Tuyệt kỹ Bất đẳng thức Cosi

DẠO CHƠI
BẤT ĐẲNG THỨC
*
Cho x,y là 2 số dương thỏa x+y =1. Tìm GTNN của A=x2+y2
HD:
x2+m2≥2mx và y2+m2≥2ym (m>0)
Suy ra x2+y2+2m2≥2m(x+y)=2m
Suy ra A=x2+y2≥2m-2m2
Dấu “=” xảy ra khi x=y=m tức là x=y=m=1/2
Vậy GTNN củaA là ½ khi x=y=1/2 
Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Tìm GTNN của A=x2+y2+z2
HD:
x2+m2≥2mx , y2+m2≥2ym , z2+m2≥2mz (m>0)
Suy ra x2+y2+z2+3m2≥2m(x+y+z)=2m
Suy ra A=x2+y2+z2≥2m-3m2
Dấu “=” xảy ra khi x=y=m tức là x=y=z=m=1/3
Vậy GTNN củaA là 1/3 khi x=y=1/3 
Cho x,y là 2 số dương thỏa x+y =1. Tìm GTNN của A=4x2+y2
HD:
4x2+m2≥4mx và y2+n2≥2yn (m>0,n>0)
Suy ra 4x2+y2+m2+n2 ≥4mx+2ny
Ta chọn m,n sao cho 4m=2n (n=2m)
Suy ra A=4x2+y2≥4m(x+y)-m2-n2=4m-5m2
Dấu “=” xảy ra khi 2x=m và y=n=2m tức là 
Vậy GTNN của A là :
khi 
Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Tìm GTNN của A=4x2+y2+z2
HD:
4x2+m2≥4mx, y2+n2≥2yn, z2+p2≥2pz (m>0,n>0,p>0)
Suy ra 4x2+y2+z2+m2+n2+p2 ≥4mx+2ny+2pz
Ta chọn m,n,p sao cho 4m=2n=2p (n=p=2m)
Suy ra A=4x2+y2+z2≥4m(x+y+z)-m2-n2-p2 =4m-9m2
Dấu “=” xảy ra khi 2x=m và y=z=2m tức là 
Vậy GTNN của A là :
khi 
Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Cho 3 số dương a,b,c. Tìm GTNN của A=a2x2+b2y2+c2z2
HD:
, , 
Suy ra
Ta chọn m,n,p sao cho 
Suy ra 
Đặt 
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy :
Vậy GTNN của A là :
Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Tìm GTNN của A=x3+y3+z3.
HD:
m>0
Suy ra
Suy ra 
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy GTNN của A là :
Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Cho 3 số dương a,b,c. Tìm GTNN của A=a3x3+b3y3+c3z3.
HD:
m>0, n>0, p>0
Suy ra
Chọn m,n,p sao cho m2a=n2b=p2c
Suy ra
Dấu “=” xảy ra khi
Đặt ta được:
Vậy GTNN của A là :
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là BC=a, CA=b, AB=c. Điểm M ở miền trong hoặc trên cạnh của tam giác ABC. Gọi x=d(M,BC), y=d(M,CA), z=d(M,AB). Chứng minh ax+by+cz không thay đổi. Tìm GTNN, GTLN của f=x+y+z.
HD:
Diện tích ABC bằng tổng diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB suy ra
Đặt 
Ta có :
Xét dấu “=” xảy ra :
Nếu t=1/a thì chọn y=z=0 và x=2S/a (M trùng với điểm A)
Nếu t=1/b thì chọn x=z=0 và y=2S/b (M trùng với điểm B)
Nếu t=1/c thì chọn x=y=0 và z=2S/c (M trùng với điểm C)
Giá trị nhỏ nhất của f là 2St
Tương tự, giá trị lớn nhất của f là 2ST.
Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Tìm GTLN của A=xn+yn+zn (n>1)
HD:
Do 0≤x≤1 và n>1 nên xn≤x
Tương tự với x,y,z.
A≤x+y+z=1
Dấu “=” xảy ra khi x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
A lớn nhất là 1.
Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTLN của A=axn+byn+czn (n>1)
HD:
Gọi T là max(a,b,c)
Do 0≤x≤1 và n>1 nên axn≤ax≤Tx
Tương tự với x,y,z.
