500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc

500 
 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc 
Cao Minh Quang 
♦♦♦♦♦ 
Vĩnh Long, Xuân Mậu Tý, 2008 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 2 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc 
♦♦♦♦♦ 
1. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 3 21 1 1
2
a b b c c a+ − + + − + + − ≥ . 
Komal 
2. [ Dinu Serbănescu ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 
( )( )( )1 1 1 1abc a b c+ − − − < . 
Junior TST 2002, Romania 
3. [ Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng 
minh rằng 
3b c c a a b a b c
a b c
+ + +
+ + ≥ + + + . 
Gazeta Matematică 
4. Nếu phương trình 4 3 22 1 0x ax x bx+ + + + = có ít nhất một nghiệm thực, thì 
2 2 8a b+ ≥ . 
Tournament of the Towns, 1993 
5. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1x y z+ + = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức 
3 3 3 3x y z xyz+ + − . 
6. Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh 
rằng 
( )( )2ax by cz xy yz zx ab bc ca a b c+ + + + + + + ≤ + + . 
Ukraine, 2001 
7. [ Darij Grinberg] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
9
4
a b c
a b cb c c a a b
+ + ≥
+ ++ + +
. 
8. [ Hojoo Lee ] Cho , , 0a b c≥ . Chứng minh rằng 
4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 22 2 2a a b b b b c c c c a a a a bc b b ca c c ab+ + + + + + + + ≥ + + + + + . 
Gazeta Matematică 
9. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2abc = . Chứng minh rằng 
3 3 3a b c a b c b c a c a b+ + ≥ + + + + + . 
JBMO 2002 Shortlist 
10. [ Ioan Tomescu ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( )( ) 4
1
1 3 8 9 6 7
xyz
x x y y z z
≤
+ + + +
. 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 3 
Gazeta Matematică 
11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
( ) ( )2 2 2 3 3 35 6 1a b c a b c+ + ≤ + + + . 
12. [ Mircea Lascu ] Cho 1 2, ,..., nx x x ∈ℝ , 2, 0n a≥ > sao cho 
2
2 2 2
1 2 1 2... , ... 1n n
a
x x x a x x x
n
+ + + = + + + ≤
−
. 
Chứng minh rằng 
20, , 1, 2,...,i
a
x i n
n
 
 ∈ =
  
. 
13. [ Adrian Zahariuc ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 
1
4 4 4
b a c b a c
b c c a c a a b a b b c
+ + ≥
− − −
. 
14. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc≤ . Chứng minh rằng 
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + + . 
15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều 
kiện , a x b y c z a b c x y z+ ≥ + ≥ + + + = + + . Chứng minh rằng 
ay bx ac xz+ ≥ + . 
16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
1abc = . Chứng minh rằng 
3 61
a b c ab bc ca
+ ≥
+ + + +
. 
Junior TST 2003, Romania 
17. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3 3 3 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + + . 
JBMO 2002 Shortlist 
18. Cho 1 2, ,..., 0, 3nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng 
1 1 2 2 3 1
1 1 1
... 1
1 1 1 n nx x x x x x x x
+ + + >
+ + + + +
. 
Russia, 2004 
19. [ Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa ñiều kiện 2 2 2 2 1x y z xyz+ + + = . 
Chứng minh rằng 
a) 1 ,
8
xyz ≤ 
b) 3 ,
2
x y z+ + ≤ 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 4 
c) 2 2 23 ,
4
xy yz zx x y z+ + ≤ ≤ + + 
d) 1 2
2
xy yz zx xyz+ + ≤ + . 
20. [ Marius Olteanu ] Cho 1 2 5, ,...,x x x ∈ℝ sao cho 1 2 5... 0x x x+ + + = . Chứng minh rằng 
1 2 5cos cos ... cos 1x x x+ + + ≥ . 
Gazeta Matematică 
21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
x y z xyz+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 23 1 1 1xy yz zx x y z+ + ≥ + + + + + + . 
