Sơ lược về hệ phương trình bậc hai

SƠ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
 Trương Thị Thuỳ Trang – 10A13 
Trong số này chúng ta sẽ làm quen với 
hệ phương trình bậc hai hai ẩn qua bài 
viết của bạn Trương Thị Thuỳ Trang 
lớp 10A13. 
1. Hệ gồm một phương trình bậc 
nhất và một phương trình bậc hai 
Hệ này có dạng 
1 1 1
2 2
a x b y c 0 (1)
.
ax by cxy dx ey f 0 (2)
+ + =

+ + + + + =
Phương pháp chung ñể giải hệ này là 
từ (1) rút một ẩn thế vào (2). 
VD1. Tìm m ñể hệ sau có nghiệm 
2 2x 4y 8
.
x 2y m
 + =

+ =
HD. Từ phương trình thứ hai của hệ ta 
có x m 2y,= − thế vào phương trình 
ñầu ta ñược 2 28y 4my m 8 0 (*).− + − = 
Hệ ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) 
có nghiệm, tức là 2' 64 4m 0∆ = − ≥ 
4 m 4.⇔ − ≤ ≤ 
2. Hệ gồm hai phương trình bậc hai 
Với hệ dạng 
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
ax by cxy dx ey f 0
a x b y c xy d x e y f 0
 + + + + + =

+ + + + + =
ta thường cố gắng ñưa về dạng gồm 
một phương trình bậc nhất và một 
phương trình bậc hai. 
VD2. Tìm giao ñiểm của hai ñường 
tròn 2 21(C ) : (x 1) (y 2) 4− + − = và 
2 2
2(C ) : x y x 5y 0.+ − − = 
HD. Xét hệ 
2 2
2 2
(x 1) (y 2) 4
x y x 5y 0

− + − =

+ − − =
2 2
2 2
x y 2x 4y 1 0
x y x 5y 0
 + − − + =
⇔ 
+ − − =
2 2
x y 1 0
x y x 5y 0
− − =
⇔ 
+ − − =
2 2
x y 1
(y 1) y (y 1) 5y 0
= +
⇔ 
+ + − + − =
2
x y 1 x 1, y 0
.
x 3, y 2y 2y 0
= + = =
⇔ ⇔ 
= =
− = 
Vậy hai ñường tròn ñã cho cắt nhau tại 
hai ñiểm A(1; 0), B(3; 2). 
3. Hệ ñối xứng loại 1 
Hệ phương trình ñối xứng loại 1 hai ẩn 
x, y có dạng 
F(x;y) 0
G(x;y) 0
=

=
 trong ñó 
F(x; y) F(y; x),≡ G(x; y) G(y; x).≡ ðể 
giải, người ta thường ñặt S = x + y và 
P = x.y, với ñiều kiện 2S 4P,≥ và lưu 
ý ñến ñịnh lí Viét ñảo. 
VD3. Giải hệ 
2 2x xy y 4
.
x xy y 2
 + + =

+ + =
HD. ðặt S = x + y, P = x.y, với ñiều 
kiện 2S 4P,≥ hệ ñã cho trở thành 
2 2 S 2S P 4 S S 6 0
P 0S P 2 P 2 S
  = − = + − =
⇔ ⇔  
=+ = = −   
hoặc 
S 3
P 5
= −

=
 (loại). Do ñó x y 2
xy 0
+ =

=
x 0, y 2
.
x 2, y 0
= =
⇔ 
= =
 Vậy hệ phương trình 
ñã cho có hai nghiệm (2; 0), (0; 2). 
VD4. Cho hệ phương trình 
2 2x y m
.
x y 6
 + =

+ =
1) Tìm m ñể hệ có nghiệm. 
2) Giả sử (x; y) là nghiệm của hệ, tìm 
giá trị nhỏ nhất của F = x + y – 2xy. 
HD. 1) Hệ phương trình ñã cho tương 
ñương với 
x y 6
.m
xy 18
2
+ =


