Tài liệu học tập Hình học 10

 Hình Học 10 - 1 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
TRƯỜNG THPT GÒ CÔNG ĐÔNG 
TÀI LIỆU HỌC TẬP 
 
 GV: Trần Duy Thái 
CHƯƠNG I: VECTƠ 
 Hình Học 10 - 2 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
§ 1 : CÁC ĐỊNH NGHĨA 
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 
• Vectơ là đoạn thẳng có hướng. Ký hiệu : 




AB ;




CD hoặc 

a ;

b 
• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Ký hiệu 

0 . 
• Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. 
• Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. 
• Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng 
• Hai vecto cùng hướng thì luôn cùng phương. 
• Độ dài vecto 




AB chính là độ dài đoạn thẳng AB. Kí hiệu: 




AB = AB 
• Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài 
 Vậy: 
, cïng h−íng
a b
a b
a b
 =
= ⇔ 

 
 
  

Các phương pháp chứng minh: 
• Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔



 



,AB AC cùng phương. 
• Chứng minh = ⇔



 



AB DC ABCD là hình bình hành. 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: 

Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ 
Phương pháp giải: 
• Để xác định vectơ ta cần biết độ dài và hướng của vectơ, hoặc biết điểm đầu và 
điểm cuối của vectơ đó. Ví dụ 2 điểm phân biệt A, B ta có 2 vectơ khác nhau là 




AB và




BA . 
• Vectơ 

a là vectơ-không khi và chỉ khi =

0a hoặc =
 



a AA với A là điểm bất kì. 
Bài tập: 
Bài 1: Cho ∆ABC . Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh của tam giác đó. 
Bài 2: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ 4 điểm đã 
cho. 
Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE. 
 a). Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh và đường chéo của ngũ giác. 
 b). Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các dỉnh của ngũ giác. 

Dạng 2: Khảo sát sự bằng nhau của 2 vectơ. 
Phương pháp giải: Để chứng minh 2 vectơ bằng nhau có 3 cách: 
• 
 à cïng h−íng
a b
a b
a v b
= 
⇒ =

 
 
  
 Hình Học 10 - 3 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
• ABCD là hbh ⇒ =



 



AB DC và =



 



BC AD 
• Nếu 

a = 

b ,

b = 

c thì 

a = 

c 
Bài tập: 
Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tìm các 
vectơ bằng nhau và chứng minh. 
Bài 2: Cho điểm M và 

a . Dựng điểm N sao cho: 
 a). =




 
MN a b). 





MN cùng phương với 

a và có độ dài bằng 

a . 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau (khác 

0 ) 
nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối. 
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng 
minh rằng nếu =




 



MN AB và =




 



MN DC , thì ABCD là hình bình hành. 
Bài 5: Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu =



 



AB DC thì =



 



AD BC . 
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D. Chứng tỏ: 
=



 



AE BD . 
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD 
sao cho AM=CN. Chứng minh: =



 




AN MC và =




 



MD BN . 
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng ming rằng: = =



 


 



EDE F FB . 
Bài 9: Cho tam giác ABC và điểm M ở trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung 
điểm của BC, CA, AB và M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng với M qua A’, B’, C’. 
Chứng minh: 
a). =



 



AQ CN và =




 



AM PC b). AN, BP, CQ đồng quy. 
Bài 10: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. 
a). Tìm các vecto khác 

0 và cùng phương với 




OA . 
b). Tìm các vecto bằng vecto 



 



,AB OE . 
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O.Tìm các vectơ từ 5 điểm A,B,C,D,O: 
a). Bằng vectơ 




AB ; 




OB . b). Có độ dài bằng 




OB . 
Bài 12: Cho tam giác đều ABC . Các đẳng thức sau đây đúng hay sai? 
a). =



 



AB BC b). = −



 



AB AC c). =



 



AB AC 
Bài 13 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. 
Chứng minh : = =




 


 


 




;MN QP NP MQ . 
Bài 14: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và 
AD. Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN. 
CMR: = =




 


 


 


,AM NC DK NI . 
Bài 15 : Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’ 
là điểm đối xứng B qua O . Chứng minh : =



 




'AH B C . 
 Hình Học 10 - 4 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
§ 2 : TỔNG VÀ HIỆU CỦA CÁC VECTƠ 
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 
* Định nghĩa: Cho =



 
AB a ; =



 
BC b . Khi đó = +



  
AC a b 
* Tính chất : * Giao hoán : +
 
a b = +
 
b a 
 * Kết hợp : ( +
 
a b ) +

c = +
 
(a b +

c ) 
 * Tính chất vectơ –không : 

a +

0 =

a 
* Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,O tùy ý, ta có : 
• = +



