Những phương pháp giải Phương trình vô tỷ

http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh 
Bài viết của em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế 
.nickname nguyenphihung 
Những phương pháp giải PT vô tỷ 
1.Phương pháp đặt ẩn phụ 
Vi dụ 1:Giải phương trình : 15x- -5= 
Pương trình trên tương đương với: 
( -15x+5) + Ta đặt t= 0 . Ta có 
+t-6=0 =2; =-3(loại) 
Với t=2, ta có: =2 
2 -15x+7=0 
=7; = . Sau khi thử lại ta thấy =7 và = đúng là nghiệm của phương trình đã cho. 
Nếu không dùng phương pháp đặt ẩn phụ thì các bạn sẽ phải bình phương một đa thức và 
giải phương trình bậc 4. 
Ví dụ 2:Giải phương trình + =2 
Ta có: + =2 
Đặt t= 0, ta sẽ viết được: 
+ =2 + =2 
Ở đây vì t dương nên (t+1),(t+3) cũng đều dương và ta có: (t+1)+(t+3)=2 t=-1 
Như vậy phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ 3: - 3 + 2 -6x=0 (1) 
Lời giải:ĐK:x -2 (*).Phương trình (1) được viết lại: 
- 3x(x+2) + 2 =0 (2) 
Đặt t= 0.Lúc này (2) trở thành: 
-3x +2 =0 (x+2y)=0 
Do đó x=y hoặc x=-2y. 
Với x=y ta có: 
x= x=2(thỏa mãn) 
Với x=-2y ta có: 
x=-2 x=2-2 (thỏa (*)). 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:x=2 và x=2-2 
Ví dụ 4:Giải phương trình sau: x+ =6 
Lời giải: 
ĐK: 1 x 6 (1).Đặt y= ,y 0 (2) thì phương trình trở thành: + =5 (3) 
-10 -y+20=0 
( +y-4)( -y-5)=0 
http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh 
Bài viết của em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế 
.nickname nguyenphihung 
Giải ra có: 
= ; = ; = ; = ; 
Loại và vì trái điều kiện (2). 
Thay , vào (2) được: 
= ; = . 
Loại vì vế trái điều kiện (1). 
Thử lại thấy đúng.Vậy phương trình có nghiệm duy nhất = . 
2.Phương pháp phản chứng 
Các bạn đã biết phương pháp phản chứng từ khi học lớp 6.Dùng phương pháp phản chứng 
giải phương trình vô tỷ nhiều khi khá tốt.Chẳng hạn trong các ví dụ sau: 
Chúng ta thử giải ví dụ 2 bằng phương pháp trên: 
Đầu tiên ta nhận thấy : Nếu phương trình có nghiệm là thì 2 để cho - 2 0(số dưới 
căn bậc 2) 
Ta có: 
+ > Mà > và >2 nghĩa 
là: 
+ >2 
Điều này trở nên vô lý, vì nếu là nghiệm thì vế trái của phương trình phải bằng vế phải 
nghĩa là bằng 2.Do đó phương trình đã cho vô nghiệm. 
Ở PP phản chứng tuy rất hay nhưng nó có một hạn chế là hầu như chỉ dùng để chứng minh 
phương trình vô nghiệm 
3.Phương pháp hệ: 
Phương pháp hệ dùng để giải phương trình vô tỉ có dạng: 
=k (1) 
Ta có thể thử được dễ dàng đẳng thức sau đây: 
( = =( +(a-c)( - ) (2) 
Như vậy,việc giải (1) t được đưa đến việc giải hệ: 
Ta sẽ tìm được ax+b hoặc cx+d và do đó sẽ xác định được x.Trong thực hành,khi đã quen thì 
việc thành lập (2) khá nhanh gọn. 
Ví dụ 5:Giải phương trình: + =4. 
( + =( . + . -3,5=16. 
Từ đó,ta viết được: 
http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh 
Bài viết của em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế 
.nickname nguyenphihung 
. + . = . 
Sau khi nhân cả 2 vế với ,ta có: 
+ + = 
4+ = x=52-8 . 
Thử lại vào phương trình đã cho không có nghiệm nào khác nữa vì: 
. + . =- 
là phương trình vô nghiệm(tổng của 2 số dương không thể là số âm). 
Ví dụ 6:Giải phương trình : + =4. 
