Tài liệu hỗ trợ môn Hình vi phân

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
KHOA TOÁN – TIN HỌC 
Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN 
Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh 
sinh viên thực hiện Nguyễn Thành An 
Học phần 
MẶT TRONG KHÔNG GIAN 3¡ 
Tp. Hồ chí minh – 8/2008
 2 
 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Mặt tham số. 
Cho U là tập mở trong 2¡ , hàm véctơ 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
là mặt tham số nếu r là ánh xạ khả vi 
trên U . Khi đó ( )r U là giá của mặt tham số. 
Hai mặt tham số ~~3 3: , :r U r U® ®¡ ¡ là tương đương nếu tồn tại vi phôi ~:U Uj ® sao cho 
~
0r r j= , ký hiệu ~r r: . Nếu hai mặt tham số tương đương với nhau thì giá của chúng trùng nhau. 
2. Mặt đơn. 
Cho mặt ( )S có tham số hóa r , nếu r đơn ánh thì ( )S là mặt đơn. 
3. Mặt chính qui. 
Cho mặt ( )S có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
. Khi đó ( )0 0,M r u v= là điểm chính qui của 
mặt ( )S nếu hai véctơ ( ) ( )0 0 0 0' , , ' ,u vr u v r u v độc lập tuyến tính. Nếu mặt ( )S chính qui tại mọi 
điểm ( ),M r u v= , với ( ),u v UÎ thì ( )S là mặt chính qui. Điểm không chính qui là điểm kỳ dị. 
Tính chính qui của mặt ( )S không phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh). 
Nếu tại điểm ( )0 0,M r u v= là điểm chính qui của mặt ( )S thì phương trình mặt phẳng tiếp 
xúc hay tiếp diện tại điểm ( )0 0 0, ,M x y z nhận ( ) ( )0 0 0 0' , , ' ,u vr u v r u v làm cặp véctơ chỉ phương có 
dạng ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- - -
= . 
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại điểm ( )0 0,M r u v= là pháp tuyến có 
phương trình 0 0 0x x y y z z
a b c
- - -
= = với , , a b c được tính bởi ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
' , ' ,
' , ' ,
u u
v v
y u v z u v
a
y u v z u v
= , 
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
' , ' ,
' , ' ,
u u
v v
z u v x u v
b
z u v x u v
= , 
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
' , ' ,
' , ' ,
u u
v v
x u v y u v
c
x u v y u v
= , hơn nữa không gian sinh bởi 
( ) ( )0 0 0 0' , , ' ,u vr u v r u v tại điểm ( )0 0,M r u v= là không gian tiếp xúc với mặt ( )S tại điểm M , 
ký hiệu ( )MT S . Khi đó ( ) ( )
( )
M
M S
T S T S
Î
= U là tập tất cả các không gian tiếp xúc. 
4. Đường trên mặt. 
Phaàn 1 
 3 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
và ( )x là đường trong U có tham số 
( )
( )
u u t
v v t
ì =ï
í
=ïî
, t IÎ qua r cho ta đường cong ( ) ( )Sx Ì có 
( ) ( ) ( )( )
3:
,
I
t t r u t v t
j
j
®
=
¡
a
. 
Ta khảo sát 2 trường hợp đặc biệt sau. 
Trường hợp 1. 0v v= tương ứng với đường 
( ) ( )
0
ru u t
v v
x
ì =ï ¾¾®í
=ïî
 có ( ) ( )( )0,t u t vj = . Ta nói 
đây là họ tham số thứ nhất trên mặt ( )S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ nhất có phương là 
( )' ,ur u v . 
Trường hợp 2. 0u u= tương ứng với đường ( ) ( )
0 r
u u
v v t
x
=ìï ¾¾®í =ïî
 có ( ) ( )( )0 ,t u v tj = . Ta nói 
đây là họ tham số thứ hai trên mặt ( )S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ hai có phương là 
( )' ,vr u v . 
5. Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị trên mặt định hướng. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
, theo trên hai mặt tham số hóa gọi là 
tương đương nếu tồn tại vi phôi ~:U Uj ® sao cho ~0r r j= . Như ta đã biết 
~ ~
~ ~
~~
~ ~
' ' ' 'u v
u v
J
d u d v
du dvr r r r
d u d v
dv du
Ù = Ù
14243
, nếu 0J > thì ( )S là mặt định hướng được. 
Cho mặt ( )S định hướng ta luôn có 
~ ~
~ ~
' ' ' '
' ' ' '
u v u v
u v
u v
r r r r
r r r r
Ù Ù
=
Ù Ù
. Tại mọi điểm ( ),M r u v= ta luôn có 
một véctơ đơn vị ( ) ' ',
' '
u v
u v
r r
n u v
r r
Ù
=
Ù
 là véctơ pháp tuyến đơn vị của ( )S . 
6. Dạng toàn phương cơ bản thứ nhất. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
. Xét dạng toàn phương 
( )
( )
:
,
MI T S
a I a a a
®
=
¡
a
. Khi đó công thức dạng toàn phương cơ bản thứ nhất có dạng 
 4 
( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + với , , E F G được xác định bởi ( )( )
2
' ,uE r u v= , 
( ) ( )' , . ' ,u vF r u v r u v= , ( )( )
2
' ,vG r u v= . 
Đối với dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ta thường quen nhìn ở dạng 
( ) ( ) ( )2 22I a E du Fdudv G dv= + + . 
7. Công thức tính độ dài cung trên mặt. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
 và đường cong ( )x có tham số 
( ) ( ) ( )( ) [ ], , ,t r u t v t t a bj = Î . Khi đó công thức tính độ dài cung trên mặt là 
( ) ( )2 2' 2 ' ' '
b
t t t t
a
l E u Fu v G v dt= + +ò , với , , E F G được xác định như trên. 
8. Công thức góc giữa hai đường cong trên mặt. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
 và hai đường cong 
( )1x có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 11 1 1 1 1 1, , ' ' ' ' 'u vt r u t v t t r u r vj j= = + 
( )2x có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2, , ' ' ' ' 'u vt r u t v t t r u r vj j= = + 
( 1 2 1 2, , ,u u v v đều lấy đạo hàm theo biến t ). 
Khi đó công thức tính góc giữa 2 đường cong ( )1x và ( )2x là 
·( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 2 1 1 2
1, 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
' ' ' ' ' ' ' '
os
' 2 ' ' ' ' 2 ' ' '
Eu u F u v u v Gv v
c
E u Fu v G v E u Fu v G v
x x
+ + +
=
+ + + +
. 
Trong trường hợp đặc biệt. 
Nếu ( )1x có ( ) ( )( )1 0,t r u t vj = , ( )2x có ( ) ( )( )2 0 ,t r u v tj = thì ( )1' ' 'u tt r uj = , 
( )2' ' 'v tt r vj = . Khi đó ·( )1, 2os Fc
EG
x x = . 
9. Ánh xạ Weingarten. 
Xét ánh xạ ( ) ( ): M Mh T S T S® thỏa mãn 
( )
( )
' ' '
' ' '
h
u u u
h
v v v
r h r n
r h r n
ì ¾¾® = -ï
í
¾¾® = -ïî
và ( ) ( ) ( ): ' ' ' ' ' 'hu u v v u u v v u u v vM Sa T a a r a r a a n a n a n a nÎ = + ¾¾® = - + - = - - . 
ta gọi ánh xạ h được xác định như trên là ánh xạ Weingarten (ánh xạ định dạng của ( )S ). Khi đó 
[ ]det h là độ cong Gauss của ( )S và các giá trị riêng của ma trận [ ]h gọi là độ cong chính. 
