Kiến thức cơ bản Đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình

 Một số hệ phương trình bậc hai , hai ẩn số đặc biệt
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Hệ hai phương trình, một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai.
Cách giải : Từ phương trình bậc nhất, biểu diễn một ẩn qua ẩn còn lại. Đem thế vào phương trình bậc hai rồi giải phương trình nhận được.
Ví dụ : Giải hệ phương trình : 
Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn
Hệ đối xứng loại I : có dạng trong đó f(x , y) , g(x , y) là các hàm hai biến x, y mà nếu ta đổi x thành y và y thành x thì chúng không thay đổi. Tức là:
 f(x , y) = f(y, x) và g(x , y) = g(y , x).
Cách giải : Đặt ẩn phụ S = x + y , P = x.y. Giải hệ phương trình với các ẩn phụ, sau đó tìm các nghiệm với ẩn số x, y. Hệ đã cho có nghiệm theo x, y với điều kiện là
 S2 – 4P 0
Ví dụ : Giải hệ phương trình : 
Hệ đối xứng loại II : có dạng nếu đổi x thành y và đổi y thành x thì phương trình này của hệ trở thành phương trình kia của hệ và ngược lại. Tức là:
 f(y , x) = g(x, y) và g(y , x) = f(x , y).
 Cách giải : Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) của hệ ta thu được phương trình mới biến đổi về dạng : (x - y).h(x, y) = 0 (3)
Phương trình (3) 
+ Với x = y thay vào (1) hoặc (2) thì được phương trình một ẩn x (hoặc y).
+ Với h(x , y) = 0 ta giải tìm x theo y hoặc tìm y theo x rồi thay vào (1) hoặc (2) thì thu được phương trình một ẩn, giải tìm ẩn đó rồi tính ẩn còn lại.
Ví dụ : Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) 
c) Hệ đẳng cấp bậc hai theo hai ẩn 
Hệ có dạng : ,trong đó m, n là số đã biết và các biểu thức
 f(x , y) và g(x , y) có tất cả các số hạng đều là bậc hai theo hai ẩn x , y..
Cách giải:
 + kiểm tra x = 0 hoặc y = 0 có thoả mãn là nghiệm của hệ hay không.
 +Xét trường hợp x0 (hoặc y0). Ta đặt y = kx (hoặc x = ty) sẽ đưa đến việc xác định k (hoặc t) và giải tiếp một phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y)
Ví dụ : Giải hệ phương trình 
CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 1 Cho hệ phương trình : (I) với m là tham số.
Giải hệ (I) với m = 1. Kq: (-1;2), (2;-1)
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm. Kq: 
Bài 2 Xác định giá trị của m để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất :
 Kq : 
Bài 3 Giải hệ phương trình : 
 a) 	; b) 
 Kq: (0;0) v (-3;-3) Kq: (1;2), (2;1), (-1;-2), (-2;-1) 
Bài 4 Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) 
 Kq: (-2;14/9), (-3;2)
Bài 6 Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) 
 Kq: (0;1), (1;0)
Bài 7 Giải hệ phương trình : 
 a) 	; b) 	; c) 
 KQ: (5;1), (1;5), (2;3), (3;2) Kq: (3;1), (1;3)
Bài 8 Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) ; c) 
 Kq: (0;0), (4;4) Kq: (-1;-2); (-2;-1) Kq: (1/2;1/2), (0;1), (1;0)
 Bài 9 Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) (quy đồng); c) (nhân ra-đặt a âp)
 Kq: (2,;1), (3/2;1/2) Kq: (4;9), (9;4) Kq: 
Bài 10 Giải hệ phương trình :
 a) 	 ; b) 
 Kq: (1;1), (2;2 ) Kq: (1;1), (4;4) * Chia hai vế pt (1) cho (x+1).(y+2)
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 11 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình : 
Bài 12 Chứng minh rằng hệ phương trình : luôn luôn có nghiệm với 
 mọi giá trị của tham số m
Bài 13 Giải hệ phương trình :
a) ; b) ; c) 
Kq: (-6;-2), (-4;-4) Kq: (7;4), (4;7), (-1;-8), (--8;-1) Hd: pt(2) nhân 2ø cộng pt(1) đưa ra (x+2y) Bài 14 Giải hệ phương trình :
a) ; b) ; c) 
Bài 15 Giải hệ phương trình :
 a) 	 ; b) ; c) 
Bài 16 Giải hệ phương trình :
 a) ; b) 
Bài17 Giải hệ phương trình :
 a) 	 ; b) ; c) 
Bài 18 Giải hệ phương trình :
 a) ; b) 	 
Bài 19 Giải hệ phương trình :
 a) ; b) 	; c) 
Bài 20 Giải hệ phương trình : 
 a) ; b) ; c) 
Bài 21 Giải hệ phương trình :
 a) ; b) ; c) 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ Hệ phương trình dạng 	
Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y)
1a) 	; 1b) 
2a) 	; 2b) 
3a) 	; 3b) 
4a) 	; 4b) 
Bài 2: 1) Cho hệ phương trình : 
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m .
 2) Cho hệ phương trình : 
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m .
