41 Đề thi và đáp án vào 10 môn Toán

ĐỀ SỐ 1. 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 QUẢNG TRỊ Khĩa ngày 2 tháng 7 năm 2006 
 MƠN: TỐN 
 ( Thời gian 120 phút, khơng kể thời gian giao đề ) 
Phần I : Trắc nghiệm khách quan ( 2.0 điểm ) 
Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất. 
 1. Biểu thức 2
1 4x
x
− xác định với giá trị nào sau đây của x ? 
A. x ≥ 1
4
 B. x ≤ 1
4
 C. x ≤ 1
4
và x ≠ 0 D. x ≠ 0 
 2. Các đường thẳng sau, đường thẳng nào song song với đường thẳng y = 1 - 2x 
A. y = 2x - 1 B. ( )2 1 2y x= − C. y = 2 - x D. ( )2 1 2y x= − 
 3. Hai hệ phương trình 3 3
1
kx y
x y
− = −

− =
và 3 3 3
1
x y
x y
+ =

− =
 là tương đương khi k bằng 
A. -3 B. 3 C. 1 D. -1 
 4. Điểm 12;
2
Q  − 
 
thuộc đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây ? 
A. 22
2
y x= B. 22
2
y x= − C. 22
4
y x= D. 22
4
y x= − 
 5. Tam giác GEF vuông tại E, có EH là đường cao . Độ dài đoạn GH = 4, HF = 9. Khi 
đó độ dài đoạn EF bằng : 
A. 13 B. 13 C. 2 13 D. 3 13 
 6. Tam giác ABC vuông tại A, có AC = 3a, AB = 3 3 a, khi đó sinB bằng 
A. 3
2
a B. 
1
2
 C. 3
2
 D. 
1
2
a 
 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 18cm, AC = 24cm . Bán kính đường tròn 
ngoại tiếp tam giác đó bằng . 
A. 30cm B. 15 2cm C. 20cm D. 15cm 
 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 6cm, AB = 8cm. Quay tam giác đó một vòng 
quanh cạnh AC cố định được một hình nón . Diện tích toàn phần hình nón đó là 
A. 96pi cm2 B. 100 pi cm2 C. 144 pi cm2 D. 150 pi cm2 
Phần II : Tự luận ( 8.0 điểm ) 
Bài 1: ( 1,5 điểm ) 
 Cho phương trình bậc hai, ẩn số x: x2 - 4x + m + 1 = 0 
1. Giải phương trình khi m = 3 
2. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. 
3. Tìm giá trị của m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x12 + 
x22 = 10 
Bài 2 : ( 1 điểm ) 
 Giải hệ phương trình : 
3 2 2 1
2 2 3
x y
x y

− − + =

− + + =
Bài 3: ( 1,5 điểm ) 
 Rút gọn biểu thức : 
 1. 6 3 3 6 3 3A = + + − 
 2. 
( )( )5 2 6 49 20 6 5 2 6
9 3 11 2
B
+ − −
=
−
Bài 4: ( 4 điểm ) 
 Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Trên một nửa mặt phẳng có bờ là 
đường thẳng AB, kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I . 
Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK ở P. 
 1. Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp 
 2. Chứng minh AI.BK = AC.CB 
 3. Chứng minh tam giác APB vuông . 
 4. Giả sử A, B, I cố định . Hãy xác định vị trí của C sao cho tứ giác ABKI có diện tích 
lớn nhất . 
ĐÁP ÁN 
ĐỀ SỐ 1. 
I/ Tr¾c nghiƯm kh¸ch quan. 
1- C 2 - b 3 - a 4 - c 
5 - d 6 - b 7 - d 8 - c 
II/ tù luËn. 
Bµi 1: 
1. Khi m = 3, ph−¬ng tr×nh ® cho trë thµnh : x2- 4x + 4 = 0 ⇒ (x - 2)2 = 0 ⇒ x = 2 lµ 
nghiƯm kÐp cđa ph−¬ng tr×nh. 
2. Ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm ⇔ ∆’ ≥ 0 ⇔ (-2)2 -1(m + 1) ≥ 0 ⇔ 4 - m -1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 3. 
VËy víi m ≤ 3 th× ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiƯm. 
3. Víi m ≤ 3 th× ph−¬ng tr×nh ® cho cã hai nghiƯm . Gäi hai nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh lµ 
x1, x2 .Theo ®Þnh lý ViÐt ta cã : x1 + x2 = 4 (1), x1.x2 = m + 1 (2). MỈt kh¸c theo gt : x1
2 + 
x2
2 = 10 ⇒ (x1 + x2)
2 - 2 x1.x2 = 10 (3). Tõ (1), (2), (3) ta ®−ỵc :16 - 2(m + 1) = 10 ⇒ m 
= 2 < 3(tho¶ mn) . VËy víi m = 2 th× ph−¬ng tr×nh ® cho cã 2 nghiƯm tho¶ mn ®iỊu 
kiƯn x1
2 + x2
2 = 10. 
Bµi 2: 
§iỊu kiƯn ®Ĩ hƯ cã nghiƯm: 
2 0 2
2 0 2
x x
y y
− ≥ ≥ 
⇔ 
+ ≥ ≥ − 
. §Ỉt 
2 0
2 0
x a
y b

