Kiến thức cơ bản Toán 9

CHỦ ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC 
A/ Kiến thức cần để thực hiện chủ đề:
1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
-/ (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
-/ (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
-/ a2 – b2 = (a-b)(a+b)
-/ (a+b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3
-/ (a-b)3 = a3 -3a2b + 3ab2 - b3
-/ a3 + b3 = (a+b)(a2- ab+b2)
-/ a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
2, Các hằng đẳng thức đáng nhớ mở rộng:
-/ a5 + b5 = (a+b)(a4- a3b +a2b2 – ab3+b4)
-/ a7 + b7 = (a+b)(a6- a5b +a4b2 – a3b3+a2b4 – ab5 +b6)
-/ a2007+ b2007 = (a+b)(a2006- a2005b +a2004b2 –  +a2b2004 – ab2005 +b2006)
-/ a4 – b4 = (a-b)(a3+ a2b +ab2 +b3)
-/ a5 – b5 = (a-b)(a4+ a3b +a2b2 + ab3+b4)
-/ (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc
-/ (a-b+c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc
-/ (a-b-c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
3, Kiến thức về căn bậc bậc hai :
-/ Điều kiện để có nghĩa ( hay xác định ) khi A 0
-/ Với mọi a R thì 
-/ Với mọi a > b > 0 > 
-/ Với mọi a 0, b 0 ,
-/ Với mọi a 0, b > 0 ,
-/ Với mọi b 0 ,
-/ Với mọi ab 0, b 0 ,
-/ Với mọi a 0, b > 0 ,
-/ Với mọi a2 b, b 0 , 
-/ Với mọi a b2, a 0 , 
-/ Với mọi a b, a 0, b 0 , 
dạng 1: Biến đổi biểu thức đại số 
-/ Với mọi a b, a 0, b 0 , 
B/ Bài tập:
Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức
1) 	2) 	
3) 4) 	
5) 6) 	
7) 	8) 	
9) 	 10) 	
11) 12) 
Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 	
7) 8) 
9) 10) 
Bài 3: Phân tích thành nhân tử
1) 
3) 
4) 5) 	
6) 25 – 3x2	7) x – 4 (x > 0)
8) 11 + 9x (x < 0) 	
9) 31 + 7x (x < 0)	
10) 
Bài 4: Tính: 
HD: Ta có: và . Từ đó suy ra: 
Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) 
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) 
20) .
1.Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
Bài tập:
1/ ++ . . . + +
2/ ( 3 , x +, - 3/ 
4/ 5/ ( x>0,x 1, , x 9)
6/
7/
8/
9/ Với a = 22-12
10/ 11/ 
12/ 13/ 
14/ 15/ Với x = 
16/ 
17/ (Với x = 4- 2)
18/ 19/ 
20/ 
21/ Tính: với (Đề thi HSG Huyện n/học 2007-2008)
22/ Tính: (Đề thi HSG Huyện n/học 2006-2007)
23/ Tính: (Đề thi HSG Huyện n/học 2005-2006)
24/ Tính: (Đề thi HSG Huyện n/học 2005-2006)
25/ Tính:Với x = 4 - 2(Đề thi HSG Huyện n/học 04-05)
26/ Tính: (Đề thi HSG Huyện n/học 2003-2004)
27/ Tính: (Đề thi HSG Huyện n/học 2003-2004)
28/ Tính: Với a = (Đề thi HSG Huyện n/học 2002-2003)
29/ Tính: (0 < a 1) với a = 
(Đề thi HSG Tỉnh n/học 2006-2007)
30/ Tính: 
31/ Tính: 
32/ Tính: Với a = 17 - 12
dạng 2: rút gọn bằng cách quy đồng hoặc đặt nhân tử chung 
PP:
cách 1:
- Tìm nhân tử chung
-Quy đồng phân số v à thu gọn
cách 2: - Dùng các hằng đẳng thức: 
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
 	a2 – b2 = (a-b)(a+b)
 	(a+b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3
 	(a-b)3 = a3 -3a2b + 3ab2 - b3
 	a3 + b3 = (a+b)(a2- ab+b2)
 	a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
 - Tiến hành quy đồng phân số và thu gọn
Bài 1: Cho biểu thức: 
	a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút gọn A.
	b) So sánh A với 1
HD: a) Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1. Ta có:	
	b) Xét hiệu: A – 1 = . Vậy: A < 1
Cách 2: Dễ thấy: A = vì: 
Bµi 2: Cho biÓu thøc 
Rót gän biÓu thøc A;
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6.
