Một trăm bài tập Hình học lớp 9

 0 
 MỘT TRĂM BÀI TẬP 
 HÌNH HỌC LỚP 9. 
 Phần 1: 50 bài tập cơ 
bản. 
 1 
Bài 1: Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn 
ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. 
1. Chứng minh:BEDC nội tiếp. 
2. Chứng minh: góc DEA=ACB. 
3. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 
4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân 
giác của góc MAN. 
5. Chứng tỏ: AM2=AE.AB. 
 Giợi ý: 
 y 
 A 
 x 
 N 
 E D 
 M O 
 B C 
 Ta phải c/m xy//DE. 
 Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ góc xAB=
2
1 sđ cung AB. 
Mà sđ ACB=
2
1 sđ AB. ⇒góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt) 
⇒xAB=AED hay xy//DE. 
 4.C/m OA là phân giác của góc MAN. 
Do xy//DE hay xy//MN mà OA⊥xy⇒OA⊥MN.⊥OA là đường trung trực của 
MN.(Đường kính vuông góc với một dây)⇒∆AMN cân ở A ⇒AO là phân giác 
của góc MAN. 
 5.C/m :AM2=AE.AB. 
Do ∆AMN cân ở A ⇒AM=AN ⇒cung AM=cung AN.⇒góc MBA=AMN(Góc 
nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);góc MAB chung 
 ⇒∆MAE 
∆ BAM⇒
MA
AE
AB
MA
= ⇒ MA2=AE.AB. 
 


1.C/m BEDC nội tiếp: 
C/m góc BEC=BDE=1v. Hia 
điểm D và E cùng làm với hai 
đầu đoạn thẳng BC một góc 
vuông. 
2.C/m góc DEA=ACB. 
Do BECD nt⇒DMB+DCB=2v. 
Mà DEB+AED=2v 
⇒AED=ACB 
3.Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là 
đường thẳng xy (Hình 1) 
Hình 1 
 2 
Bài 2: 
 Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, 
đường kính BC.Gọi M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông 
góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. 
 1.Tứ giác ADBE là hình gì? 
 2.C/m DMBI nội tiếp. 
 3.C/m B;I;C thẳng hàng và MI=MD. 
 4.C/m MC.DB=MI.DC 
 5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’) 
 Gợi ý: 
 D 
 I 
 A M O B O’ C 
 E 
 3.C/m B;I;E thẳng hàng. 
 Do AEBD là hình thoi ⇒BE//AD mà AD⊥DC (góc nội tiếp chắn nửa đường 
tròn)⇒BE⊥DC; CM⊥DE(gt).Do góc BIC=1v ⇒BI⊥DC.Qua 1 điểm B có hai 
đường thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC ⊥B;I;E thẳng hàng. 
 •C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; ∆EID vuông ở I⇒MI là đường trung 
tuyến của tam giác vuông DEI ⇒MI=MD. 
 4. C/m MC.DB=MI.DC. 
 hãy chứng minh ∆MCI
 ∆DCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắn cung MI do 
DMBI nội tiếp) 
5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’) 
 -Ta có ∆O’IC Cân ⇒góc O’IC=O’CI. MBID nội tiếp ⇒MIB=MDB (cùng chắn 
cung MB) ∆BDE cân ở B ⇒góc MDB=MEB .Do MECI nội tiếp ⇒góc MEB=MCI 
(cùng chắn cung MI) 
Từ đó suy ra góc O’IC=MIB ⇒MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v 
Vậy MI ⊥O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) ⇒MI là tiếp tuyến của (O’). 
1.Do MA=MB và AB⊥DE tại 
M nên ta có DM=ME. 
⇒ADBE là hình bình hành. 
Mà BD=BE(AB là đường 
trung trực của DE) vậy 
ADBE ;là hình thoi. 
2.C/m DMBI nội tiếp. 
BC là đường kính,I∈(O’) nên 
Góc BID=1v.Mà góc 
DMB=1v(gt) 
⇒BID+DMB=2v⇒đpcm. 
Hình 2 
 3 
 

 
Bài 3: 
 Cho ∆ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường 
tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại 
S. 
1. C/m BADC nội tiếp. 
2. BC cắt (O) ở E.Cmr:MR là phân giác của góc AED. 
3. C/m CA là phân giác của góc BCS. 
 Gợi ý: 
 D S 
 A M 
 O 
 B E C 
 ⇒AEM=MED. 
 4.C/m CA là phân giác của góc BCS. 
 -Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB) 
 -Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS) 
 -Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD) 
 DMS=DCS(Cùng chắn cung DS) 
⇒Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA. 
 Vậy góc ADB=SCA⇒đpcm. 
 