− = ≥

+ = ≥
Khi ®ã hƯ ph−¬ng tr×nh ® 
cho trë thµnh :
3 1
3
a b
a b
− =

+ =
.Gi¶i hƯ nµy ta ®−ỵc 
1 0
2 0
a
b
= ≥

= ≥
(TM). 
Víi 
1
2
a
b
=

=
ta cã : 
2 1 2 1 3
2 4 22 2
x x x
y yy

− = − = = 
⇔ ⇔  
+ = =+ =  
(TM).VËy (x;y) = (3 ; 2) lµ nghiƯm cđa hƯ 
ph−¬ng tr×nh ® cho. 
Bµi 3: 
1. Ta cã 
 ( )( ) ( )22 26 3 3 6 3 3 2 6 3 3 6 3 3 12 2 6 3 3
12 2 3 18
A = + + − + + − = + − =
= + ⋅ =
 ⇒ A = 3 2 (v× A > 0) 
2. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 32 25 2 6 35 2 6 35 2 65 2 6
9 3 11 2 9 3 11 2 9 3 11 2
9 3 11 2
1
9 3 11 2
B
− −−−−+
= = = =
− − −
−
= =
−
Bµi 4: 
 2. Ta cã KC ⊥ CI (gt), CB ⊥ AC (gt) ⇒ 
 
CKB ICA= (cỈp gãc nhän cã c¹nh t−¬ng øng 
vu«ng gãc).XÐt hai tam gi¸c vu«ng AIC vµ BCK (   090A B= = ) cã 
 
CKB ICA= (cm/t) .Suy ra ∆AIC 
®ång d¹ng víi ∆BCK. Tõ ®ã suy ra AI BC AI BK BC AC
AC BK
= ⇒ ⋅ = ⋅ (®pcm). 
 3. Tø gi¸c CPKB néi tiÕp (c©u 1) 
 
PBC PKC= (1) (2 gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung). L¹i 
cã 
 090IAC = (gt) ⇒ A∈ ;
2
ICO  
 
, mỈt kh¸c P ∈ ;
2
ICO  
 
(cm/t) .Tõ ®ã suy ra tø gi¸c AIPC néi 
tiÕp ⇒ 
 
PIC PAC= (2). Céng vÕ theo vÕ cđa (1) vµ (2) ta ®−ỵc : 
 
 
 
PBC PAC PKC PIC+ = + .MỈt 
kh¸c tam gi¸c ICK vu«ng t¹i C (gt) suy ra 
 
 090PKC PIC+ = ⇒ 
 
 090PBC PAC+ = , hay tam gi¸c 
APB vu«ng t¹i P.(®pcm) 
 4. IA // KB (cïng vu«ng gãc víi AC) .Do ®ã tø gi¸c ABKI lµ h×nh thang vu«ng. Suy ra 
( )
ABKI = 2
AI BK AB
s
+
⇒ Max SABKI ⇔ Max ( )AI BK AB+ nh−ng A, I, B cè ®Þnh do ®ã AI, AB 
kh«ng ®ỉi .Suy ra Max ( )AI BK AB+ ⇔ Max BK . MỈt kh¸c AC CBBK
AI
⋅
= (theo c©u 2) .Nªn 
Max BK ⇔ Max AC.CB . Mµ 
( )2 2
4 4
AC CB ABAC CB
+
⋅ ≤ = (kh«ng ®ỉi) . 
DÊu “=” x¶y ra ⇔ AC = BC ⇔ C lµ trung ®iĨm cđa AB . VËy khi C lµ trung ®iĨm cđa AC th× 
SABKI lµ lín nhÊt . 
Gäi O lµ t©m ®−êng trßn ®−êng kÝnh IC 
1. V× P∈ ;
2
ICO  
 