 


 



AB AO OB (phép cộng) 
• = −



 


 



AB OB OA (phép trừ) 
* Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì = +



 


 



AC AB AD 
* Vecto đối: Vecto đối của vecto 

a là một vecto có cùng độ dài nhưng ngược hướng. 
Kí hiệu: −

a . Vậy + − =
  
( ) 0a a . 
 Chú ý: = −



 



AB BA 
* Tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm: 
• I là trung điểm AB ⇔ + =


 

 
0IA IB 
• G là trọng tâm ∆ABC ⇔ + + =



 


 


 
0GA GB GC 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: 

 Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ 
Phương pháp giải: 
Dùng định nghĩa tổng của 2 vectơ, quy tắc 3 điểm, quy tắc hbh và các tính chất 
của tổng các vectơ 
Bài tập: 
Bài 1: Cho hbh ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. 
a). Tìm tổng của 2 vectơ 




NC và 





MC ; 





AM và 




CD ; 




AD và 




NC . 
b). Chứng minh + = +




 


 


 



AM AN AB AD . 
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEFF tâm O. Chứng minh 
+ + + + + =



 


 


 


 


 


 
OF 0OA OB OC OD OE . 
Bài 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng + + +



 


 


 



AB BC CD DE . 

 Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ 
Phương pháp giải: 
• Theo định nghĩa, tìm hiệu 

a - 

b , ta làm hai bước sau: 
- Tìm vectơ đối của 

b 
 Hình Học 10 - 5 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
- Tính tổng + −
 
( )a b 
• Vận dụng quy tắc − =



 


 



OA OB BA với ba điểm O, A, B bất kì. 
Bài Tập: 
Bài 1: Cho tam giac ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và 
BC. 
a). Tìm hiệu − − − −




 


 



 


 



 


 


 



, , ,AM AN MN NC MN PN BP CP . 
b). Phân tích 





AM theo 2 vectơ 





MN và 




MP . 
Bài 2: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh − = −



 


 


 



AB CD AC BD 
Bài 3: Cho 2 điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau: 
a). − =



 


 



MA MB BA b). − =



 


 



MA MB AB c). + =



 


 
0MA MB 
Bài 4: Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi 
= −


 


IA IB . 

 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ: 
Phương pháp giải: 
 + Sử dụng qui tắc ba điểm;quy tắc hình bình hành; trung điểm. 
 + Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ngược lại; 
biến đổi hai vế cùng thành một đẳng thức; biến đổi đẳng thức đã cho thành một đẳng 
thức luôn đúng. 
Bài tập: 
Bài 1: Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, D. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a). + = +



 


 


 



AC BD AD BC b). + = +



 


 


 



AB CD AD CB c). − = −



 


 


 



AB CD AC BD . 
Bài 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng: 
 + + = + +



 


 


 


 


 



E AAC BD F F BC ED . 
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh: 
 − = −



 


 


 



BD BA OC OB và − + =



 


 


 
0BC BD BA . 
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là điểm tùy ý. Chứng minh: 
 + =



 


 



AB OA OB và + = +



 



 


 




MA MC MB MD . 
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N là trung điểm của AD và BC. Chứng 
minh rằng: 
 a). + + =



 


 


 
0AD MB NA b). − + =



 


 


 
0CD CA CB 
Bài 6: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (Bằng nhiều cách khác nhau) 
a). + = +



 


 


 



AB CD AD CB b). − = +



 


 


 



AB CD AC DB 
c). − = −



 


 


 



AB AD CB CD d). + + + =



 


 


 


 
0AB BC CD DA 
e). + + = + +



 


 


 


 


 



AD BE CF AE BF CD f) + − − + =



 


 


 


 


 



AC DE DC CE CB AB 
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, M tùy ý. Cm: + = +



 



 


 




MA MC MB MD 
Bài 8: ∆ ABC có G là trọng tâm, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh 
AB, BC, CA. Chứng minh + + =




 


 


 
 0GM GN GP 
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. CMR: 
 Hình Học 10 - 6 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
 a). − =



 


 



CO OB BA b). − =



 


 



AB BC DB 
 c). − = −



 


 


 



DA DB OD OC d). − + =



 


 


 
0DA DB DC 
Bài 10: Cho ∆ABC . Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, 
CARS. Chứng minh: + + =


 

 

 
0RJ IQ PS . 
Bài 11: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR : 
a). 




OA +




OB +




OC +




OD +




OE +




OF =

0 b). 




OA +




OC +




OE = 

0 
c). 




AB +




AO +




AF =




AD d). 