Nhận xét. h là ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính h không phụ thuộc vào 
tham số. Ma trận của ánh xạ tuyến tính h là ma trận cấp 2, l là giá trị riêng của ma trận h nếu 
0A Il- = . Ánh xạ Weingarten là ánh xạ tuyến tính đối xứng, tự liên hợp. 
 5 
10. Dạng toàn phương cơ bản thứ hai. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
Ánh xạ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
:
, , . .
M MII T S T S
a b I a b h a b a h b
®
= =a
là dạng song tuyến tính đối xứng. Khi đó 
( ) ( ) ( ), . .II a a a h a h a a= = là dạng toàn phương cơ bản thứ hai có công thức dạng 
( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + , với , , L M N được tính bởi ( ) ( )' , ' ,u uL n u v r u v= - , 
( ) ( ) ( ) ( )' , ' , ' , ' ,u v v uM n u v r u v n u v r u v= - = - , ( ) ( )' , ' ,v vN n u v r u v= - . 
Nếu mặt ( )S có tham số hóa dạng ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= thì , , L M N được tính 
2
'' '' ''
1
' ' '
' ' '
uu uu uu
u u u
v v v
x y z
L x y z
EG F x y z
=
-
,
2
'' '' ''
1
' ' '
' ' '
uv uv uv
u u u
v v v
x y z
M x y z
EG F x y z
=
-
,
2
'' '' ''
1
' ' '
' ' '
vv vv vv
u u u
v v v
x y z
N x y z
EG F x y z
=
-
11. Độ cong pháp dạng. 
Lấy ( ) : ' 'M u u v va T S a a r a rÎ = + . Độ cong pháp dạng của ( )S tại điểm M theo phương a 
được ký hiệu ( )MK a và ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2
u u v v
M
u u v v
L a Ma a N aII a
K a
I a E a Fa a G a
+ +
= =
+ +
. 
Lưu ý. ( ) ( )M MK a K al = 
12. Phương chính. 
Giả sử h là ánh xạ Weingarten của mặt ( )S , ( ) , 0Ma T S aÎ ¹ . Ta nói a là phương chính của 
mặt ( )S nếu a là véctơ riêng của ma trận ánh xạ tuyến tính h hay ( )h a al= với l là độ cong 
chính. 
Thấy rằng ( ) ( ) ( ): ' , ' ,M u u v va T S a a r u v a r u vÎ = + ta sẽ xác định ,u va a dựa vào định thức 
2 2
0
v u v ua a a a
E F G
L M N
-
= . 
Khi đó 
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
 là độ cong Gauss, 
( )2
2
2
EN GL FM
H
EG F
+ -
=
-
 là độ cong trung bình. 
 6 
Lưu ý. Việc tính độ cong chính của mặt ( )S ta có thể dựa vào phương trình 
( ) ( ) ( )2 2 22 0EG F EN LG MF LN Ml l- - + - + - = để ý rằng 1 21 2. , 2K H
l ll l += = . 
13. Phân loại điểm trên mặt. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
 và độ cong Gauss tại điểm 
( ) ( ),A r u v S= Î có công thức 
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
, độ cong chính tương ứng là 1 2,l l . 
Nếu 0K > thì A là điểm Eliptic. Nếu 0K < thì A là điểm Hyperbolic. Nếu 0K = thì A là 
điểm Parabolic. 
Nếu 1 2l l= thì A là điểm rốn. Nếu 1 2 0l l= ¹ thì A là điểm cầu. Nếu 1 2 0l l= = thì A là 
điểm dẹt. 
 BÀI TẬP MINH HỌA 
Bài 1. Viết phương trình tham số hóa của các mặt tròn xoay sau trong 3¡ . 
a) Mặt Elipxoit tròn xoay. 
b) Mặt Hyperboloit 1 tầng tròn xoay. 
c) Mặt Hyperboloit 2 tầng tròn xoay. 
d) Mặt Paraboloit tròn xoay. 