 
0 090 90IPC KPC⇒ = ⇒ = . 
XÐt tø gi¸c PKBC cã 
 090KPC = (chøng minh trªn) 

 090KBC = (gt) . Suy ra
 
 0180KPC KBC+ = . Suy ra tø gi¸c 
CPKB néi tiÕp ®−ỵc (®pcm) . a b c 
i p k 
o 
ĐỀ SỐ 2. 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 QUẢNG BÌNH Khĩa ngày 3 tháng 7 năm 2006 
 MƠN: TỐN 
 ( Thời gian 120 phút, khơng kể thời gian giao đề ) 
C©u 1: ( 2 ®iĨm ) 
 1) Ph©n tÝch x2 – 9 thµnh tÝch. 
 2) x = 1 cã lµ nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh x2 – 5x + 4 = 0 kh«ng ? 
C©u 2: ( 2 ®iĨm ) 
1) Hµm sè y = - 2x + 3 ®ång biÕn hay nghÞch biÕn ? 
2) T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®−êng th¼ng y = - 2x + 3 víi trơc Ox, Oy 
C©u 3: ( 1,5 ®iĨm ) 
 T×m tÝch cđa hai sè biÕt tỉng cđa chĩng b»ng 17. NÕu t¨ng sè thø nhÊt lªn 3 ®¬n vÞ vµ sè 
thø hai lªn 2 ®¬n vÞ th× tÝch cđa chĩng t¨ng lªn 45 ®¬n vÞ. 
C©u 4: ( 1,5 ®iĨm ) 
Rĩt gän biĨu thøc: P = 2 1:a b ab
a b a b
+ −
− +
 víi a, b ≥0 vµ a ≠ b 
C©u 5: ( 2 ®iĨm ) 
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i B, c¸c ®−êng cao AD, BE c¾t nhau t¹i H. §−êng th¼ng d ®i qua 
A vµ vu«ng gãc víi AB c¾t tia BE t¹i F 
1) Chøng minh r»ng: AF // CH 
2) Tø gi¸c AHCF lµ h×nh g× ? 
C©u 6: ( 1 ®iĨm ) 
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A = (2x – x2)(y – 2y2) víi 0 ≤ x ≤ 2 
 0 ≤ y ≤ 1
2
ĐÁP ÁN 
ĐỀ SỐ 2. 
C©u 1. 
 1) Ph©n tÝch x2 – 9 thµnh tÝch 
 x2 – 9 = (x + 3)(x - 3) 
 2) x = 1 cã lµ nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh x2 – 5x + 4 = 0 kh«ng ? 
Thay x = 1 vµo ph−¬ng tr×nh ta thÊy: 1 – 5 + 4 = 0 nªn x = 1 lµ nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh. 
C©u 2. 
1) Hµm sè y = - 2x + 3 ®ång biÕn hay nghÞch biÕn ? 
Hµm sè y = - 2x + 3 lµ hµm nghÞch biÕn v× cã a = -2 < 0 
2) T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®−êng th¼ng y = - 2x + 3 víi trơc Ox, Oy 
 Víi x = 0 th× y = 3 suy ra to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®−êng th¼ng y = - 2x + 3 víi trơc Ox lµ: (0; 3) 
 Víi y = 0 th× x = 3
2
 suy ra to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®−êng th¼ng y = - 2x + 3 víi trơc Oylµ: 
( 3
2
; 0) 
C©u 3. 
 T×m tÝch cđa hai sè biÕt tỉng cđa chĩng b»ng 17. NÕu t¨ng sè thø nhÊt lªn 3 ®¬n vÞ vµ sè 
thø hai lªn 2 ®¬n vÞ th× tÝch cđa chĩng t¨ng lªn 45 ®¬n vÞ. 
 Gäi sè thø nhÊt lµ x, sè thø hai lµ y 
V× tỉng cđa hai sè b»ng 17 nªn ta cã ph−¬ng tr×nh: x + y = 17 (1) 
Khi t¨ng sè thø nhÊt lªn 3 ®¬n vÞ th× sè thø nhÊt sÏ lµ x + 3 vµ sè thø hai lªn 2 ®¬n vÞ th× sè thø 
hai sÏ lµ y + 2. 
V× tÝch cđa chĩng t¨ng lªn 45 ®¬n vÞ nªn ta cã ph−¬ng tr×nh: 
(x + 3)(y + 2) = xy + 45 
⇔ 2x + 3y = 39 (2) 
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ ph−¬ng tr×nh: 
17
2 3 39
x y
x y
+ =

