Hình học 10 nâng cao - Ba đường cônic

Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
1
Ba đường cônic
Lý thuyết
I.Elíp
1)Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hằng số a>c.
Elíp (E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF 1+MF2= 2a.
 (E) = { M: MF1+MF2= 2a}
Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E).
 Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E).
2)Phương trình chính tắc của elip:
 (E): 12
2
2
2

b
y
a
x ( với b2 = a2- c2 )
3)Hình dạng và tính chất của (E):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)
 Tiêu điểm phải F2( c; 0)
*Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0); B1(0; - b); B2(0; b)
*Trục lớn : A1A2= 2a, nằm trên trục Ox
Trục nhỏ :B1B2= 2b, nằm trên trục Oy
 *Tâm sai : e =
a
c <1
 *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:
Bán kính qua tiêu điểm trái: MF 1= a + e.xM= a+
a
c xM
Bán kính qua tiêu điểm phải: MF 2= a - e.xM= a-
a
c xM
 *Đường chuẩn: x =
e
a
 *Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x =  a; y =  b ( Độ dài hai cạnh
là 2a và 2b)
 *Trục đối xứng: Ox; Oy
Tâm đối xứng: O
4)Tiếp tuyến của elip
Định nghĩa: Cho elip (E) và đường thẳng (d) .Đường thẳ ng (d) gọi là tiếp tuyến của
(E) nếu (d) có một điểm chung duy nhất với (H)
Định lý :Cho elip (E) có phương trình chính tắc:
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
2
 (E): 12
2
2
2

b
y
a
x với b2 = a2- c2
Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2  0) là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ
khi : A2a2+B2b2=C2
 ( gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh:
Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy
nhất





0
12
2
2
2
CByAx
b
y
a
x














0
1
22
C
b
yBb
a
xAa
b
y
a
x
(I)
Đặt X=
a
x , Y=
b
y ta có hệ:       



0
122
CYBbXAa
YX (II)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất
 Đường thẳng (d’): AaX+BbY+C=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X2+Y2=1
 Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1
 1
2222
 bBaA
C
 A2a2+B2b2=C2
Hệ quả: Cho elip (E) có phương trình chính tắc:
 (E): 12
2
2
2

b
y
a
x với b2 = a2- c2
Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (E) thì tiếp tuyến của (E) tại M có phương trình là (d):
1.. 22  b
yy
a
xx MM
Chứng minh
Do M thuộc (E) nên có : 12
2
2
2

b
y
a
x MM
Hiển nhiên M thuộc (d)
Ta có (d): 1.. 22  b
yy
a
xx MM  01.. 22  b
yy
a
xx MM
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
3
Theo điều kiện của định lý có :
2
2
2
2
2
2 bb
y
a
a
x MM 



 = 12
2
2
2

b
y
a
x MM
Vậy (d) là tiếp tuyến của (E) tại M
II.Hypebol
1.Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hằng số
a<c.Hypebol (H) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1-MF2 = 2a.
 (H) = { M:  MF1-MF2 = 2a}
Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E).
 Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E).
2.Phương trình chính tắc của hypebol:
 (H): 12
2
2
2

b
y
a
x ( với b2 = c2- a2 )
3.Hình dạng và tính chất của (H):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)
 Tiêu điểm phải F2( c; 0)
 *Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0)
 *Trục thực: A1A2= 2a, nằm trên trục Ox
Trục ảo: B1B2= 2b, nằm trên trục Oy
 *Tâm sai : e =
a
c >1
 *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:
Bán kính qua tiêu điểm trái: MF 1= a + e.xM = a+
a
c xM
Bán kính qua tiêu điểm phải: MF 2= a - e.xM = a-
a
c xM
*Đường chuẩn: x =
e
a
 *Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x=  a; y =  b ( Độ dài hai
cạnh là 2a và 2b)
 *Phương trình các đường tiệm cận: y =
a
b x
 * Trục đối xứng: Ox; Oy
Tâm đối xứng: O
4.Tiếp tuyến của hypebol
Định nghĩa:Cho hypebol (H) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
4
của (H) nếu (d) không song song với các đường tiệm cận của (H) và (d) có một
điểm chung duy nhất với (H)
Định lý :Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc:
 (H): 12
2
2
2

