Tuyển tập đề thi vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018

New think - New life
∗∗∗∗AMS∗∗∗∗
TUYỂN TẬP ĐỀ THI
VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2017 - 2018
HÀ NỘI - 2017
Mục lục
1 ĐỀ THI VÀO HỆ KHÔNG CHUYÊN NĂM 2017 5
1 Sở Giáo dục và Đào tạo Lai Châu, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Sở Giáo dục và Đào tạo Lào Cai, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Sở Giáo dục và Đào tạo Hòa Bình, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Sở Giáo dục và Đào tạo Cao Bằng, năm học 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, năm học 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7 Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Giang, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8 Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9 Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Thọ, năm học 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11 Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12 Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13 Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14 Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nam, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
16 Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
17 Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
18 Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Bình, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
19 Sở Giáo dục và Đào tạo Nam Định, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
20 Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
21 Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
22 Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
23 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh , năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
24 Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Trị, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
25 Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
26 Sở Giáo dục và Đào tạo Đà Nẵng, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
27 Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ngãi, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
28 Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
29 Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
30 Sở Giáo dục và Đào tạo Khánh Hòa, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
31 Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Thuận, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
32 Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Thuận, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
33 Sở Giáo dục và Đào tạo Gia Lai, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1
34 Sở Giáo dục và Đào tạo Kon Tum, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
35 Sở Giáo dục và Đào tạo Đắk Lắk, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
36 Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
37 Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Dương, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
38 Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Phước, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
39 Sở Giáo dục và Đào tạo Tây Ninh, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
40 Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
41 Sở Giáo dục và Đào tạo Bà Rịa - Vũng Tàu, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
42 Sở Giáo dục và Đào tạo Long An, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
43 Sở Giáo dục và Đào tạo Tiền Giang, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
44 Sở Giáo dục và Đào tạo Bến Tre, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
45 Sở Giáo dục và Đào tạo An Giang, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
46 Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
47 Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Long, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
48 Sở Giáo dục và Đào tạo Trà Vinh, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
49 Sở Giáo dục và Đào tạo Kiên Giang, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
50 Sở Giáo dục và Đào tạo Cà Mau, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 ĐỀ THI VÀO HỆ CHUYÊN NĂM 2017 63
1 Sở Giáo dục và Đào tạo Lai Châu, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2 Sở Giáo dục và Đào tạo Yên Bái, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Sở Giáo dục và Đào tạo Hòa Bình, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Giang, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7 Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Thọ, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8 Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Thọ, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11 THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, năm 2017 - 2018 (vòng 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
12 THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, năm 2017 - 2018 (vòng2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
13 Trung học phổ thông chuyên, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
14 THPT chuyên dành cho chuyên Toán, Tin, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
15 Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
16 Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
17 Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
18 Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
19 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nam, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
20 Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
21 Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Bình, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
22 Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Bình, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
23 Sở Giáo dục và Đào tạo Nam Định, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
24 Sở Giáo dục và Đào tạo Nam Định, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
25 Sở Giáo dục và Đào tạo Nam Định, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
New think - New life
26 Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
27 Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
28 Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
29 Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
30 THPT chuyên Đại học Vinh , năm 2017 - 2018 (vòng 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
31 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
32 Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Bình, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
33 Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Trị, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
34 Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
35 Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
36 Sở Giáo dục và Đào tạo Đà Nẵng, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
37 Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
38 Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ngãi, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
39 Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
40 Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
41 Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Thuận, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
42 Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Thuận, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
43 Sở Giáo dục và Đào tạo Đắk Lắk, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
44 Sở Giáo dục và Đào tạo Lâm Đồng, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
45 Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố HCM, năm 2017 - 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
46 Trường phổ thông năng khiếu, năm 2017 - 2018 (vòng 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
47 Trường phổ thông năng khiếu, năm 2017 - 2018 (vòng 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
48 Sở Giáo dục ...  trả lời đúng, sai và không trả
lời được bao nhiêu câu hỏi?
2. Thực hiện đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới kiểm tra đánh giá theo hướng phát triển năng lực học sinh,
trong một tiết dạy hình học, một giáo viên đã ứng dụng công nghệ thông tin, sử dụng phần mềm biểu diễn
cho học sinh quan sát trực quan. Cụ thể: Hình thang cân ABCD (AB song song với CD), có AB = 30 cm,
CD = 54 cm và đường cao AH = 9 cm. Cho hình thang này quay quanh cạnh đáy CD. Em hãy giúp bạn
tính:
a. Thể tích của hình tạo thành.
b. Diện tích mặt ngoài của hình tạo thành.