Giải. 
a) Phương trình Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( )0x có dạng 
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b b
+ + = . 
Đặt 
2 2
2
2 2
2
2
2
cos
sin
x y
u
a b
z
u
b
ì
= +ïï
í
ï =ïî
. Khi đó ta được 
.cos .cos
.cos .sin
.sin
x a u v
y b u v
z b u
=ì
ï =í
ï =î
. 
Do vậy phương trình tham số hóa của mặt Elipxot tròn xoay quay quanh trục ( )0x là 
( ) ( ), .cos .cos , .cos .cos , .sinr u v a u v b u v b u= . 
Phương trình Elipxoit tròn xoay khi quay quanh trục ( )0y có dạng 
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b a
+ + = . Tương 
tự như trên cho ta phương trình tham số hóa của mặt Elipxoit tròn xoay quay quanh trục 
( )0y là ( ) ( ), .cos .cos , .cos .cos , .sinr u v a u v b u v a u= . 
b) Phương trình Hyperboloit 1 tầng tròn xoay có dạng 
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b a
- + = . 
Phaàn 2
 7 
Đặt 
2 2
2
2 2
2
2
2
os
sin
x y
c u
a b
z
u
a
ì
= -ïï
í
ï =ïî
. Khi đó ta được 
.cos .
. os.
.sin
x a u chv
y b c shv
z a u
=ì
ï =í
ï =î
. Do vậy phương trình tham số hóa 
của Hyperboloit 1 tầng tròn xoay là ( ) ( ), .cos . , .cos . , .sinr u v a u chv b u shv a u= . 
c) Phương trình Hyperboloit 2 tầng tròn xoay có dạng 
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b b
- - = . 
Đặt 
2 2
2
2 2
2
2
2
x y
ch u
a b
z
sh u
a
ì
= -ïï
í
ï =ïî
. Khi đó ta được 
. .
. .
.
x a chu chv
y b chu shv
z b shu
=ì
ï =í
ï =î
. Do vậy phương trình tham số hóa của 
Hyperboloit 2 tầng tròn xoay là ( ) ( ), . . , . . , .r u v a chu chv b chu shv a shu= . 
d) Phương trình Parabolit tròn xoay có dạng 2 2 2x y pz+ = . 
Đặt 
21
2
os.c
.siny u
z u
p
x u
v
v
ì
ï
ïï
í
ï =
=
î
=
ï
ï
. Khi đó phương trình tham số hóa của Paraboloit tròn xoay là 
( ) 21.c , sin ,,
2
os .r u v u v u v u
p
æ ö
= ç ÷
è ø
. 
Bài 2. Cho [ ] [ ]0,2 0,2U p p= ´ và hai hàm véctơ ~~3 3: , :r U I r U U® Ì = ®¡ ¡ xác định bởi 
công thức 
( ) ( ) ( )( )
( ) ~ ~ ~ ~~ ~
, 2 cos cos , 2 cos sin ,sin
, 2 cos cos , 2 cos sin ,sin
r u v u v u v  ... 0 0
0 0 0
' , ' , ' , ' 1,0, 'u u u u
v v v
r u v x y z f f
u u u
æ öæ ö æ ö
= = -ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
( ) ( ) 00 0
0
' , ' , ' , ' 0,1, 'v v v v
v
r u v x y z f
u
æ öæ ö
= = ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø
. 
Thế vào (13.1) cho ta 0 0 0 0
0 0 0 0
' ' 0
v v v v
f f x f y z
u u u u
é ùæ ö æ ö æ ö
- - + =ê úç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è øë û
. Dễ thấy rằng mặt phẳng tiếp 
xúc ( )p luôn đi qua điểm cố định 0 . 
Bài 14. Cho mặt ( )S có phương trình tham số 
( )
3 3
3 3
3
2 2 2
sin
os
x u v
y u c v
z a u
ì
=ï
ï =í
ï
ï = -î
. Chứng minh rằng tổng bình 
phương các đoạn chắn tạo bởi mặt phẳng tiếp xúc ( )p của ( )S với các trục tọa độ là không đổi, 
với aΡ . 