MA +





MC +




ME = 




MB +





MD +




MF ( M tùy ý ) 
Bài 12: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng : 
a). 




AB + 




CD + 




EA = 




CB + 




ED 
b). 




AD + 




BE + 




CF = 




AE + 




BF + 




CD 
c). 




AB + 




CD + 




EF + 




GA = 




CB + 




ED + 




GF 
d). 




AB - 




AF + 




CD - 




CB + 




EF - 




ED = 

0 
Bài 13: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm AB, AC, BC. CMR: với điểm O 
bất kì: + + = + +



 


 


 



 


 



OA OB OC OM ON OP 
Bài 14 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối 
xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. Với một điểm O bất kỳ, CMR: 
+ + = + +



 


 


 


 



 




' ' 'OA OB OC OA OB OC 
Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường 
kính AD 
a). Chứng minh rằng 




HB + 




HC = 




HD 
b). Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng 




HA + 




HB + 




HC = 





'HH 
Bài 16: CMR: =



 



AB CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC 
trùng nhau. 
Bài 17: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt 




AO = 

a ; 




BO = 

b 
 Tính 




AB ; 




BC ; 




CD ; 




DA theo 

a và 

b 
Bài 18: Cho tam giác ABC. Xác định điểm M sao cho − + =



 


 



 
0MA MB MC 

 Dạng 4: Tính độ dài của vectơ: 
Phương pháp giải: 
Đưa tổng hoặc hiệu ... 2 2+ − = − −



 


 



 


 


 




MA MB MC MA MB MC 
Bài 2: Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. 
a). CMR: véctơ 3 5 2= − +
 


 


 




v MA MB MC không đổi. 
b). Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 3 2 2+ − = −



 


 



 


 




MA MB MC MB MC 
§ 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 
1. Định nghĩa tọa độ của một vectơ, độ dài đại số của một vectơ trên một trục 
• = ⇔ = +
   
1 2 1 2( ; ) . .a a a a a i a j 
• M có tọa độ là (x; y)⇔ = +




  
. .OM x i y j 
• ( ; )A AA x y và ( ; )B BB x y ( )⇒ = − −




;B A B AAB x x y y 
2. Tọa độ của + −
 
  
 
, , ka b a b a 
* Cho = = ∈
 
1 2 1 2( ; ), ( ; ), k Ra a a b b b 
Ta có: + = + +
 
1 1 2 2( ; )a b a b a b ; − = − −
 
1 1 2 2( ; )a b a b a b ; ( )=

1 2;ka ka ka 
* Hai vectơ 

a và 

b (

a ≠

0 ) cùng phương ⇔ k∃ ∈ : 
=

=
1 1
2 2
b ka
b ka
3.+ I là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có: 
+
=

+
=

2
2
I
A B
A B
I
x x
x
y y
y
 + G là trọng tâm của tam giác ABC ta có: 
+ +
=

+ +
=

3
3
G
A B C
A B C
G
x x x
x
y y y
y
 Hình Học 10 - 16 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: 

 Dạng1: Xác định tọa độ của véctơ và của một điểm trên mp tọa độ Oxy: 
Phương pháp giải: 
 Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của vectơ và tọa độ của một điểm trêm mp tọa độ Oxy. 
* Nếu biết tọa độ hai điểm A (xA,yA), B(xB, yB) thị ta tính được tọa độ của 
 = − −



 



: ( ; )B A B AAB AB x x y y . 
* Nếu M và N có tọa độ lần lượt là a, b thì = −MN b a 
Bài tập: 
Bài 1: Trên trục (O, 

i ) cho hai điểm M và N có tọa độ lần lượt là -5; 3. tìm tọa độ 
điểm P trên trục sao cho =
1
2
PM
PN
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 và chiều cao ứng với cạnh AD=3, góc 
BAD=600, chọn hệ trục (A;
 
, i j ) sao cho 

 i và 




AD cùng hướng. Tìm tọa độ các 
vectơ 



 


 


 



, , ,AB BC CD AC . 
Bài 3: Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5. 
a). Tìm tọa độ của 
→
AB . 
b). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. 
c). Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2
→
MA + 5
→
MB = 0

. 
d). Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = −1. 
Bài 4: Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c. 
a). Tìm tọa độ trung điểm I của AB. 
b). Tìm tọa độ điểm M sao cho 
→
MA + 
→
MB − 
→
MC = 0

