Tóm tắt lí thuyết Đại số 10

TÓM TẮT LÍ THUYẾT
GV: PHẠM MINH TỨ
(Bổ sung, sửa chữa năm 2012)
Treân con ñöôøng thaønh coâng khoâng coù daáu chaân cuûa keû löôøi bieáng
Chương I: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
MỆNH ĐỀ & MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
1. Mệnh đề:
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai. Mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Ví dụ: i) 2 + 3 = 5 là mệnh đề đúng.
 ii) “ là số hữu tỉ” là mệnh đề sai.
 iii) “Mệt quá !” không phải là mệnh đề 
2. Mệnh đề chứa biến:
	Ví dụ: Cho mệnh đề 2 + n = 5. với mỗi giá trị của n thì ta được một đề đúng hoặc sai. Mệnh đề như trên được gọi là mệnh đề chứa biến.
3. Phủ định của mệnh đề: 
	Phủ định của mệnh đề P kí hiệu là . Nếu mệnh đề P đúng thì sai, P sai thì đúng.
Ví dụ: 	P: “3 là số nguyên tố”
 	: “3 không là số nguyên tố”
4. Mệnh đề kéo theo:
Mệnh đề “nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu .
Mệnh đề chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Ví dụ: Mệnh đề “” sai
 Mệnh đề “” đúng
Trong mệnh đề thì:
	P: giả thiết (điều kiện đủ để có Q)
	Q: kết luận (điều kiện cần để có P)
Ví dụ: Cho hai mệnh đề:
	P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 600”
	Q: “Tam giác ABC là tam giác đều”.
Hãy phát biểu mệnh đề dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
	i) Điều kiện cần: “Để tam giác ABC có hai góc bằng 600 thì điều kiện cần là tam giác ABC là tam giác đều”
	ii) Điều kiện đủ: “Để tam giác ABC là tam giác đều thì điều kiện đủ là tam giác ABC có hai góc bằng 600”
5. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương.
Mệnh đề đảo của mệnh đề là mệnh đề . 
Chú ý: Mệnh đề đúng nhưng mệnh đề đảo chưa chắc đúng.
Nếu hai mệnh đề và đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương nhau. Kí hiệu 
6. Kí hiệu :	
: Đọc là với mọi (tất cả)
: Đọc là tồn tại (có một hay có ít nhất một)
7. Phủ đỉnh của và :
* Mệnh đề phủ định của mệnh đề “” là “”
* Mệnh đề phủ định của mệnh đề “” là “”
Ghi nhớ:
- Phủ định của là .
- Phủ định của là .
- Phủ định của = là .
- Phủ định của > là .
- Phủ định của < là .
Ví dụ: P: “”
ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC
1. Định lí và chứng minh định lí:
- Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng. Nhiều định lí được phát biểu dưới dạng (1)
	Trong đó là những mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó.
- Chứng minh định lí dạng (1) là dùng suy luận và những kiến thức đúng đã biết để khẳng định rằng mệnh đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ rằng với mọi x thuộc X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng.
Có thể chứng minh định lí dạng (1) một cách trực tiếp hoặc gián tiếp.
* Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước:
- Lấy x thùy ý thuộc X mà P(x) đúng;
- Dùng suy luận và những kiến thức toán học đúng đã biết để chỉ ra rằng Q(x) đúng.
* Phép chứng minh phản chứng gồm các bước:
- Giả sử tồn tại sao cho đúng và sai, tức là mệnh đề (1) là một mệnh đề sai.
- Dùng suy luận và những kiến thức toán học đúng đã biết để chỉ ra điều mâu thuẫn.
2. Điều kiện cần, điều kiện đủ:
Cho định lí dạng: (1).
- P(x) gọi là giả thiết và Q(x) gọi là kết luận của định lí.
- Định lí (1) còn được phát biểu dưới dạng:
+ P(x) là điều kiện đủ để có Q(x), hoặc
+ Q(x) là điều kiện cần để có P(x).
3. Định lí đảo, điều kiện cần và đủ:
Xét mệnh đề đảo của định lí dạng (1) là (2).