 
1.C/m ABCD nội tiếp: 
C/m A và D cùng làm 
với hai đầu đoạn thẳng 
BC một góc vuông.. 
2.C/m ME là phân giác 
của góc AED. 
•Hãy c/m AMEB nội 
tiếp. 
•Góc ABM=AEM( cùng 
chắn cung AM) 
Góc ABM=ACD( Cùng 
chắn cung MD) 
Góc ACD=DME( Cùng 
chắn cung MD) 
Hình 3 
 4 
Bài 4: 
 Cho ∆ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng 
đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM 
cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. 
1. C/m ADCB nội tiếp. 
2. C/m ME là phân giác của góc AED. 
3. C/m: Góc ASM=ACD. 
4. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED. 
5. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy. 
 Gợi ý: 
 A 
 S D 
 M 
 B E C 
 ⇒ABD=ACD (Cùng chắn cung AD) 
 •Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD) 
 •Do MC là đường kính;E∈(O)⇒Góc MEC=1v⇒MEB=1v ⇒ABEM nội 
tiếp⇒Góc MEA=ABD. ⇒Góc MEA=MED⇒đpcm 
 3.C/m góc ASM=ACD. 
 Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD) 
 Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung 
SM)⇒SMD+SDM=SCD+SCM=MCD. 
Vậy Góc A SM=ACD. 
 4.C/m ME là phân giác của góc AED (Chứng minh như câu 2 bài 2) 
 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy. 
 Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng. 
 •Do CA⊥AB(gt);BD⊥DC(cmt) và AC cắt BD ở M⇒M là trực tâm của tam giác 
KBC⇒KM là đường cao thứ 3 nên KM⊥BC.Mà ME⊥BC(cmt) nên K;M;E thẳng 
hàng ⇒đpcm. 
 

 
1.C/m ADCB nội tiếp: 
Hãy chứng minh: 
Góc MDC=BDC=1v 
Từ đó suy ra A vad D 
cùng làm với hai đầu 
đoạn thẳng BC một góc 
vuông 
2.C/m ME là phân giác 
của góc AED. 
•Do ABCD nội tiếp nên 
Hình 4 
 5 
 Bài 5: 
 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm 
O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông 
góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. 
1. C/m AEDB nội tiếp. 
2. C/m DB.A’A=AD.A’C 
3. C/m:DE⊥AC. 
4. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF. 
 Gợi ý: 
 A 
 N E 
 O I 
 B D M C 
 F 
 A’ 
 1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E cùng làm với hai đầu đoạn 
AB) 
 2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chứng minh được hai tam giác vuông DBA và 
A’CA đồng dạng. 
 3/ C/m DE⊥AC. 
 Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc 
BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà 
góc ACA’=1v nên DE⊥AC. 
 4/C/m MD=ME=MF. 
 •Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
ABDE. Do M;N là trung điểm BC và AB ⇒MN//AC(Tính chất đường trung bình) 
Do DE⊥AC ⇒MN⊥DE (Đường kính đi qua trung điểm một dây)⇒MN là đường 
trung trực của DE ⇒ME=MD. 
 • Gọi I là trung điểm AC.⇒MI//AB(tính chất đường trung bình) 
⇒A’BC=A’AC (Cùng chắn cung A’C). 
Do ADFC nội tiếp ⇒Góc FAC=FDC(Cùng chắn cung FC) ⇒Góc A’BC=FDC hay 
DF//BA’ Mà ABA’=1v⇒MI⊥DF.Đường kính MI⊥dây cung DF⇒MI là đường 
trung trực của DF⇒MD=MF. Vậy MD=ME=MF. 
 