. 
c). Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
→
NA − 3
→
NB = 
→
NC . 
Bài 5: Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −3 và 1. 
a). Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA − 2MB = 1. 
b). Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB . 
Bài 6: Trên trục x'Ox cho 4 điểm A (−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) 
a). CMR : 1
AC
 +
1
AD
 = 
2
AB
b). Gọi I là trung điểm AB. CMR: 2. =IC ID IA 
c). Gọi J là trung điểm CD. CMR: . .=AC AD AB AJ 
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D. 
Bài 8: Cho ∆ ABC, các điểm M(1;0); N(2;2) và P(-1;3) lần lượt là trung điểm của các 
cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 
Bài 9: Cho ∆ ABC, các điểm M(1;1); N(2;3) và P(0;4) lần lượt là trung điểm của các 
cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 
 Hình Học 10 - 17 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
Bài 10: Cho ∆ ABC, các điểm A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3). Tìm tọa độ trung điểm I 
của AC. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. 
Bài 11: Cho 3 điểm A(2;5); B(1;1); C(3;3). 
 a). Tìm tọa độ điểm D sao cho = −



 


 



3 2 AD AB AC . 
 b). Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tìm tọa độ 
tâm hình bình hành đó. 
Bài 12: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C nằm trên Oy và trọng tâm G nằm 
trên Ox. Tìm tọa độ C. 

 Dạng 2: Tìm tọa độ của các vectơ + −
    
; ; u v u v ku 
Phương pháp giải: Tính theo công thức tọa độ + −
    
; ; u v u v ku 
Bài tập: 
Bài 1: Cho = = =
  
(2;1); (3;4); (7;2)a b c . 
a).Tìm tọa độ của vectơ = − +
   
2 3 u a b c . 
b).Tìm tọa độ vectơ + = −
   
 x a b c . 
c).Tìm hai số j; k sao cho = +
  
c ka lb . 
Bài 2: Cho = = − = − −
  
(1;2); ( 3;1); ( 4; 2)a b c 
a). Tìm tọa độ các vectơ = − +
   
2 4 u a b c ; = − + −
   1 1
3 2
v a b c ; = + +
   
3 2 4 u a b c . 
và xem vectơ nào trong các vectơ cùng phương với véctơ 

i và cùng phương với 

j . 
b). Tìm các số m, n sao cho = +
  
 a mb nc . 
Bài 3: Tìm x để các cặp vectơ sau cùng phương 
a). (2;3) µ (4; )a v b x= =
 
. 
b). (0;5) µ ( ;7)u v b x= =
 
. 
c). ( ; 3) µ ( 2;2 )m x v n x= − = −

 
. 
Bài 4: Biểu diễn véc tơ 

c theo các véc tơ ;
 
a b biết: 
 a). (2; 1); ( 3;4); ( 4;7)− − −
  
a b c b). (1;1); (2; 3); ( 1;3)− −
  
a b c . 
Bài 5: Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3). Hãy biểu diễn véc tơ 




AD theo 
các véc tơ 




AB ;




AC . 
Bài 6: Biểu diễn véc tơ 

c theo các véc tơ ;
 
a b biết: 
 a). ( 4;3); ( 2; 1); (0;5)− − −
  
a b c b). (4;2); (5;3); (2;0)
  
a b c . 
Bài 7: Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). Hãy biểu diễn véc tơ 




AD theo 
các véc tơ 




AB ;




AC 
 Hình Học 10 - 18 - 
 Gv : Trần Duy Thái 

 Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: 
Phương pháp giải: 
 Sử dụng điều kiện cần và đủ sau: 
 * Hai vectơ ≠
  
, 0)a b cùng phương khi và chỉ khi có số k để =
 
a kb 
 * Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k để =



 



AB kAC 
Bài tập: 
Bài 1: Cho 3 điểm A(-1;1); B(1;3) và C(-2;0). Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng 
hàng. 
Bài 2: Cho 3 điểm M( 4 7;
3 3
); N(2;1) và P(1;3). Chứng minh rằng 3 điểm M; N; P 
thẳng hàng. 
Bài 3: Cho 3 điểm A(3; 4); B(2; 5) và C(1; 5). Tìm x để (-7; x) thuộc đường thẳng AB. 
Bài 4: Cho 3 điểm A(-3; 4); B(1; 1) và C(9; -5). 
a). Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng hàng. 
b). Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. 
c). Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A; B; E thẳng hàng. 
Bài 5: Cho A(2;1); B(6;-1). Tìm toạ độ: 
a). Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng. 
b). Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng. 
c). Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và 2 5=PA . 
Bài 6: Cho A(-1;-4); B(3;4). Tìm toạ độ: 
a). Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng. 
b). Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng. 
c). Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và 3 5=PA . 
Bài 7: Tìm điểm P trên đường thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng khoảng cách từ P tới A 
và B là nhỏ nhất, biết: 
a). A(1;1) và B(-2;-4) b). A(1;1) và B(3;-2) 