A≤T(x+y+z)=T
Dấu “=” xảy ra khi (T=a,x=1,y=z=0), (T=b,y=1,x=z=0), (T=c,z=1,x=y=0)
Tóm tắt kết quả 10 bài BĐT 1-10
Xét GTNN và GTLN của:
(q nguyên dương và n>1)
 trong đó 
x,y,z là các số dương thay đổi 
thỏa 
a,b,c là các hằng số dương.
Với GTNN ta chặn f≥g(a,b,c) bằng cách xét từng phần và áp dụng BĐT Côsi:
Ta chọn m,n,p dương sao cho:
Suy ra các giá trị m,n,p là
Cộng vế các BĐT trên để có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
Trường hợp riêng thì và 
Với GTLN ta có:
Bây giờ chúng ta mở rộng từng bước khi 0<q<1
Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN, GTLN của 
HD:
Suy ra GTNN của f là Min(a,b,c) (xem lại các bài trước).
Dùng BĐT Bunhiacopski:
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
GTLN của f là 
Nếu không dùng BĐT Bunhiacopski thì giải thế nào?
Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN, GTLN của 
(chúng ta thử giải bằng phương pháp chọn tham số)
HD:
Suy ra GTNN của f là Min(a,b,c) (xem lại các bài trước).
Ta chọn:
Khi đó :
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Mà 
Tính m,n,p:
GTLN của f là:
Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN, GTLN của .
HD:
GTNN của f vẫn là Min(a,b,c)
Với GTLN, chúng ta giải như bài trước với chú ý ban đầu là:
Kết quả : GTLN của f là 
Ở bài 11 chúng ta có nói đến BĐT Bunhiacopski, nhân đây, sử dụng kiến thức THPT ta nêu một cách chứng minh “ngắn gọn” của nó:
Cho 2 dãy số (an) và (bn) bất kỳ. Chứng minh
HD:
Chứng minh cho n=3, mở rộng cho n≥2
Đặt 
Dấu đẳng thức xảy ra khi tức là 
Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN, GTLN của .
HD:
Suy ra :
Ta chọn:
Khi đó:
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
Suy ra:
Chúng ta thử nhìn lại một số BĐT đã ra thi TSĐH
(B-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
HD:
Nhận xét: vai trò giống nhau (đối xứng) của x và y. S có dạng f(xy).
Với x≥0, y≥0 và x+y=1 suy ra 
Suy ra 
GTLN của S là (khi ) và GTNN của S là 0 (khi x=0, y=1)
(A-2007) Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
HD:
Đặt:
Suy ra:
Dầu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Đây là một bài toán hay nhưng chưa hẳn là khó!
(B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
HD:
 mà suy ra 
Mà: 
Þ
Þ
Đặt 
. 
Bài toán trên sử dụng “tinh vi” các kỹ thuật biến đổi:
(B-2007) Cho x,y,z là 3 số thực dương hay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
:
HD:
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
GTNN của P là 
(D-2007) Cho a≥b> 0. Chứng minh rằng :
HD:
Û
Û
Û
Đặt ,
Vậy f nghịch biến trên R+
0<b≤a Þ f(a)≤f(b) . Bài toán được chứng minh
Bài luyện tập thêm: Chứng minh
1) 
2) 
3) 
(A-2006) Cho hai số thực x≠0, y≠0 thay đổi và thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
HD:
 Xét 
Đặt 
Ta được 
Dấu đẳng thức xảy ra khi u=v=2 tức là 
(B-2006) Cho x , y là các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
HD:
(dấu đẳng thức xảy ra khi 2 véc tơ cùng hướng, x=0)
Đặt 
Khảo sát 
f đồng biến nên 
Khảo sát 
Suy ra 
 khi x=0, 
(A-2005) Cho x,y,z là các số dương thoả mãn Chứng minh rằng 
HD: Với a>0 và b>0
Cộng vế các BĐT suy ra:
(B-2005) Chứng minh rằng với mọi x, ta có: Khi nào đẳng thức xảy ra?.
HD:
Cộng vế rồi chia 2 vế cho 2:
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=0
(D-2005) Cho các số dương x,y,z thoả mãn xyz=1. Chứng minh rằng : 
Khi nào đẳng thức xảy ra?