Bµi 3: Cho biÓu thøc 
A, Rót gän biÓu thøc B; B,T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0.
Bµi 4: Cho biÓu thøc 
A, Rót gän biÓu thøc C; B,T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1.
Bµi 5: Rót gän biÓu thøc :
a) ; b) ;
c) ; d) 
Bµi 6: Cho biÓu thøc 
a, Rót gän biÓu thøc M; b,So s¸nh M víi 1.
Bµi 7: Cho c¸c biÓu thøc vµ 
Rót gän biÓu thøc P vµ Q;
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q.
Bµi 8: Cho biÓu thøc 
Rót gän biÓu thøc P
So s¸nh P víi 5.
Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc chØ nhËn ®óng mét gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 9: Cho biÓu thøc 
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P;
T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó lµ sè tù nhiªn;
TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2.
Bµi 10: Cho biÓu thøc : 
Rót gän biÓu thøc P;
T×m x ®Ó .
Bài 8: Cho biểu thức: 
a) Rút gọn biểu thức A
	b) Tính giá trị của biểu thức A khi 
	c) Tìm giá trị của x khi A = 
HD: 	a) ĐK: x ≠ ±1: ; 
b) . Khi đó: A = −2	; 	c) ; 
Bài 9: Cho biểu thức: 
	a) Tìm điều kiện của x để A xác định
	b) Rút gọn biểu thức A
	c) Tìm giá trị của x để A > 0
HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2	; b) 	; c) A > 0 Û x > 2 hoặc x < −1
Bài 10: Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C xác định. Rút gọn biểu thức C
	b) Tìm các giá trị của a để C = 1
	c) Khi nào thì C có giá trị dương? Có giá trị âm?
HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b) ; c) C = 1 Û 	; d) C > 0 Û ; C < 0 Û a < −3
Bài 11: Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định
	b) Rút gọn biểu thức C
	c) Tính giá trị của biểu thức C khi 
	d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b) 	; c) ; d) x Î {−1, −3, −4, −6, 2} 
Bài 12: Cho biểu thức: 
	a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định
	b) Rút gọn biểu thức A
	c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên?
HD: a) A không xác định Û a < 0, a = 0, 1, 2. 
	b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2: ; c) có duy nhất a = 6 thỏa mãn.
Bài 13: Cho biểu thức: 
	a) Rút gọn biểu thức B
	b) Tính giá trị của B khi 
	c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?
HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: 	
b) ; 	
c) B > 0 Û x > 1; B < 0 Û x < 1; B = 0 Û x = 1 .
Bài 14: Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện của a để B xác định. Rút gọn B
	b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?
	c) Tìm các giá trị của x để B = 4
HD: a) a ≥ 0 và a ≠ 9: 	
b) B > 1 Û a > 9, B < 1 Û 0 ≤ a < 9	
c) B = 4 Û a = 15
Bài 15: Cho biểu thức A = 
	a) Rút gọn biểu thức A
	b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4
	c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được
b) 	
c) min A = 4 khi 	
Bài 16: Cho 
	1) Rút gọn P .
2) Chứng minh : Nếu 0 0.
3) Tìm giá trị lớn nhất của P.
HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ 0 và x ≠ 1. Kết quả: 
	2) Nếu 0 0. 
