Tài liệu tăng tiết: Phương trình vô tỷ

Tuần: 13 -14-15
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
A). PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
	I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
	1). Các dạng cơ bản
	2). Các dạng khác
	- Đặt điều kiện cho , nâng cả hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử căn thức
	Lưu ý: 
Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản
II). MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
	Giải
Ví dụ 2: Giải các phương trình :
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:
	Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp.
Ví dụ 1: Cho phương trình :.
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Giải: Đặt nên pt (1) đưa về :X2+4X-m=0 (2)
Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành 
+ Nếu
+ Nếu 
Trước hết phương trình (2) có nghiệm . 
Giả sử nghiệm là X0 thì . 
+ Nếu X0 = 0 thì x = – 1
+ Nếu X0 > 0 thì 
+ Nếu X0 < 0 thì 
Vậy với thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình .
Hướng dẫn: Đặt .Đưa về phương trình:X2 – 2X – 3 = 0
Ví dụ 3: Giải phương trình .
Hướng dẫn: Đặt .Đáp số: x=1;
Ví dụ 4: Giải bất phương trình .
Hướng dẫn: Đặt . Bất phương trình trở thành 
Trường hợp 1:
Trường hợp 2: .Bất phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải phương trình
– 4 = – 2x – 8 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = (t0)
(1) trở thành: – 4t = – 
* Tuy nhiên, trong một số trường hợp, sau khi đặt ẩn phụ t, phương trình vẫn còn lại cả ẩn x cũ, khi đó ta sẽ coi x là tham số trong phương trình mới hoặc coi x là ẩn thứ 2 (cùng với t) trong 1 hệ phương trình. Cụ thể:
+ Nếu phương trình mới (ẩn t, tham số x) có biệt thức chính phương ( = , g(x) là một đa thức, thường có bậc 1) thì giải t theo x; nếu phương trình là phương trình đẳng cấp (của x và t) thì đặt x = ty.
Ví dụ 6: Giải phương trình
(4x – 1) = 2 + 2x + 1 (1) 
Hướng dẫn: Đặt t = (t 1)
(1) trở thành (4x – 1)t = 2 + 2x – 1
 = (chính phương)
 t = 
Ví dụ 7: Giải phương trình
2 – 3x + 2 = x (1)
Hướng dẫn: Đặt t = (t 0)
(1) trở thành + xt – 2 = 0.
· Cách 1: = 9 (chính phương) t = 
· Cách 2: phương trình đẳng cấp đặt x = ty:
 + y – 2 = 0 (1 + y – 2) = 0.
Ví dụ 8: Giải phương trình
2(1 – x) = – 2x – 1.
+ Nếu phương trình mới không phải đẳng cấp và cũng không chính phương thì coi t và x là 2 ẩn của 1 hệ phương trình.
Ví dụ 9: Giải phương trình
 + = 5 (1) 
Hướng dẫn: Đặt t = (t 0)
Ta có hệ phương trình 
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau được: (t + x)( x – t + 1) = 0.
Ví dụ 10: Giải phương trình
 + 4x = (1)
Hướng dẫn: 
· Nếu đặt t = (t 0) ta được hệ khó khăn
· Ta dự kiến đặt = at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng:
Ta có hệ phương trình: 
hệ này đối xứng nếu 
. Như vậy ta đặt t + 2 = (t – 2) 
Khi đó có hệ pt đối xứng: (ĐS 
Ví dụ 11: Giải phương trình
7 + 7x = (x > 0) 
Hướng dẫn: 
Dự đoán đặt = at + b ta tìm được a = 1, b = để có hệ phương trình đối xứng. Như vậy sẽ đặt t + = .
Ví dụ 12: Giải phương trình
 + = (1)
Hướng dẫn: 
Đặt t = = (t > 0)
(1) trở thành: t + = – 3t + = 0.
Ví dụ 13: Giải phương trình
 + + = 5 (1) 
Hướng dẫn: 
Đặt t = + = 
(1) trở thành: t + = 5.
Ví dụ 14: Giải phương trình
 + = 3 + (1)
Hướng dẫn: 
Đặt = t (t 0)
(1) trở thành: t + = 3 + = 3 + – t (dạng 1 căn)
Ví dụ 15: Giải phương trình
 + = 3 + (1)
Hướng dẫn: 
Đặt 
(1) trở thành: u + v = 3 + .
Ta có hệ phương trình 
Ví dụ 16: Giải phương trình
3(2 + ) = 2x + 
Hướng dẫn: 
Đặt 
Ví dụ 3: Giải phương trình
 + 2 + + 4 = 25 (1)
Giải.
Đặt f(x) = VT(1), xét trên [, )
Ta thấy f ’(x) > 0, x > f(x) đồng biến trên [, ) nếu (1) có nghiệm thì nghiệm đó duy nhất. Xét thấy f(5) = 0 x = 5 là nghiệm duy nhất.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
 1) (x=3)
 2) 	 (x=4)	
Bài 1:Tìm điều kiện của m để phương trình 
Có nghiệm thực.
Có 1 nghiệm thực
Có 3 nghiệm thực
Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với:. Dùng đồ thị.
Bài 2: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thực.
Hướng dẫn: Đặt . Phương trình trở thành . Lập bảng biến thiên của hàm số y = t2 – 4t, ta có:
IV). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1:Giải các phương trình 
 x=0
Bài 2: giải các phương trình 
 	1) (x=6)
 2) 
 3) ()
 4) ()
 5) (
 4) ()
Bài 3: Giải các phương trình sau 
 1) (
2) (x=2) 
 3) ()
 4) ()
 5) ()
 6) ()
Bài 4: Giải các phương trình
1) (x + 5)(2 – x) = 3. (x=1;x=-4)
2) + – 4 = – 2. (x=2)
3) + = 7. x=2 ; ()
4) + – = 3. ptvn 
5) (x=1;x=-2)
6) (x=1;x=2)
7) ()
8) ()
9) (x=1;x=5)
10) (x=2;x=0; )
11) (x=2)
12) ()
Bài 5: Giải các phương trình
1) 
	2) 
	3) 
	4) 
 5) () 
 6) (x=5)
	7) (x=1;x=2)
 8) (x=2)