Mệnh đề (2) có thể đúng, có thể sai. Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó được gọi là định lí đảo của định lí (1), lúc đó (1) gọi là định lí thuận.
Định lí thuận và đảo có thể viết gộp lại thành một định lí dạng:
 (3).
Khi đó ta nói: P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x) (hoặc ngược lại). Ngoài ra ta cũng có thể nói “P(x) khi và chỉ khi (nếu và chỉ nếu) Q(x)”
TẬP HỢP
I. TẬP HỢP:
- Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học.
- Cho tập hợp A. Phần tử a thuộc tập A ta viết . Phần tử a không thuộc tập A ta viết .
1. Cách xác định tập hợp:
	a) Cách liệt kê: Là ta liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp.
Ví dụ: 
	b) Cách nêu tính chất đặc trưng: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập đó.
A
Ví dụ: 
Ta thường minh hoạ tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven.
2. Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu .
Vậy: 
3. Tập con: 
B
A
Chú ý: i) 
 ii) 
 iii) 
4. Hai tập hợp bằng nhau: 
II. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
1. Phép giao: 
	Ngược lại: 
A
B
2. Phép hợp: 
	Ngược lại: 
3. Hiệu của hai tập hợp: 
	Ngược lại: 
4. Phần bù: Khi thì E\A gọi là phần bù của A trong E. Kí hiệu:.
	Vậy: = E\A khi .
III. CÁC TẬP HỢP SỐ:
	Tập số tự nhiên: ; 
	Tập số nguyên: 
	Tập các số hữu tỉ: 
	Tập số thực: kí hiệu R, gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Tập số thực được biểu diễn bằng trục số.
Quan hệ giữa các tập số: .
-
0
+ Các tập con thường dùng của R:
Chú ý: Cách biểu diễn phép hợp, giao, hiệu của 2 tập hợp trên trục số:
	Vẽ trục số, biểu diễn các số là biên của tất cả các tập hợp lên trục số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Sau đó biểu diễn lần lượt từng tập hợp theo qui tắc sau:
Phép hợp: Muốn lấy hợp của hai tập hợp A và B. Tô đậm bên trong của hai tập hợp, phần tô đậm đó chính là hợp của hai tập hợp.
Phép giao: Muốn lấy giao của hai tập hợp A và B. Gạch bỏ phần bên ngoài của tập A, rồi tiếp tục gạch bỏ bên ngoài của tập B. phần không gạch bỏ đó chính là giao của hai tập hợp A và B.
Cách tìm hiệu (a;b) \ (c;d): Tô đậm tập (a;b) và gạch bỏ tập (c;d). Phần tô đậm không bị gạch bỏ là kết quả cần tìm.
SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
1. Số gần đúng:
Trong đo đạc, tính toán ta thường không biết được giá trị đúng của các đại lượng ta đang quan tâm mà chỉ biết được giá trị gần đúng của nó.
2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối:
a) Sai số tuyệt đối:
Giả sử là giá trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần đúng của . Giá trị phản ánh mức độ sai lệch giữa và a. Ta gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a và kí hiệu là , tức là: 
Trên thực tế nhiều khi ta không biết nên không thể tính được chính xác . Tuy nhiên, ta có thể đánh giá được không vượt quá một số dương nào đó.
* Nếu thì: 
Khi đó ta qui ước viết: 
Như vậy khi viết: ta hiểu số đúng nằm trong đoạn 
Vì vậy, d càng nhỏ thì độ sai lệch càng ít đi.
b) Sai số tương đối:
Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là , là tỉ số . Tức là: .
Nếu thì do đó: 
Nếu càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.
Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.
3. Số qui tròn:
Nguyên tắc qui tròn số:
* Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0.
* Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số ở hàng được qui tròn
Chú ý:
1. Khi qui tròn số đúng đến một hàng nào thì ta nói số gần đúng a nhận được là chính xác đến hàng đó.
2. Nếu kết quả cuối cùng của bài toán yêu cầu chính xác đến hàng thì trong quá trình tính toán, ở kết quả của các phép tính trung gian ta cần lấy chính xác ít nhất đến hàng .