3) . Dấu "=" xảy ra Û . Vậy: 
Bài 17: Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định
	b) Rút gọn biểu thức B
	c) Tìm giá trị của x khi B = 4
	d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B có giá trị nguyên
HD: a) x > 1	
b) 	
c) B = 4 Û x = 10	
d) B nguyên x = m2 + 1 (m Î Z)
BÀI TẬP
Bµi 1: XÐt biÓuthøc A = 
a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A cã nghÜa vµ Rót gän A 
b) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× A < 1 
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho A còng lµ sè nguyªn 
Bµi 2: Cho biÓu thøc : P = 
a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x = 
c) T×m gi¸ trÞ cña x tháa m·n : P
Bµi 3: Cho A = 
a) Rót gän A 
b) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A > 0 
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 
Bµi 4 : Cho biÓu thøc :P=
 a . T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P x¸c ®Þnh 
 b . Rót gän P
 c, T×m x sao cho P>1
Bµi 5 : Cho biÓu thøc : C
 a . T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C x¸c ®Þnh 
 b . Rót gän C
 c, T×m x sao cho C<-1
Bµi 6 : Cho biÓu thøc: B=
 1 ,T×m ®iÒukiÖn cña a ®Ó biÓu thøc B cã nghÜa . 2, Chøng minh r»ng 
Bµi 7: XÐt biÓuthøc A = 
a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A cã nghÜa vµ Rót gän A 
b) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× A < 1 
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho A còng lµ sè nguyªn 
Bµi 8: Cho A = 
a) Rót gän A 
b) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A > 0 
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 
Bµi 9 : Cho biÓu thøc :P=
 a . T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P x¸c ®Þnh 
 b . Rót gän P
 c, T×m x sao cho P>1
Bµi 10: Cho biÓu thøc : C
 a . T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C x¸c ®Þnh 
 b . Rót gän C
 c, T×m x sao cho C<-1
Bµi 11 : Cho biÓu thøc: B=
 1 ,T×m ®iÒukiÖn cña a ®Ó biÓu thøc B cã nghÜa . 2, Chøng minh r»ng 
Bµi 12:
Bµi 13.	Cho biÓu thøc:	
	a. Rót gän M 	b. TÝnh gi¸ trÞ cña a vµ b ®Ó M = 1
Bµi 14. 	Cho biÓu thøc: 
	1/ Rót gän A
	2/ TÝnh gi¸ trÞ cña A khi 
	3/ T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 1
Bµi 15: Cho biÓu thøc :
	1/ Rót gän biÓu thøc M 	2/ T×m ggi¸ trÞ cña a ®Ó M = 0
Bµi 16: Cho biÓu thøc : 
Rót gän biÓu thøc . b,TÝnh gi¸ trÞ cña khi 
Bµi 17: Cho biÓu thøc : A = 
a) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a th× A x¸c ®Þnh . 
b) Rót gän biÓu thøc A . 
c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn . 
Bµi 18:	Cho biÓu thøc : A = 
	1) Rót gän biÓu thøc A . 
	2) Chøng minh r»ng biÓu thøc A lu«n d¬ng víi mäi a . 
Bµi 19: Cho biÓu thøc : M=
 1, T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa .
 2, Rót gän M.
 3, Chøng minh : M
Bµi 20: Cho biÓu thøc :A= 
 a, T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó Acã nghÜa . b, rút gọn biểu th ức
Bµi 21: Cho 
	a. Rót gän P. 
	b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P<1. 
	c. T×m ®Ó .
2. Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
Bµi 22: RG biÓu thøc B = 
Bµi 23: Cho biÓu thøc : P = 
a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x = 
c) T×m gi¸ trÞ cña x tháa m·n : P
Bµi 24: Chøng minh r»ng : a) 
b) 	c) 
 d, TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau : 
A = ( víi a = vµ b = ) 
	B = 
Bµi 25: Cho biÓu thøc P = 
a) Rót gän biÓu thøc P 
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = 1 + 
c) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P > 1 
Bµi 26: a) Thu gän c¸c biÓu thøc sau :
A = 	B = 
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
Bµi 27: Cho hai biÓu thøc : A = B = 
a) T×m ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña mçi biÓu thøc 
b) Rót gän A vµ B 
 c) TÝnh tÝch A.B víi x = vµ y = 
Bµi 28: 1/ Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 
	2/ Rót gän biÓu thøc: 	
	3/ Chøng minh biÓu thøc: 	 cã gi¸ trÞ lµ sè nguyªn 
Bµi 29: 	Cho biÓu thøc : 
T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa .
Rót gän biÓu thøc A .
Gi¶i ph­¬ng tr×nh theo x khi A = -2 .
Bµi 30: Cho biÓu thøc : 
Rót gän biÓu thøc A . b, Coi A lµ hµm sè cña biÕn x vÏ ®å thi hµm sè A .
Bµi 31: Cho biÓu thøc 	C = . Rót gän C
Bµi 32: Cho biÓu thøc 	M = 
	a) Rót gän M 	b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó M < 1 	c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M. 
Bµi 33: Cho biÓu thøc 	
	a) Rót gän P 	b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P > 0
	c) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 	d) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó cã gi¸ trÞ x > 1 tho¶ m·n:
Bµi 34: Cho biÓu thøc P = 	
a) Rót gän P. b) So s¸nh P víi biÓu thøc Q = 
Bµi 35: Cho biÓu thøc 	A =	
a) Rót gän A. b) So s¸nh A víi 1
Bµi 36: Cho biÓu thøc 	A =	
a) Rót gän A. b) T×m x ®Ó A = 
Bµi 37: Cho biÓu thøc P = 
	a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > 1
	c) TÝnh gi¸ trÞ cña P, biÕt 
	d) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó :	 
Bµi 37: Cho biÓu thøc 	P = 
	a) Rót gän P
 b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña x ®Ó (x + 1)P = x -1
	c) BiÕt Q = T×m x ®Ó Q max.