22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện , , 1x y z>− . 
Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 2
1 1 1
x y z
y z z x x y
+ + +
+ + ≥
+ + + + + +
. 
JBMO, 2003 
23. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 2
2a b b c c a
b c c a a b
+ + +
+ + ≥
+ + +
. 
24. Cho , , 0a b c≥ thỏa mãn ñiều kiện ( )4 4 4 2 2 2 2 2 22a b c a b b c c a+ + ≤ + + . Chứng minh 
rằng 
( )2 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≤ + + . 
Kvant, 1988 
25. Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 
1 2
1 1 1 1
...
1998 1998 1998 1998nx x x
+ + + =
+ + +
. 
Chứng minh rằng 
1 2... 1998
1
n
nx x x
n
≥
−
. 
Vietnam, 1998 
26. [Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2x y z xyz+ + = . 
Chứng minh rằng 
a) 27,xyz ≥ 
b) 27xy yz zx+ + ≥ , 
c) 9x y z+ + ≥ , 
d) ( )2 9xy yz zx x y z+ + ≥ + + + . 
27. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3x y z+ + = . Chứng minh rằng 
x y z xy yz zx+ + ≥ + + . 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 5 
Russia 2002 
28. [ D. Olteanu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3
. . .
2 2 2 4
a b a b c b c a c
b c a b c c a b c a a b c a b
+ + +
+ + ≥
+ + + + + + + + +
. 
Gazeta Matematică 
29. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
a b c c a a b b c
b c a c b a c b a
+ + +
+ + ≥ + +
+ + +
. 
India, 2002 
30. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 ab bc caa b c
b bc c c ac a a ab b a b c
+ +
+ + ≥
− + − + − + + +
. 
Proposed for the Balkan Mathematical Olympical 
31. [ Adrian Zahariuc ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số nguyên ñôi một phân biệt nhau. Chứng 
minh rằng 
2 2 2
1 2 1 2 2 3 1... ... 2 3n nx x x x x x x x x n+ + + ≥ + + + − . 
32. [ Murray Klamkin ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n≥ > thỏa mãn ñiều kiện 1 2 ... 1nx x x+ + + = . 
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 2 2 2
1 2 2 3 1 1... n n nx x x x x x x x−+ + + + . 
Crux Mathematicorum 
33. Cho 1 2, ,..., 0nx x x > thỏa mãn ñiều kiện 1 1 2 ...k kx x x x+ ≥ + + + với mọi k. Hãy tìm giá trị 
lớn nhất của hằng số c sao cho 1 2 1 2... ...n nx x x c x x x+ + + ≤ + + + . 
IMO Shortlist, 1986 
34. Cho các số thực dương , , , , ,a b c x y z thỏa mãn ñiều kiện 1a x b y c z+ = + = + = . Chứng 
minh rằng 
( ) 1 1 1 3abc xyz
ay bz cx
 + + + ≥   
. 
Russia, 2002 
35. [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh 
rằng 
( )1
2 2 2 4
ab bc ca
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≤ + +
+ + + + + +
. 
Gazeta Matematică 
36. Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 1a b c d+ + + = . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3a b c d b c d a c d a b d a b c+ + + + + + + + + + + . 
37. [ Walther Janous ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 6 
( )( ) ( )( ) ( )( )
1x y z
x x y x z y y z y x z z x z y
+ + ≤
+ + + + + + + + +
. 
Crux Mathematicorum 
38. Cho 1 2, ,..., , 2na a a n≥ là n số thực sao cho 1 2 ... na a a< < < . Chứng minh rằng 
4 4 4 4 4 4
1 2 2 3 1 2 1 3 2 1... ...n na a a a a a a a a a a a+ + + ≥ + + + . 
39. [ Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
4b c c a a b a b c
a b c b c c a a b
 + + + + + ≥ + +   + + +
. 