 
Hình 5 
 6 
Bài 6: 
 Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một 
điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ 
từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 
 1/C/m MFEC nội tiếp. 
 2/C/m BM.EF=BA.EM 
 3/C/M ∆AMP
∆FMQ. 
 4/C/m góc PQM=90o. 
 Giải: 
 A M 
 F 
 P 
 B E C 
 Do MFEC nội tiếp nên góc ACM=FEM(Cùng chắn cung FM). 
⇒Góc ABM=FEM.(1) 
Ta lại có góc AMB=ACB(Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên góc 
FME=FCM(Cùng chắn cung FE).⇒Góc AMB=FME.(2) 
Từ (1)và(2) suy ra :∆EFM
∆ABM ⇒đpcm. 
3/C/m ∆AMP
∆FMQ. 
 Ta có ∆EFM
∆ABM (theo c/m trên)⇒ 
MF
AM
FE
AB
= maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) 
⇒
FM
AM
FQ
AP
MF
AM
FQ
AP
=⇒=
2
2 và góc PAM=MFQ (suy ra từ ∆EFM
∆ABM) 
Vậy: ∆AMP
∆FMQ. 
4/C/m góc:PQM=90o. 
 Do góc AMP=FMQ ⇒PMQ=AMF ⇒∆PQM
∆AFM ⇒góc MQP=AFM Mà góc 
AFM=1v⇒MQP=1v(đpcm). 
 

 
1/C/m MFEC nội tiếp: 
(Sử dụng hai điểm E;F cung 
làm với hai đầu đoạn thẳng 
CM) 
2/C/m BM.EF=BA.EM 
 •C/m:∆EFM
∆ABM: 
Ta có góc ABM=ACM (Vì 
cùng chắn cung AM) 
Hình 6 
 7 
Bài 7: 
 Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D 
sao cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp 
tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. 
1. C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn này. 
2. C/m ∆BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD. 
3. C/m GEFB nội tiếp. 
4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp 
∆BCD.Có nhận xét gì về I và F 
 A 
 B O C 
 F I 
 D 
 G E 
Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung; 
Góc BE F=FED =45o;BE=ED(hai cạnh của hình vuông ABED).⇒∆BFE=∆E FD 
⇒BF=FD⇒BF=FC=FD.⇒đpcm. 
3/C/m GE FB nội tiếp: 
 Do ∆BFC vuông cân ở F ⇒Cung BF=FC=90o. ⇒sđgóc GBF=
2
1 Sđ cung 
BF=
2
1 .90o=45o.(Góc giữa tiếp tuyến BG và dây BF) 
Mà góc FED=45o(tính chất hình vuông)⇒Góc FED=GBF=45o.ta lại có góc 
FED+FEG=2v⇒Góc GBF+FEG=2v ⇒GEFB nội tiếp. 
4/ C/m• C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp ⇒Góc BFG=BEG mà 
BEG=1v⇒BFG=1v.Do ∆BFG vuông cân ở F⇒Góc BFC=1v.⇒Góc 
BFG+CFB=2v⇒G;F;C thẳng hàng. C/m G cũng nằm trên :Do 
GBC=GDC=1v⇒tâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là F⇒G nằn trên đường tròn 
ngoại tiếp ∆BCD. •Dễ dàng c/m được I≡ F. 
1/C/m BGEC nội tiếp: 
-Sử dụng tổng hai góc đối 
-I là trung điểm GC. 
2/•C/m∆BFC vuông cân: 
Góc BCF=FBA(Cùng chắn 
cung BF) mà góc FBA=45o 
(tính chất hình vuông) 
⇒Góc BCF=45o. 
Góc BFC=1v(góc nội tiếp 
chắn nửa đường tròn)⇒đpcm. 
•C/m F là tâm đường tròn 
ngoại tiếp ∆BDC.ta C/m F 
cách đều các đỉnh B;C;D 
Do ∆BFC vuông cân nên 
BC=FC. 
Hình 7 
 8 
Bài 8: 
Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn 
cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở 
E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). 
1. C/m BDCO nội tiếp. 
2. C/m: DC2=DE.DF. 
3. C/m:DOIC nội tiếp. 
4. Chứng tỏ I là trung điểm FE. 
 A 
 F 
 O I 
 B C 
 E 
 D 
Ta có: sđgóc BAC=
2
1 sđcung BC(Góc nội tiếp) (1) 
Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt 
nhau);OD chung⇒∆BOD=∆COD⇒Góc BOD=COD 
⇒2sđ gócDOC=sđ cung BC ⇒sđgóc DOC=
2
1 sđcungBC (2) 
Từ (1)và (2)⇒Góc DOC=BAC. 
Do DF//AB⇒góc BAC=DIC(Đồng vị) ⇒Góc DOC=DIC⇒ Hai điểm O và I cùng 
làm với hai đầu đoạn thẳng Dc những góc bằng nhau⇒đpcm 
4/Chứng tỏ I là trung điểm EF: 
Do DOIC nội tiếp ⇒ góc OID=OCD(cùng chắn cung OD) 
Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒Góc OID=1v hay OI⊥ID ⇒OI⊥FE.Bán 
kính OI vuông góc với dây cung EF⇒I là trung điểmEF. 
1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai 
góc đối) 
2/C/m:DC2=DE.DF. 
Xét hai tam giác:DEC và DCF có góc 
D chung. 
SđgócECD=
2
1 sđ cung EC(Góc giữa 
tiếp tuyến và một dây) 
Sđ góc E FC=
2
1 sđ c ... i tiếp ∆AEF. Cmr: DIMF nội tiếp. 
4. Gọi H là giao điểm AC với FE. Cm: AI.AM=AC.AH. 
 E 
 B 
 A O I C H M 
 D 
 F 
1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt trong (O) đường kính AC⇒ABC=ADC=1v (góc nt 
chắn nửa đường tròn)⇒ FBE=EDF=1v⇒đpcm. 
2/ C/m DA.DF=DC.DE: 
Xét hai tam giác vuông DAC và DEF có: Do BF⊥AE và ED⊥AF nên C là trực tâm 
của ∆AEF⇒Góc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)⇒đpcm. 
3/ Cm:DIMF nt: Vì AC⊥BD(gt) ⇒DIM=1v và I cũng là trung điểm của DB(đường 
kính vuông góc với dây DB)⇒∆ADB cân ở A⇒ AEF cân ở A (Tự c/m yếu tố 
này)⇒Đường tròn ngoại tiếp ∆AEF có tâm nằm trên đường AM ⇒góc 
AFM=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)⇒DIM+DFM=2v⇒đpcm. 
4/
Hình 
 105 
Bài 91: 
 Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A.Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) tại B và 
C (khác A). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE(D∈(O)); DB và CE kéo dài cắt nhau ở 
M. 
1. Cmr: ADEM nội tiếp. 
2. Cm: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 
3. ADEM là hình gì? 
4. Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC. 
B O A O’ C 
 E 
 D 
 M 
Tương tự ta có AMB=ACM⇒Hai tam giác ABM và ACM có hai cặp góc 
tương ứng bằng nhau⇒Cặp góc cònlại bằng nhau.Hay BAM=MAC.Ta lại có 
BAM+MAC=2v⇒BAM=MAC=1v hay OA⊥AM tại điểm A nằm trên đtròn. 
3/ADEM là hình gì? 
Vì BAM=1v⇒ABM+AMB=1v.Ta còn có MA là tt của đtròn⇒DAM=MBA (cùng 
bằng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta có ACM=AMB Nên 
DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vậy DAE=1v nên ADEM là hình chữ 
nhật. 
4/Cm: MD.MB=ME.MC . 
Tam giác MAC vuông ở A có đường cao AE.Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác 
vuông ta có:MA2=ME.MC.Tương tự trong tam giác vuông MAB có 
MA2=MD.MB⇒đpcm. 
 