3. Cho số gần đúng a có độ chính xác d (tức là ). Khi được yêu cầu qui tròn số a mà không nói rõ qui tròn đến hàng nào thì ta qui tròn số a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.
4. Chữ số chắc và cách viết chuẩn của số gần đúng:
a) Chữ số chắc:
Cho số gần đúng a của số với độ chính xác d. trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nữa đơn vị của hàng có chữ số đó.
* Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc là chữ số chắc. tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.
b) Dạng chuẩn của số gần đúng:
Trong cách viết , ta biết ngay độ chính xác d của số gần đúng a. Ngoài cách viết trên, người ta còn qui ước dạng viết chuẩn của số gần đúng và khi cho một số gần đúng dưới dạng chuẩn, ta cũng biết được độ chính xác của nó.
* Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ số chắc.
* Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là , trong đó A là số nguyên, k là hàng thấp nhất có chữ số chắc 
Chú ý: 
Với qui ước về dạng chuẩn của số gần đúng thì hai số gần đúng 0,14 và 0,140 viết dưới dạng chuẩn có ý nghĩa khác nhau. Số gần đúng 0,14 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,005 còn số 0,140 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0005.
5. Kí hiệu khoa học của một số:
Mỗi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng , trong đó: . Dạng như thế được gọi là kí hiệu khoa học của số đó. Người ta thường dùng kí hiệu khoa học để ghi số rất lớn hoặc số rất bé.
Chương II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI.
ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ
1. Khái niệm về hàm số:
a) Hàm số:
Cho một tập hợp khác rỗng .
Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x.
Tập D còn gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f.
Để chỉ rõ kí hiệu biến số, hàm số f còn được viết là 
b) Hàm số cho bằng biểu thức: Cho hàm số , khi đó ta nói hàm số được cho bằng biểu thức f(x).
* Tập xác định của hàm số: 
Ta qui ước rằng: Khi cho hàm số bằng biểu thức y = f(x), nếu không nói gì thêm thì tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x để biểu thức y = f(x) có nghĩa (hay là giá trị của biểu thức f(x) được xác định). Kí hiệu là: D
Vậy: Tập xác định 
* Tập xác định của các hàm số thường gặp:
 có nghĩa 
 có nghĩa 
 có nghĩa 
 có nghĩa 
 Các hàm đa thức như: y = ax2 + bx + c, y = ax + b,... có tập xác định là .
c) Đồ thị của hàm số: Cho hàm số y=f(x) có TXĐ là D.
Đồ thị (C) của hàm số là tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy với . Vậy 
Lưu ý khi giải toán: Điểm thuộc đồ thị tọa độ của điểm phải thỏa mãn phương trình của đồ thị.
2. Sự biến thiên của hàm số: 
Ta kí hiệu K là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn. Ta có:
* Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu: 
* Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu: .
Nhận xét:
- Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải.
- Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải.
* Phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số
B1: Lấy 
B2: Lập tỉ số: 
B3: Nếu tỉ số T > 0 thì hàm số tăng trên K.
 Nếu tỉ số T < 0 thì hàm số giảm trên K.
3. Tính chẵn lẻ của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu 
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu 
* Phương pháp chứng minh hàm số chẵn, hàm số lẻ.
B1: Tìm tập xác định D của hàm số.
B2: Chứng minh tập D là tập đối xứng (cần c/m: )
B3:Tính f(-x).
	Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số là hàm số chẵn.
	Nếu f(-x) = - f(x) thì hàm số là hàm số lẻ.
* Lưu ý: Hàm số có thể không chẵn không lẻ.
4. Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ:
	* Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
	* Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ.
HÀM SỐ y = ax + b
1. Hàm số bậc nhất: 
a. Tập xác định D = .
b. Sự biến thiên:	
- Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên 
	- Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên 
c. Đồ thị: Đồ thị là đường thẳng không son ...  thì:
	P(x) < Q(x) P2(x) < Q2(x)
6. Các chú ý khi giải bất phương trình: 
	i) Khi biến đổi hai vế của bất phương trình thì có thể làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Vì vậy, để tìm nghiệm của bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
VD: Giải bpt: .
	ii) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình với biểu thức f(x) ta cần lưu ý về dấu của f(x). Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn âm thì ta phải lần lượt xét cả hai trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.
	iii) Khi giải bất phương trình có ẩn ở mẫu ta quy đồng mẫu nhưng không được bỏ mẫu và phải xét dấu biểu thức để tìm tập nghiệm
VD: Giải bpt: 
	iv) Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì phải xét hai trường hợp:
	TH1: P(x) và Q(x) đều không âm thì ta bình phương hai vế của bất phương trình.