Giải. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm ( ) ( )0 0,M r u v S= Î có dạng là 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- - -
= (14.1). 
Với ( ) ( )
3
3 3 3 3 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0, , sin , os ,x y z u v u c v a u
æ ö
= -ç ÷
è ø
( ) ( ) ( )
1
2 3 2 3 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0' , ' , ' , ' 3 sin ,3 os , 3u u u ur u v x y z u v u c v u a u
æ ö
= = - -ç ÷
è ø
( ) ( ) ( )3 2 3 20 0 0 0 0 0 0 0' , ' , ' , ' 3 sin cos , 3 os sin ,0v v v vr u v x y z u v v u c v v= = - 
Thế vào (14.1) cho ta ( ) ( )
1 1
4 2 2 2 4 2 2 22 2
0 0 0 0 0 0 0 09 os sin 9 cos sinu a u c v v x u a u v v y
æ ö æ ö
- + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
( ) ( )
1
5 2 2 2 5 2 2 2 22
0 0 0 0 0 0 09 os sin 9 os sin 0u c v v z a u a u c v v+ - - = . 
 18 
Ta lại có 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
0 0
2
0 0
1
2 2 2 2
0
0 sin ,0,0
0 0, cos ,0
0 0,0,
x A a u v
y B a u v
z C a a u
p
p
p
ì
ï Ç =ï
ï Ç =í
ï
æ öï Ç = -ç ÷ï
è øî
. Do đó yêu cầu của bài toán tương đương với việc 
tính 2 2 2 2 4 2 2 4 2 6 4 2 60 0 0 0 0sin osOA OB OC u a v u a c v a a u a+ + = + + - = . 
Bài 15. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p và pháp tuyến của mặt ( )S có tham số hóa 
( ) ( ), cos , sin ,r u v v u v u ku= tại một điểm bất kỳ, với kΡ . 
Giải. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm ( ) ( )0 0,M r u v S= Î có dạng là 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- - -
= (15.1). 
Với ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0, , cos , sin ,x y z v u v u ku= , ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0' , ' , ' , ' sin , cos ,u u u ur u v x y z v u v u k= = - 
( ) ( ) ( )0 0 0 0' , ' , ' , ' cos ,sin ,0u v v vr u v x y z u u= = . 
Thế vào (15.1) cho ta mặt phẳng tiếp xúc ( )p là ( ) ( )0 0 0 0 0sin cos 0k u x k u y v z kv u- + - + = . 
Phương trình pháp tuyến tại điểm ( ) ( )0 0,M r u v S= Î có dạng 0 0 0
x x y y z z
a b c
- - -
= = (15.1) 
Với ( ) ( )
( ) ( )
0 00 0 0 0
0
00 0 0 0
cos' , ' ,
sin
sin 0' , ' ,
u u
v v
v u ky u v z u v
a k u
uy u v z u v
= = = - 
( ) ( )
( ) ( )
0 00 0 0 0
0
00 0 0 0
sin' , ' ,
cos
0 cos' , ' ,
u u
v v
k v uz u v x u v
b k u
uz u v z u v
-
= = = 
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 00 0 0 0
0
0 00 0 0 0
sin cos' , ' ,
cos sin' , ' ,
u u
v v
v u v ux u v y u v
c v
u ux u v y u v
-
= = = - 
Thế vào (15.1) cho ta phương trình pháp tuyến là 0 0 0 0 0
0 0 0
cos sin
sin cos
x v u y v u z ku
k u k u v
- - -
= =
- -
. 
Bài 16. Chứng minh rằng thể tích của tứ diện tạo bởi từ các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng tiếp 
xúc ( )p của mặt ( )S có phương trình tham số hóa ( )
3
, , ,
a
r u v u v
uv
æ ö
= ç ÷
è ø
 không phụ thuộc vào tiếp 
điểm, với aΡ . 