Bµi 38: Cho biÓu thøc P = 
	a) Rót gän P 	b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh P = m – 1 cã nghiÖm x, y tho¶ m·n 
Bµi 39: Cho biÓu thøc 	P = 
	a) Rót gän P
 	b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = 
	c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó mäi x > 2 ta cã:
Bµi 40: 
Cho biÓu thøc
a/ Rót gän P b/ T×m x ®Ó P < 0 ; c/ T×m x ®Ó P < 1
Bµi 41: Cho biÓu thøc
a/ Rót gän P
b/ T×m x ®Ó P < 1 ; 
c/ T×m x ®Ó P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
Bµi 42: Cho biÓu thøc
a/ Rót gän P
b/ T×m x ®Ó P < 1 ; c/ T×m x ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 43: Cho biÓu thøc
a/ Rót gän P
b/ T×m x ®Ó 
Bµi 44: Cho biÓu thøc
a/ Rót gän P	b/ T×m x ®Ó P = 7 
Bµi 45: Cho biÓu thøc:
a/ Rót gän P	b/ T×m x ®Ó 
Bµi 46: Cho biÓu thøc: 
a/ Rót gän P ; b/  ... ệm với mọi giá trị m
Vd: Cho phöông trình baäc hai: x2- (m-1)x-m=0 (2)
a/Giaûi phöông trình (2) khi m =2 
 b/Chöùng minh raèng pt 2 luoân coù hai nghieäm phaân bieät.
c/ Goïi x1 vaø x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình 1. Tìm m thoõa maõn: x12+x22+x1x2=7.
HD:
a. Vôùi m=2 taùcoù pt: x2-x-2=0
Vì a-b+c neân phöông trình coù hai nghieäm x1=-1, x2 =2
b.Tính r: r=(m-1)2+4m = (m=1)2>=0 vôùi moïi m neân phöông trình luoân coù nghieäm
Theo heä thöùc Viet
Do x12+x22-7=0. x12+2x1x2+x22 -2x1x2-7=0 (x1+x2)2-2x1x2-7=0 .....
 m2-m-6=0 , Giaûi ra ñöôïc m=3 vaø m=-2
bài t ập:
Bµi 1: Cho ph­¬ng tr×nh 	 x2 -2( m+2 )x + 2m + 1 = 0 
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = - 1 
b) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 
c) Gäi x1 ,x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm x1 ,x2 kh«ng phô thuéc m 
T×m m ®Ó x12 + x22 nhá nhÊt 
Bµi 2 :Cho ph­¬ng tr×nh :
 x2 –2(m+3)x +2m –15 = 0 (m lµ tham sè ) 
 a , gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m=-2.
 b , Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m.
 c, T×m hÖthøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc m .
Bµi 3: 	Cho ph­¬ng tr×nh:
	a, Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 2
	b, Cmr: ph­¬ng tr×nh trªn lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cu¶ m
	c, T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n 3x1- 4x2= 1
Bµi 4 Cho ph­¬ng tr×nh:(víi m lµ tham sè)
 1,Chøng minh ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi m,äi gi¸ trÞ cña m.
 2, Gäi lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .T×m m ®Ó 
Bµi 5:	Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0 (1)
	1/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 3
	2/ CMR: ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.
	3/ Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1): T×m m ®Ó:
	B = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) < 4.
Bµi 6: Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm.
Bµi 7: Cho ph­¬ng tr×nh (x lµ Èn, a lµ tham sè)
	1/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi a = 2
	2/ Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ví mäi gi¸ trÞ cña a
Bµi 8: 	Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 2 ( m + n)x + 4mn = 0 .
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1 ; n = 3 .
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m ,n .
Gäi x1, x2, lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . TÝnh theo m ,n .
Bµi 9: 	Cho ph­¬ng tr×nh x2 – ( 2m + 1 )x + m2 + m – 1 =0.
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m .
Gäi x1, x2, lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . T×m m sao cho : ( 2x1 – x2 )( 2x2 – x1 ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy . 
H·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m .