 Dạng 4: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ, độ dài: 
Bài tập: 
Bài 1: Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3) 
a). Xác định toạ độ điểm E sao cho 2=



 



AE BC 
b). Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5 
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1). Xác định toạ độ: 
a). Trọng tâm G 
b). Véc tơ trung tuyến AA1 
c). Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 
d). Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. 
Bài 3: Cho M(1+2t; 1+3t). Hãy tìm điểm M sao cho 2 2+M Mx y nhỏ nhất. 
Bài 4: Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7; 3
2
) 
 Hình Học 10 - 19 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
a). CM: ∆ABC vuông b). Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 
Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2). Tìm toạ độ của: 
a). Trọng tâm G của tam giác . 
b). Vectơ trung tuyến ứng với cạnh BC. 
c). Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. 
d). Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
e). Điểm M biết: 2 3= −




 


 



CM AB AC . 
 f). Điểm N biết: 2 4 0+ − =



 


 


 
AN BN CN . 
Bài 6: Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D sao cho 
ABCD là hình bình hành. 

 Bài Tập Tổng Hợp: 
Bài 1: Trong hệ trục Oxy , cho A(1; 2), B(-2; 3), C(-4;6) 
a). Tìm tọa độ 2 3AB BC AC+ −



 


 



. 
b). Tìm tọa độ trung điểm M của BC. 
c). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 
d). Biểu diễn AG




 theo ,AB AC



 



. 
e). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I của hình 
bình hành này. 
f). Tìm tọa độ điểm E thuộc Ox sao cho ABCE là hình thang. Tìm tọa độ giao điểm 
hai đường chéo của hình thang này. 
 Bài 2: Trong hệ trục toạ độ oxy , cho tam giác ABC có A(4 ;-1) , B(-2 ;- 4), C( -2;2) 
 a). Tính chu vi tam giác ABC. 
 b). Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC. 
 c). Tìm toạ độ điểm I biết 3 2 0+ + =


 

 

 
AI BI CI 
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) . 
a). Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. 
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. 
b). Tìm D để BCGD là hình bình hành. Biểu diễn 




AG theo hai ,



 



AB AD . 
c). Tìm tọa độ M thỏa 2 5+ + + = −




 


 


 



 



AM AG MB CM BC . 
d). Tìm N thuộc cạnh BC sao cho diện tích tam giác ANB gấp 7 lần diện tích 
tam giác ANC. 
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-1;2); B(2;3) và C(1; -4). 
a). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 
b). Tìm tọa độ điểm N trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, N thẳng hàng. 
c). Tìm tọa độ M thuộc BC thỏa 7∆ ∆=AMB ABCS S 
d). Gọi M, P lần lượt là trung điểm cuả AB và BC. Phân tích 




AC theo hai vectơ 




AP 
và 





CM . 
Bài 5: : Cho hai điểm A(3 , 4) ; B(2 ; 5 ) . 
a). Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua B . 
b). Tìm toạ độ điểm D trên Ox sao cho 3 điểm A , B , D thẳng hàng . 
 Hình Học 10 - 20 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
c). Tìm toạ độ điểm C sao cho O là trọng tâm của tam giác ABC. 
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 0), B(2; -4), 
 C(0; -2) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M, N, P lần lượt là 
trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh hai tam giác ABC và tam giác MNP 
có cùng trọng tâm. 
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2). Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox và B 
thuộc Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB. 
Bài 8: Trong hệ trục Oxy cho các véctơ (2; 1), ( 1; 3), (3;1)a b c= − = − − =
  
. 
a). Tìm toạ độ của các véctơ , , 2 3 4 .u a b v a b c w a b c= + = − + = − +
       
   
b). Biểu diễn véctơ c

 theo hai véctơ a

 và b

. 
c). Tìm toạ độ của véctơ d


 sao cho 2 3a d b c+ = −
 
  
. 
Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A ( 1;3) , B ( -5; 7) , C ( 3; 5 ) . 
a). Xác định toạ độ điểm M sao cho 2 0AB AC AM− + =



 


 



 
b). Xác định toạ độ điểm P trên trục tung sao cho P thẳng hàng với A và B . 
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) . 
a). Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm G của 
tam giác. 
b). Tìm D để BCGD là hình bình hành. Biểu diễn 




AG theo hai ,



 



AB AD . 
c). Tìm tọa độ M thỏa 2 5+ + + = −




 


 


 



 



AM AG MB CM BC . 
 ..........Hết.......... 
“Trên bước đường thành công, không có dấu chân của những kẻ lười biếng”