+ =
Gi¶i hƯ ph−¬ng tr×nh ta ®−ỵc 
12
5
x
y
=

=
C©u 4. 
Rĩt gän biĨu thøc: P = 2 1:a b ab
a b a b
+ −
− +
 víi a, b ≥0 vµ a ≠ b 
P = 
( ) ( ) ( )
2
.( ) .
a b
a b a b a b a b
a b
−
+ = − + = −
−
 víi a, b ≥0 vµ a ≠ b 
C©u 5. 
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i B, c¸c ®−êng cao AD, BE c¾t nhau t¹i H. §−êng th¼ng d ®i qua 
A vµ vu«ng gãc víi AB c¾t tia BE t¹i F 
a) Chøng minh r»ng: AF // CH 
b) Tø gi¸c AHCF lµ h×nh g× ? 
H
d
F
E
D
CA
B
a) Ta cã H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC suy ra CH AB 
d AB suy ra AF AB suy ra CH // AF 
b) Tam gi¸c ABC c©n t¹i B cã BE lµ ®−êng cao nªn BE ®ång thêi lµ ®−êng trung trùc suy ra EA 
= EC , HA = HC, FA = FC 
Tam gi¸c AEF = tam gi¸c CEH nªn HC=AF suy ra AH = HC = AF = FC nªn tø gi¸c AHCF lµ 
h×nh thoi 
C©u 6. 
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A = (2x – x2)(y – 2y2) víi 0 ≤ x ≤ 2 
 0 ≤ y ≤ 1
2
Víi 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 1
2
 th× 2x-x2 ≥0 vµ y – 2y2 ≥0 
¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C« si ta cã 2x – x2 = x(2 - x) ≤ 
2
x 2 1
2
x+ − 
= 
 
 y – 2y2 = y(1 – 2y ) = 
21 1 2 1 2 1
.2 (1 2 )
2 2 2 8
y yy y + − − ≤ = 
 
⇒ (2x – x2)(y – 2y2) ≤ 1
8
DÊu “=” x¶y ra khi x = 1, y = 1
4
VËy GTLN cđa A lµ 1
8
⇔ x = 1, y = 1
4
ĐỀ SỐ 3. 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 LẠNG SƠN MƠN: TỐN 
 ( Thời gian 120 phút, khơng kể thời gian giao đề ) 
Bµi 1: ( 2 ®iĨm ). 
 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: 
a) 2A 1 (1 2)= + − 
b) 3 3B 9 80 9 80= + + − 
Bµi 2: ( 1 ®iĨm ). 
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x4 + 2008x3 - 2008x2 + 2008x - 2009 = 0 
Bµi 3: ( 1 ®iĨm ). 
Gi¶i hƯ ph−¬ng tr×nh: 
x y 2
3x 2y 6
− =

