viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M.
....
....
....
....
....
....
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua 
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 
....
....
....
....
....
....
....
§4. ELIP
1. Định nghĩa:
 F1 0 F2 x
y
M
2. Phương trình chính tắc của Elip:
Ví dụ 1: Cho .
Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm F1, F2 và đi qua I.
Khi M chạy trên Elip, Khoảng cách MF1 có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
 Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của Elip đi qua . Xác định tọa độ F1, F2 ?
 F1 0 F2 x
y
M
 3. Hình dạng của elip:
 A1
 -a
 A2
 a
 B2 b
 B1 -b
	a) Các yếu tố của elip:
Ví dụ: Viết PTCT của Elip (E) biết: a) Tiêu cự và độ dài trục lớn là 6.
 b) Tiêu cự và tâm sai 
	b) Elip và phép co đường tròn:
 o x
y
(C)
(E)
Bài toán: Trong mp tọa độ, cho đường tròn (C):và một số k (0 < k < 1).Với mỗi M(x;y) trên (C ) lấy M’(x’;y’) sao cho: x’ = x ; y’ = ky. Tìm tập hợp các điểm M’.
§5. ĐƯỜNG HYPEBOL
1. Định nghĩa đường hypebol:
y
2. Phương trình chính tắc của hypebol:
O x
3. Hình dạng của hypebol:
Ví dụ 1: Cho hypebol (H): 
Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và tính tâm sai, độ dài các trục của (H)
Ví dụ 2: Cho hypebol (H): . Lấy M(x0, y0) trên (H) với 
Chứng tỏ khoảng cách từ M đến tiệm cận bằng 
.	
§6. ĐƯỜNG PARABOL
1. Định nghĩa đường parabol:
y
2. Phương trình chính tắc của parabol:
 P O F x
Ví dụ 1: Viết phương trình chính tắc của parabol:
 a) Có tiêu điểm F( 2 ; 0 )	
 b) Đi qua điểm M(1 ; -2 )	
Ví dụ 2: Cho parabol có phương trình chính tắc: .
Tím tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của parabol.
Đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và vuông góc với trục đối xứng, d cắt (P) tại hai điểm A, B. Tính độ dài AB.
Chú ý: