Lý thuyết Lượng giác THPT

 Nguyễn Quốc Hoàn 0917 688 567 Nguyễn Quốc Hoàn 0917 688 567 
 H 1 H 2 
l-ợng giác
1. Công thức l-ợng giác cơ bản 
+) 
2 2cos sin 1    
+) 1 + tan2 = 
2
1
k , k
2cos
 
    
 
Z 
+) 1 + cot2 = 
2
1
( k , k )
sin
  

Z 
+) tan . cot = 1 
k
, k
2
 
   
 
Z . 
2. Giá trị l-ợng giác của các cung có liên quan đặc biệt 
 GTLG 
 Cung () 
sin 
cos 
tan 
cot 
Đối nhau ( = –) –sin cos –tan –cot 
Bù nhau ( =  – ) sin –cos –tan –cot 
Hơn kém  ( =  + ) –sin –cos tan cot 
Phụ nhau ( = 
2

 – ) 
cos 
sin 
cot 
tan 
Hơn kém 
2

 ( = 
2

 + ) 
cos 
–sin 
–cot 
–tan 
sin( + k2) = sin, cos( + k2) = cos,  k  Z 
 tan( + k) = tan, cot( + k) = cot,  k  Z. 
3. Công thức cộng 
+) cos(  ) = cos cos  sin sin 
+) sin(  ) = sin cos  cos sin 
+) tg(  ) = 
tg tg
1 tg tg
  
 
 (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa) 
+) cotg(  ) = 
1 tg tg
tg tg
 
  

 (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa). 
4. Công thức nhân đôi 
+) sin2 = 2 sin cos 
+) cos2 = cos2 – sin2 = 2cos2 – 1 = 1 – 2sin2 
+) tan2 = 
2
2 tan
1 tan

 
 (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa) 
+) cot2 = 
2cot 1
2cot
 

 (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa). 
5. Công thức nhân ba 
+) sin3 = 3sin – 4sin3 +) cos3 = 4cos3 – 3cos 
+) tan3 = 
3
2
3tan tan
1 3tan
  
 
 (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa). 
6. Công thức hạ bậc 
+) cos2 = 
1 cos 2
2
 
 +) sin2 = 
1 cos 2
2
 
+) tan2 = 
1 cos 2
1 cos 2
 
 
 k , k
2
 
     
 
Z 
+) cos3 = 
3cos cos3
4
  
 +) sin3 = 
3sin sin 3
4
  
+) tan3 = 
3sin sin 3
3cos cos3
  
  
 (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa). 
7. Công thức biến đổi tích thành tổng 
+) cos.cos = 
1
[cos( ) cos( )]
2
     
+) sin.sin = 
1
[cos( ) cos( )]
2
    
+) sin.cos = 
1
[sin( ) sin( )]
2
    . 
8. Công thức biến đổi tổng thành tích 
+) cos + cos = 2cos cos
2 2
  
+) cos – cos = –2sin sin
2 2
   
+) sin + sin = 2sin cos
2 2
  
+) sin – sin = 2cos sin
2 2
   
+) tan  tan = 
sin( )
cos .cos
 
 
 ; k , k
2
 
      
 
Z . 
9. Bảng xác định dấu của các giá trị l-ợng giác 
 Phần t- 
 Giá trị l-ợng giác 
I 
II 
III 
IV 
 cos + – – + 
 sin + + – – 
 tan + – + – 
 cot + – + – 
10. Giá trị l-ợng giác của các cung đặc biệt 
 
0 (00) 
6

 (300) 
4

 (450) 
3

 (600) 
2

 (900) 
sin 
0 
1
2
 2
2
3
2
1 
cos 
1 3
2
2
2
1
2
0 
tan 
0 
1
3
1 
3 
 
cot 
 
3 
1 
1
3
0 
11. Đổi đơn vị 
a (độ) và  (rad) 180 . a =  . . 
12. Độ dài của một cung tròn 
 Cung có số đo  rad của đ-ờng tròn bán kính R có độ dài  = R . 
13. Giá trị l-ợng giác của cung  
sin = OK 
cos = OH 
tan = 
sin
cos


cot = 
cos
sin


tan = AT 
cot = BS 
–1 ≤ sin ≤ 1 
–1 ≤ cos ≤ 1. 
14. Đ-ờng tròn định h-ớng, 
cung l-ợng giác, góc l-ợng giác và 
đ-ờng tròn l-ợng giác. 
 x 
 y 
 A 
 A’ 
 B’ 
 B 
 O 
 M 
 K 
 H 
 
 t 
 t’ 
 s’ 
 s 
 S 
 T 
 Nguyễn Quốc Hoàn 0917 688 567 Nguyễn Quốc Hoàn 0917 688 567 
 H 3 H 4 
15. Biểu diễn sinx, cosx, tanx và cotx theo t = 
x
tan
2
sinx = 
2
2t
1 t
, cosx = 
2
2
1 t
1 t


,  x k2 , k   Z 
tanx = 
2
2t
1 t
x k2
, k
x k
2
   
     
 
Z 
cotx = 
21 t
2t

  x k , k  Z . 
16. Biến đổi biểu thức asinx + bcosx 
asinx + bcosx = 
2 2
2 2 2 2
a b
a b sinx cosx
a b a b
 
  
 
  
+) Đặt 
2 2 2 2
a b
cos , sin
a b a b
   
 
, khi đó 
asinx + bcosx =  2 2a b sinxcos cosxsin    = 2 2a b sin(x )  
+) Đặt 
2 2 2 2
a b
sin , cos
a b a b
   