b
y
a
x với b2 = c2- a2
Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A 2+B2  0) là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ
khi :
 A2a2-B2b2=C20
 ( gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh:
Hai đường tiệm cận của (H) có phương trình là:
 y= x
a
b  bx  ay= 0
Điều kiện để (d) không song song với hai đườn g tiệm cận là:
b
B
a
A   A2b2- B2b2 0
 Đường thẳng (d) tiếp xúc với (H) khi A2b2- B2b2 0 (*)và hệ phương trình sau có
nghiệm duy nhất:
(I)





0
12
2
2
2
CByAx
b
y
a
x










0
1
22
CByAx
b
y
a
x










0
1
22
x
C
x
ByA
bx
ay
x
a














0
1
22
A
bx
ay
a
Bb
x
a
a
C
bx
ay
x
a
Đặt X=
x
a , Y=
bx
ay ta có hệ:
   
   




0
122
AY
a
BbX
a
C
YX
 (II)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất
 Đường thẳng (d’):
a
C X+
a
Bb Y+A=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X 2+Y2=1
 Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
5
 1
2
22
2
2


a
bB
a
C
A
 A2a2-B2b2=C2
Kết hợp với điều kiện (*) thì (d) là tiếp tuyến của(H) khi và chỉ khi
A2a2-B2b2=C20
Hệ quả: Cho (H) có phương trình chính tắc:
 (H): 12
2
2
2

b
y
a
x với b2 = a2- c2
Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (H) thì tiếp tuyến của (H) tại M có phương trình là (d):
1.. 22  b
yy
a
xx MM
Chứng minh
Do M thuộc (H) nên có : 12
2
2
2

b
y
a
x MM
Hiển nhiên M thuộc (d)
Ta có (d): 1.. 22  b
yy
a
xx MM  01.. 22  b
yy
a
xx MM
Theo điều kiện của định lý có :
2
2
2
2
2
2 bb
y
a
a
x MM 



 = 12
2
2
2

b
y
a
x MM
Vậy (d) là tiếp tuyến của (H) tại M
III. Parabol
1. Định nghĩa:Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định không đi qua
F.Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng .
(P) = { M: MF= d(M; )}
Ta gọi : F là tiêu điểm của (P).
Đường thẳng  là đường chuẩn của 
p= d(F; ) là tham số tiêu
2.Phương trình chính tắc của parabol:
 (P): y2= 2px
3.Hình dạng và tính chất của (E):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm F(
2
p ; 0)
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
6
*Phương trình đường chuẩn : x = -
2
p
*Đỉnh : O(0; 0)
*Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (P) là:
MF = d(M; ) = xM+ 2
p
*Trục đối xứng: Ox
4.Tiếp tuyến của parabol
Định nghĩa: Cho parabol (p) và đường thẳng (d) .Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến
của (P) nếu (d) không song song với trục đối xứng của (P) và (d) có một điểm
chung duy nhất với (P)
Định lý:Cho parabol (P) có phương trình chính tắc:
(P): y2= 2px
Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A 2+B2  0) là tiếp tuyến của (P) khi và chỉ
khi :
 pB2=2AC
 ( gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh:
Ta thấy trục 0x cắt (P) tại một điểm nhưng không là tiếp tuyến của (P)
Để (d) không song song với trục 0x thì A 0
Khi đó (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất
(I)




0
22
CByAx
pxy 






 
A
CBy
x
A
CBypy )1(22
 ( Do A 0)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất
 y2 +2p
A
B y + 2p
A
C = 0 có nghiệm duy nhất
 ’=
A
pC
A
Bp 2
2