Dongthap.tex 120
New think - New life
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác trong AM (M thuộc BC) và ÂBC = 60◦. Qua M vẽ đường thẳng
vuông góc với cạnh BC cắt đoạn thẳng AC tại N , cắt đường thẳng AB tại P .
1. Chứng minh tứ giác PAMC nội tiếp trong một đường tròn và tam giác PMC vuông cân.
2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC, I là trung điểm của PC. Chứng minh ba điểm M , O, I
thẳng hàng và MO song song với BN .
3. Chứng minh P̂NC = P̂OC.
4. Khi AB = 3 cm, hãy tính diện tích tam giác PBC.
2017QUYENNEW.tex 121
New think - New life
57 Sở Giáo dục và Đào tạo Tiền Giang, năm 2017 - 2018
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN
Câu 1. (1,5 điểm)
1. Cho biểu thức A =
√
4 + 2
√
3−√3(√
5 + 2
)
3
√
17
√
5− 38− 2
.
2. Giải phương trình x2 −√x3 + x = 6x− 1.
3. Giải hệ phương trình
x
2 + 9y2 + 8xy + 24 = 0
x− 3y + xy = 0
Câu 2. (1,5 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol
(
P
)
: y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2
(
m+ 1
)
x−m2, m là tham
số. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳngd cắt
(
P
)
tại hai điểm phân biệt A
(
x1; y1
)
, B
(
x2; y2
)
thỏa
mãn
(
x1 −m
)2
+ x2 = 3m.
2. Cho phương trình x2 +mx− 2 = 0, m là tham số. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
x1, x2 với mọi m. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho biểu thức A =
(
x21 − 1
)(
x22 − 4
)
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3. (1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2 + p+ 6 là số chính phương.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn
(
O;R
)
và
(
O′;R′
)
cắt nhau tại A, B (R < R′). Kẻ tiếp tuyến chung CD của
(
O
)
và
(
O′
)
(C,
D là tiếp điểm và C thuộc
(
O
)
, D thuộc
(
O′
)
). Qua B kẻ cát tuyến song song với CD cắt
(
O
)
tại E, cắt
(
O′
)
tại
F . GọiG, H theo thứ tự là giao điểm của DA, CA với EF . Gọi I là giao điểm của EC với FD.
1. Chứng minh ∆BCD = ∆ICD.
2. Gọi K là giao điểm của AB và CD. Chứng minh K là trung điểm của CD.
3. Chứng minh BI là trung trực của đoạn thẳng GH.
2017QUYENNEW.tex 122
New think - New life
58 Sở Giáo dục và Đào tạo An Giang, năm 2017 - 2018
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho x =
13√
19 + 8
√
3
. Tính giá trị của biểu thức A = x2 − 8x+ 15.
Câu 2. (1,5 điểm)
Cho hàm số y = ax+ b (a 6= 0) có đồ thị là đường thẳng (d) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Viết theo a và b phương
trình đường thẳng (d′). Biết rằng (d) và (d′) vuông góc với nhau đồng thời cắt nhau tại một điểm thuộc trục
hoành.
Câu 3. (1,5 điểm)
Tìm x, y, z biết:
x
2 +
(
y − z + 1)2 = 0
5y − 3z − 9 = 0
Câu 4. (1,5 điểm)
Cho hai phương trình bậc hai (m là tham số):
2x2 +
(
m− 1)x− 3 = 0 ; 4x2 − (m− 7)x− 9 = 0
1. Tìm m để cả hai phương trình đều có nghiệm.
2. Tìm m để hai phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm chung.
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm
(
O
)
. Biết  = 60◦; B̂ và Ĉ là hai góc nhọn có số đo khác nhau. Vẽ
các đường cao BE, CF của tam giác ABC (E, F lần lượt thuộc AC, AB).
1. Chứng minh rằng B̂CF = B̂EF .
2. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác IEF là tam giác đều.