40. Cho 1 2, ,..., na a a là các số nguyên dương lớn hơn 1. Tồn tại ít nhất một trong các số 
1
1 ,
a a 12 3 1,..., ,
aaa nn
na a a
− nhỏ hơn hoặc bằng 3 3 . 
Adapted after a well – known problem 
41. [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
2 1xy yz zx xyz+ + + = . Chứng minh rằng 
a) 1
8
xyz ≤ , 
b) 3
2
x y z+ + ≥ , 
c) ( )1 1 1 4 x y z
x y z
+ + ≥ + + , 
d) ( ) ( )
( )
{ }
22 11 1 1 4 , max , ,
2 1
z
x y z z x y z
x y z z z
−
+ + − + + ≥ =
+
. 
42. [ Manlio Marangelli ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( ) ( )32 2 2 2 2 23 x y y z z x xy yz zx xyz x y z+ + + + ≥ + + . 
43. [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
{ } { }max , , min , , 1a b c a b c− ≤ 
Chứng minh rằng 
3 3 3 2 2 21 6 3 3 3a b c abc a b b c c a+ + + + ≥ + + . 
44. [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )
2 2 2 1 1 127 2 2 2 6a b c a b c
bc ca ab a b c
            + + + + ≥ + + + +                  
. 
45. Cho 
2
0 k+1
1
, a
2
k
k
a
a a
n
= = + . Chứng minh rằng 
11 1na
n
− < < . 
TST Singapore 
46. [ Călin Popa ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 7 
2 2 2
2 2 2
3 1 1 1
1 1 1 4
a b c a b c
a b c a b c
 − − −  + + ≥ + +  − − −  
. 
47. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , , 1x y z ≤ thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . 
Chứng minh rằng 
2 2 2
1 1 1 27
1 1 1 10x y z
+ + ≤
+ + +
. 
48. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2 151 1 1 2x y z xyz x y y z z x− − − ≥ + + + . 
49. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2xyz x y z= + + + . Chứng minh rằng 
a) ( )2xy yz zx x y z+ + ≥ + + , 
b) 3
2
x y z xyz+ + ≤ . 
50. Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2x y z+ + = . Chứng minh rằng 
2x y z xyz+ + ≤ + . 
IMO Shortlist, 1987 
51. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho ( )1 2, ,..., 0,1nx x x ∈ và σ là một hoán vị của 
{ }1,2,...,n . Chứng minh rằng 
( )
1
1 1
1 11 .
1 1 .
n
in n
i
i ii i i
x
x n x x
σ
=
= =
        ≥ +    − −       
∑
∑ ∑ . 
52. Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
1
1 1
1
n
i ix=
=
+∑ . Chứng minh rằng 
( )
1 1
11
n n
i
i i i
x n
x= =
≥ −∑ ∑ . 
Vojtech Jarnik 
53. [ Titu Vàreescu ] Cho 3n> và 1 2, ,..., na a a là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 
1
n
i
i
a n
=
≥∑ 
và 2 2
1
n
i
i
a n
=
≥∑ . Chứng minh rằng 
{ }1 2max , ,..., 2na a a ≥ . 
USAMO, 1999 
54. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 
0a b b c c d d a
b c c d d a a b
− − − −
+ + + ≥
+ + + +
. 
55. Cho ,x y là các số thực dương. Chứng minh rằng 
1y xx y+ > . 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 8 
France, 1996 
56. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
( )( )( ) ( )4 1a b b c c a a b c+ + + ≥ + + − . 
MOSP, 2001 
57. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( )( ) ( )2 2 2a b c a b c b c a c a b abc ab bc ca+ + + − + − + − ≤ + + . 
58. [ D.P.Mavlo ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( )1 1 11 1 13 3
1
a b ca b c
a b c
a b c b c a abc
+ + +
+ + + + + + + + + ≥
+
. 