− =
Bµi 4: ( 2 ®iĨm ). 
Mét ®éi c«ng nh©n hoµn thµnh mét c«ng viƯc, c«ng viƯc ®ã ®−ỵc ®Þnh møc 420 ngµy c«ng thỵ. 
Hy tÝnh sè c«ng nh©n cđa ®éi, biÕt r»ng nÕu ®éi t¨ng thªm 5 ng−êi th× sè ngµy ®Ĩ hoµn thµnh 
c«ng viƯc sÏ gi¶m ®i 7 ngµy, gi¶ thiÕt n¨ng suÊt cđa c¸c c«ng nh©n lµ nh− nhau. 
Bµi 5: ( 4 ®iĨm ). 
Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ cã AB > AC, ®−êng cao AH. Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa 
®iĨm A, vÏ nưa ®−êng trßn ®−êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, nưa ®−êng trßn ®−êng kÝnh HC c¾t AC 
t¹i F. 
a) Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt. 
b) Chøng minh tø gi¸c BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 
c) Chøng minh AE.AB = AF.AC. 
d) Gäi O lµ giao ®iĨm cđa AH vµ EF. Chøng minh: p < OA + OB + OC < 2p, trong ®ã 2p 
= AB + BC + CA. 
ĐÁP ÁN 
ĐỀ SỐ 3. 
Bµi 1. 
a) 2A 1 (1 2) 1 2 1 2= + − = + − = 
b) 3 3B 9 80 9 80= + + − 
HD: ¸p dơng h»ng ®¼ng thøc (a + b)3=a3 + b3 + 3ab(a + b) 
LËp ph−¬ng hai vÕ ta cã: 
 3 33 3B ( 9 80 9 80 )= + + − 
 ( )3 3 33B 9 80 9 80 3 (9 80)(9 80) 9 80 9 80= + + − + + − + + − 
 3B 18 3B= + => B3 - 3B - 18 = 0 
 (B - 3)(B2 + 3B + 6) = 0 
2
B 3 0
B 3B 6 0 (VN)
− =
⇒  + + =
 VËy B = 3 
Bµi 2. 
 4 3 2x 2008x 2008x 2008x 2009 0+ − + − = 
3 2
2
2
2
(x 1)(x 2009x x 2009) 0
(x 1) x (x 2009) (x 2009) 0
(x 1)(x 2009)(x 1) 0
x 1 0
x 1
x 2009 0
x 2009
x 1 0 (VN)
⇔ − + + + =
⇔ − + + + =  
⇔ − + + =
− =
= ... n: 0111 =++
cba
; Hy tÝnh P = 222 b
ac
a
bc
c
ac
++ 
®¸p ¸n 
Bµi 1:M = 
x
x
x
x
xx
x
−
+
+
−
+
+
+−
−
2
3
3
12
65
92 
 a.§K 9;4;0 ≠≠≥ xxx 0,5® 
 Rĩt gän M = ( )( ) ( )( )( )( )32 2123392 −− −++−+−− xx xxxxx 
BiÕn ®ỉi ta cã kÕt qu¶: M = ( )( )32 2−− −− xx xx M = ( )( )( )( ) 3123 21 −+=⇔−− −+ xxMxx xx 
( )
164
4
16
416
1551
351
5
3
15 M . b.
=⇒==⇒
=⇔
−=+⇔
−=+⇒
=
−
−
⇔=
xx
x
xx
xx
x
x
 c. M = 
3
41
3
43
3
1
−
+=
−
+−
=
−
+
xx
x
x
x 
 Do M z∈ nªn 3−x lµ íc cđa 4 ⇒ 3−x nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4 
{ }49;25;16;4;1∈⇒ x do ⇒≠ 4x { }49;25;16;1∈x 
Bµi 2 a. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 
 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96 
 (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 
 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 
 (x + 2y)(3x + 4y) = 96 
 Do x, y nguyªn d¬ng nªn x + 2y; 3x + 4y nguyen d¬ng vµ 3x + 4y > x + 2y 3≥ 
 mµ 96 = 25. 3 cã c¸c íc lµ: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 ®ỵc biĨu diƠn thµnh tÝch 2 thõa 
sè kh«ng nhá h¬n 3 lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12 
L¹i cã x + 2y vµ 3x + 4y cã tÝch lµ 96 (Lµ sè ch½n) cã tỉng 4x + 6y lµ sè ch¼n do ®ã 



=+
=+
2443
62
yx
yx
 HƯ PT nµy v« nghiƯm 
 HoỈc



=+
=+
1643
62
yx
yx



=
=
⇒
1
4
y
x
 HoỈc 



=+
=+
1243
82
yx
yx
 HƯ PT v« nghiƯm 
VËy cÊp sè x, y nguyªn d¬ng cÇn t×m lµ (x, y) = (4, 1) 
 b. ta cã /A/ = /-A/ AA∀≥ 
 Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ 3/3//20082005/ =≥−+−≥ xx (1) 
 mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2) 
KÕt hỵp (1 vµ (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ 0≤ (3) 
 (3) s¶y ra khi vµ chØ khi



=
=
⇔



=−
=−
2007
2006
0/2007/
0/2006/
y
x
y
x
Bµi 3 
a. Tríc hÕt ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc phơ 
b. Víi mäi a, b thuéc R: x, y > 0 ta cã ( ) (*)
222
yx
ba
y
b
x
a
+
+≥+ 
(a2y + b2x)(x + y) ( ) xyba 2+≥ 
⇔ a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy ≥ a2xy + 2abxy + b2xy 
⇔ a2y2 + b2x2 ≥ 2abxy 
⇔ a2y2 – 2abxy + b2x2 ≥ 0 
⇔ (ay - bx)2 ≥ 0 (**) bÊt ®¼ng thøc (**) ®ĩng víi mäi a, b, vµ x,y > 0 
DÊu (=) x¶y ra khi ay = bx hay a b
x y
= 
¸p dung bÊt ®¼ng thøc (*) hai lÇn ta cã 
2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2 4 4 4 4
2 2x y z x y z x y x z x y x z
         
+ + +         
         
= ≤ + = +
+ + + + + + + +
2 2 2 21 1 1 1
1 2 1 14 4 4 4
16x y x z x y z
       
                ≤ + + + = + + 
 
T¬ng tù 1 1 1 2 1
2 16x y z x y z
 
≤ + + + +  
1 1 1 1 2
2 16x y z x y z
 
≤ + + + +  
Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: 
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
2 2 2 16 16 16
1 4 4 4 4 1 1 1 1
.4 1
16 16 4
x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z
     