3. Gọi K là trung điểm của EF . Chứng minh rằng IK song song OA.
Câu 6. (1,0 điểm)
Trong một hình vành khăn với các bán kính đường tròn là 10R và
8R. Xếp các hình tròn có bán kính R tiếp xúc với cả hai đường tròn
của hình vành khăn sao cho các hình tròn này không chồng lấn nhau.
Hỏi xếp được nhiều nhất bao nhiêu hình tròn như thế?
2017QUYENNEW.tex 123
New think - New life
59 Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ, năm 2017 - 2018
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho x, y là hai số thực dương phân biệt. Rút gọn biểu thức:
P =
(
1√
x+
√
y
+
3
√
xy
x
√
x+ y
√
y
)
·
[(
1√
x−√y −
3
√
xy
x
√
x− y√y
)
:
x− y
x+
√
xy +
√
y
]
.
Câu 2. (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y =
2m− 4
2m+ 5
x+ 4− 2m (m là tham số thực khác −5
2
).
Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt tia Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích của tam
giác OAB đạt giá trị lớn nhất, với O là gốc tọa độ.
Câu 3. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 2
(
x− 2)√x(x+ 3)+ x3 + x2 − 14x+ 16 = 0.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2 − (3 + 2m)x+ 40−m = 0 có nghiệm là số nguyên.
Câu 4. (1,0 điểm)
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 140 (m). Tỉ số giữa chiều dài và
chiều rộng của khu vườn là
5
2
. Để thuận tiện cho việc chăm sóc, thu hoạch và đi
lại trong khu vườn, người ta làm một lối đi xung quan khu vườn dọc theo chiều
rộng x (m) và dọc theo y (m). Biết rằng x = 2y và diện tích phần đất còn lại sau
khi đã làm lối đi là 828 m2 (như hình vẽ bên dưới). Tính tỉ số k giữa chu vi của
phần đất còn lại và chu vi ban đầu của khu vườn này.
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn
(
O
)
, AB < AC và các đường cao AD, BE, CF (D ∈ BC,
E ∈ CA, F ∈ AB) cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. (O′) là đường tròn ngoại tiếp tam giác
HFE, d là đường thẳng đi qua H và song song với đường thẳng BC.
1. Chứng minh d là tiếp tuyến của đường tròn
(
O′
)
.
2. Tia IH cắt đường tròn
(
O
)
tại điểm M . Chứng minh điểm M thuộc đường tròn
(
O′
)
.
3. Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng FE và BC. Chứng minh GH vuông góc với AI.
Câu 6. (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
1
a
+
2
b
+
3
c
= 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M =
27a2
c
(
c2 + 9a2
) + b2
a
(
4a2 + b2
) + 8c2
b
(
9b2 + 4c2
)
2017QUYENNEW.tex 124
New think - New life
60 Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Long, năm 2017 - 2018
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN TIN
Câu 1. (2,0 điểm)
1. Cho biểu thức K =
√
x+ 1√
x+ 3
+
√
x− 2√
x− 1 −
2x− 10
x+ 2
√
x− 3 . Rút gọn biểu thức K và tìm các giá trị của x để
K > 0.
2. Tính giá trị của biểu thức:
√
6 + 2
√
8
√
3− 10−
√
7−√3
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình x2 − 2x+ 3−m = 0 (1) (m là tham số).
1. Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. Giải sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = −x31x32 − 3
(
x31 + x
3
2
)
+ 4
Câu 3. (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình
x+ y + 2xy = 2x3 + y3 = 8
2. Giải phương trình 2
(
x2 − 3x+ 2) = 3√x3 + 8.
Câu 4. (1,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số nguyên x sao cho 2x2 + x− 2 chia hết cho x2 + 1.
2. Tìm các số x, y ∈ Z thỏa mãn √x+√y = √21.
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC) nội tiếp đường tròn
(
O;R
)
. Các đường cao AD, BM , CN cắt nhau tại
H.
1. Chứng minh AM.AC = AN.AB.
2. Chứng minh OA vuông góc với MN .
3. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MN và BC. Đường thẳng đi qua N và song song với AC cắt AP ,
AD lần lượt tại I, G. Chứng minh rằng NI = NG.
Câu 6. (1,0 điểm)
1. Với a, b là các số dương. Chứng minh rằng
a+ b
ab
≥ 4
a+ b
2. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+ y + z = 4. Chứng minh rằng
1
xy
+
1
xz
≥ 1.
