Luyện đề thi Các bài toán Chứng minh đẳng thức lượng giác (Có đáp án)

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 
TUYỂN TẬP BÀI TOÁN 
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
TRONG CÁC ĐỀ THI 
CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT 
Bài 1. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:) 
1) ( )( )3 3sin x cos x sin x cos x 1 sin x.cos x+ = + − 
2) ( )( )3 3sin x cos x sin x cos x 1 sin x.cos x− = − + 
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 1) 2 2 2cos sin 1 2sin  − = − 5) 2 22cos 1 1 2sin − = − 
 2) 2 23 4sin 4cos 1 − = − 6) sin cot cos tan sin cos     + = + 
 3) 4 4 2 2sin cos 1 2sin cos   + = − 7) 4 4 2 2cos sin cos sin   − = − 
 4) 3 3sin cos sin cos sin cos     + = 8) 4 4 2 2sin cos 1 2cos 2sin 1   − = − = − 
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau: 
1) 
1
tan cot
sin cos
x x
x x
+ = 6) 
1 cos sin
sin 1 cos
x x
x x
−
=
+
2) 
1 1
1
1 tan 1 cotx x
+ =
+ +
 7) 2
1 1
1 1 tan 0
cosx cosx
x
  − + + =  
  
3)
2
2
2
1 sin
1 2 tan
1 sin
x
x
x
+
= +
−
 8) 
tan tan
tan tan
cot cot
x y
x y
x y
+
=
+
4) 4
2 4
2 1
1 cot
sin sin
x
x x
− = − 9) 
cos 1
tan
1 sin cos
x
x
x x
+ =
+
5) 
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
x x
x x x
+
+ =
+ 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 
Bài 4. Cho tam giác ABC . Chứng minh đẳng thức sin cos
2 2
A C B
 . 
Bài 5. Chứng minh đẳng thức sau: 4 4 2sin cos 1 2cosx x x− = − . 
Bài 6. Chứng minh đẳng thức: 
( ) ( ) ( )4 2 4 2 2 2sin 1 sin cos 1 cos 5 404 sin .cos 2022x x x x x x+ + + + + = . 
Bài 7. Chứng minh đẳng thức: ( )2 2 2 2
3
sin sin 2 sin sin
4 2 4
x x x x
  

     
+ + + = − + − +     
     
. 
Bài 8. Chứng minh rằng với mọi góc  làm cho biểu thức 
sin tan
cos cot
 
 
+
+
 có nghĩa, biểu thức đó không 
thể là một số âm. 
Bài 9. a) Chứng minh: 
1
sin .cos .cos2 .cos4 sin8
8
x x x x x= . 
 b) Áp dụng tính: 0 0 0 0sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78A = , 
3 5
cos .cos .cos
7 7 7
B
  
= . 
Bài 10. a) Chứng minh: x x x4
3 1 1
sin cos2 cos4
8 2 8
= − + . 
 b) Áp dụng tính: S 4 4 4 4
3 5 7
sin sin sin sin
16 16 16 16
   
= + + + . 
Bài 11. a) Chứng minh: 
−
=
1 cos2
tan
sin2
x
x
x
. 
 b) Áp dụng tính: S 2 2 2
3 5
tan tan tan
12 12 12
  
= + + . 
Bài 12. Chứng minh các công thức sau 
a) 
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
 
  
+
+ =
+
 b) 
2 2
6
2 2
tan sin
tan
cot cos
 

 
−
=
−
c) 
1
sin .cos
tan cot
 
 
=
+
 d) 
2 2 2 2 2sin tan 4sin tan 3cos 3    + − + = 
e) 
2
4 4
2
1 tan a
 cos a sin a
1 tan a
−
= −
+
 f) 
2 2 2 2tan sin tan .sina a a a− = 
Bài 13. Chứng minh: 
a) 
3 3 3sin3 .sin cos3 .cos cos 2x x x x x+ = 
b) 
1 cos 1 cos
2cot 0
1 cos 1 cos 2
x x
x x
x x
+ −  
− =   
− +  
Bài 14. Chứng minh các công thức sau 
a) 
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos tan 1
  
 
  
