Phương trình đường thẳng với tam giác

 1 
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG VỚI TAM GIÁC 
I-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƢƠNG TRÌNH HAI ĐƢỜNG CÙNG TÊN 
MỖI ĐƢỜNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI 
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đƣờng cao BB’ và CC’ 
tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
 a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
 b/Viết phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng chứa trung tuyến AM của ∆ABC 
Hƣớng dẫn : 
 Các bƣớc giải 
1- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) - chứa cạnh AC :Đi qua A và vuông góc với (d1) tức là 
nhận vtcp của đƣờng thẳng (d1) làm vtpt 
2- Giải hệ phƣơng trình : pt của (d2) và pt của (d3) đƣợc tọa độ của đỉnh C 
3- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) - chứa cạnh AB :Đi qua A và vuông góc với (d2) tức là 
nhận vtcp của đƣờng thẳng (d2) làm vtpt 
4- Giải hệ phƣơng trình : pt của (d1) và pt của (d4) đƣợc tọa độ của đỉnh B 
5-Xác định tọa độ trung điểm M của BC ,viết pt đƣờng thẳng AM : đi qu A có vtcp là AM 
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đƣờng trung tuyến BM và 
CN tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
 a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
 b/Viết phƣơng trình tổng quát của đƣờng trung trực cạnh AC của ∆ABC 
Hƣớng dẫn : 
Các bƣớc giải 
1-Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) đƣợc tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC 
2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua điểm G 
 -Tứ giác BGCA’ là hình bình hành nên từ đây xác định đƣợc tọa độ các đỉnh B,C 
3-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) :đi qua A’ và song song với (d1) 
4-Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d3) đƣợc tọa độ của đỉnh C 
5-Xác định tọa độ trung điểm M của GA’,điểm M cũng là trung điểm của BC nên ta xác định 
đƣợc tọa độ của đỉnh B 
6-Viết phƣơng trình đƣờng trung trực của cạnh AC : đi qua M và có vtpt là BC 
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đƣờng phân giác trong của 
các góc :ABC và ACB tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
 a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
 b/Viết phƣơng trình tổng quát của đƣờng trung trực cạnh BC của ∆ABC 
Hƣớng dẫn : 
Các bƣớc giải 
www.VNMATH.com
 2 
1-Xác định tọa độ các điểm A1 đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng (d1) 
2- Xác định tọa độ các điểm A2 đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng (d2) 
3-Viết phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng (d3) đi qua A1 và A2 – đây là đƣờng thẳng chứa 
cạnh BC (Vì ∆CAA1 và ∆BAA2 cân nên A1 và A2 nằm trên đƣờng thẳng BC) 
4- Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d3) đƣợc tọa độ của đỉnh C 
5- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d3) đƣợc tọa độ của đỉnh B 
6-Xác định tọa độ trung điểm M của BC 
7-Viết pt đƣờng thẳng (d4) đi qua M và vuông góc với BC , (d4) là trung trực của BC 
Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đƣờng trung trực của các 
cạnh AB , BC tƣơng ứng có phƣơng trình là : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
 a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
 b/Viết phƣơng trình tổng quát của đƣờng trung trực cạnh AC của ∆ABC 
Hƣớng dẫn : 
Các bƣớc giải 
1- Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đƣờng thẳng (d1) 
2-Xác định tọa độ đỉnh C đối xứng với điểm A qua điểm H 
3- Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc K của điểm C trên đƣờng thẳng (d2) 
4- Xác định tọa độ đỉnh B đối xứng với điểm C qua điểm K 
5-Xác định tọa độ trung điểm M của AC,Viết pt đƣờng thẳng (d3): qua M và vuông góc với 
AC, (d3) là đƣờng trung trực của cạnh AC 
II-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƢƠNG TRÌNH HAI ĐƢỜNG KHÁC TÊN 
CÙNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI 
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đƣờng cao BB’ và trung tuyến 