 =0
 pB2=2AC ( thỏa mãn A0) (đpcm)
Hệ quả: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc:
 (P): y2= 2px
Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (P) thì tiếp tuyến của (P) tại M có phương trình là (d):y.yM= p(x+xM)
Chứng minh
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
7
 Vì M thuộc (P) nên
IV.Ba đường cônic
1.Định nghĩa:Cho điểm F cố định , một đường thẳng  cố định không đi qua F và
một số dương e. Cônic (C) là tập hợp các điểm M sao cho e
Md
MF );( .
 (C)=



  eMd
MFM );(:
 Ta gọi: F là tiêu điểm
 là đường chuẩn
 e là tâm sai
2.Nhận xét
*Cho elip (E) có phương trình chính tắc:
 (E): 12
2
2
2

b
y
a
x với b2 = a2- c2
Tâm sai e=
a
c <1
Đường chuẩn: 1: x = -
e
a ứng với tiêu điểm trái F1(- c; 0)
2: x =
e
a ứng với tiêu điểm phải F 2( c; 0)
Với mọi điểm M thuộc (E) thì: );( 1
1
Md
MF = );( 2
2
Md
MF = e
Vậy đường (E) là đường cônic với e< 1.
*Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc:
 (H): 12
2
2
2

b
y
a
x với b2 = c2- a2
Tâm sai e=
a
c >1
Đường chuẩn: 1: x = -
e
a ứng với tiêu điểm trái F 1(- c; 0)
2: x =
e
a ứng với tiêu điểm phải F 2( c; 0)
Với mọi điểm M thuộc (H) thì: );( 1
1
Md
MF = );( 2
2
Md
MF = e
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
8
Vậy đường (H) là đường cônic với e> 1.
*Cho parabol (P): y2= 2px
Tiêu điểm F(
2
p ; 0)
Phương trình đường chuẩn : x = -
2
p
Với mọi điểm M thuộc (P) thì: );( Md
MF = 1
Vậy đường (P) là đường cônic với e=1.
Một số dạng bài tập
Dạng 1. Xác định các yếu tố của (E),(H),(P) khi biết phương trình chính tắc
của chúng.
Phương pháp: Sử dụng các công thức xác định các yếu tố của (E) ,(H),(P).
Ví dụ 1. Cho elip (E) có phương trình 1
14
22
 yx
 Tìm tiêu điểm , tâm sai, đường chuẩn của (E)
Giải
Từ phương trình của (E)  a2= 4, b2=1c2=a2-b2=3.
Vậy a = 2, b = 1, c = 3
Khi đó : Tiêu điểm của (E) là F 1(- 3 ; 0), F2( 3 ; 0)
 Tâm sai của (E) là e=
2
3
a
c
 Đường chuẩn của (E) là x=
3
4
Ví dụ 2. Cho hypebol (H) có phương trình 1
54
22
 yx
 Tìm tiêu điểm , tâm sai, các đường tiệm cận của (H)
Giải
Từ phương trình chính tắc của (H) a2= 4, b2=5c2=a2+b2=9.
Vậy a = 2, b = 5 , c = 3
Khi đó : Tiêu điểm của (H) là F1(-3; 0), F2(3; 0)
Tâm sai của (H) là e=
2
3
a
c
 Đường tiệm cận của (H) là y=
2
5 x
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
9
Ví dụ 3. Cho parabol (P) có phương trình y 2= 4x
Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của (P).
Giải
Từ phương trình của (P)2p= 4p = 2
Ta có : Tiêu điểm của (P) là F(1; 0)
 Đường chuẩn của (P) là x = - 1
Dạng 2. Lập phương trình chính tắc của (E),(H),(P).
Phương pháp :Để lập phương trình chính tắc của (E)(H)(P) ta cần xác định các hệ
số a, b,p trong các phương trình đó.
Ví dụ 4.Lập phương trình chính tắc của elip (E) , biết (E) đi qua điểm M( 5 ; - 2)
và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 10.
Giải
Gọi phương trình chính tắc của (E) là: 12
2
2
2