 
1/Cm:ADEM nt: Vì AEC=1v 
và ADB=1v(góc nt chắn nửa 
đtròn) 
⇒ADM+AEM=2v⇒đpcm. 
2/C/m MA là tiếp tuyến của 
hai đường tròn; 
-Ta có sđADE=
2
1 sđ 
cungAD=sđ DBA.Và 
ADE=AME(vì cùng chắn 
cung AE do tứ giác ADME 
nt)⇒ABM=AMC. 
Hình 
 106 
Bài 92: 
 Cho hình vuông ABCD.Trên BC lấy điểm M. Từ C hạ CK⊥ với đường 
thẳng AM. 
1. Cm: ABKC nội tiếp. 
2. Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại N.Từ B dựng đường 
vuông góc với BD, đường này cắt đường thẳng DK ở E. Cmr: 
BD.KN=BE.KA 
3. Cm: MN//DB. 
4. Cm: BMEN là hình vuông. 
A B N 
 M E 
 K 
 D C 
1/Cm: ABKC nội tiếp: Ta có ABC=1v (t/c hình vuông); AKC=1v(gt) ⇒ đpcm. 
2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuông BDE và KAN có: 
Vì ABCD là hình vuông nên nội tiếp trong đường tròn có tâm là giao 
điểm hai đường chéo.Góc AKC=1v⇒A;K;C nằm trên đtròn đường kính 
AC.Vậy 5 điểm A;B;C;D;K cùng nằm trên một đường tròn.⇒Góc 
BDK=KDN (cùng chắn cung BK)⇒∆BDE~∆KAN⇒
KN
BE
KA
BD
= ⇒đpcm. 
3/ Cm:MN//DB.Vì AK⊥CN và CB⊥AN ;AK cắt BC ở M⇒M là trực tâm của 
tam giác ANC⇒NM⊥AC.Mà DB⊥AC(tính chất hình vuông)⇒MN//DB. 
4/Cm:BNEM là hình vuông: 
Vì MN//DB⇒DBM=BMN(so le) mà DBM=45o⇒BMN =45o⇒∆BNM là tam 
giác vuông cân⇒BN=BM.Do BE⊥DB(gt)và BDM=45o⇒MBE=45o⇒∆MBE 
là tam giác vuông cân và BM là phân giác của tam giác MBN;Ta dễ 
dàng c/m được MN là phân giác của góc BMN⇒BMEN là hình thoi lại 
có goác B vuông nên BMEN là hình vuông. 
 