 19 
Giải. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm ( ) ( )0 0,M r u v S= Î có dạng là 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- - -
= (17.1). 
Với ( ) ( )
3
0 0 0 0 0 0 0
0 0
, , , , ,
a
M r u v x y z u v
u v
æ ö
= = = ç ÷
è ø
, ( ) ( )
3
0 0 2
0 0
' , ' , ' , ' 1,0,u u u u
a
r u v x y z
u v
æ ö
= = -ç ÷
è ø
( ) ( )
3
0 0 2
0 0
' , ' , ' , ' 0,1,v v v v
a
r u v x y z
u v
æ ö
= = -ç ÷
è ø
. 
Thế vào (17.1) cho ta phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p là 
3 3 3
2 2
0 0 0 0 0 0
3
0
a a a
x y z
u v u v u v
+ + - = . 
Ta lại có 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
3
0 0
0 3 ,0,0
0 0,3 ,0
3
0 0,0,
x A u
y B v
a
z C
u v
p
p
p
ì
ï Ç =ï
ï Ç =í
ï
æ öï Ç = ç ÷ï è øî
.Do đó 
3
3
0 0
0 0
1 1 3 9
3 3
6 6 2ABCD A B C
a
V x x x u v a
u v
= = = điều 
này chứng tỏ thể tích tứ diện ABCD không phụ thuộc vào việc chọn điểm ( ) ( )0 0,M r u v S= Î . 
Bài 17. Xây dựng ánh xạ Weingarten của mặt ( )S có tham số hóa ( )
2 2
, , ,
2
u v
r u v u v
æ ö+
= ç ÷
è ø
. 
Giải. Lấy đạo hàm theo biến ,u v ta có ( ) ( ) ( ) ( )' , 1,0, , ' , 0,1,u vr u v u r u v v= = 
Suy ra ( )
2 2 2 2 2 2
' ' 1
, , ,
' ' 1 1 1
u u
u u
r r u v
n u v
r r u v u v u v
æ öÙ
= = - -ç ÷Ù + + + + + +è ø
Nên ( )
( ) ( ) ( )
2
3 3 3
2 2 2 2 2 22 2 2
1
' , , ,
1 1 1
u
v uv u
n u v
u v u v u v
æ ö
ç ÷- - -
= ç ÷
ç ÷+ + + + + +è ø
( )
( ) ( ) ( )
2
3 3 3
2 2 2 2 2 22 2 2
1
' , , ,
1 1 1
v
uv u v
n u v
u v u v u v
æ ö
ç ÷- - -
= ç ÷
ç ÷+ + + + + +è ø
Xây dựng ánh xạ ( ) ( ): M Mh T S T S® thỏa mãn 
( ) ( ) ( )
2
3 3 3
2 2 2 2 2 22 2 2
1
' ' , ,
1 1 1
h
u u
v uv u
r n
u v u v u v
æ ö
ç ÷+
¾¾®- = ç ÷
ç ÷+ + + + + +è ø
 20 
( ) ( ) ( )
2
3 3 3
2 2 2 2 2 22 2 2
1
' ' , ,
1 1 1
h
v v
uv u v
r n
u v u v u v
æ ö
ç ÷- +
¾¾®- = ç ÷
ç ÷+ + + + + +è ø
Khi đó ( ) ( )
( ) ( )
2
3 3
2 2 2 22 2
2
3 3
2 2 2 22 2
1
' ' '
1 1
1
' ' '
1 1
u u v
v u v
v uv
n r r
u v u v
uv v
n r r
u v u v
ì +
- = -ï
ï + + + +ï
í
+ï- = - +ï
+ + + +ïî
Suy ma trận của phép biến đổi là ( ) ( )
( ) ( )
2
3 3
2 2 2 22 2
2
3 3
2 2 2 22 2
1
1 1
1
1 1
v uv
u v u v
A
uv u
u v u v
é ù+ -
ê ú
ê ú+ + + +
ê ú=
ê ú- +
ê ú
ê ú+ + + +ë û
Do vậy h là ánh xạ Weingarten. 