b
y
a
x với b2=a2- c2
Phương trình đường chuẩn là: x =
e
a
 Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là
c
a
e
a 222  = 10
 a2= 5c
 a4=25 c2 a4=25(a2-b2)
 b2=a2-
25
4a (*)
Do (E) đi qua điểm M( 5 ; - 2) nên: 145 22  ba  1
25
45
4
2
2 


a
a
a
5(1-
25
2a )+4= a2-
25
4a
 a4- 30a2+225 = 0
(a2- 15)2= 0  a2= 15
Thay vào (*) thì b2= 6
Vậy phương trình của (E) là: 1
615
22
 yx
Ví dụ 5. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) , biết (H) đi qua M(- 2;1)và
góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60 0.
Giải
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
10
Gọi phương tr ... có : a2 = 9  a =3
b2= 3  b = 3
c2=a2+ b2= 12c= 12
a)Thay y = 1 vào phương trình của (H) được:
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
16
1
3
1
9
2
x  32
3
492  xx
Vậy tọa độ của M là  1;32
b)Gọi tọa độ M= ( x0; y0)
Do góc F1MF2 bằng 900  OM= OF1=OF2
 cyx  2020  x02+ y02= 12
Do M thuộc (H) nên 1
39
2
0
2
0  yx  3x02- 9y02= 27
 Ta có hệ 




2793
12
2
0
2
0
2
0
2
0
yx
yx 





4
3
5
45
2
0
2
0
y
x






2
3
2
53
0
0
y
x
Vậy tọa độ điểm M là:




2
3
;
2
53 ; 


 
2
3
;
2
53 ; 



2
3
;
2
53 ; 


 
2
3
;
2
53
c)Vì MF1= 2MF2 nên F1M > F2M M thuộc nhánh phải và F1M- F2M = 2a = 6
Ta có




6
2
21
21
MFMF
MFMF 




6
12
2
1
MF
MF
Theo công thức bán kính qua tiêu điểm:
 MF1=  0x
a
c
a a+
a
c x0= 3+ 3
32 x0 = 12
 x0= 2
39
 Do M thuộc (H) nên thay x 0= 2
39 vào (H) ta được:
1
34
27 20  y  y02= 4
69 y0= 2
69
 Vậy tọa độ của M là : 


 
2
69
;
2
39
Ví dụ 17. Cho parabol (P): y2= 4x.
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
17
a)Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4.
b)Tìm trên (P) điểm M O sao cho khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng
cách từ M đến 0x.
Giải
a)Từ phương trình (P): y2= 4x  p = 2
Ta có : MF = xM+ 2
p = 4  xM +1 = 4  xM = 3
Thay vào (P)  yM2= 12  yM =
Vậy tọa độ điểm M là: (3; 32 ).
b)Gọi tọa độ M= (x ;y).
Do M thuộc (P) nên : y2 = 4x x 0
Từ giả thiết M O và khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến
0x ta có: 02  yx  x = 02 y
Ta có hệ: 
 

02
42
yx
xy 




8
16
y
x
Vậy tọa độ M là (16; 8) và ( 16; - 8).
Dạng 6.Chứng minh các tính chất của đường cônic
Ví dụ 18. Cho hypebol (H): 12
2
2
2

b
y
a
x với b2 = c2- a2 có các tiêu điểm F1, F2. Lấy
M là điểm bất kì trên (H). Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M đến hai
đường tiệm cận có giá trị không đổi.
Giải
Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là:
1: bx+ay = 0
2: bx - ay = 0
Đặt toạ độ M= (x0; y0)
Khi đó : d1= d(M; 1)= 22 00 ba
aybx