HD:
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
(A-2003) Cho x,y,z là ba số dương và x+y+z. Chứng minh rằng 
HD: 
Cho x,y.z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
HD:
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
PHẦN NÀY CHÚNG TA NGHIÊN CỨU 
MỘT VÀI PHÁN ĐOÁN 
KHI GIẢI TOÁN BĐT
*
(tài liệu biên soạn có tham khảo sách Những viên kim cương trong BĐT Toán học, của thầy Trần Phương)
A. Sự đối xứng các biến tham gia trong BĐT giúp ta dự đoán cực trị thường đạt khi các biến bằng nhau.
Cho x>0. Tìm GTNN của 
(xem x và 1/x là 2 biến của f)
HD: 
Vậy GTNN của f là 2
Cho x>0. Tìm GTNN của 
HD: 
Vậy GTNN của f là 
Cho n nguyên và n≥2. Cho biến x>0. Tìm GTNN của 
HD: (n lần )
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
GTNN của f là 
B. Khi cho các biến ban đầu bằng nhau mà không thỏa điều kiện bài toán hay xảy ra mâu thuẫn thì chúng ta phải dự đoán phương án khác, giá trị đặc biệt có thể là “biên”trong tập hợp điều kiện của biến.
Cho x≥2. Tìm GTNN của 
HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=2
Với x≥2 :
 (đúng với mọi x≥2)
Vậy GTNN của f là khi x=2
Cho x>3. Tìm GTNN của 
HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=3
Với x≥3:
(đúng với mọi x≥3)
Vậy GTNN của f là khi x=3
Cho sốnguyên n≥2. Cho . Tìm GTNN của 
HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=k.
Với x≥k:
Ta có:
Suy ra f(x)≥f(k) đúng với mọi 
GTNN của f là khi x=k.
C. Có thể chứng minh kết quả trên bằng BĐT Côsi? Với dự đoán “chọn tham số” hay “chọn điểm rơi”
Dự đoán x=k và dùng Côsi cho n+1 số trong đó n số (với m>0) và số như sau:
 (n số )
Ta chọn m sao cho:
Vì nên suy ra:
Cho a>0, b>0 và a+b≤1. Tìm GTNN của 
HD: . Đặt và 
Ta chọn m>0 sao cho: 
f đạt nhỏ nhất là khi x=
Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤. Tìm GTNN của 
HD: Ta có thể phạm sai lầm:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 nhưng khi đó a+b+c=3> (vô lý với gt)
Giải lại:
Ta có:
Dự đoán f đạt nhỏ nhất khi x= (ứng với a=b=c=). Ta chọn m>0 sao cho:
Vậy GTNN của f là khi a=b=c=
Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤. Tìm GTNN của 
HD: Chúng ta dự đoán GTNN xảy ra tại a=b=c
. Xét , chọn m>0 sao cho:
Ta dùng BĐT Côsi cho 17 số, trong đó 16 số là và số a2:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=1/2
, 
Suy ra:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2
GTNN của f là 
Chúng ta cũng có thể sử dụng BĐT véc tơ 
Với 
Ta có :
Chúng ta giải tiếp như các bài trước với 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2
GTNN của f là 
Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤. Tìm GTNN của 
HD: Chúng ta dự đoán GTNN xảy ra tại a=b=c
Xét , chọn m>0 sao cho:
Ta dùng BĐT Côsi cho 17 số, trong đó 16 số là và số a2:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=1/2
Suy ra:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2
GTNN của f là 
Cho a>0, b>0, c>0 và . Tìm GTNN của 
HD: Dự đoán: và 
Mặt khác 
GTNN của f là khi 
Cho x>0, y>0 và . Tìm GTNN của 
HD:
	(1)
Mặt khác
	(2)
(1) và (2) cho ta:
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Cho x>0, y>0, z>0. Tìm GTNN của 
HD:
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z
GTNN của f là 
Cho 4 số dương x,y,z,t. Tìm GTNN của 
HD:
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=t.