Kvant, 1988 
59. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng 
( )
1 1 1
1
. 1
n
n nn
n n
i i
i i ... ứng minh rằng 
2 2 2
3 3 3 3 3 33 3 3 4 4 44 4 4 4 4 4 a b ca b b c c a
a b b c c a
+ + + + + ≤ + +
+ + +
. 
436. [ Po – Ru Loh ] Cho , , 1a b c> thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1a b c
+ + =
− − −
. Chứng 
minh rằng 
1 1 1 1
1 1 1a b c
+ + ≤
+ + +
. 
437. [ Weighao Wu ] Cho x∈ℝ . Chứng minh rằng 
( ) ( )sin cossin cosx xx x< . 
438. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2
3 21
2
a b c
a b b c c a
< + + ≤
+ + +
. 
439. [ Gabriel Dospinescu ] Cho ( )1 2, ,..., 1na a a n> là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
1 2... 1na a a = . Chứng minh rằng 
22 2
1 2
1 2
11 1
... ...
2 2 2
n
n
aa a
a a a
++ +
+ + + ≤ + + + . 
440. [ Vascile Cartoaje ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 45 
3
1 1 1 2
a b c
ab bc ca
+ + ≥
+ + +
. 
441. Cho 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1i j
i j
x x
<
− =∑ . Hãy 
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
5
1
i
i
x
=
∑ . 
442. Cho [ ]1 2 3 4, , , 1,1x x x x ∈ − . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( ) ( )
4 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
11
i i
ii
F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
==
= − + + + + + + + + + −∑ ∏ . 
443. Cho [ ], , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 
( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1a b c b c a c a b abc− − + − − + − − ≤ + . 
444. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )2 2 22 2 2 3 a b ca b c
b c a a b c
+ +
+ + ≥
+ +
. 
445. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 2
a b b c c a
a b ab b c ca c a ca
+ + +
+ + ≥
+ + + + + +
. 
446. [ Cao Minh Quang ] Cho ( )1 2, ,..., 2nx x x n≥ là n số thực dương thỏa ñiều kiện 
1
1
2
n
i
i i
x
x=
≤
+∑ . 
Chứng minh rằng 
( )
1
11
1 1
n
i i
n n
x n=
−
≥
+ +∑ . 
447. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
2 2 2
1
3 2 3 3 2 3 3 2 3 12
ab bc ca
a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
. 
448. Cho 1 2 2, ,..., nx x x là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 1 1, 1,2,..., 2 1i ix x i n+ − ≤ = − . 
Chứng minh rằng 
( )1 2 2 1 2 2... ... 1n nx x x x x x n n+ + + + + + + ≤ + . 
Romania TST, 2000 
449. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( )33 4a ab abc a b c+ + ≤ + + . 
450. [ Rumen Kozarev ] Cho x∈ℝ . Chứng minh rằng 
2
2
4 22.3 0
1
x x x
x
x x
 + +  − ≥   + + 
. 
451. Cho ( )0 1, 1,2,..., 2ix i n n≤ ≤ = ≥ . Chứng minh rằng 
( ) ( )1 2 1 2 2 3 1 1... ... 2n n n n
n
x x x x x x x x x x x−
 
 + + + − + + + + ≤
  
. 
Bulgaria, 1995 
452. Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 46 
( )4 4 4 4 4 4 4 4 2 2a c a d b c b d ad bc+ + + + + + + ≥ + . 
Turkey, 2006 
453. [ Phan Thị Mùi ] Cho 1 , 2a b≤ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
( )2
3 3
a b
P
a b
+
=
+
454. [ Lê Quang Nẫm ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( )( )( )( )4 xy yz zx x y y z z x x y y z z x+ + ≤ + + + + + + + + . 
455. Cho , , 1a b c> . Chứng minh rằng 
12
1 1 1
a b c
b c a
+ + ≥
− − −
. 