2017QUYENNEW.tex 125
New think - New life
61 Sở Giáo dục và Đào tạo Kiên Giang, năm 2017 - 2018
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN
Câu 1. (1,5 điểm)
1. Rút gọn biểu thức: P = a+
√
a2 + 1 +
1
a+
√
a2 + 1
.
2. Chứng minh hằng đẳng thức sau:
(
a2x+ b2y
)(
c2x+ d2y
)
=
(
acx+ bdy
)2
+
(
ad− bc)2xy
.
Câu 2. (1,5 điểm)
Cho m > 2. Chứng minh rằng phương trình x2 − 2(m − 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 và
√
x1 +
√
x2 =
√
2m.
Câu 3. (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
5x+
√
x+ 12− 2y = −2
2x+ 6
√
x+ 12 + 3y = −3
Câu 4. (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, BC = 12 cm, góc ÂBC nhọn và sin ÂBC =
4
5
. Gọi M , N lần lượt là các điểm
trên cạnh AB, AC và P , Q là các điểm trên cạnh BC sao cho tứ giác MNPQ là hình vuông. Tính độ dài của
cạnh hình vuông MNPQ.
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn
(
O
)
. Gọi ∆ là tiếp tuyến của đường tròn(
O
)
tại điểm A. Đường thẳng đi qua B và song song với ∆ cắt đường thẳng AO tại điểm E và cắt đoạn AC tại
điểm D (O là tâm của đường tròn
(
O
)
).
1. Chứng minh rằng AB2 = AD ·AC.
2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và K là điểm đối xứng của điểm A qua điểm O. Chứng
minh rằng B, I, K thẳng hàng.
3. Gọi F là chân đường cao đỉnh A của tam giác ABC và M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Chứng
minh rằng đường thẳng MN là đường trung trực của đoạn EF .
Câu 6. (2,0 điểm)
1. Tìm số nguyên dương A nhỏ nhất có tính chất: A có nhiều hơn một chữ số thập phân và nếu xóa đi chữ số
đầu tiên bên trái của A thì ta được một số nguyên dương bằng
A
73
.
2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+ bc+ ca = 1. Chứng minh rằng√
a+
1
a
+
√
b+
1
b
+
√
c+
1
c
≥ 2(√a+√b+√c)
Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
2017QUYENNEW.tex 126
New think - New life
62 Sở Giáo dục và Đào tạo Bạc Liêu, năm 2017 - 2018
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN
Câu 1. (4,0 điểm)
1. Cho n = 2018 · 20172018 − 112017 − 62018. Chứng minh n chia hết cho 17.
2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy.
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Cho a =
√
x2 + 3
√
x4y2 +
√
y2 + 3
√
x2y4. Chứng minh 3
√
x2 + 3
√
y2 =
3
√
a2.
2. Giải hệ phương trình
x
2 + 2y2 − 2y = x− 3xy
2x2 + y2 − 17 = 3xy − x
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Cho phương trình x4 + 2
(
m − 3)x2 + 3m + 9 = 0 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị m để phương
trình có 4 nghiệm phân biệt.
2. Cho các số a, b, c thỏa mãn a ≥ 1; b ≥ 4; c ≥ 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M =
bc
√
a− 1 + ca√b− 4 + ab√c− 9
abc
Câu 4. (4,0 điểm)
Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn
(
O;R
)
bất kì đi qua B và C
(BC 6= 2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM , AN đến (O;R) (M , N là tiếp điểm). Gọi I, K lần lượt là trung điểm
của BC và MN .
1. Chứng minh AM2 = AB ·AC.
2. Gọi O′ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OID. Chứng minh O′ thuộc đường thẳng cố định khi đường
tròn
3. Đường thẳng FE cắt đường tròn
(
O
)
tại điểm thứ hai K. Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường(
O;R
)
thay đổi.
Câu 5. (4,0 điểm)
Cho đường tròn
(
O
)
đường kính BC, trên đường tròn lấy điểm A (A khác B và C), tia phân giác góc BAC cắt(
O
)
tại E. Gọi AI là đường cao của tam giác ABC. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn để tam giác AIE có
diện tích lớn nhất.
2017QUYENNEW.tex 127