 
Hình 
 107 
Bài 93: 
 Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB ở O. Gọi M là 1 điểm 
trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M. Kẻ NE; NF và NP lần lượt 
vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB ở Q. 
1. Cm: QPCB nội tiếp. 
2. Cm: AN//DB. 
3. Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng. 
4. Cm: ∆PEN là tam giác cân. 
F N 
 I 
 A Q E B 
 P 
 M 
 O 
 D C 
1/C/m QPCB nội tiếp:Ta có:NPC=1v(gt) và QBC=1v(tính chất hình chữ 
nhật).⇒đpcm. 
2/Cm:AN//DB vì O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật⇒O là 
trung điểm AC.Vì C và N đối xứng với nhau qua M⇒M là trung điểm NC 
⇒OM là đường trung bình của ∆ANC⇒OM//AN hay AN//DB. 
3/Cm:F;E;M thẳng hàng. 
Gọi I là giao điểm EF và AN.Dễ dàng chứng minh được AFNE là hình 
chữ nhật⇒∆AIE và OAB là những tam gíc cân⇒IAE=IEA và 
ABO=BAO.Vì AN//DB⇒ IAE=ABO(so le)⇒IEA=EAC⇒EF//AC hay IE//AC
 
Vì I là trung điểm AN;M là trung điểm NC⇒IM là đường trung bình của 
∆ANC⇒MI//AC .Từ 
và Ta có I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng 
hàng ⇒F;F;M thẳng hàng. 
4/C/m∆PEN cân:Dễ dàng c/m được ANEP nội tiếp⇒PNE=EAP(cùng chắn 
cung PE).Và PNE=EAN(cùng chắn cung EN).Theo chứng minh câu 3 ta có 
thể suy ra NAE=EAP⇒ENP=EPN⇒∆PEN cân ở E. 
 

 
 108 
Bài 94: 
 Từ đỉnh A của hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạo với nhau 1 góc bằng 
45o. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt 
cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q. 
1. Cm:E; P; Q; F; C cùng nằm trên 1 đường tròn. 
2. Cm:AB.PE=EB.PF. 
3. Cm:S∆AEF=2S∆APQ. 
4. Gọi M là trung điểm AE.Cmr: MC=MD. 
 A B 
 M 
 P E 
 Q 
 D F C 
1/Cm:E;P;Q;C;F cùng nằm trên một đường tròn: 
Ta có QAE=45o.(gt) và QBC=45o(t/c hình vuông)⇒ABEQ nội tiếp 
⇒ABE+AQE=2v mà ABE=1v⇒AQE=1v
.Ta có ∆AQE vuông ở Q có góc 
QAE=45o⇒∆AQE vuông cân⇒AEQ=45o.Ta lại có EAF=45o(gt) và PDF=45o 
⇒APFD nội tiếp⇒APF+ADF=2v mà ADF=1v⇒APF=1v 
và ECF=1v  .Từ 
⇒E;P;Q;F;C cùng nằm trên đường tròn đường 
kính EF. 
2/Chứng minh: AB.PE=EB.PF.Xét hai tam giác vuông ABE có: 
-Vì ABEQ nt⇒BAE=BQE(Cùng chắn cung BE) 
-Vì QPEF nt⇒PQE=PEF(Cùng chắn cung PE) 
⇒đpcm. 
3/Cm: :S∆AEF=2S∆APQ. 
Theo cm trên thì ∆AQE vuông cân ở Q⇒AE= 22 QEAQ + = 2 AQ 
Vì QPEF nt ⇒PEF=AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung 
⇒∆AQP~∆AEF⇒
2
AQP
AEF
AQ
AE
S
S