+ + ≤ + + + + + + + +     + + + + + +      
   
≤ + + ≤ + + ≤ =   
   
 V× 1 1 1 4
x y z
+ + = 
( )
2
2
2 2006 0x xB x
x
− +
= ≠
Ta cã:
x
xxB
x
xx
B
2006
20062006.2200620062 22
2
2
+−
=⇔
+−
= 
( ) ( )
2006
2005
2006
2005200620052006
2
2
2
22
+
+−
⇔
+−
=⇔
x
x
x
xxB 
V× (x - 2006)2 ≥ 0 víi mäi x 
x2 > 0 víi mäi x kh¸c 0 
( )2
2
2006 2005 20050 2006
2006 2006 2006
x
B B khix
x
−
⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ = = 
Bµi 4a. 045EBQ EAQ EBAQ= = ⇒

 
 néi tiÕp; ˆB = 900  gãc AQE = 900  gãcEQF = 900 
T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450 
 Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900  gãc APF = 900  gãc EPF = 900 . 0,25® 
C¸c ®iĨm Q, P,C lu«n nh×n díi 1gãc900 nªn 5 ®iĨm E, P, Q, F, C cïng n»m trªn 1 ®êng 
trßn ®êng kÝnh EF 0,25® 
b. Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kỊ bï) ⇒gãc APQ = gãc AFE 
 Gãc AFE + gãc EPQ = 1800 
 Tam gi¸c APQ ®ång d¹ng víi tam gi¸c AEF (g.g) 
 
2
2 1 1 2
22
APQ
APQ AEE
AEF
S
k S S
S
∆
∆ ∆
∆
 
= = = ⇒ = 
 
c. gãc CPD = gãc CMD  tø gi¸c MPCD néi tiÕp  gãc MCD = gãc CPD (cïng ch¾n cung 
MD) 
L¹i cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cđa AC) 
 gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cđa DC) 
 gãc CPD = gãcMDC = gãc CMD = gãcMCD  tam gi¸c MDC ®Ịu  gãc CMD = 600 
 tam gi¸c DMA c©n t¹i D (v× AD = DC = DM) 
Vµ gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300 
 gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : 2 = 750 
 gãcMAB = 900 – 750 = 150 
Bµi 5§Ỉt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c  x + y + z = 0 (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0) 
 x = -(y + z) 
 x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz 
-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0 
Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0  x3 + y3 + z3 = 3xyz 
 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc 
Do ®ã P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3 
nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3 
§Ị 19 
Bµi 1Cho biĨu thøc A = 2
222 12)3(
x
xx +− + 22 8)2( xx −+ 
a. Rĩt gän biĨu thøc A 
b. T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cđa x sao cho biĨu thøc A cịng cã gi¸ trÞ nguyªn. 
Bµi 2: (2 ®iĨm) 
Cho c¸c ®−êng th¼ng: 
 y = x-2 (d1) 
 y = 2x – 4 (d2) 
 y = mx + (m+2) (d3) 
a. T×m ®iĨm cè ®Þnh mµ ®−êng th¼ng (d3 ) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cđa m. 
b. T×m m ®Ĩ ba ®−êng th¼ng (d1); (d2); (d3) ®ång quy . 
Bµi 3: Cho ph−¬ng tr×nh x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1) 
 a. Chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiƯm ph©n biƯt. 
 b. T×m mét hƯ thøc liªn hƯ gi÷a hai nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng phơ thuéc 
vµo m. 
 c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa P = x21 + x
2
2 (víi x1, x2 lµ nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh (1)) 
Bµi 4: Cho ®−êng trßn (o) víi d©y BC cè ®Þnh vµ mét ®iĨm A thay ®ỉi vÞ trÝ trªn cung lín BC 
sao cho AC>AB vµ AC > BC . Gäi D lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung nhá BC. C¸c tiÕp tuyÕn cđa 
(O) t¹i D vµ C c¾t nhau t¹i E. Gäi P, Q lÇn l−ỵt lµ giao ®iĨm cđa c¸c cỈp ®−êng th¼ng AB víi 
CD; AD vµ CE. 
 a. Chøng minh r»ng DE// BC 
 b. Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp 
 c. Gäi giao ®iĨm cđa c¸c d©y AD vµ BC lµ F 
 Chøng minh hƯ thøc: 
CE
1 = 
CQ
1 + 
CE
1 
Bµi 5: Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: 21 <
+
+
+
+
+
<
ac
c
cb
b
ba
a 
®¸p ¸n 
Bµi 1: - §iỊu kiƯn : x ≠ 0 
a. Rĩt gän: 44
96 2
2
24
+−+
++
= xx
x
xxA 
 23
2
−+
+
= x
x
x 
- Víi x <0: 
x
xxA 322
2
−+−
= 
- Víi 0<x≤ 2: 
x
xA 32 += 
- Víi x>2 : 
x
xxA 322
2 +−
= 
b. T×m x nguyªn ®Ĩ A nguyªn: 
A nguyªn x2 + 3 x 
 3 x => x = }{ 3;1;3;1 −− 
Bµi 2: 
 a. (d1) : y = mx + (m +2) 
 m (x+1)+ (2-y) = 0 
 §Ĩ hµm sè lu«n qua ®iĨm cè ®Þnh víi mäi m 