Bµi 10: 	Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 2 ( m + n)x + 4mn = 0 .
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1 ; n = 3 .
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m ,n .
Gäi x1, x2, lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . TÝnh theo m ,n .
Bài 11: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)
	a) Chứng minh rằng "m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
	b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
HD: a) Chứng minh D' > 0
	b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu Û m 3
Bài 12: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1)
	a) Giải phương trình (1) khi m = 1
	b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
	c) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm 
	b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 Þ A không phụ thuộc vào m
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm và độc lập với m
Vd: Cho phöông trình baäc hai: x2-2(m+1)x+m-4 (2)
a/Giaûi phöông trình (2) khi m =1 b/Chöùng minh raèng pt 2 luoân coù hai nghieäm phaân bieät.
c/ Goïi x1 vaø x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình 1. chöùng minh raèng bieåu thöùc A=x1(1-x2)+x2(1-x1) khoâng phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa m.
HD:a. Vôùi m=1 taùcoù pt:
x2-4x-3=0 => x1,2= 2
Tính r’
r’= vôùi moïi m
Theo heä thöùc Viet
 A= x1+x2 -2x1x2 = 2(m+1)-2(m-4)=10
Vaäy A khoâng phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa m
Bài tập:
C©u 1: 	Cho phư¬ng tr×nh : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0 
	1) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n 3x1 - 4x2 = 11 . 
	2) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m . 
	3) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× x1 vµ x2 cïng d¬ng . 
Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh : 
 1 , Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m
 2, T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh sao cho hÖ thøc ®ã kh«ng phô thuéc vµo m
Bµi 3: 	Cho ph­¬ng tr×nh x2 – ( 2m + 1 )x + m2 + m – 1 =0.
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m .
Gäi x1, x2, lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . T×m m sao cho : ( 2x1 – x2 )( 2x2 – x1 ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy . 
H·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m .
Dựa vào GTLN,GTNN để tìm m
Bµi 1:	Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh :
	 x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = 0 	(1) 
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp , hai nghiÖm ph©n biÖt .
T×m m ®Ó ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt , lín nhÊt .
Bµi 2:Cho ph­¬ng tr×nh x2 – ( m+1)x + m2 – 2m + 2 = 0 	(1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 2 .
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp . T×m nghiÖm kÐp ®ã .
Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt , lín nhÊt .
Bµi 3:	Cho ph­¬ng tr×nh x2 – ( m+1)x + m2 – 2m + 2 = 0 	(1)
a.Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 2 .
b.Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt , lín nhÊt .
c.X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp . T×m nghiÖm kÐp ®ã .
Bµi 4:	Cho ph­¬ng tr×nh x2 – ( m+1)x + m2 – 2m + 2 = 0 	(1)
a, Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 2 .
b, X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp . T×m nghiÖm kÐp ®ã .
c, Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt , lín nhÊt .
Bài 4: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0
	a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m
	b) Tìm m để P nhỏ nhất
HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10
	c) P = . Dấu "=" xảy ra Û 
Baøi 5: Cho phöông trình:
 x2-4x+m+1 (1) m laø tham soá 
Tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå phöông trình(1) coù hai nghieäm phaân bieät.
Tìm m ñeå pt (1) coù hai nghieäm x1, x2 thoõa maûn:
x12+x22=26.
Baøi 6: Cho phöông trình baäc hai: x2-2 (m-1)x-3+2m=0 (3)
a/Giaûi phöông trình (2) khi m =2 b/Chöùng minh raèng pt 2 luoân coù hai nghieäm vôùi moïi m.
c/ Goïi x1 vaø x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình 1. Tìm m thoõa maõn: x12+x22 ñaït giaù trò nhoû nhaát.
HD:Caâu a:HS töï laøm
b.r’=m2-2m+4 (m-1)2+4m = (m-2)2>=0
vôùi moïi m neân phöông trình luoân coù nghieäm
c.Ttính S, P: Töø x12+x22=... = (2m-3)2+1>=1 Daáu “=” xaõy ra khi m=3/2
Vaäy m=3/2 thì x12+x22 ñaït giaù trò nhoû nhaát.