 
, khi đó 
asinx + bcosx =  2 2a b sinxsin cosxcos    = 2 2a b cos(x )  
+) Đặc biệt: sin cos 2 sin 2 cos
4 4
   
       
   
x x x x
 
 sin 3 cos 2sin 2cos
3 6
   
       
   
x x x x
 
. 
17. Phửụng trỡnh lửụùng giaực cụ baỷn 
+) 
2
sin sin
2
 
  
  
Z
x k
x k
x k
 

  
arcsin 2
sin
arcsin 2
 
  
  
Z
x a k
x a k
x a k

 
2
sin sin
2
 
  
  
Z
u v k
u v k
u v k

 
+) 
2
cos cos
2
 
  
  
Z
x k
x k
x k
 

 
cos 2
cos
cos 2
 
  
  
Z
x arc a k
x a k
x arc a k


2
cos cos
2
 
  
  
Z
u v k
u v k
u v k


+) tanx = tan x = + k  Zk   
 tan arctan    Zx a x a k k 
 tan tan   u v u v k k Z 
+) cotx = t x = + k   Zco k   
 ar     Zx a x a k kcot ccot 
     Zu v u v k kcot cot . 
18. Phửụng trỡnh baọc hai ủoỏi vụựi moọt haứm soỏ lửụùng giaực 
+) asin
2
x + bsinx + c = 0 (a ≠ 0). ẹaởt sinx = t, ủk | | 1t 
+) acos
2
x + bcosx + c = 0 (a ≠ 0). ẹaởt cosx = t, ủk | | 1t 
+) atan
2
x + btanx + c = 0 (a ≠ 0). ẹaởt tanx = t 
+) acot
2
x + bcotx + c = 0 (a ≠ 0). ẹaởt cotx = t. 
19. Phửụng trỡnh đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx 
a sin
2
x + b sinxcosx + c cos
2
x = d (a
2
 + b
2
 + c
2
 ≠ 0) 
Cách 1: Hạ bậc sin2x, cos2x và dùng CTNĐ sinxcosx 
Cách 2: B-ớc 1: xeựt cosx = 0. B-ớc 2: xeựt cos 0x , chia hai veỏ 
cuỷa phửụng trỡnh cho cos
2
x 
Chú ý: Nếu d = 0, gọi là: ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với 
sinx và cosx. PT đẳng cấp bậc ba, bậc bốn cũng giải t-ơng tự. 
20. Ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c 
Cách 1: Đặt cos = 
2 2
a
a b
 và sin = 
2 2
b
a b
2 2 sin( )   a b x c 
Cách 2: sin cos
 
  
 
b
a x x c
a
 Đặt tan
b
a
 
 sin cos .tan  a x x c sin( ) cos  
c
x
a
  
Cách 3: Đặt tan
2

x
t (Chú ý kiểm tra x k2 , k   Z tr-ớc) 
ta có 
2
2 2
2 1
sin ; cos
1 1

 
 
t t
x x
t t
 2( ) 2 0     b c t at b c 
Điều kiện ph-ơng trình có nghiệm: 2 2 2 a b c . 
21. Ph-ơng trình đối xứng, phản đối xứng với sinx và cosx 
a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x + cosx, 2t 
a(sin x – cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x – cosx, 2t . 
22. Một số công thức khác 
2
tan cot
sin2
 x x
x
, cotx - tanx = 2cot2x , cotx + coty = 
sin(x y)
sin x sin y

cotx – coty = 
sin(y x)
sin x sin y

 (Với điều kiện là các biểu thức có nghĩa). 
23. Hàm số l-ợng giác 
+) Haứm soỏ sin: 
sin :
sin

x y x
R R
. Taọp xaực ủũnh D = R. 
Taọp giaự trũ:  1 ; 1 . Laứ haứm soỏ leỷ. Haứm soỏ tuaàn hoaứn vụựi chu kyứ 
2 . Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2
2 2
  
     
 
 và nghịch 
biến trên mỗi khoảng 
3
k2 ; k2
2 2
  
    
 
, k  Z. Có đồ thị là 
một đ-ờng hình sin. 
+) Haứm soỏ côsin: 
: 
x y x
R Rcos
cos
. Taọp xaực ủũnh D = R. 
Taọp giaự trũ:  1 ; 1 . Laứ haứm soỏ chẵn. Haứm soỏ tuaàn hoaứn vụựi chu 
kyứ 2 . Đồng biến trên mỗi khoảng  k2 ; k2   và nghịch 
biến trên mỗi khoảng  k2 ; k2   , k  Z. Có đồ thị là một 
đ-ờng hình sin. 
+) Haứm soỏ tang: 
tan :
tan


D
x y x
R
. Taọp xaực ủũnh 
\
2
 
   
 
ZD R k k

 . Taọp giaự trũ R. Laứ haứm soỏ leỷ. Haứm soỏ 
tuaàn hoaứn vụựi chu kyứ  . Đồng biến trên mỗi khoảng 
k ; k
2 2
  
     
 
, k  Z. Có đồ thị nhận mỗi đ-ờng thẳng 
x = k
2

  , k  Z làm một đ-ờng tiệm cận. 
+) Haứm soỏ côtang: 
:
tan


D
x y x
Rcot
. Taọp xaực ủũnh 
 \ ZD R k k . Taọp giaự trũ R. Laứ haứm soỏ leỷ. Haứm soỏ tuaàn 
hoaứn vụựi chu kyứ  . Nghịch biến trên mỗi khoảng  k ; k   , 
k  Z. Có đồ thị nhận mỗi đ-ờng thẳng x = k , k  Z làm một 
đ-ờng tiệm cận.