+
− = +
− −
 b) 
1 cos 1 cos 2
1 cos 1 cos sin
 
  
− +
+ =
+ −
Bài 15. Chứng minh các đẳng thức sau: 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 
 1) 
x x x
x
x x x
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin
− +
=
− +
 6) x x x x x2(tan2 tan )(sin2 tan ) tan− − = 
 2) 
x
x x
x
2 2 6 2cos4
tan cot
1 cos4
+
+ =
−
 7) 
x x x
x x x
1 cos 1 cos 4cot
1 cos 1 cos sin
+ −
− =
− +
 3) 
x x
x x
x x
2 2
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
− − =
+ +
 8) x x x0 0cos cos(120 ) cos(120 ) 0+ − + + = 
 4) 
x x
x
x x
2 cos 2cos
4
tan
2sin 2 sin
4


 
− + 
  =
 
+ − 
 
 9) 
x x
x x
x
2 2
2 2
3
cot cot
2 2
8
3
cos .cos . 1 cot
2 2
−
=
 
+ 
 
 5) x x x x6 6 2
1
cos sin cos2 1 sin 2
4
 
− = − 
 
 10) x x x x4 4cos sin sin2 2 cos 2
4
 
− + = − 
  
Bài 16. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 
 a) 4 4 6 63(sin cos ) 2(sin cos )x x x x+ − + 
 b) 6 4 2 2 4 4cos 2sin cos 3sin cos sinx x x x x x+ + + 
 c) 
3
cos .cos cos .cos
3 4 6 4
x x x x
          
− + + + +      
      
 d) 2 2 2
2 2
cos cos cos
3 3
x x x
    
+ + + −   
    
Bài 17. a) Chứng minh: 
1
cot cot 2
sin2
 

− = . 
b) Chứng minh: x x
x x x x
1 1 1 1
cot cot16
sin2 sin4 sin8 sin16
+ + + = − . 
c) 
1
cos .cos .cos .cos3
3 3 4
x x x x
    
− + =   
   
d) sin5 2sin (cos4 cos2 ) sinx x x x x− + = 
Bài 18. a) Chứng minh: tan cot 2cot 2  = − . 
 b) Chứng minh: 
n n n n
x x x x
x
2 2
1 1 1 1
tan tan ... tan cot cot
2 2 2 2 2 2 2 2
+ + + = − . 
Bài 19. a) Chứng minh: = −
x x x
2 2 2
1 1 1
4cos sin 2 4sin
. 
 b) Chứng minh: 
n n
n n
x x x xx
2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
...
sin
4cos 4 cos 4 cos 4 sin
2 2 2 2
+ + + = − . 
Bài 20. a) Chứng minh: x x x3
1
sin (3sin sin3 )
4
= − . 
 b) Chứng minh: n n
n n
x x x x
x
3 3 1 3
2
1
sin 3sin ... 3 sin 3 sin sin
3 43 3 3
−  + + + = − 
 
. 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 
Bài 21. a) Chứng minh: 
1 tan 2
1
cos2 tan

 
+ = . 
 b) Chứng minh: 
2
1 1 1 tan 2
1 1 ... 1
cos 2 cos 2 cos 2 tan
n
n
x
x x x x
    
+ + + =    
    
. 
Bài 22. a) Chứng minh: 
sin2
cos
2sin



= . 
 b) Chứng minh: 
n
n
n
x x x x
x2
sin
cos .cos ...cos
2 2 2
2 sin
2
= . 
Bài 23. Chứng minh rằng: 
a) 
n
n
Q
n n n
2 1
cos .cos ... cos
2 1 2 1 2 1 2
  
= =
+ + +
b) 
  
= = −
+ + +
2 4 2 1
cos .cos ... cos
2 1 2 1 2 1 2
n
n
R
n n n 
Bài 24. Chứng minh các hệ thức sau: 
 1) + = +4 4
3 1
sin cos cos4
4 4
x x x 2) x x x6 6
5 3
sin cos cos4
8 8
+ = + 
 3) x x x x x3 3
1
sin .cos cos .sin sin 4
4
− = 4) 
x x
x x
6 6 21
sin cos cos (sin 4)
2 2 4
− = − 
 5) 
x
x
2
1 sin 2sin
4 2
 
− = − 
 
 6) 
 
−
=
   
+ −   
   
x
x x
2
2
1 2sin
1
2cot .cos
4 4
 7) 
x
x
x
1 cos
2
tan . 1
4 2
sin
2



 
+ +    + = 
   
+ 
 
 8) 
x
x
x
1 sin2
tan
4 cos2
  +
+ = 
 
 9) 
x x
x
cos
cot
1 sin 4 2
 
= − 
−  
 10) 
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan .tan 2
−
=
−
 11) = −tan cot 2cot 2x x x 12) x x
x
2
cot tan
sin2
+ = 
 13) 
x
x vôùi x
1 1 1 1 1 1
cos cos , 0 .
2 2 2 2 2 2 8 2