Bài 18. Cho mặt ( )S có dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ( )2 2 2 2u vI a u b a= + + . Tính góc tại 
giao điểm của 2 đường cong ( ) ( )1 2: 0, : 0C u v C u v+ = - = . 
Giải. Gọi ( ) ( )1 2A C C= Ç có tọa độ là nghiệm của hệ ( )
0
0,0
0
u v
A
u v
+ =ì
Û =í - =î
Dạng tham số của ( ) 11
1
:
u t
C
v t
=ì
í = -î
 và ( ) 12
1
:
u t
C
v t
=ì
í =î
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường cong ( ) ( )1 2,C C cho ta 
2 2
2 2
1
os
1
a u
c
a u
f
- -
=
+ +
Suy ra góc giữa hai đường cong ( ) ( )1 2,C C tại điểm ( )0,0A = là 
2
2
1
os
1
a
c
a
f -=
+
. 
Bài 19. Cho mặt ( )S có dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ( ) ( )( )2 22 2u vI a u a a= + + . Tìm chu vi 
của tam giác cong trên ( )S xác định bởi 
21
2
1
u av
v
ì = ±ï
í
ï =î
. 
Giải. Xét hệ trục tọa độ ( )0uv cho ta cách xác định các đỉnh của tam giác ABC . 
Ta thấy rằng 21
2
u av= giao với đường 21
2
u av= - cho ta một điểm ( )0,0A = 
Tương tự đường 21
2
u av= giao với đường 1v = cho ta một điểm ,1
2
a
C æ ö= ç ÷
è ø
 21 
Tương tự đường 21
2
u av= - giao với đường 1v = cho ta một điểm ,1
2
a
B æ ö= -ç ÷
è ø
Khi đó: 
» :
1
u t
BC
v
=ì
í =î
, ,
2 2
a a
t é ùÎ -ê úë û
Áp dụng công thức tính độ dài cung ta được » ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
' 2 ' ' '
a a
BC
a a
l E u Fu v G v dt dt a
- -
= + + = =ò ò . 
» 2
1
: 2
u at
AC
v t
ì =ï
í
ï =î
, [ ]0,1tÎ 
Áp dụng công thức tính độ dài cung ta được » ( ) ( )
1
2 2
0
' 2 ' ' '
AC
l E u Fu v G v dt= + + =ò 
( )
1
2
0
7
2
2 6
a
t dt a= + =ò 
Tương tự ta cũng có » 76ABl a= . Do vậy chu vi tam giác là » » »
10
3AB AC BC
l l l a+ + = . 
 BÀI TẬP TỰ GIẢI 
Bài 1. Chứng minh rằng ánh xạ ( ){ }
( ) ( ) ( )
2 3
2 2
: , | 0, 0
, , , ,
r U u v u v
u v r u v u uv v
= Î > > ®
=
¡ ¡
a
 là tham 
số hóa mặt trong 3¡ . 
Bài 2. Xét tham số hóa ( ) ( ), ,u v r u va của mặt ( )S trong 3¡ . Chứng minh rằng véctơ 
( ) : ' 'M u u v va T S a a r a rÎ = + xác định một phương chính của ( )S tại ( ),M r u v= khi và chỉ khi 
2 2
0
v u v ua a a a
E F G
L M N
-
= , với , , ; , ,E F G L M N là hệ số của dạng toàn phương cơ bản thứ nhất, thứ 
hai. 