BM tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
 a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
 b/Viết phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng chứa cạnh AC của ∆ABC 
Hƣớng dẫn : 
Các bƣớc giải 
1- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) đƣợc tọa độ đỉnh B 
2- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) - chứa cạnh AC :Đi qua A và vuông góc với (d1) tức là 
nhận vtcp của đƣờng thẳng (d1) làm vtpt 
3-Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d3) đƣợc tọa độ của trung điểm M của cạnh AC 
4-Xác định tọa độ đỉnh C (M là trung điểm AC) 
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đƣờng cao BB’ và phân giác 
trong của góc ABC tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
www.VNMATH.com
 3 
 a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
 b/Viết phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng chứa trung tuyến CM của ∆ABC 
 Hƣớng dẫn : 
Các bƣớc giải 
1- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) đƣợc tọa độ đỉnh B 
2- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng (d2) ,ta có ∆BAA’ cân tại 
đỉnh B nên A’ nằm trên đƣờng thẳng BC 
3-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) – chứa cạnh BC : đi qua hai điểm B và A’ 
4-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) –chứa cạnh AC : đi qua A và vuông góc với đƣờng 
thẳng (d1) 
5-Giải hpt : pt của (d3) và pt của (d4) đƣợc tọa độ của đỉnh C 
6-Xác định tọa độ trung điểm M của AB,Viết phƣơng trình trung tuyến CM. 
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đƣờng trung tuyến BM và 
đƣờng phân giác trong của góc ABC tƣơng ứng có phƣơng trình là: 
ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
 b/Viết phƣơng tổng quát của đƣờng thẳng chứa cạnh AB của ∆ABC 
Hƣớng dẫn : 
Các bƣớc giải 
1-Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) đƣợc tọa độ của đỉnh B 
2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng (d2), ta có ∆BAA’ cân tại 
đỉnh B nên A’ nằm trên đƣờng thẳng BC 
3-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) – chứa cạnh BC : đi qua hai điểm B và A’ 
4- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) đi qua A và song song với đƣờng thẳng (d3) 
5- Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d4) đƣợc tọa độ của đỉêm D,ta có tứ giác ABCD là hình 
bình hành 
6-Xác định tọa độ trung điểm M của BD,điểm M cũng là trung điểm của AC , xác định đƣợc 
tọa độ đỉnh C 
7- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AB 
Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đƣờng trung tuyến BM và 
đƣờng trung trực của cạnh AC tƣơng ứng có phƣơng trình là: 
ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
 -Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
Hƣớng dẫn : 
Các bƣớc giải 
1-Xác định tọa độ đỉnh C: Điểm C đối xứng với điểm A qua (d2) 
2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua (d1),ta có ∆BAA’ cân tại đỉnh B nên A’ 
nằm trên đƣờng thẳng BC 
www.VNMATH.com
 4 
3-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) –chứa cạnh BC : đi qua hai điểm C và A’. 
4- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d3) đƣợc tọa độ của đỉnh B 
III-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƢƠNG TRÌNH HAI ĐƢỜNG KHÁC TÊN 
MỖI ĐƢỜNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI 
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đƣờng cao BB’ và trung tuyến 
CM tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
 -Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
Hƣớng dẫn : 
Các bƣớc giải 
1-Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d2) đƣợc tọa độ giao điểm K của (d1) và (d2) 
2-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) –chứa cạnh AC : Đi qua A và vuông góc với (d1) 
3-Giải hpt: pt của (d2) và pt của (d3) đƣợc tọa độ đỉnh C 
4-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) qua A và song song với (d1) 
5-Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d4),xác định tọa độ giao điểm P của (d2) và (d4) ,ta có tứ 
giác ABPK là hình bình hành . 