 d2= d(M;2) = 22 00 ba
aybx


 d1.d2 = 22 00 ba
aybx

 .
22
00
ba
aybx

 = 22
2
0
22
0
2
ba
yaxb


Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
18
Vì M thuọc (H) nên :  12
2
0
2
2
0
b
y
a
x b2x02 - a2y02 = a2.b2
Vậy d1.d2 = 22
22
.
ba
ba
 (Đpcm)
Ví dụ 19. Cho parabol (P): y2 = 4x.Đường thẳng (d) bất kỳ đi qua tiêu điểm F có hệ
số góc k ≠ 0 cắt (P) tại M và N.
a.Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M và N đến trục 0x có giá trị không đổi.
b.Tìm k sao cho FM = 4.FN.
Giải
Vì (d) đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k ≠ 0 nên có phương trình:
 d: y = k( x - 1)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
 [k(x - 1)]2 = 4x  k2x2 - 2(k2+ 2) x + k2 = 0 (*)
'= (k2+2)2 - k4= 2k2+4 > 0 k
 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Vậy đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N
a.Hoành độ hai điểm M và N là hai nghiệm của phương trình (*)
Theo định lý Viet có: xM + xN = 2
2 )2(2
k
k  (1)
 xM.xN = 1 (2)
Ta có : d1 = d(M; 0x) = My = Mx4
 d2 = d(M; 0x) = Ny = Nx4
 d1.d2 = NM xx16 = 4 không đổi.
b) Từ phương trình (P)  Tham số tiêu p =p
Theo công thức bán kính qua tiêu điểm:
 MF = 1 + xM
 NF = 1 + xN
Để MF = 4NF thì 1+ xM = 4( 1 + xN)
 xM - 4xN = 3 ( 3)
Từ (2) và (3)  xM = 4; xN = 1/4
Thay vào (1)  k =
4
3
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
19
Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho hypebol (H) : 4x2 - y2 - 4 = 0
a) Xác định toạ độ tiêu điểm của (H)
b) Tìm điểm M nằm trên (H) sao cho M nhìn hai tiêu điểm F 1; F2 của (H) dưới mộtgóc vuông
HD: b) - Lập phương trình đường tròn (C) đường kính F1F2
- Ta có M  (C) (H)
ĐS: a) F1( - 5 ; 0); F2( 5 ; 0)
 b) M 

 
5
4
;
5
3
Bài 2.Cho hypebol (H): 1
54
22
 yx và : x - y + m = 0
a) Chứng minh rằng : Đường thẳng  luôn cắt (H) tại hai điểm M, N thuộc hai
nhánh khác của (H) . ( xM < xN)
b)Xác định m để F2N = 2F1N biết F1, F2 là hai tiêu điểm của (H)
HD: a) - Lập phương trình hoành độ giao điểm của  và (H)
- Chừng minh phương trình đó luôn có hai nghiệm trái dấu
 b) - Tìm toạ độ xM , xN
- Dùng công thức bán kính qua tiêu điểm
Bài 3. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp dưới đây:
a) (E) có một tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)
b)(E) đi qua điểm M( 1;
2
15 ) và có tiêu cự 4 3
c)(E) đi qua hai điểm M( 3;
5
4 ), N (- 4;
5
3 )
d)(E) đi qua M( 1;
2
3 ) và tâm sai e =
2
3
ĐS: a) 1
147196
22
 yx b) 1
416
22
 yx c) 1
25
2
2
 yx d) 1
4
2
2
 yx
Bài 4.Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi thường hợp sau:
a)(H) có tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)
b)(H) đi qua điểm A( 4 2 ; 5) và có đường tiệm cận y =
4
5x
c)(H) có tiêu cự bằng 2 5 và có tiệm cận xiên y = 2x
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
20
d)(H) đi qua A( 1; 0) và B( 3 ; 1)
ĐS: a) 1
48
2
2  yx b) 1
2516
22
 yx c) 1
4
2
2  yx d) 1
2
11
22
 yx
Bài 5. Viết phương trình của parabol (P) trong mỗi trương hợp dưới đây
a)(P) có đường chuẩn là : x+ y = 0 và tiêu điểm F(2; 2)
b)(P) trục đối xứng là trục 0x; có đường chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(3; 1)
c)(P) có trục đối xứng là trục 0x và đi qua điểm A(4; 1) ; B(1; 2)
HD:a) M(x; y)  (P)  d(M; ) = MF  Phương trình của (P)
 b)- Do trục đối xứng là trục 0x nên toạ độ F(a; 0)
- Ta có d(A; 0x) = AF suy ra a
- Lập phương trình theo phần a)
 c) -Tiêu điểm F thuộc trục 0x nên toạ độ F(a; 0)
- Đường chuẩn   0x nên : x = b
- Từ