Bài 3. Chứng minh rằng điểm M thuộc ( )S trong 3¡ là điểm rốn của ( )S khi và chỉ khi có một 
trong hai điều kiện: 
Phaàn 3 
 22 
i) Trong mọi tham số hóa ( ) ( ), ,u v r u va của mặt ( )S trong một lân cận của điểm M , giá trị 
tại M của các hệ số của dạng cơ bản thứ hai tỉ lệ với dạng cơ bản thứ nhất i.e. L M N
E F G
= = . 
ii) 2H K= 
Bài 4. Cho mặt tròn xoay ( )S có tham số hóa ( ) ( ) ( ) ( )( ), cos , sin ,r u v u v u v uj j f= với 
( ) ( )2 2' ' 1j f+ = . Chứng minh rằng độ cong Gauss ''K j
j
= - . 
Bài 5. Cho mặt ( )S có tham số hóa ( ) ( ), sin , cos ,r u v u v u v v= . 
a) Tính diện tích của tam giác cong trên ( )S xác định bởi 
0
0 sin
0
u v
v v
£ £ì
í £ £î
. 
b) Tính chu vi của tam giác này. 
c) Tìm các góc của tam giác. 
Bài 6. Tìm những đường cong giao với đường onsv c t= tạo thành một góc không đổi f trên mặt 
( )S có tham số hóa ( ) ( )( )2 2, cos , sin , lnr u v u v u v a u u a= + - . 
Bài 7. Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ của các mặt có tham số hóa. 
a) ( ) ( ), cos cos , cos sin , sinr u v R u v R u v R u= 
b) ( ) ( ), cos cos , cos sin , sinr u v a u v a u v c u= 
c) ( ), sin cos , sin sin , ln tan cos
2
u
r u v a u v a u v a u
æ öæ ö= +ç ÷ç ÷è øè ø
Bài 8. Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ hai của mặt 3xyz a= . 
Bài 9. Cho mặt ( )S có tham số hóa ( ) ( ) ( ) ( )( ), , os , sinr u v u u c uc m j m j= , với ( ) 0um > . 
a) Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ hai của mặt ( )S . 
b) Tính độ cong Gauss tại một điểm tùy ý trên mặt ( )S . 
c) Tinh độ cong Gauss với trường hợp đặc biệt ( )
2 2
2 2ln
a a u
u a a u
u
c
æ ö+ -
= ± - -ç ÷ç ÷
è ø
, 
( )u um = . 
d) Tính độ cong trung bình của mặt ( )S . 
e) Tìm phương trình ( )um m= trong trường hợp ( )u uc = để 0H = tại mọi điểm trên mặt. 
Bài 10. Tìm độ cong chính của trên mặt ( ) ( ), ,
2 2 2
a b uv
x u v y u v z= - = + = . 
 23 
Bài 11. Véctơ a
r
 là phương tiệm cận nếu ( ) 0II a = . Một đường thẳng trên mặt là tiệm cận nếu 
tiếp tuyến tại mọi điểm có phương tiệm cận. Đường tiệm được xác định bởi ( ) 0MK a =
v
 hay 
phương trình ( ) ( )2 22 0L du Mdudv N dv+ + = . Tìm đường tiệm cận của mặt sau đây. 
a) 2 3 4 2
2
, ,
3
x u v y u uv z u u v= + = + = + . 
b) 2z xy= 
c) 
x y
z a
y x
æ ö
= +ç ÷
è ø
Lời kết ! 
Hình vi phân là môn học khó, đòi hỏi người học phải có sự trừu tượng và có kỷ năng tính toán 
tốt mà tài liệu tiếng việt viết về Hình Học Vi Phân rất ít, chủ yếu là tài liệu tiếng anh. Vì thời gian 
hoàn thành tài liệu hỗ trợ này rất gấp nên không tránh những sai xót mong nhận được ý kiến đóng 
góp của các bạn. 
Mọi ý kiến đóng góp các bạn gởi về theo địa chỉ mail thanhansp@gmail.com . 
Xin chân thành cám ơn! 
----------------HẾT--------------