= = ( )22 =2⇒đpcm. 
4/Cm: MC=MD.Học sinh chứng minh hai ∆MAD=MBC vì có BC=AD; 
MBE=MEB=DAE;AM=BM. 
⇒BAE=PFE 
 109 
Bài 95: 
 Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở O.Kẻ AH và 
BK vuông góc với BD và AC.Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở I.Gọi E 
và F lần lượt là trung điểm DH và BC.Từ E dụng đường thẳng song song 
với AD.Đường này cắt AH ở J. 
1. C/m:OHIK nội tiếp. 
2. Chứng tỏ KH⊥OI. 
3. Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường này cắt AH ở 
J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB 
4. Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp được trong một đường tròn. 
 A B 
 J O 
 F 
 H K 
 E 
 D C 
 I 
Ta có OKIH nt⇒OKE=OIE(cùng chắn cung OH).Vì OI⊥AB và AD⊥AB 
⇒OI//AD⇒OIH=HAD(so le).Mà HAD=HBA(cùng phụ với góc D).Do ABCD 
là hình chữ nhật nên ABH+ACE ⇒OKH=OCE⇒HK//AB.Mà OI⊥AB 
⇒OI⊥KH. 
3/Cm: HJ.KC=HE.KB . 
Chứng minh hai tam giác vuông HJE và KBC đồng dạng 
4/Chứng minh ABFE nội tiếp: 
VìAH⊥BE;EJ//AD và AD⊥AB⇒EJ⊥AB⇒BJ là đường cao thứ ba của tam 
giác ABE⇒BJ⊥AE Vì E là trung điểm DH;EJ//AD⇒EJ là đường trung bình 
của tam giác ADH⇒EJ//=
2
1 AB;BF=
2
1 BC mà BC//=AD⇒JE//=BF⇒BJEF là 
hình bình hành⇒JB//EF.Mà BJ⊥AE⇒EF⊥AE hay AEF=1v;Ta lại có 
ABF=1v⇒ABFE nt. 
 

 
1/Cm:OHIK nt 
(Hs tự chứng 
minh) 
2/Cm HK⊥OI. 
Tam giác ABI 
có hai đường 
cao DH và AK 
cắt nhau ở O 
⇒OI là 
đường cao 
thứ ba 
⇒OI⊥AB. 
 110 
Bài 96: 
Cho ∆ABC, phân giác góc trong và góc ngoài của các góc B và C gặp 
nhau theo thứ tự ở I và J.Từ J kẻ JH; JP; JK lần lượt vuông góc với các 
đường thẳng AB; BC; AC. 
1. Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng. 
2. Chứng minh: BICJ nt. 
3. BI kéo dài cắt đường thẳng CJ tại E. Cmr:AE⊥AJ. 
4. C/m: AI.AJ=AB.AC. 
1/Chứng minh A;I;J thẳng hàng: 
Vì 
 A E 
 I 
 B P C 
 K 
H 
 J 
 111 
Bài 97: 
 Từ đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay sao cho: Ax cắt cạnh 
BC ở P,Ay cắt cạnh CD ở Q.Kẻ BK⊥Ax;BI⊥Ay và DM⊥Ax,DN⊥Ay . 
1. Chứng tỏ BKIA nội tiếp 
2. Chứng minh AD2=AP.MD. 
3. Chứng minh MN=KI. 
4. Chứng tỏ KI⊥AN. 
 x 
 B P C 
 K 
 y 
 Q 
 N 
 M I 
A D 
 112 
Bài 98: 
 Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o.Phân giác góc A cắt cạnh CD và đường 
thẳng BC tại I và K.Hạ KH và KM lần lượt vuông góc với CD và AM. 
1. Chứng minh KHDM nt. 
2. Chứng minh:AB=CK+AM. 
 113 
Bài 99: 
 Cho(O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC. Vẽ cát 
tuyến BEF.Đường thẳng CE và CF gặp lại đường tròn ở điểm thứ hai tại M và 
N.Dựng hình bình hành AECD. 
1. Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF. 
2. Chứng minh AFCD nội tiếp. 
3. Chứng minh:CN.CF=4BE.BF 
4. Chứng minh MN//AC. 
1/Chứng minh D nằm trên đường thẳng EF:Do ADCE là hình bình hành nên E;B;D 
thẳng hàng.Mà F;E;B thẳng hàng⇒đpcm. 
2/Cm:AFCD nội tiếp: 
-Do ADCE là hình bình hành⇒BC//AE⇒góc BCA=ACE(so le) 
-sđCAE=
2
1 sđcung AE(góc giữa tt và một dây) và sđ AFE=
2
1 sđ cung AE 
⇒CAE=AFE.⇒BCN=BFA⇒AFCD nội tiếp. 
2/Cm CN.CF=4BE.BF. 
-Xét hai tam gáic BAE và BFA có góc ABF chung và AFB=BAE(chứng minh 
trên)⇒∆BAE~∆BFA⇒
AB
BE
BF
AB
= ⇒AB2=BE.BF
 