=−
=+
02
01
y
x
=.>



=
−=
2
1
y
x
 VËy N(-1; 2) lµ ®iĨm cè ®Þnh mµ (d3) ®i qua 
 b. Gäi M lµ giao ®iĨm (d1) vµ (d2) . Täa ®é M lµ nghiƯm cđa hƯ 



−=
−=
42
2
xy
xy
 => 



=
=
0
2
y
x
 VËy M (2; 0) . 
 NÕu (d3) ®i qua M(2,0) th× M(2,0) lµ nghiƯm (d3) 
 Ta cã : 0 = 2m + (m+2) => m= -
3
2 
 VËy m = -
3
2 th× (d1); (d2); (d3) ®ång quy 
Bµi 3: a. 
'∆ = m2 –3m + 4 = (m - 
2
3 )2 + 
4
7 >0 ∀m. 
 VËy ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm ph©n biƯt 
 b. Theo ViÐt: 



−=
−=+
3
)1(2
21
21
mxx
mxx
 => 



−=
−=+
622
22
21
21
mxx
mxx
 x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 kh«ng phơ thuéc vµo m 
a. P = x1
2 + x1
2 = (x1 + x2)
2 - 2x1x2 = 4(m - 1)
2 – 2 (m-3) 
 = (2m - 
2
5 )2 + m∀≥
4
15
4
15 
VËyPmin = 4
15 víi m = 
4
5 
Bµi 4: VÏ h×nh ®ĩng – viÕt gi¶ thiÕt – kÕt luËn 
 a. S®∠CDE = 
2
1 S® DC = 
2
1 S® BD = BCD∠ 
=> DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le) 
b. ∠APC = 
2
1 s® (AC - DC) = ∠ AQC 
=> APQC néi tiÕp (v× ∠ APC = ∠ AQC 
cïng nh×n ®oan AC) 
c.Tø gi¸c APQC néi tiÕp 
∠CPQ = ∠ CAQ (cïng ch¾n cung CQ) 
∠CAQ = ∠ CDE (cïng ch¾n cung DC) 
Suy ra ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ 
Ta cã: 
PQ
DE = 
CQ
CE (v× DE//PQ) (1) 
FC
DE = QC
QE (v× DE// BC) (2) 
Céng (1) vµ (2) : 1==+=+
CQ
CQ
CQ
QECE
FC
DE
PQ
DE 
 => 
DEFCPQ
111
=+ (3) 
ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy ra PQ = CQ 
Thay vµo (3) : 
CECFCQ
111
=+ 
Bµi 5:Ta cã: 
cba
a
++
 < 
ab
a
+
 < 
cba
ca
++
+ (1) 
cba
b
++
 < 
cb
b
+
 <
cba
ab
++
+ (2) 
cba
c
++
 < 
ac
c
+
 < 
cba
bc
++
+ (3) 
Céng tõng vÕ (1),(2),(3) : 
 1 < 
ba
a
+
 + 
cb
b
+
 + 
ac
c
+
 < 2 
§Ị 20 
Bµi 1: (2®) 
Cho biĨu thøc: 
 P = 1
1
12
:
1
1
43
1
+
−
++








−
+
−
−+
−
x
xx
x
x
xx
x 
a) Rĩt gän P. 
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa P. 
Bµi 2: (2®) Mét ng−êi ®ù ®Þnh ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 20 km trong mét thêi gian 
® ®Þnh. Sau khi ®i ®−ỵc 1 giê víi vËn tèc dù ®Þnh, do ®−êng khã ®i nªn ng−êi ®ã gi¶m 
vËn tèc ®i 2km/h trªn qung ®−êng cßn l¹i, v× thÕ ng−êi ®ã ®Õn B chËm h¬n dù ®Þnh 15 
phĩt. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh cđa ng−êi ®i xe ®¹p. 
Bµi 3: (1,5®) Cho hƯ ph−¬ng tr×nh: 