	TH2: P(x) và Q(x) đều âm thì ta viết P(x) < Q(x) - Q(x) < - P(x) rồi bình phương hai vế của bất phương trình mới.
VD: Giải bpt: 
III. Dấu của nhị thức bậc nhất:
1. Nhị thức bậc nhất: Là biểu thức có dạng: f(x) = ax + b. trong đó a, b là các hằng số ().
2. Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b:
Bảng Xét Dấu: 
x
f(x) = ax + b
a > 0
 - 0 +
a < 0
 + 0 - 
Quy tắc: Phải cùng – Trái trái.
3. Phương pháp lập bảng xét dấu của nhị thức: 
	B1: Tìm nghiệm của nhị thức.
	B2: Lập bảng xét dấu.
	B3: Kết luận về dấu của nhị thức.
4. Dấu của một tích, một thương các nhị thức bậc nhất:
Phương pháp xét dấu: Tìm nghiệm từng nhị thức có mặt trong biểu thức. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức có mặt trong biểu thức. Từ đó ta suy ra được dấu của biểu thức.
VD: Xét dấu biểu thức: 
5. Áp dụng vào việc giải bất phương trình:
a) Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Phương pháp giải: 
B1: Đưa bất phương trình về dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0.
B2: Lập bảng xét dấu của biểu thức f(x).
B3: Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm của bất phương trình.
VD: Giải bất phương trình:
	a) 	b) 
* Chú ý: Vì bài toán xét dấu là bài toán trung gian để giải nhiều bài toán khác và việc xét dấu không cần thiết phải trình bày vào bài giải nên ta chỉ cần sử dụng bảng xét dấu thu gọn để tiết kiệm thời gian và đảm bảo tính chính xác.
6. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: 
	Chú ý: 
Phương pháp giải:
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa để khử trị tuyệt đối (phương pháp khoảng).
B1: Lập bảng xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
B2: Dựa vào bảng xét dấu khử dấu giá trị tuyệt đối và giải bất phương trình trên từng miền xác định của bất phương trình.
B3: Nghiệm của bất phương trình là hợp các tập nghiệm trên từng miền xác định.
Phương pháp 2: Dùng công thức
7. Bất phương trình chứa ẩn trong căn bậc hai:
* 
* 
* 
IV. Dấu của tam thức bậc hai:
1. Tam thức bậc hai đối với x có dạng: f(x) = ax2 + bx + c ().
2. Dấu của tam thức: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c () có 
TH1: Nếu :
Bảng xét dấu: 
x
f(x)
 Cùng dấu với a với mọi x 
TH2: Nếu 
Bảng xét dấu: 
x
f(x)
 Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a 
TH3: Nếu 
Bảng xét dấu: 
x
 x1 x2 
f(x)
Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
Quy tắc: “Trong trái – Ngoài cùng”
Phương pháp xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ().
	B1: Tính và tìm nghiệm của tam thức (nếu có)
	B2: Lập bảng xét dấu của biểu f(x)
	B3: Kết luận dấu của tam thức.
VD: Xét dấu các tam thức sau: 
a. f(x) = -x2 + 3x - 5
b. f(x) = 2x2 - 5x + 2
c. f(x) = 9x2 - 24x + 16
d. f(x) = (2x -5)(3 - 4x)
e. f(x) = 
f. f(x) = (x2 + 3x – 4)(-3x - 5)
* Chú ý: Khi xét dấu một thương cần xác định điều kiện để phân số có nghĩa.
3. Bất phương trình bậc hai một ẩn: 
Dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, với f(x) = ax2 + bx + c 
@ Cách giải: 
B1: Đưa bất phương trình về một trong các dạng f(x) > 0, f(x) < 0, .
