Tuyển tập đề thi và đáp án HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Từ 1992-1992 tới 2003-2004)

Đề số 1 (Năm học 1992-1993)
Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức: 
	Chứng minh rằng: c = d.
Bài 2: Chứng minh: 
	Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện .
Bài 3: Cho là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4).
Tìm điểm C trên Ox sao cho các véc tơ cùng phương?
Tìm trên đường thẳng x = 1 điểm M sao cho .
Đề số 2 (Năm học 1993-1994)
Bài 1: Cho phương trình: .
Giải phương trình với k = 3.
Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau:
i) Hai phương trình và có một nghiệm chung.
ii) Tổng nhỏ nhất.
Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phương trình:
Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3).
Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn: .
Tìm tập hợp điểm N sao cho: .
Đề số 3 (Năm học 1994 – 1995)
Bài 1: a) Chứng minh: 
 b) Đơn giản biểu thức: 
 	 (với )
Bài 2: Cho hàm số 
Tìm tập xác định D của hàm số.
Tìm các giá trị xÎD sao cho f(x) là hằng số.
Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c. Tìm phương tích của trọng tâm G của tam giác đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy.
	b) Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M, N, P thoả mãn . Chứng minh tam giác ABC đều.
Đề số 4 (Năm học 1995-1996)
Bài 1: Giải hệ phương trình sau với các ẩn số x, y, z:
Bài 2: a) Cho . Chứng minh rằng:
	b) Gọi là nghiệm của hệ:
Chứng minh rằng: 
Bài 3: Cho tam giác ABC.
Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn hệ thức: .
Cho 2 điểm E và F di động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện: . Tìm bao hình của đường thẳng EF.
Bài 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đường tròn với OK = k ¹ 0. Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó. Hãy xác định vị trí dây cung AB trong mỗi trường hợp sau:
Tổng đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
Tổng đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.
Đề số 5 (Năm học 1996-1997)
Bài 1: Giải hệ phương trình:
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: .
Bài 3: Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức:
.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm chuyển động trên O. Tìm vị trí của điểm M để biểu thức: đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn nhất. Tính các giá trị đó.
Đề số 6 (Năm học 1997 – 1998)
Bài 1: a) Cho .
	Tìm ?
b) Cho tập hợp 6 điểm trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn nối 2 trong 6 điểm đó được tô bằng màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có 3 cạnh đồng màu.
Bài 2: Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên [0; 2].
Bài 3: a) Cho DABC. Chứng minh: 
	b) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A, B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng 2 hình vuông AMNP và MBQR. Chứng minh: .
Đề số 7 (Năm học 1998 –1999)
Bảng A
Bài 1: Chứng minh rằng nếu phương trình: có nghiệm thì bất đẳng thức sau đúng: .
Bài 2: Cho hàm số: thoả mãn điều kiện:
, và
.
Hãy tìm công thức đơn giản của ?
Bài 3: Giải phương trình: .
Bài 4: a) Cho n véc tơ đôi một không cộng tuyến. Trong đó tổng (n-1) véc tơ bất trong n véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại.
	Chứng minh rằng: .
	(Hai véc tơ cộng tuyến là 2 véc tơ nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau).
	b) Cho DABC, AM và BN là hai trung tuyến. Chứng minh rằng:
	.
Đề số 8 (Năm học 1998-1999)
Bảng B
Bài 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn: x, y > 0; x+y £ 1.
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 2: (Bài 2 bảng A).
Bài 3: Giải phương trình: .
Bài 4: a) Cho O là điểm bất kỳ trong DABC. Chứng minh:
b) Cho DABC (BC=a, CA=b, AB=c). 
Chứng minh rằng: Nếu a+b < 3c thì: . 
Đề số 9 (Năm học 1999-2000)
Bài 1: Cho .
	a) Chứng minh rằng: 
	b) Giả sử 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 2: a) Giải hệ phương trình:
	b) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn phương trình:
Bài 3: a) Cho .
Chứng minh rằng: 
b) Chứng minh rằng trong tam giác ABC có các trung tuyến ứng với các cạnh AB và BC vuông góc thì .
c) Cho DABC không cân, đường tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng ở A1, B1, C1. Gọi M là giao điểm của BC và B1C1. Chứng minh rằng: MO vuông góc với AA1.