−=+−
=−
mmyx
ymx
12
32
a) Gi¶i hƯ ph−¬ng tr×nh víi m = 3 
b) T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt tho¶ mn x + y = 1 
Bµi 4: (3®) Cho nưa ®−êng trßn (O; R) ®−êng kÝnh AB. §iĨm M tuú ý trªn nưa ®−êng 
trßn. Gäi N vµ P lÇn l−ỵt lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung AM vµ cung MB. AP c¾t BN t¹i I. 
a) TÝnh sè ®o gãc NIP. 
b) Gäi giao ®iĨm cđa tia AN vµ tia BP lµ C; tia CI vµ AB lµ D. 
 Chøng minh tø gi¸c DOPN néi tiÕp ®−ỵc. 
c) T×m quü tÝch trung ®iĨm J cđa ®o¹n OC khi M di ®éng trªn nưa trßn trßn t©m O 
Bµi 5: (1,5®) Cho hµm sè y = -2x2 (P) vµ ®−êng th¼ng y = 3x + 2m – 5 (d) 
a) T×m m ®Ĩ (d) c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt A vµ B. T×m to¹ ®é hai ®iĨm ®ã. 
b) T×m quü tÝch chung ®iĨm I cđa AB khi m thay ®ỉi. 
--------------------------------------------------- 
(Häc sinh kh«ng ®−ỵc sư dơng bÊt cø tµi liƯu nµo) 
§¸p ¸n 
M«n: To¸n 9 
Bµi 1: (2®) 
a) (1,5®) 
- Thùc hiƯn ®−ỵc biĨu thøc trong ngoỈc b»ng: )4)(1(
)1(5
+−
+−
xx
x 0,75® 
- Thùc hiƯn phÐp chia ®ĩng b»ng 
4
5
+
−
x
 0,25® 
- Thùc hiƯn phÐp céng ®ĩng b»ng: 
4
1
+
−
x
x 0,25® 
- §iỊu kiƯn ®ĩng: x ≥ 0; x ≠ 1 0,25® 
b) (0,5®) 
- ViÕt P = 
4
51
+
−
x
 lËp luËn t×m ®−ỵc GTNN cđa P = -1/4 khi x = 0 0,5® 
Bµi 2: (2®) 
1) LËp ph−¬ng tr×nh ®ĩng (1,25®) 
- Gäi Èn, ®¬n vÞ, ®k ®ĩng 0,25® 
- Thêi gian dù ®Þnh 0,25® 
- Thêi gian thùc tÕ 0,5® 
- LËp luËn viÕt ®−ỵc PT ®ĩng 0,25® 
2) G¶i ph−¬ng tr×nh ®ĩng 0,5® 
3) ®èi chiÕu kÕt qu¶ vµ tr¶ lêi ®ĩng 0,25® 
Bµi 3: (1,5®) a) Thay m = 3 vµ gi¶i hƯ ®ĩng: 1® 
 b) (0,5®) 
 T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt ®ĩng 0,25® 
 T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm tho¶ mn x + y = 1 vµ KL 0,25® 
Bµi 4: (3®) VÏ h×nh ®ĩng 0,25® 
a) TÝnh ®−ỵc sè ®o gãc NIP = 1350 0,75® 
b) (1®) 
VÏ h×nh vµ C/m ®−ỵc gãc NDP = 900 0,5® 
 Chøng minh ®−ỵc tø gi¸c DOPN néi tiÕp ®−ỵc. 0,5® 
c) (1®) + C/m phÇn thuËn 
 KỴ JE//AC, JF//BC vµ C/m ®−ỵc gãc EJF = 450 0,25® 
 LËp luËn vµ kÕt luËn ®iĨm J: 0,25® 
+ C/m phÇn ®¶o 0,25® 
+ KÕt luËn quü tÝch 0,25® 
Bµi 5: (1,5®) a) (1®) 
T×m ®−ỵc ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (d) c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt: 0,5® 
T×m ®−ỵc to¹ ®é 2 ®iĨm A, B 0,5® 
b) T×m ®−ỵc quü tÝch trung ®iĨm I: 






−
=
+
=
−
=
+
=
4
118
2
4
3
2
myyy
xx
x
BA
I
BA
I
vµ kÕt luËn 0,5®