6-Xác định tọa độ trung điểm M của PK ,ta có M cũng là trung điểm của AB .Xác định đƣợc 
tọa độ của đỉnh B 
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đƣờng cao BB’ và phân giác 
trong của góc ACB tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
 -Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
Hƣớng dẫn : 
Các bƣớc giải 
1- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) –chứa cạnh AC : Đi qua A và vuông góc với (d1) 
2- Giải hpt: pt của (d2) và pt của (d3) đƣợc tọa độ đỉnh C 
Xác định tọa độ điểm A’đối xứng với điểm A qua (d2) ,ta có ∆CAA’ cân tại đỉnh C nên A’ 
nằm trên đƣờng thẳng BC 
3- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) –chứa cạnh BC : đi qua hai điểm C và A’ 
4- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d4) đƣợc tọa độ đỉnh B 
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,trung tuyến BM và phân giác 
trong của góc ACB tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
 -Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
Hƣớng dẫn : 
Các bƣớc giải 
1- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d2) đƣợc tọa độ giao điểm K của (d1) và (d2) 
2- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) đi qua A và song song với (d2) 
www.VNMATH.com
 5 
3- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d3) đƣợc tọa độ giao điểm P của (d1) và (d3),tứ giác APCK 
là hình bình hành 
4- Xác định tọa độ trung điểm M của PK,điểm M cũng là trung điểm của AC,xác định đƣợc 
tọa độ của đỉnh C 
5- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng (d2) , ta có ∆CAA’ cân tại 
đỉnh C nên A’ nằm trên đƣờng thẳng BC 
6- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) –chứa cạnh BC : đi qua hai điểm C và A’ 
7- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d4) đƣợc tọa độ của đỉnh B 
Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,trung tuyến BM và đƣờng 
trung trực của cạnh BC tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) 
 -Tìm tọa độ các đỉnh B,C 
Hƣớng dẫn : 
Các bƣớc giải 
1-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) đi qua điểm A và vuông góc với (d2) 
2- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d3) đƣợc tọa độ giao điểm D của (d1) và (d3),tứ giác ABCD 
là hình bình hành.Gọi N là trung điểm của BC,ta có AD = 2BN 
3-Điểm B nằm trên (d1) nên có tọa độ : B(x2; 
−ax2−c
b
) = (x2 ;y2) .Điểm N nằm trên (d2) nên có 
tọa độ N(x3;
−a ′ x3−c
′
b ′
) = (x3;y3) ,ta có BN (x3-x2 ; y3- y2) . 
Do đó : AD = 2BN 
𝑥𝐴𝐷 = 2𝑥𝐵𝑁
𝑦𝐴𝐷 = 2𝑦𝐵𝑁
 Đây thực chất là hệ hai phƣơng trình hai ẩn : x2 ; x3 
Tìm đƣợc x2 ; x3 tức là tìm đƣợc tọa độ của các đỉnh B ,C 
MỘT VÀI LƢU Ý : 
1/Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phƣơng trình đƣờng cao BB’ (hay CC’) hoặc trung trực của 
cạnh AB (hay trung trực của cạnh AC) Thì nghĩ tới viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua A 
và vuông góc với đƣờng thẳng đó 
2/ Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phƣơng trình đƣờng trung tuyến BM (Hay trung tuyến CN) 
Ta phải nghĩ tới tạo thành một hình bình hành ,kẻ song song .Vì trung tuyến liên quan đến 
trung điểm ,hình bình hành có hai đƣờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đƣờng – có sự liên 
quan với nhau 
3/ Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phƣơng trình đƣờng phân giác trong của một góc của tam 
giác .Ta phải nghĩ tới lấy đối xứng điểm A qua đƣờng phân giác đó để tạo thành tam giác cân 
và có A’ nằm trên đƣờng thẳng BC.Vì phân giác trong liên quan đến tam giác cân. 
 Những liên tƣởng nhƣ trên giúp ta nhanh chóng tìm đƣợc định hƣớng cho lời giải bài toán. 
 Thị trấn Lạt,Tháng 02/2011 
 TRẦN ĐỨC NGỌC 
www.VNMATH.com