456. [ Nguyễn ðức Tấn ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3 3 3a b c
a ac b ba c cb
b c a
+ + ≥ + + . 
457. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3 3 3 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1
x y z
x y z
+ + ≥
− − −
. 
458. Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn 
nhất của biểu thức 
2 3S ab bc ca= + + . 
459. [ Thái Nhật Phượng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
2 1xyz xy yz zx+ + + ≤ . 
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
xyz . 
460. [ Minh Trân ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 
1
1
n
i
i
x
=
=∑ . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 2 2 3 1... n nx x x x x x−+ + + . 
461. [ Trần Văn Tỏ ] Cho , , 1a b c≥ . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) 2 2 2
1 1 12 9
1 1 1
a b c b c a c a b
a b c
 + + + + + + + + ≥  + + +
. 
462. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho , ,x y z là ba số thực dương thỏa ñiều kiện 3 3 3 3x y z+ + = . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
( )3P xy yz zx xyz= + + − . 
463. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
( )
1 1
1 , 1, 2,...,
k k
i
i i
a i i k n
= =
≤ + =∑ ∑ . 
Chứng minh rằng 
1
1
1
n
i i
n
a n=
≥
+∑ . 
464. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa ñiều kiện 2 2 2 3a b c+ + = . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( )
2 2 2
2
ab bc caM
ab bc ca
+ +
=
+ +
. 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 47 
465. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Hãy xác ñịnh giá trị lớn 
nhất của số thực k ñể ta luôn có bất ñẳng thức 
( )( )2 2 2
1 1 1 3 1k k a b c
a b c
+ + + ≥ + + + . 
Vietnam, 2006 
466. Cho [ ], , 1, 2x y z ∈ . Chứng minh rằng 
( ) 1 1 1 6 x y zx y z
x y z y z z x x y
     + + + + ≥ + +     + + +   
. 
Vietnam TST, 2006 
467. [ ðỗ Văn Ta ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc≥ . Chứng 
minh rằng 
3
2
a b c
b ac c ab a bc
+ + ≥
+ + +
. 
468. Cho 1 , , 1
2
x y z≤ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 1 1
x y y z z xP
z x y
+ + +
= + +
+ + +
. 
469. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho , ,x y z là ba số thực không âm thỏa ñiều kiện 4x y z+ + = . 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 1 3 1 4 1P x y z= + + + + + . 
470. [ Trần Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa ñiều kiện 1a b c+ + = . 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( ) ( ) ( )3 3 3P a b c b c a c a b= − + − + − . 
471. [ Tạ ðức Hải ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 14 9a c b c a babc
b a ca b c b c a c a b
  + + + + + + + + ≥ 
+ + +  
. 
472. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c abc+ + = . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )
3 3
4 1 1 1 4
bc ca ab a b c
a bc b ca c ab
+ +
≤ + + ≤
+ + +
. 
473. [ Trần Tuấn Anh ] Cho 2, 0,
2
x y
 
 ∈    
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 21 1
x yP
y x
= +
+ +
. 
474. Cho [ ]1 2 2007, ,..., 1,1x x x ∈ − thỏa mãn ñiều kiện 
2007
3
1
0i
i
x
=
=∑ . Chứng minh rằng 
1 2 2007
2007
...
3
x x x+ + + ≤ . 
ðẳng thức xảy ra khi nào? 
475. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
2 2 2 2 2 2 2006x y y z z x+ + + + + = . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2
x y zH
y z z x x y
= + +
+ + +
. 
476. [ Cao Xuân Nam ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 48 
4 4 4
4 4 4
8 8 8 0
16 16 16
x y z
x y z
− − −
+ + ≥
+ + +
. 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
xyz . 
477. [ Nguyễn Khánh Nguyên ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
2 2 2 1a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
2 2 2
1
1 1 1
a b c
b a c b a c
+ + ≥
+ − + − + −
. 