Bài 3: Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y đều là các số nguyên. Lúc đó tìm (x;y) :
1a) 	; 1b) 
2a) 	; 2b) 
Bài 4: Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau :
 và 
Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất : 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-TAM THỨC BẬC HAI-BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1)Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m 
 1) (m+1)x2-(2m+1)x+(m-2)=0	; 2) mx2+2x+1=0
 3) (m2-5m-36)x2-2(m+4)x+1=0	; 4) 2x2-6x+3m-5=0	
Bài 2)Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2-11x+13=0. Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau :
 1) A = 	; 2) B = 	
 3) C = 	; 4) D = 
Bài 3)Chứng tỏ rằng kb2 = (k+1)2.ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax2+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia.
Bài 4)Tìm m và n để hai số m ,n là nghiệm của phương trình x2+mx+n=0.
Bài 5)Cho a,b là nghiệm của phương trình x2+px+1=0 và b,c là nghiệm của phương trình 
 x2+qx+2=0 .Chứng minh rằng : (b-a)(b-c)=pq-6.
Bài 6)Cho hai phương trình x2+p1x+q1=0 (1) và x2+p2x+q2=0 (2) biết p1p2=2(q1+q2) .
 Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm .	
Bài 7)Cho hai số là các nghiệm của phương rình x2+px+q=0 .Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm số là .
Bài 8)Cho phương trình x2+4x+m+1=0 (1)
 1.Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức 
 2.Định m để phương trình (1) có đúng một nghiệm âm.
 3.Chứng tỏ rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm dương x1 thì phương trình :
 (m+1)x2+4x+1=0 cũng có một nghiệm dương .
Bài 9)Cho phương trình 2x2+2(m+1)x+m2+4m+3=0.
 1.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1.
 2.Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
 A =.
Bài10)Cho hai phương trình x2+3x+2a=0 (1) và x2+6x+5a=0 (2).Tìm tất cả các giá trị của 
 a để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia .
Bài11)Tìm các giá trị nguyên của a,b để phương trình : x2+ax+b=0 có hai nghiệm x1và x2 thoả 
 mãn điều kiện : 
Bài12)Xác định m để phương trình mx2+(2m+1)x-1=0 có ít nhất một nghiệm dương .
Bài13)Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình x2+2mx+4=0 .Hãy tìm các giá trị của m để 
 xảy ra đẳng thức :.
Bài14)Tìm các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình : 2x2-(a+1)x+a+3=0 bằng 1.
Bài15)Hãy tìm các giá trị của k để các nghiệm của phương trình :2x2-(k+2)x+7=k2 trái dấu 
 nhau và là nghịch đảo của nhau về giá trị tuyệt đối.
Bài16)Giả sử a,b là hai số thoả mãn a>b>0 .Không giải phương trình abx2-(a+b)x+1=0 .Hãy 
 tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm của phương trình.
Bài17)Tìm các giá trị của m để phương trình :
 1. có cả hai nghiệm đều âm.
 2. có cả hai nghiệm đều dương.
Bài18)Giải và biện luận phương trình : 
Bài19)Cho phương trình .
 1.Xác định m để phương trình có một nghiêïm x=-1 và tìm nghiệm còn lại.
 2.Xác định m để phương trình có đúng một nghiệm dương.
Bài20)Xác định m để phương trình (x-2)[x2-2(m+1)x+m2+5]=0 có ba nghiệm phân biệt .
Bài22)Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :
 1.(m+3)x4-3(m-1)x2+4m=0 	; 2. (m-1)x4+(2m-3)x2+m-1=0
Bài23)Cho phương trình : x2-2(m-1)x+m2-3m+4=0.
 1.Xác định m để ptrình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia 
 2.Xác định m để .
 3.Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài24)Cho phương trình .Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm
Bài25)Cho phương trình . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
 trong đó x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .
Bài26)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 sao cho : 
 x1< 1 < x2
Bài27)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 sao cho :
 .
Bài28)Tìm m để phương trình có nghiệm thoả điều kiện <x2
Bài29)Tìm m để phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng (-1;2).
Bài30)Tìm các giá trị của m để phương trình (m+1)x2-3mx+4m=0 :
 1. Có một nghiệm thuộc (-1;1), còn nghiệm kia nhỏ hơn -1.
 2. Có nghiệm lớn hơn 1.
Bài31) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ,trong đó có một 
 nghiệm lớn hơn 3 còn nghiệm kia nhỏ hơn 2.
Bài32)Tìm các giá trị của m để số -4 nằm giữa hai nghiệm của phương trình :
 (m+3)x2-2(m-1)x+4m =0 .
Bài33)Tìm các giá trị của m để phương trình (m-5)x2-(m-9)x+m-5=0 có:
 1. Hai nghiệm lớn hơn -3 .
 2. Hai nghiệm nằm giữa -2 và 3 .
Bài34)Cho phương trình (3m-5)x2-2(3m+2)x+4m-1=0 .Xác định m để phương trình có :
 1. Hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn -1.
 2. Một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) và nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;0] 
Bài35)Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 
 1. 	; 2. 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ÔN CHUNG CHO LTĐH)
Giải các hệ phương trình sau :
1) 	; 2) 	; 3) 
4) ; 5) ; 6) 
7) 	; 8) với x,y>0 ; 9) 
10) 	; 11) 	; 12) 
13) 	; 14) ; 15) 16) ; 17) 
18) 	; 19) ; 20) 
21)	 ; 22) ; 23) 
24) 	; 25) 
26*) 	 ; 27*) ; 28*) 
29*) 	; 30*)