Đề số 10 (Năm học 2000-2001)
Bài 1: a) Tìm giá trị của m để phương trình: 
 có nghiệm .
	b) Cho hệ phương trình:
	Tìm điều kiện đối với a, b, c để hệ trên:
vô nghiệm.
có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (a;b) để phương trình 
 có nghiệm nguyên.
Bài 3: a) Cho DABC và 3 điểm A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.
	Tính giá trị biểu thức 
	b) Cho DABC có AB = 3, BC = 5, AC = 7 và AD, CE là phân giác trong cắt nhau tại P. Tính AP.
Bài 4: a) Tìm điểm M trong DABC để MA+MB+MC nhỏ nhất.
	b) Xét tứ giác lồi ABCD có độ dài đường chéo AC, BD cho trước và góc giữa hai đường chéo đó có độ lớn đã cho. Hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất.
Đề số 11 (Năm học 2001-2002)
Bảng A
Bài 1: a) Dùng lý thuyết mệnh đề để chứng minh nhận định sau là sai: “Mọi hình tứ giác đều có một đường tròn ngoại tiếp nó”.
b) Giải phương trình: .
Bài 2: a) Cho x, y, z không âm thoả mãn: . Chứng minh rằng:
b)Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: .
Bài 3: a) Cho DABC, O là điểm sao cho . Đường thẳng (D) cắt các đường thẳng OA, OB, OC lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:
b) Cho DABC, ta vẽ các đường phân giác trong. Giao điểm A’, B’, C’ của chúng với các cạnh đối diện tạo thành DA’B’C’.
Chứng minh rằng: 
(S là diện tích tam giác và a, b, c là độ dài các cạnh).
Đề số 12 (Năm học 2001-2002). Bảng B
Bài 1: (Bài 1 của bảng A)
Bài 2: a) Với giá trị nào của k thì hệ sau có nghiệm:
	b) Bài 2a) bảng A.
Bài 3: Cho DABC, O là điểm sao cho .
Chứng minh O là trọng tâm DABC.
Gọi AA’, BB’, CC’ là các trung tuyến của tam giác, O là trọng tâm và a, b, c là độ dài 3 cạnh. Chứng minh rằng:
Đề số 13 (Năm học 2002-2003)
Bảng A
Bài 1: a) Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ABC có cạnh là a, b, c thì:
	.	
b) Giả sử phân giác của góc A cắt BC tại Y, phân giác của góc B cắt AC tại Z, phân giác của góc C cắt AB tại X. Chứng minh rằng: 
 	.
Bài 2: a) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn: . Hãy tính giá trị biểu thức: .
b) Cho hai phương trình và 
Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia.
Câu 3: a) Cho 2 điểm A, B cố định với AB = a. Tìm tập hợp những điểm P thoả mãn (k là số thực không âm).
b) Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC. Phân giác góc DAM cắt BC tại N. Hãy xác định vị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề số 14 (Năm học 2002-2003)
Bảng B:
Bài 1: a) Bài 1a - Bảng A.
b) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
	.
Bài 2: Bài 2 – Bảng A.
Bài 3: a) Bài 3a – Bảng A.
b) Cho tam giác ABC và P là một điểm thuộc mặt phẳng tam giác. Gọi K, L, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên các đường thẳng BC, CA, AB. Hãy xác định vị trí của P sao cho tổng nhỏ nhất.
Đề số 15 (Năm học 2003-2004) Bảng A:
Bài 1: a. Giải phương trình
	b. Giả sử đa thức f(x) có các hệ số nguyên và các giá trị f(0); f(1) là những số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Bài 2: a. Tìm điều kiện để hàm số sau xác định trên [0; 1)
b. Cho a, b, x, y thoả mãn các điều kiện:	
Tìm giá ttrị nhỏ nhất của 
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P sao cho 
Tính x theo a để cho AM vuông góc PN.
Cho H là một điểm thuộc miền của tam giác ABC nói trên. Gọi H1H2H3 lần lượt là các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác ấy. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác H1H2H3 không phụ thuộc vào vị trí của điểm H.
Đề số 16 (Năm học 2003-2004)
Bài 1: Bài 1 của Bảng A.
Bài 2: a) Bài 2a Bảng A.
b) Cho a, b, c thoả mãn: . Chứng minh rằng: 
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P sao cho 
Chứng minh .
Tính x theo a để cho AM vuông góc PN.