= −
 Vậy x, y là 
hai nghiệm của phương trình 
2 mt 6t 18 0 (*).
2
− + − = 
Hệ ñã cho có nghiệm khi (*) có 
nghiệm, tức là m' 9 0 m 18.
2
∆ = − ≥ ⇔ ≥ 
Chú ý: Dễ thấy m 0≤ thì hệ ñã cho vô 
nghiệm. Với m > 0 thì phương trình 
ñầu của hệ là phương trình ñường tròn 
(C) tâm O(0;0), bán kính R m.= 
Còn phương trình thứ hai của hệ là 
phương trình ñường thẳng .∆ Hệ 
phương trình ñó có nghiệm khi (C) và 
∆ có ñiểm chung, tức là d(O, ) R∆ ≤ 
3 2 m m 18 0.⇔ ≤ ⇔ ≥ > 
2) Với m 18≥ thì hệ ñã cho có nghiệm 
(x; y), và F = x + y – 2xy = m – 30. 
Do ñó F 18 30 12.≥ − = − Dấu “=” xảy 
ra khi m = 18. Vậy minF = –12. 
4. Hệ ñối xứng loại 2 
Hệ ñối xứng loại 2 hai ẩn x, y có dạng 
F(x; y) 0
.
F(y; x) 0
=

=
 Ta thường biến ñổi hệ 
này thành 
F(x; y) F(y; x) 0
.
F(y; x) 0
− =

=
 Lưu 
ý, với hệ phương trình ñối xứng loại 1 
hay loại 2, nếu (x; y) = (a; b) là nghiệm 
thì (x; y) = (b; a) cũng là nghiệm. 
VD5. Gải hệ 
2 2
2 2
2x 3x y 2
.
2y 3y x 2

− = −

− = −
HD. Hệ 
2 2
2 2
2x 3x y 2
3x 3y 3x 3y 0

− = −
⇔ 
− − + =
2 22x 3x y 2
.
3(x y)(x y 1) 0
 − = −
⇔ 
− + − =
TH1. 
2 2 x y 12x 3x y 2
.
x y 2x y 0
 = = − = −
⇔ 
= =
− = 
TH2. 
2 2
2
y 1 x2x 3x y 2
x y 1 0 x x 1 0
= −  − = −
⇔ 
+ − = − + =  
 hệ 
này vô nghiệm. 
Vậy hệ phương trình ñã cho có hai 
nghiệm (1; 1), (2; 2). 
5. Hệ ñẳng cấp bậc hai 
Hệ ñẳng cấp bậc hai có dạng 
2 2
2 2
1 1 1 1
ax bxy cy d
.
a x b xy c y d
 + + =

+ + =
ðể giải ta thường biến ñổi hệ về dạng 
2 2
2 2
ax bxy cy d
.
Ax Bxy Cy 0 (1)
 + + =

+ + =
Ở (1) ta ñặt x = ty, ñược 
2y.(At Bt C) 0.+ + = 
+ Xét trực tiếp y = 0. 
+ Với y khác 0, ta có At2 + Bt + C = 0, 
tìm ra t, từ ñó tìm ra x, y. 
Cũng có những trường hợp hệ loại này 
ñược biến ñổi ñưa về hệ ở mục 1. 
Sau ñây là một số bài tập mời các bạn 
tham khảo. 
1. Giải các hệ phương trình 
2 2
2 2
2 2
2
x y 1 xy
a) .
2 x y xy 0
x 2y 1
b) .
x xy 3y y 0
x y x y 2
c) .
xy 1
x 1 4 y 2
d) .
y 1 4 x 2
x 4xy y 1
e) .
y 3xy 4
+ = +

+ + + =
− =

+ − + =
 − + + =

=
 + + − =

+ + − =

− + = −

− =
2. Tìm m ñể hệ sau ñây có nghiệm 
2
2
x y y m
.
y x x m
 = − +

= − +
3. Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ 
2 2 2x y a 2
.
x y 2a 3
 + = −

+ = −
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x.y. 
4. Biện luận theo m số nghiệm của hệ 
2 2x y 2x 2
.
x y m
 − + =

+ =
Chúc các bạn thành công!