+ + + =   
Bài 25. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x 
4 4 2 2 22cos sin sin .cos 3sinA x x x x x= − + + 
2 2(tan cot ) (cot tan ) B x x x x= + − − 
2 2 2 2 2sin .tan 2sin tan cosC x x x x x= + − + 
Bài 26. Chứng minh: 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 
 a) x x x x4cos .cos cos cos3
3 3
    
− + =   
   
 b) x x x x4sin .sin sin sin3
3 3
    
− + =   
   
 Áp dụng tính: 
 o o oA sin10 .sin50 .sin70= o o oB cos10 .cos50 .cos70= 
 C 0 0 0sin20 .sin40 .sin80= D
0 0 0
cos20 .cos40 .cos80= 
Bài 27. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
    
+ = − = +   
   
 b) cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
    
− = + = −   
   
 c) 2 2 2 2sin( )sin( ) sin sin cos cosx y x y x y y x+ − = − = − 
 d) 2 2 2 2cos( )cos( ) cos sin cos sinx y x y x y y x+ − = − = − 
Bài 28. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) sin sin 2 sin
4 4
x x x
    
+ − − =   
   
 b) 24sin .sin 4sin 3
3 3
x x x
    + − = −   
   
 c) 
2 2
tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3
x x x x x x
          
+ + + + + + = −       
       
 d) ( )3 2cos .cos cos .cos 1 3
3 4 6 4 4
x x x x
          
− + + + + = −       
        
Bài 29. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) 
cos( ) cot cot 1
cos( ) cot cot 1
a b a b
a b a b
− +
=
+ −
 b) 
sin( ) sin( ) sin( )
0
cos cos cos cos cos cos
a b b c c a
a b b c c a
− − −
+ + = 
 c) 2 2
2 2
sin( )sin( )
tan tan
cos cos
a b a b
a b
a b
+ −
= − d) 2 2
2 2
cos( )cos( )
1 tan tan
cos cos
a b a b
a b
a b
+ −
= − 
Bài 30. Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau : 
1) ( ) ( )4 4 6 63 sin x cos x 2 sin x cos x 1+ − + = 
2) ( ) ( ) ( )
2 2 2sin a cosa cos a 1 tan a sin a 1 cot a− = − + − 
3) 
2 2 2 2tan a sin a tan a.sin a− = 
4) 
2 2 2 2cot a cos a cot a.cos a− = 
5) 
sin a 1 cosa 2
1 cosa sin a sin a
+
+ =
+
Bài 31. 
 a) Chứng minh rằng: x x x3
1
sin (3sin sin3 ) (1)
4
= − 
 b) Thay 
n
nn n
a a a a
x vaøo tính S 3 3 1 3
2
(1), sin 3sin ... 3 sin .
33 3 3
−= = + + + 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 
Bài 32. 
 a) Chứng minh rằng: 
a
a
a
sin2
cos
2sin
= . 
 b) Tính 
n n
x x x
P
2
cos cos ... cos .
2 2 2
= 
 Bài 33. 
 a) Chứng minh rằng: 
x
x
x
1
cot cot
sin 2
= − . 
 b) Tính 
n
n
S k
1
1
1 1 1
... (2 )
sin sin2 sin2
 
  
−
−
= + + +  
Bài 34. 
 a) Chứng minh rằng: x x x x2tan .tan2 tan2 2tan= − . 
 b) Tính 
n
n n n
a a a a a
S a
2 2 1 2
2 1
tan .tan 2tan .tan ... 2 tan .tan
2 22 2 2
−
−
= + + + 
Bài 35. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a) cot tan 2 tan 2 4cot 4x x x x− − = b) 
21 2sin 2 1 tan 2
1 sin 4 1 tan 2
x x
x x
− +
=
− −
c) 
2
6
6 2
1 3tan
tan 1
cos cos
x
x
x x
− = + d) 
1 sin 2 cos2
tan 4
cos4 sin 2 cos2
x x
x
x x x
−
− =
+
e) tan 6 tan 4 tan 2 tan 2 .tan 4 .tan 6x x x x x x− − = 
f) 
sin 7
1 2cos2 2cos4 2cos6
sin
x
x x x
x
= + + + 
g) cos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4x x x x x x+ = 
Bài 36. Chứng minh rằng các biểu thức sau độc lập với a. 
1) 
3 3cos sin
sin .cos
cos sin
a a
A a a
a a
+
= +
+
2) ( ) ( )6 6 4 42 sin cos 3 sin cosB a a a a= + − + 
3) ( )8 8 6 6 43(sin cos ) 4 cos sin 6sinC a a a a a= − + − + 
4) 4 44(sin cos ) cos 4D a a a= + − 
5) ( )8 88 cos sin cos 6 7cos 2E a a a a= − − − 
Bài 37. Chứng minh rằng: 
1) ( )
cot a.cot b 1
cot a b
cot b cot a
 =