B2: Lập bảng xét dấu biểu thức f(x).
B3: Nhận nghiệm ứng với dấu của bất phương trình.
VD: Giải các bất phương trình sau: 
a. 2x2 - 5x + 2 > 0 	b. 9x2 - 24x + 16 > 0
c. x2 + x +2 	d. x2 + 12x + 36 
e. x2 + 12x + 36 	f. (2x -5)(3 - 4x) > 0
g. (x2 + 3x – 4)(-3x - 5) 	h. 
4. Các ứng dụng của tam thức bậc hai: 
Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c có 
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm 
Phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép 
Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm 
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm cùng dấu 
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm âm 
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm dương 
f(x) > 0	f(x) 0
f(x) < 0	f(x) 0
f(x) > 0 vô nghiệm f(x)
f(x) 0 vô nghiệm f(x)
f(x) < 0 vô nghiệm f(x)
f(x) 0 vô nghiệm f(x)
Chương V: THỐNG KÊ
I. BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ & TẦN SUẤT.
1. Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau (). Gọi xi là một giá trị bất kì trong k giá trị đó. Ta có: 
	Số lần xuất hiện giá trị xi trong dãy số liệu đã cho được gọi là tần số của giá trị đó, kí hiệu là ni.
	Số được gọi là tần suất của giá trị xi.
2. Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho được phân bố vào k lớp (k<n). Xét lớp thứ i (i = 1, 2, 3,,k) trong k lớp đó, ta có:
	Số ni các số liệu thống kê thuộc lớp i được gọi là tần số của lớp đó.
	Số được gọi là tần suất của lớp thứ i.
	Chú ý:Trong bảng phân bố tần suất, tần suất được tính ở dưới dạng tỉ số phần trăm.
II. BIỂU ĐỒ.
1. Cách vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột.
	a/ Cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột.
	Để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp và trình bày các số liệu thống kê, có thể vẽ biểu đồ tần suất hình cột như sau:
	Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Oxy với đơn vị trên trục hoành Ox của dấu hiệu X được nghiên cứu, đơn vị trục tung Oy là 1%. Để đồ thị cân đối, đôi khi phải cắt bỏ một đoạn nào đó của trục hoành (hoặc của trục tung). Trên trục hoành, đặt các khoảng có các mút biểu diễn cho các mút của các lớp ở bảng phân bố tần suất (độ dài của các khoảng bằng bề rộng của các lớp). Ta gọi các khoảng và các lớp này tương ứng với nhau. Lấy các khoảng đó làm cạnh đáy, vẽ các hình chữ nhật có độ dài của các đường cao bằng tần suất của các lớp tương ứng và nằm vế phía chiều dương của trục tung. Các hình chữ nhật vừa vẽ được lập thành một biểu đồ tần suất hình cột.
	b/ Cách vẽ biểu đồ tần số hình cột tương tự.
2. Cách vẽ đường gấp khúc tần suất, tần số.
	a/ Giá trị đại diện.
	Trong bảng phân bố ghép lớp, ta gọi số trung bình cộng của hai mút lớp thứ i là giá trị đại diện của lớp đó, kí hiệu là ci.
	b/ Cách vẽ đường gấp khúc tần suất.
	Cũng có thể mô tả bảng phân bố ghép lớp bằng cách vẽ đường gấp khúc tần suất như sau:
	Trên mặt phẳng tọa độ Oxy (hệ tọa độ Oxy đã nói ở trên), xác định các điểm i = 1, 2,,k, trong đó ci và fi lận lượt là giá trị đại diện, tần suất của các lớp của bảng phân bố (gồm k lớp). Vẽ các đoạn thẳng nối điểm với điểm , i = 1, 2,,k – 1, ta thu được một đường gấp khúc, gọi là đường gấp khúc tần suất.
	c/ Cách vẽ đường gấp khúc tần số tương tự.
3. Biểu đồ hình quạt:
B1: Vẽ đường tròn, xác định tâm của nó.