478. [ Phan Tiến Thành ] Cho ( ), , 0,1x y z ∈ thỏa mãn ñiều kiện ( )( )( )1 1 1xyz x y z= − − − . 
Chứng minh rằng 
2 2 2 3
4
x y z+ + ≥ . 
479. [ Trần Tuấn Anh ] Cho 3, , 1, 4 1a b c a b c≥− + + = − . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 
3 3 3P a b c= + + . 
480. [ Bùi Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( )3
2 2 2
a b cab bc caP
a b c abc
+ ++ +
= +
+ +
. 
481. [ Trần Việt Anh ] Cho n∈ℕ . Kí hiệu ( )2 1 !!n+ là tích các số nguyên dương lẻ từ 1 ñến 
2n +1. Chứng minh rằng 
( ) ( )12 1 2 1 !!n nn n π++ ≤ + . 
482. [ Ngô Trung Kiên ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
3ab bc ca abc+ + ≤ . 
Chứng minh rằng 
4 4 4
1
2 2 2
a b b c c a
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
. 
483. [ Phạm Văn Thuận ] Cho , , ,a b c d là các số thực phân biệt thỏa mãn các ñiều kiện 
4,a b c d ac bd
b c d a
+ + + = = . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
( )2
a b c d abcd
c d a b ad cd
+ + + −
+
. 
484. [ Phạm Kim Hùng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc≥ . 
Chứng minh rằng 
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
b c a
+ + +
+ + ≥ + +
+ + +
. 
485. [ Trần Nam Dũng ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( )2 2 22 8 5xyz x y z x y z+ + + + ≥ + + . 
ðẳng thức xảy ra khi nào? 
486. [ Trần Nam Dũng ] Cho ( )1,2k ∈ − và , ,a b c là ba số thực ñôi một khác nhau. Chứng 
minh rằng 
( )
( ) ( ) ( )
( )2 2 2
2 2 2
9 21 1 1
4
k
a b c k ab bc ca
a b b c c a
  −  + + + + + + + ≥     − − −  
. 
ðẳng thức xảy ra khi nào? 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 49 
487. Cho 1 2, ,..., 1nx x x >− thỏa mãn ñiều kiện 
3 3 3
1 2 ... 0nx x x+ + + = . Chứng minh rằng 
1 2 ... 3n
n
x x x+ + + ≤ . 
488. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
( )1 1 1 2ab bc ca a b c
c a b
+ + + + + ≥ + + . 
489. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
1 1 1
bc a ca b ab c
abc
a b c
   + + +     ≥           + + +
. 
490. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
.
1 1 1
yz zx xy
x x y z y x y z z x y z
x y z
x x y z y x y z z x y z
+ +
+ + + + + + + + +
≥ + +
+ + + + + + + + +
491. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
3 3 3
a b b c c a a b c+ + ≥ + + . 
492. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 
1 1 1 9
1 1 1 10xy yz zx
+ + ≥
+ + +
. 
493. Cho 1 , 1x y− ≤ ≤ . Chứng minh rằng 
2
2 21 1 2 1
2
x y
x y
 + − + − ≤ −   
. 
494. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng 
n nn n nn n n n n+ + − ≤ . 
495. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 2
3
21 1 1
a b c
a b c
+ + ≥
+ + +
. 
496. Cho , , ,a b x y là các số thực dương, a b< . Chứng minh rằng 
( ) ( )b aa a b bx y x y+ ≥ + . 
497. Cho 10 , ,
2
a b c< ≤ . Chứng minh rằng 
31 1 1 31 1 1 1
a b c a b c
           − − − ≥ −                 + +
. 
498. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 1a b c d+ + + = . Chứng minh 
rằng 
( )( )( )( )1 1 1 1a b c d abcd− − − − ≥ . 
499. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
1a b c
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + + + + +
. 
500. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2a b c a b ca ab b bc c ca a b c + ++ + + ≥ + + . 
 sẽ tiếp tục cập nhật