2) ( ) ( )tan a b tan a tan b tan a.tan b.tan a b+ − − = + 
3) 
( )
( ) ( )
2sin a b
tan a tan b
cos a b cos a b

= 
+ + −
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 
4) ( ) ( )2 2 2sin a b sin a sin b 2sin a.sin b.cos a b+ − − = + 
Bài 38. Chứng minh rằng 
1) 
3sin3a 3sin a 4sin a= − 2) 3cos3 4cos 3cosa a a= − 
3) 
2
tan cot
sin 2
x x
x
+ = 4) 4 4
3 1
sin cos cos4
4 4
x x x+ = + 
Bài 39. Chứng minh rằng : 
1) 
2
2tan a
sin 2a
1 tan a
=
+
 2) 
2
2
1 tan a
cos 2a
1 tan a
−
=
+
 3) 
tan 2a
cos4a
tan 4a tan 2a
=
−
Bài 40. Chứng minh rằng 
a) 
1
sin .sin .sin sin 3
3 3 4
 
      − + =   
   
b) ( )sin 5 2sin cos 4 cos 2 sin    − + = 
Bài 41. Chứng minh các hệ thức sau: 
 a) x y x y x y2 2sin( ).sin( ) sin sin+ − = − 
 b) 
x y
x y
x y x y
2sin( )
tan tan
cos( ) cos( )
+
+ =
+ + −
 c) o o o o(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ + o o o o(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + = 
 d) 
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan 2 .tan
−
=
− 
Bài 42. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: 
 a) = + = +2tan tan( ) sin sin .cos( )a a b khi b a a b 
 b) = + = +2tan tan( ) 3sin sin(2 )a a b khi b a b 
 c) = − + = −
1
tan .tan cos( ) 2cos( )
3
a b khi a b a b 
 d) 
k
a b b khi a b k a
k
1
tan( ).tan cos( 2 ) cos
1
−
+ = + =
+
Bài 43. Chứng minh rằng: 
 a) Nếu a bcos( ) 0+ = thì a b asin( 2 ) sin+ = . 
 b) Nếu a b bsin(2 ) 3sin+ = thì a b atan( ) 2 tan+ = . 
Bài 44. 
 a) Cho a b bsin(2 ) 5sin+ = . Chứng minh: 
a b
a
2tan( )
3
tan
+
= 
 b) Cho a b atan( ) 3tan+ = . Chứng minh: a b a bsin(2 2 ) sin2 2sin2+ + = 
Bài 45. Chứng minh rằng: 
1) cot tan 2tan 2 4tan 4 8cot8x x x x x− − − = 
2) tan3 tan 2 tan tan3 .tan 2 .tana a a a a a− − = 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 
3) 
2
tan cot
sin
x x
x
+ = 
4) 4 4 2cos sin 1 2sinx x x− = − 
5) 
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
x x
x x x
+
+ =
+
Bài 46. Chứng minh rằng: 
1) 
sin 4 cos2
 . tan
1 cos4 1 cos2
x x
x
x x
=
+ +
 2) 
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
 .
1 tan cot tan cot
x x x
x x x x
+ +
=
+ +
3) 
sin .cot
1
cos
x x
x
= 4) 2 2 2
2
1
sin tan cos
cos
x x x
x
= = − 
Bài 47. Chứng minh: 
1) 
2
2
2
1 sin
1 tan
1 sin
a
a
a
+
= +
−
 2) 
2 2
6
2 2
tan sin
 tan
cot cos
a a
a
a a
−
=
−
3)
2 2 2 2 2 sin . tan 4sin tan 3cos 3a a a a a+ − + = 
Bài 48. Chứng minh rằng : 
1) Nếu 
4 4sin cos 1a a
a b a b
+ =
+
 thì 
( )
8 8
33 3
sin cos 1a a
a b a b
+ =
+
2) 
3 3 sin 4cos .sin sin .cos
4
a
a a a a− = 
3) 
3 3sin a cos a sin 2a
1
sin a cosa 2
−
= +
−
4) 
21 1 2sin a
tan 2a
cos 2a 1 sin 2a
−
+ =
−
5) 
cosa sin a cosa sin a
2 tan 2a
cosa sin a cosa sin a
+ −
− =
− +
6) 
2
1 1 sin 2a
1 tan a 1 tan a
cosa cosa cos a
  
+ + + − =  
  
7) 
2sin 2 2sin tan
sin 2 2sin 2
a a a
a a
−
=
+
8) 21 sin 2sin
2 4
a
a
 
− = − 
 
9) ( ) ( )0 0sin 3a 4sin a.sin 60 a .sin 60 a= + − 
10) ( ) ( )0 0cos3a 4cosa.cos 60 a .cos 60 a= + − 
11) ( ) ( )0 0tan 3a tan a.tan 60 a .tan 60 a= + − 
Bài 49. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: 
 a) a a b khi b a cos a b2tan tan( ) sin sin . ( )= + = + 
 b) a a b khi b a b2tan tan( ) 3sin sin(2 )= + = + 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 
 c) a b khi a b a b
1
tan .tan cos( ) 2cos( )
3
= − + = − 
 d) 
k
a b b khi a b k a
k
1
tan( ).tan cos( 2 ) cos
1
−
+ = + =
+
Bài 50. Chứng minh các đẳng thức sau: 
1) ( ) ( ) ( )sin .sin sin .sin sin .sin 0a b c b c a c a b− + − + − = 
2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos a b .sin a b cos b c .sin b c cos a c .sin c a 0+ − + + − + + − = 
3) 0 0
a a 1
sin a 2sin 15 .cos 15
2 2 2
   
− − + =   
   
4) 
3 3sin os
1 sin cos
sin cos
a c a
a a
a a
+
= −
+
 5) 
2 2sin os tan 1
1 2sin cos t ana 1
a c a a
a a
− −
=
+ +
6) 
4 4 6 6 2 2sin os sin os sin cosa c a a c a a a+ − − = 7) 
tan tan
tan tan
cot cot
a b
a b
b a
−
=
−
8) ( ) ( )6 6 4 42 sin cos 1 3 sin cosa a a a+ + = + 9) ( ) ( )4 4 6 63 sin cos 2 sin cos 1x x x x+ − + = 
10) 
2 2 2 2tan sin tan .sina a a a− = 11) 
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
a a
a a a
+
+ =
+
12) 
4 4 2os sin 2cos 1c a a a− = − 13) 
2
2
2
1 sin
1 2 tan
1 sin
a
a
a
+
+ =
−
 ( nếu sin 1a   ) 
14) 
2 2sin os 1 cot
1 2sin cos 1 cot
a c a a
a a a
− −
=
+ +
 15) 
2 2 2 2cot os cot cosa c a a a− = 
16) 
2 2 2 2tan sin tan a sina a a− = 17) 
t ana sin
cos
sin cot
a
a
a a
− = 
18) 
2
2
2
1 sin
1 2 tan
1 sin
a
a
a
+
= +
−
 19) 
2 2
2 2
2 2
os sin
sin . os
cot tan
c a a
a c a
a a
−
=
−
Bài 51. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x. 
a) ( ) ( )2 2A cos a x cos x 2cosa.cos x.cos a x= − + − − ĐS: 2sin a 
b) ( ) ( )2 2B cos x 2cosa.cos x.cos a x cos a x= − + + + ĐS: 2sin a 
Bài 52. Chứng minh các biểu thức lượng giác sau luôn luôn nhận giá trị không đổi, không phụ thuộc vào 
góc  
a) 
2π 2π
cosa cos a cos a
3 3
   
+ + + −   
   
 b) 2 2
π π
sin a sin a sin a.sin a
3 3
   
+ − − −   
   
Bài 53. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào góc 𝛼 
a) 4 4 2 2 22cos α sin α sin α.cos α 3sin α− + + b) ( ) ( )
2 2
tanα cotα tanα cotα+ − − 
c) 3(sin4α +cos4α )-2(sin6α +cos6α ) d) (sin4α +cos4α -1).(tg2α +cotg2α +2) 
e) 2 2 2sin α.cot α cos α 1− + f) 4 4 2 2sin α cos α cos α 3sin α− − − 
Bài 54. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x : 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 
a) 4 4 2A cos x sin x 2sin x= − + 
b) 4 2 2 2B sin x sin x.cos x cos x= + + 
c) 4 2 2 2C cos x sin x.cos x sin x= + + 
d) ( ) ( )4 2 4 2D cos x 2cos x 3 sin x 2sin x 3= − + − 
e) 6 6 4 4 2E sin x cos x 2sin x cos x sin x= + − − + 
f) 2 2 2 2 2F cos x. cot x 5cos x cot x 4sin x= + − + 
Bài 55. Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến x 
a) 2
π π
A sin x cos x .cos x
3 3
   