B2: Tính các góc ở tâm của mỗi hình quạt theo công thức a0=f.3,6 (trong đó f là tần suất)
III. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VỊ. MỐT
1. Số trung bình cộng (hay số trung bình)
 là số trung bình cộng của các số liệu thống kê.
a/ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:
 trong đó ni, fi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi, n là số các số liệu thống kê 
b/ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
 trong đó ci, ni, fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê 
2. Số trung vị:
Định nghĩa: Giả sử có một mẫu gồm n số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm. 
Nếu n là một số lẻ thì số liệu đứng thứ (số liệu đứng chính giữa) gọi là số trung vị. 
Nếu n là một số chẵn, ta lấy số trung bình cộng của hai số liệu đứng thứ và +1 làm số trung vị. Số trung vị, kí hiệu là 
3. Mốt:
Khái niệm: Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là MO.
IV. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN:
1. Công thức tính phương sai:
* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:
Trong đó lần lượt là tần số, tần suất của giá trị là các số liệu thống kê (n= n1+n2+  +nk); là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.
* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
Trong đó lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của giá trị là các số liệu thống kê (n= n1+n2+  +nk); là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.
Ngoài ra, người ta còn chứng minh được công thức sau: trong đó là trung bình cộng các bình phương số liệu thống kê, tức là 
(đối với bảng tần số, tần suất)
(đối với bảng tần số, tần suất ghép lớp)
2. Độ lệch chuẩn. 
Phương sai và độ lệch chuẩn đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng , vì có cùng đơn vị với dầu hiệu được nghiên cứu.
Chương VI: LƯỢNG GIÁC
TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Độ và radian:
;	 (rad);	
2. Các hệ thức cơ bản:
* ;	 * 
* ;
* 
* 
* .
3. Các hệ quả cần nhớ:
 xác định khi 
 xác định khi 
Dấu các giá trị lượng giác:
 Góc phần tư
 GTLG
I
II
III
IV
 sina
+
+
–
-
 cosa
+
- 
–
+
 tana
+
–
+
–
 cota
+
–
+
–
4. Các cung liên kết:
a. Cung đối: và 
b. Cung bù: và 
c. Cung phụ: và 
d. Cung sai kém nhau : và 
e. Cung hơn kém nhau : và 
5. Các công thức biến đổi:
a. Công thức cộng:
sin(a ± b) = sina cosb ± cosa sinb
cos(a ± b) = cosa cosb sina sinb
tan(a ± b) = 	
cot(a ± b) = 
Lưu ý: 
	a. Khi tính GTLG của các góc không đặc biệt ta phân tích góc đó thành tổng, hiệu của hai góc đặc biệt rồi dùng công thức cộng.
	b. Khi chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác ta thường dùng tính chất:
	 sau đó dùng công thức cộng và cung liên kết để c/m.
b. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2 sina cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
tan2a = ;	cot2a = 
* Công thức tính theo 
c. Công thức hạ bậc:
cos2a = ;	sin2a = ;	tan2a = 
Lưu ý: 
* Dạng đặc biệt:
A = cosa.cos2a.cos4acos2na (1)
B = sina.cos2a.cos4acos2na (2)
Cách tính:
- Nhân hai vế của (1) với sina và hai vế của (2) cho cosa.
- Dùng công thức nhiều lần.
- Cuối cùng có thể dùng liên kết để rút gọn.
* Khi chứng minh hay rút gọn một đẳng thức, biểu thức lượng giác ta thường chọn một góc chuẩn, đổi các góc khác về góc chuẩn bằng công thức nhân đôi. Sau đó dùng hệ thức cơ bản để làm bài.
* Khi tính GTLG của một góc không đặc biệt, ta nhân đôi góc đó để được góc đặc biệt sau đó dùng công thức nhân để tính.
d. Công thức biến đổi tích về tổng:
sina.cosb = 
cosa.cosb = 
sina.sinb = 
e. Công thức biến đổi tổng về tích:
sinA + sinB = 2sin
sinA – sinB= 2cos
cosA + cosB = 2cos
cosA – cosB = –2sin
tana ± tanb = 
Một số công thức biến đổi thường hay sử dụng:
	* 
	* 
	* 
	* 
f. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:
Góc
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
0
sin
0
1
0
cos
1
0
–
–
–
tan
0
1
||
–
0
cot
||
1
0
–
||