Đây là trường hợp a=c,nên ta có: 
=4 - =1. 
Cộng vế với vế phương trình này với phương trình đã cho,ta có: 
2 =5 x= 
4.Phương pháp Bất Đẳng Thức 
Giải phương trình có dạng: 
A=B.Nếu A C; B C thì pt . Nhiều khi dùng PP này các bạn sẽ có một cách làm 
hay, ngắn gọn mà hầu như ko thể sử dụng bằng cách khác.Các bạn sẽ thấy điều đó trong một 
số ví dụ sau: 
*BĐT Đại số: 
Ví dụ: Giải phuong trình 
a) + = - 8x + 18 (1) 
b) + = 2 
Loi giải : 
a) ĐK : 3 x 5 (*) 
Ta có: Theo BDT quen thuộc 2( + ) 
( 2(x - 3 + 5 - x) = 4 
Do đó VT = + 2 
Mạt khác ta có : 
VP = - 8x + 18 = + 2 2 
Dâú "=" trong phuong trình (1) đã cho xảy ra khi và chỉ khi VT = VP = 2 
Khi đó x = 4 , thoả mãn điêù kiện (*) .Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất cuả phuong trình. 
b) Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz ta có : 
( x + + x + )( + ) = 4 
Dâú "=" xãy ra khi và chỉ khi = = 1 
x = x = x = 1 tgx = 1 x = + k (k Z) 
http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh 
Bài viết của em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế 
.nickname nguyenphihung 
Ví dụ 7(THTT10-2005)Giải phương trình:13 +9 =16x (1) 
Lời giải: ĐK:x 1 
Áp dụng BĐT AM_GM ta có: 
VT(1)=13.2. +3.2. 13(x-1+ )+3(x+1+ )=16x 
Vậy:(1) x= (thỏa mãn) 
Ví dụ 8(THTT-3.2005)Giải phương trình:16 +5=6 (1) 
Lời giải: 
Vì +5>0 nên >0 
Do đó x>0. Áp dụng BDT AM_GM cho 3 số dương 4x,4 +1,2 ta có: 
6 =3 4x+4 +1+2=4 +4x+3 (2) 
Từ (1)và(2) suy ra: 
16 +5 4 +4x+3 (2 +2x+1) 0 
(2x-1)^{2} 0 (3) (Vì 2 +2x+1>0 x) 
Lại vì: 0 x nên từ (3) suy ra 2x-1=0 x= (thỏa (1)) 
Ví dụ 9:Giải phươntg trình + = (1) 
Lời giải: 
Với x>0, Áp dụng BĐT CauChy_Schwarz cho 2 cặp 
2 ; và ; ta có: 
= (8+x+1)( + )= x+9 
Vậy (1) = : x= (thỏa mãn x 0) 
Ví dụ 10:Giải phương trình lượng giác sau: 
cosx + cos3x =1 (1) 
Lời giải: 
ĐK:cosx>0, cos3x>0 (*) 
Với ĐK(*) ta có: 
(1) + =1 (2) 
Áp dụng BĐT AM_GM cho 2 số dương cosx và 1-cosx ta có: 
cosx- x=cosx(1-cosx) = . 
Tương tự ta có . Vậy VT(1) 1 
Dấu "=" xảy ra nghĩ là (2) có nghiệm khi và chỉ khi: 
http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh 
Bài viết của em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế 
.nickname nguyenphihung 
(3) 
Ta có: cos3x=-3cosx + 4 x 
Khi cosx= thì cos3x= +4. = -1 
(3) vô nghiệm tức là (1) vô nghiệm. 
Bài toán tự sáng tác.Giải phương trình sau: 
6 + = ( + ) 
Lời giải: 
ĐK: x (*) 
Áp dụng các BDT quen thuộc (Cauchy_Schwarz ; AM_GM) liên tiếp ta có: 
VT= 3 + = = 2. 
( + 22x - 3)= (11x + ) =VP 
Dấu "=" xảy ra x = (thỏa (*)) 
* BĐT Véc tơ 
Ví dụ 11(PH) Giải phương trình 
+ = 
Lời giải: Gọi 
=(4-x; 2 ) | |= 
=(5+x;3 ) | |= 
Ta có: + =(9;5 ) | + |= . Mà:| + | | |+ | | 
+ 
Dấu"=" xãy ra = x=