Sử dụng định lý viet để t ìm m
Bµi 1: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - 2m .x + m2 - 9 = 0 
a) §Þnh m ®Ó ph­¬ng t×nh cã mét nghiÖm b»ng 4 .TÝnh nghiÖm cßn l¹i 
b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x1.x2 - 2 ( x1 + x2 ) < 23 
Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + ( 2m - 1 ).x - m = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1 
b) CMR: Ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 
c) T×m m ®Ó 2 nghiÖm x1, x2 tháa m·n : 
Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m +1).x + m2 - 4m +5 = 0 
a) §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d­¬ng
Bµi 4: a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh x4 - 6x2 + 8 = 0 
b) Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - ( 2m - 3 ).x + m2 - 3m = 0 . §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n 1< x1 < x2 < 6 
Bµi 5: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 + m.x - n = 0 
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = - ( 2 - ) vµ n = 2 
b) Cho n = 1 .T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm lín h¬n hay b»ng 2 
Bµi 6: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - m x + m - 1 = 0 
a) Chøng tá ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm x1 ; x2 víi mäi m , tÝnh nghiÖm kÐp cña ph­¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ cña m t­¬ng øng 
b) §Æt A = x12 + x22 - 6x1.x2 . T×m m sao cho A = 8 , råi t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t­¬ngøng 
Bµi 7: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai x2 + mx +n - 3 = 0 
a) Cho n = 0 .Chøng tá P/T lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m 
b) Víi ®iÒu kiÖn c©u a t×m m ®ª ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 1 . T×m nghiÖm cßn l¹i 
c) T×m m vµ n ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tháa m·n 
Bµi 8 : Cho ph­ng tr×nh (1) tham sè m
 T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­ng tr×nh (1):
 1, Cã nghiÖm .
 2, Cã tæng b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm b»ng 22
 3, Cã b×nh ph­¬ng cña hiÖu hai nghiÖm b»ng 13 
Bµi 9 : Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – mx + m – 1 = 0 .
Gäi hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x1 , x2 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc .
 . Tõ ®ã t×m m ®Ó M > 0 .
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc P = ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .
Bµi 10 : Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – ( m+2)x + m2 – 1 = 0	(1)
Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .T×m m tho¶ m·n x1 – x2 = 2 .
Bµi 11 : ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè ) 
	a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 2 . T×m nghiÖm cßn l¹i . 
	b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 
Bµi 12: Cho ph­¬ng tr×nh 	x2 – 2 (m + 1 )x + m2 - 2m + 3 = 0	(1).
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 1 .
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu .
T×m m ®Ó (1) cã mét nghiÖm b»ng 3 . T×m nghiÖm kia .
Bµi 13: 	Cho ph­¬ng tr×nh 	x2 – 2 (m + 1 )x + m2 - 2m + 3 = 0	(1).
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 1 .
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu .
T×m m ®Ó (1) cã mét nghiÖm b»ng 3 . T×m nghiÖm kia .
Bµi 14: 	 Cho ph­¬ng tr×nh : 2x2 – ( m+ 1 )x +m – 1 = 0 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1 .
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hiÖu hai nghiÖm b»ng tÝch cña chóng . 
Bµi 15: Cho ph­¬ng tr×nh : 3x2 + 7x + 4 = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x1 , x2 kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai mµ cã hai nghiÖm lµ : vµ .
Bµi 16: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : 
(m2 + m +1)x2 – 3m = ( m +2)x +3 
Cho ph¬ng tr×nh x2 – x – 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ x1 , x2 . H·y lËp phư¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ : 
sè t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ 4 .
Bµi 17: Cho phư¬ng tr×nh : x2 – 4x + q = 0 
Víi gi¸ trÞ nµo cña q th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm .
T×m q ®Ó tæng b×nh ph¬ng c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 16 .
Bµi 18: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : vµ gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 19: Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) 	(1)
	a) Giải phương trình (1) với m = 5
	b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20
HD: a) Với m = 5 Þ x1 = 1, x2 = 5
	b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)
HD: a) Với m = −1 Þ x1 = 2, x2 = −4	b) m = 0 hoặc m = 3
Baøi 20: Cho phöông trình: x2-2(m+1)x+4m (1) m laø tham soá 
Giaûi pt vôùi m = 2 CMR phöông trình(1) x=2 laø moät nghieäm.
Tìm m ñeå pt (1) coù hai nghieäm x1, x2 thoõa maûn: x13+x23-16m=0.
HD: a. Vôùi m=2 taùcoù pt:x2-4x+8=0 Giaûi ñöôïc x1=, x2 =
b. Thay x=2 vaøo pt
c. Theo ñònh lí Vi eùt ta coù 
 Do x13+x23-16=0 (x1+x2)(x12+2x1x2+x22 -3x1x2)-16 =0 m=...