BFBd
AFAd
),(
),( suy ra a và b
- Lập phương trình (P) như phần a)
ĐS: a) x2 + y2 -2xy -8x -8y +16 = 0
 b) y2 - 2(3  2 2 )x + (3  2 2 )2 = 0
 c) y2= - x + 5
Bài 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua (12; -3) và tiếp xúc với elip 1
1832
22
 yx
ĐS: 3x + 4y - 24 = 0 và 3x - 28y -120 = 0
Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol (H) : 1
4
2
2  yx vẽ từ điểm (1; 4)
ĐS: x - 1 = 0 và 5x - 2y + 3 = 0
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) : y2 = 4x đi qua điểm (- 1;
3
8 )
ĐS: x - 3y + 9 = 0 và 9x + 3y + 1 = 0
Bài 9. Cho hypebol (H) 12
2
2
2

b
y
a
x
a)Tính độ dài phần đường tiệm cận nằm giữa hai đường chuẩn
b)Tính khoảng cách từ tiêu điểm tới đường tiệm cận
c)Chứng minh rằng : Chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đường
tiệm cận nằm trên đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó.
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
21
HD:
a) - Lập phương trình hai đường chuẩn và hai đường tiệm cận
- Xác định toạ độ các giao điểm
- Tính độ dài đoạn tiệm cận nằm giữa hai đường chuẩn (do tình đối xứng nên
hai đoạn là bằng nhau)
 b) Do tính đối xứng của (H) nên chỉ cần tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến
một đường chuẩn bất kỳ
c) - Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ F2 đến đường tiệm cận d: bx + ay = 0
- Do I thuộc d nên toạ độ I( x 0; -
a
b x0)
- Từ duIF 2 suy ra toạ độ I
- Kiểm tra I thuộc đường chuẩn ứng với tiêu điểm F 2
ĐS: a) 2a b) b
Bài 10( ĐH-CĐ khối D- 2005) Cho elip (E) : 1
14
22
 yx và C( 2; 0). Tìm A, B
thuộc (E) biết A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
HD: - Đặt toạ độ A(x0; y0) suy ra toạ độ B(x0; - y0)
- Từ