Tương tự hai tam giác CAN và CFA đồng dạng⇒AC2=CN.CF.Nhưng ta lại có 
AB=
2
1 AC.Do đó
 trở thành:
4
1 AC2=BE.BF hay AC2=4BE.BF. 
Từ 
 và ⇒đpcm. 
4/cm MN//AC. Do ADCE là hbh⇒BAC=ACE(so le).Vì ADCF nt 
⇒DAC=DFC(cùng chắn cung DC).Ta lại có EMN=EFN(cùng chắn cung 
EN)⇒ACM=CMN⇒MN//AC. 
 

 
 A D 
M B 
 E C 
 N 
F 
 114 
Bài 100: 
 Trên (O) lấy 3 điểm A;B;C.Gọi M;N;P lần lượt theo thứ tự là điểm chính giữa cung 
AB;BC;AC .AM cắt MP và BP lần lượt ở K và I.MN cắt AB ở E. 
1. Chứng minh ∆BNI cân. 
2. PKEN nội tiếp. 
3. Chứng minh AN.BD=AB.BN 
4. Chứng minh I là trực tâm của ∆MPN và IE//BC. 
Vì cung AM=MB⇒ANM=MPB hay KPE=KNE⇒Hai điểm P;N cùng làm với hai đầu 
đoạn thẳng KE⇒đpcm. 
3/C/m AN.DB=AB.BN. 
Xét hai tam giác BND và ANB có góc N chung;Góc NBD=NAB(cùng chắn cung 
NC=NB)⇒đpcm. 
4/ •Chứng minh I là trực tâm của ∆MNP: Gọi giao điểm của MP với AB;AC lần lượt ở F 
và D.Ta có: 
sđ AFD=
2
1 sđ cung (AP+MB)(góc có đỉnh ở trong đường tròn.) 
sđ ADF=
2
1 sđ cung(PC+AM) (góc có đỉnh ở trong đường tròn.) 
Mà Cung AP=PC;MB=AM⇒AFD=ADF⇒∆AFD cân ở A có AN là phân giác của góc 
BAC(Vì Cung BN=NC nên BAN=NAC)⇒AN⊥MP hay NA là đường cao của 
∆NMP.Bằng cách làm tương tự như trên ta chứng minh được I là trực tâm của tam gáic 
MNP. 
•C/m IE//BC.Ta có ∆BNI cân ở N có NE là phân giác ⇒NE cũng là đường trung trực của 
BI⇒EB=EI⇒∆BEI cân ở E.Ta có EBI=EIB.Do EBI=ABP=PBC (hai góc nội tiếp chắn 
hai cung bằng nhau PA=PC).Nên PBC=EIB⇒EI//BC. 
 A 
 P 
 M F K 
 O 
 E I 
 B C 
 N 
1/C/m ∆BNI cân 
Ta có 
sđBIN=
2
1 sđ(AP+BN) 
sđIBN=
2
1 sđ(CP+CN) 
Mà Cung AP=CP; 
BN=CN(gt) 
⇒BIN=IBN⇒∆BNI cân 
ở N. 
2/Chứng tỏ PKEN nội 
tiếp: