Luyện tập Phương trình vô tỉ

.Dạng cơ bản:
1.Ví dụ: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
.
Vậy là nghiệm của phương trình.
Vậy là nghiệm của phương trình.
B. Bài tập tương tự.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
Bài 2: Giải các phương trình sau:
(HD: đặt )
(HD: đặt )
.Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ: Giải phương trình : 
Giải: Đặt ta có 
Tìm t sau đó suy ra x (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng)
2.Phương pháp đưa về hệ phương trình:
Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng 
Ví dụ: Giải phương trình : 
Đặt  
Khi đó ta có hệ 
Giải hệ tìm a;b suy ra x.
3.Phương pháp bất đẳng thức:
Ví dụ: Giải phương trình: 
Giải: Theo BĐT Côsi ta có 
Do đó 
4.Phương pháp lượng giác:
Ví dụ: Giải phương trình:  
Giải: Điều kiện .Đặt   và biến đổi đơn giản ta có:
suy ra a và từ đó tìm được x
5.Phương pháp nhân liên hợp:
Ví dụ: Giải phương trình:
Giải: Phương trình tương đương với:
Một số bài tập
Baì 79008
Giải phương trình sau:
Baì 74515
Cho phương trình:
Nghiệm của phương trình là:
Chọn một đáp án dưới đây
A. Vô nghiệm
B. X=2
C. Vô số nghiệm
D. Kết quả khác
<--- Click để xem đáp án
Baì 70314
Giải phương trình : 
Baì 66004
Giải phương trình:
Chọn một đáp án dưới đây
A. 
B. 
C. 
D. 
<--- Click để xem đáp án
Baì 62951
 Giải phương trình: 
Baì 62917
Giải phương trình: 
Baì 62916
Giải phương trình: 
Baì 62914
Giải phương trình: 
Baì 62912
Giải phương trình: 
Baì 62911
Giải phương trình: 
(HD: đặt )
Ví dụ 9: Giải phương trình 
(Đề chính thức Olympic 30 - 4 năm 2006)
Lời giải:
Vì không là nghiệm của phương trình ta viết phương trình dưới dạng:
Vì . Suy ra:
Nếu và 
Nếu . Suy ra:
( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và .
Mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp để tìm ra nhân tử chung là . Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này.
Sau đây, mình xin trình bày một phương pháp để tìm ra lượng nhân tử chung trên.
Xét phương trình:
Vì . Suy ra:
Bây giờ ta chỉ cần xác định sao cho:
. Suy ra:
và 
Từ đó ta suy ra lời giải toán của bài toán như đã trình bày.
Ví dụ 10: Giải phương trình
(Đề đề nghị, Olympic 30 - 4 năm 2007)
Lời giải:
Điều kiện: 
Vì không là nghiệm của phương trình ta viết dưới dạng:
Bằng phương pháp đã nêu trên ta tìm được . Vậy:
Vì . Suy ra:
Nếu và 
Nếu . Suy ra:
( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và .
Ví dụ 11: Giải phương trình 
( Thi HSGQG, năm 1995, bảng A)
Lời giải:
Điều kiện: 
Vì . Suy ra:
Vì . Suy ra:
Nếu .
Nếu . Suy ra:
Suy ra: hay ( vì )
Dễ thấy vế trái của phương trình liên tục và luôn đồng biến trên , vế phải của phương trình liên tục và luôn nghịch biến trên . Lại có là nghiệm vậy cũng là nghiệm duy nhất của phương trình . Nghiệm này loại vì .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 12: Giải phương trình
(Toán học và tuổi trẻ 365/2007)
Lời giải:
Điều kiện: 
Vì không là nghiệm của phương trình ta viết phương trình dưới dạng:
Vì . Suy ra:
Nếu và 
Nếu . Suy ra:
( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là và .
Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc
Giải các phương trình sau:
( Đề đề nghị Olympic 30-4)
( Đề đề nghị Olympic 30-4)
( Đề đề nghị Olympic 30-4)
( Đề đề nghị Olympic 30-4)
( Toán học và tuổi trẻ)
Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
Dạng 1: Phương trình
Dạng 2: phương trình:
( g(x,m) phải có nghĩa)
Dạng 3: Phương trình:
(f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa)
Ví dụ minh hoạ :
VD1: tìm m để pt sau có nghiệm:
LG:
Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng:
Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ - dạng 1:
Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một ohương trình với một ẩn phụ
Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:
* Nếu bài toán chứa và f(x), có thể đặt , điều kiện tối thiểu , khi đó 
* Nếu bài toán chưa và ( k=const) có thể: đặt , điều kiện tối thiểu , khi đó 
* Nếu bài toán chứa và f(x)+g(x)=k (k=const), có thể : đặt , khi đó 
* Nếu bài toán chứa có thể đặt x=|a|sint với hoặc t=|a|cost với 
* Nếu bài toán chưa có thể đặt x=|a|tant với hoặc đặt x=|a|cotx với t
* Nếu bài toán chứa hoặc có thể đặt x=acos2t
* Nếu bài toán chứa có thể đặt
Chú ý: Vơí các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng pp đặt ẩn phụ, nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.
Để tìm Đk đúng cho ẩn phụ đối vơícác phương trình vô tỉ, ta có thể lựa chọn một trong các pp sau:
- Sử dụng tam thức bậc 2,ví dụ: 
- Sử dụng BĐT,ví dụ:
Vậy Đk cho ẩn phụ là : 
-Sử dụng đạo hàm                             Ví dụ 
VD1: GPT: 
Đặt , ta có: 
do đó điều kiện cho ẩn phụlà 
Khi đó phương trình có dạng :
Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2
VD2:GPT: ++=0       (1)
Nx: không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho được 
                                                (2)
Đặt } , khi đó 
(2) hoặc t=-1/2
Bây giờ xét 2 trường hợp:
TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải không âm,do đó 2 nghiệm trên bị loại. Vậy pt vô nghiệm.
TH2: Nếu n lẻ
Với ( vô nghiệm)
Với 
Vậy...
Bài tập tương tự: Giải các pt sau:
b>Giải và biện luận pt :
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ - dạng 2:
Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình mới với k ẩn phụ.
Trong hệ mới thì k-1 phương trình nhận được từ các mỗi liên hệ giữa các đại lượng tương ứng. Chẳng hạn : 
+
ta có thể đặt 
suy ra 
Khi đó ta thu được hệ phương trình :  
Ví dụ: 
Giải: Đk:
đặt : 
Khi đó pt được chuyển thành hệ:
giải ra được hay 
Bài tập tương tự: Giải các pt sau:
b> Giải và biện luận :