ACAB
EBA )(, suy ra toạ độ a, b.
ĐS: A(
7
34
;
7
2 ) , B(
7
34
;
7
2  ) hoặc A(
7
34
;
7
2  ), B(
7
34
;
7
2 )
Bài 11.(CĐ Cơ khí luyện kim -2007)Viết phương trình của hypebol (H): 1
49
22
 yx
biết tiếp tuyến đó đi qua A( 3; 1)
ĐS: x - 3 = 0 và 5x - 6y - 9 = 0
Bài 12. (CĐ Sư phạm Vĩnh phúc - 2007)Cho elip (E) : 9x2 + 16y2 = 144. Lập
phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua M( 4;
2
3 ) .
ĐS: x - 4 = 0 và 9x +16 y - 60 = 0
Bài 13.
a) Viết phương trình elip (E) biết hai tiêu điểm là F 1(- 10 ; 0) , F2( 10 ; 0) và độ
dài trục lớn là 2 18 .
b)Đường thẳng d tiếp xúc với (E) tại M cắt hai trục toạ độ tại A và B . Tìm toạ độ
M sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất
HD: b) - Đặt toạ độ M(x0; y0)
- Lập phương trình tiếp tuyến tại M
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
22
- Xác định toạ độ A, B theo x 0, y0.
- Tính diện tích tam giác OAB theo x 0, y0.
- Dùng điều kiện M thuộc (E) để tìm GTNN của SOAB
ĐS: a) 1
818
22
 yx
 b)Min S= 12 khi M( 2;3  )
Bài 14.(Cao đẳng tài chính kế toán 2006).Cho elip (E): 1
48
22
 yx với các tiêu
điểm F1; F2. Tìm M thuộc (E) sao cho MF 1 - MF2 = 2
HD: Sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm
ĐS: M( 3;2  )
Bài 15.
a) Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) với tổng hai bán trục bằng 7 và
phương trình hai đường tiệm cận là y =
4
3 x
b)Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng d:5x -4y +10 =0.
ĐS:a) 1
916
22
 yx b)5x - 4y  16 = 0
Bài 16. (CĐ Giao thông vận tải 1997)Cho hypebol (H) : x 2- y2 = 8. Viết phương
trình chính tắc của elip đi qua A( 4; 6) và có tiêu điểm trùn g với tiêu điểm của
hypebol đã cho .
ĐS: 1
4864
22
 yx
Bài 17.Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64
a) Xác định các tiêu điểm F1, F2 , tâm sai và vẽ elip
b) Gọi M là điểm bất kì trên (E) . Chứng minh rằng tỷ số khoảng cách từ điểm M
tới tiêu điểm phải F2 và tới đường thẳng x = 3
8 có giá trị không đổi.
HD: b)- Lấy bất kì M(x0; y0) thuộc (E)
- Sử dụng công thức bán kính qua tiêu điểm tính MF 2
- Tính d(M; ) với : x =
3
8
- Lập tỷ số ),(
2
Md
MF
ĐS: a) F1( - 12 ; 0), F2( 12 ; 0)
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
23
 b)
2
3
),(
2 Md
MF
Bài 18.Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai e =
2
5 và tiếp xúc
với đường tròn tâm I( 0; 4) bán kính 2
5
21 .
HD: - Lập phương trình tổng quát của (H) : 12
2
2
2

b
y
a
x
- Lập phương trình đường tròn (C)
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của (H) và (C).
-Từ điều kiện e =
2
5 và phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép suy
ra a , b.
ĐS: 1
4
2
2
 yx
Bài 19.(ĐH-CĐ khối A - 2008)Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tâm sai
e =
3
5 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 2 0.
HD : Từ





20)(2
3
5
ba
e suy ra a, b.
ĐS: 1
1636
22
 yx
Bài 20.Cho elip (E) : 12
2
2
2

b
y
a
x (a>b>0)
a) Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ thuộc (E) thì ta có b ax 
b) Giả sử đường thẳng (d): y = kx cắt elip (E) tại A. Tính OA theo a, b, k.
c) Gọi A, b thuộc (E) sao cho OA OB. Chứng minh rằng : 22 11 OBOA  có giá trị
không đổi.
HD:
a) - Đặt toạ độ M( x0; y0)
- Từ điều kiện 12
2
0
2
2
0 
b
y
a
x và a>b> 0 suy GTLN, GTNN của OM 2 = x02+y02
b) - Đặt toạ độ A(x0; y0)
Ba đường cônic
Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy
24
- Từ A = (d) (E) suy ra toạ độ A
- Tính OA
c) áp dụng phần b)
ĐS: b) OA =
222
21
akb
kab


*** Hết ***