= + − +   
   
b) 2 2 2
π π
B cos x cos x cos x
3 3
   
= + − + +   
   
c) 2 2 2
2π 2π
C sin x sin x sin x
3 3
   
= + − + +   
   
d) 2 2 2
2π 2π
D cos x cos x cos x
3 3
   
= + + + −   
   
Bài 56. Chứng minh các hệ thức sau: 
a) 
cos 1 sin
1 sin cos
 
 
+
=
−
 b) 
2 2(sin cos ) (sin cos )
4
sin .cos
   
 
+ − −
=
1 tanα cosα sinα
c) 
1 tanα cosα sinα
− −
=
+ +
 d) 2 2 2 2tan α sin α tan α.sin α− = 
e) 
2 2sin α cos α sinα cosα
1 2sinα.cosα sinα cosα
− −
=
+ +
 f) 
( )
( )
2 2
2
2
1 4sin α.cos α
sinα cosα
sinα cosα
−
= +
−
g) 
2 2 4
4
2 2 4
cos α sin α sin α
cot α
sin α cos α cos α
− +
=
− +
 h) 
cosα.cotα sinα.tanα
1 sinα.cosα
1 1
sinα cosα
−
= +
−
k) 
2 2
1 2sinα.cosα 1 tanα
cos α sin α 1 tanα
− −
=
− +
Bài 57. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) x x x4 4 2sin cos 1 2cos− = − 
 b) x x x x4 4 2 2sin cos 1 2cos .sin+ = − 
 c) x x x x6 6 2 2sin cos 1 3sin .cos+ = − 
 d) x x x x x x8 8 2 2 4 4sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos+ = − + 
 e) x x x x2 2 2 2cot cos cos .cot− = 
 f) x x x x2 2 2 2tan sin tan .sin− = 
 g) x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )+ + + = + + 
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 
 h) x x x x x x x x2 2sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot+ + = + 
 i) 
x x x
x x x
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
+ −
=
− − +
 k) 
x
x
x
2
2
2
1 sin
1 tan
1 sin
+
= +
− 
Bài 58. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) 
a b
a b
a b
tan tan
tan .tan
cot cot
+
=
+
 b) 
a a a
a a a a a
2
2
sin cos 1 cot
sin cos cos sin 1 cot
+
− =
− − −
 c) 
a a
a a
a a
2 2
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
− − =
+ +
 d) 
a a a
a a
a a a
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos tan 1
+
− = +
− −
 e) 
a a
a
a a
2
2
1 cos (1 cos )
1 2cot
sin sin
 + −
− = 
 
 f) 
a a a
a a a a
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
+ +
=
+ +
 g) 
a a
a
a a
2
21 sin 1 sin
4 tan
1 sin 1 sin
 + −
− = 
− + 
 h) 
a b a b
a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2
tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
− −
= 
 i) 
a a
a
a a
2 2
6
2 2
sin tan
tan
cos cot
−
=
−
 k) 
a a
a a
a aa a
3 3
3 3
2 2
tan 1 cot
tan cot
sin .cossin cos
− + = +
Bài 59. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: 
 a) x x x x4 4 6 63(sin cos ) 2(sin cos )+ − + ĐS: 1 
 b) x x x x x8 8 6 6 43(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin− + − + ĐS: 1 
 c) x x x x4 4 2 2(sin cos 1)(tan cot 2)+ − + + ĐS: –2 
 d) x x x x x2 2 2 2 2cos .cot 3cos cot 2sin+ − + ĐS: 2 
 e) 
x x
x x x
4 4
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
+ −
+ + −
 ĐS: 
2
3
 f) 
x x x x
x x
2 2 2 2
2 2
tan cos cot sin
sin cos
− −
+ ĐS: 2 
 g) 
x x
x x
6 6
4 4
sin cos 1
sin cos 1
+ −
+ −
 ĐS: 
3
2