GTNN của f là 
Cho x>0, y>0. Tìm GTNN của 
HD: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y, GTNN của f là 
Cho x>0, y>0, z>0. Tìm GTNN của 
HD:
Dấu đẳng thức khi x=y=z, GTNN của f là 
Cho x>0. Tìm GTNN của 
HD: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
GTNN của f là 
Cho x>0, y>0. Tìm GTNN của 
HD: Dự đoán x=y. Đặt thì 
Dự đoán 
Dấu đẳng thức xảy ra khi t=, tức là x=y
GTNN của f là 
Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN của 
HD: Đặt ,,
Dự đoán 
với 
Tương tự với y và z, suy ra
Suy ra 
GTNN của f là khi a=b=c
D. Phán đoán để biến đổi từ “Tích” sang “Tổng”
Cho a>0, b>0 và a+b=2. Tìm GTLN của 
HD: Dự đoán a=b=1
GTLN của f là khi a=b=1
Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3. Tìm GTLN của 
HD: Dự đoán a=b=c=1
GTLN của f là khi a=b=c=1
Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3. Tìm GTLN của 
HD: Dự đoán a=b=c=1
GTLN của f là khi a=b=c=1
Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3, n là số nguyên và n≥2 . Tìm GTLN của 
HD: Dự đoán a=b=c=1
GTLN của f là khi a=b=c=1
Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3 . Tìm GTLN của 
HD: a=b=c=1
GTLN của f là khi a=b=c=1
Cho a>0, b>0, c>0 và . Tìm GTLN của 
HD: Dự đoán a=b=c=1
Tương tự với 2 số hạng còn lại, suy ra
GTLN của f là khi a=b=c=1
Cho a≥2, b≥3, c≥4. Tìm GTLN của 
HD:
GTLN của f là 
Khi a=4, b=9/2, c=16/3
Chứng minh:
HD:
Giải:
HD:
Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi x=0
Chứng minh
HD:
Chứng minh
HD:
Suy ra
Cho 0≤a≤b≤1. Chứng minh
HD:
(1)
Mà 
Để CM (1) ta CM:
Ta có: 
Cho 0≤a≤b≤c≤1. Chứng minh
HD:
 (1)
Mà 
Để CM (1) ta CM:
Ta có:
E. Phán đoán sự “hạ bậc cho kết quả cùng bậc với bậc ở vế phải” ® cần thêm các đại lượng tương ứng vào vế trái
Chứng minh 
HD:
Suy ra kết quả cần CM.
Chứng minh với x,y,z>0 và xyz=1 thì
HD:
Suy ra 
Và . Suy ra kết quả cần CM.
Chứng minh với x,y,z>0 và xyz=1 thì
HD:
Suy ra
Do kết quả bài trước 
Suy ra điều cần CM.
Chứng minh với x,y,z>0 và xyz=1 thì
HD: 
Suy ra
Do kết quả bài trước 
Suy ra điều cần CM.
F. Phán đoán sự “cùng bậc ở 2 vế” ® cần thêm các đại lượng cùng bậc tương ứng vào vế trái
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD: 
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Suy ra
Do kết quả bài trước 
Suy ra điều cần CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Suy ra
 Do kết quả bài trước 
Suy ra điều cần CM.
*Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Þ 
Þ 
Þ 
Một bài toán đẹp.
*Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD: Đưa về dạng tương đương
*
 và 
Þ 
*Tương tự 
*Cộng vế, suy ra kết quả cần CM.
Một bài toán đẹp
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Suy ra 
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Suy ra
Do kết quả bài trước 
Suy ra điều cần CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Cộng vế suy ra kết quả cần CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Suy ra
Mà nên bài toán được CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Suy ra
Do kết quà bài trước: 
Suy ra kết quả cần CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Cộng các vế suy ra kết quả cần CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Suy ra 
Do kết quả bài trước 
Suy ra kết quả cần CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Suy ra 
Do kết quả bài trước 
Nên bài toán được CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Sử dụng kết quả 2 bài trước
và
Suy ra điều cần CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Cộng vế suy ra kết quả cần CM.

Cho a>0, b>0. Chứng minh
HD:
A+B=3
 (Côsi cho 3 số)
Vậy M+A≥A+B Þ M≥B và M+B≥A+B Þ M≥A
Suy ra 
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
A+B=3
 (Côsi cho 3 số)
Vậy M+A≥A+B Þ M≥B và M+B≥A+B Þ M≥A
Suy ra 
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Triển khai và rút gọn, bài toán thành
BĐT đúng vì:
*Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh
HD:
Xét một số hạng của vế trái, tương tự cho 2 số hạng còn lại rồi cộng vế.
Cộng vế 
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Cộng vế suy ra kết quả cần CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD: 
Chứng minh tương tự bài trên
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD: 
Cộng vế suy ra kết quả cần CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD: 
Chứng minh tương tự bài trên
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD:
Cộng vế suy ra kết quả cần CM.
Cho a>0, b>0, c>0. Cho n,k là các số nguyên dương. Chứng minh
HD: 
Suy ra
Suy ra
Cho a>0, b>0. Chứng minh
HD:
Suy ra
Þ 
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD: 
Suy ra
Þ 
Þ 
Cho a>0, b>0. nnguyên,n≥2. Chứng minh
HD:
Suy ra
Þ 
Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
HD: 
Suy ra
Þ 
Þ