500 bài toán ôn thi vào lớp 10

MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
1 
Rót gän biÓu thøc 
Bài 1 A= 





++
−
−





−
−
−
+
1
21:
1
1
1
12
xx
x
xxx
x
 a) Rót gän A b) TÝnh A biÕt 
x=
2
32 −
 c)T×m x∈Z ®Ó A∈Z d) T×m GTNN cña A e)T×m x ®Ó 
A=1/3 
g) So s¸nh A víi 1 h) T×m x ®Ó A > 1/2 
Bài 2 B= 
x
xx
+
−
1
)1( 2
:
















−
+
+
⋅







+
−
−
x
x
xx
x
x
xx
1
1
1
1
 a)Rót gän B b)T×m x ®Ó 
B=2/5 c)TÝnh B biÕt x= 12-6 3 d) T×m GTNN vµ GTLN cñaB e) So s¸nh B víi 1/2 g) T×m x ®Ó 
B > 
3
x
Bài 3 C= 





−
+







−
−
+− xxxx
x
1
23:
32
5
352
2
 a)Rót gän C=
x23
1
−
b)T×m GTNN cña C’ víi C’=
1
1
.
1
+xC
 c)TÝnh C víi x=
32
2
−
 d)T×m x ®Ó 
C>0 
e)T×m x Z∈ ®Ó C’ Z∈ g)T×m x ®Ó C= 5 x 
Bài 4 E= 






−
−
+
−
−
+
+−
+
xx
x
xx
x
xx
xx 2
1
11
:
12
 a)Rót gän E=
1−x
x
 b)T×m x 
®Ó E > 1 
c)T×m GTNN cña E víi x > 1 d)T×m x Z∈ ®Ó E Z∈ e)TÝnh E t¹i 
512 =+x 
 g)T×m x ®Ó E = 9/2 
 Bài 5 G= 






+
−
+
−
+








−
+
+
+
−
+
1
1
1
1
:
111
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 a)Rót gän G =
x
x
4
12 +
b)T×m GTNN cña G víi x>0 c)TÝnh G t¹i x = 17- 4 13 d)T×m x ®Ó 
G = 9/8 Bài 6 K=
x
x
x
x
xx
x
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92
 a)Rót gän K=
3
1
−
+
x
x
b)T×m x ®Ó K<1 
c)T×m Zx ∈ ®Ó K Z∈ d)T×m GTNN cña K’=1/K e)T×m x ®Ó 
K = 5 
MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
2 
g) TÝnh K biÕt x-3 2x + =0 h) So S¸nh K’ víi 1 
Bài 7 M= 






−
+
−
−
+







+
−
−
−
+
1
2
11
1
:
1
1
1
1
xx
x
xx
x
x
x
 a)Rót gän 
M=
12
4
++ xx
x
b)T×m x ®Ó M= 8/9 c)TÝnh M t¹i x= 17+12 2 d)Chøng minh 
M ≥ 0 
e)So s¸nh M víi 1 g) T×m GTNN, GTLN cña M 
Bài 8 N= 






+
−
−
−
−
−
−+
−








−
−
−
3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
 a)Rót gän N=
2
3
−x
b)T×m x ®Ó N<0 c)T×m GTLN cña N d)T×m x Z∈ ®Ó N Z∈ e)TÝnh N t¹i x=7-
4 3 
Bài 9 P= 






−
−
−








−
+
−
−
+
+
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
 a)Rót gän P=
3
3
+
−
x
c)T×m x Z∈ ®Ó P Z∈ c)T×m GTNN cña P d)TÝnh P t¹i x = 25 4 6− 
Bài 10 R=1: 






−
−
++
+
+
−
+
1
1
1
1
1
2
xxx
x
xx
x
 a)Rót gän R=
x
xx 1++
 b)So 
s¸nh R víi 3 
c)T×m GTNN , GTLN cña R d)T×m x∈Z ®Ó R>4 e) TÝnh R t¹i x=11-
6 2 
Bài 11 S= 






−−+
−
−








+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
aa
a
 a)Rót gän S=
1
1
−
++
a
aa
 b)T×m a ®Ó S=2a c)T×m GTNN cña S víi a>1 d)TÝnh S t¹i a=1/2
 e)T×m a Z∈ ®Ó S Z∈ 
Bài 12 Y= 





−
−
−
+
+
+
−
−+
−− 1
1
1
.
2
2
1
2
333
xx
x
x
x
xx
xx
 a)Rót gän 
Y=
2
2
+
−
x
x
b)T×m x ®Ó Y=x c)T×m x∈Z ®Ó Y∈ Z d)T×m 
GTLN cña Y 
MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
3 
Bài 13 P = 3 6 4
11 1
x x
xx x
−
+ −
−
− +
 a) Rót gän P=
1
1
+
−
x
x
c)T×m x Z∈ ®Ó P Z∈ d)T×m GTNN cña P e) TÝnh P t¹i x=6-
2 5 
Bài 14 P = 
xx
xx
xx
xx
x
x
+
+
−
−
−
+
+ 1122
 a) Rót gän P=
x
xx 222 ++
b) T×m GTNN cña P c) TÝnh P t¹i x = 12+ 6 3 
Bài 15 P = 
2
22
1
1
1
1
1








−⋅







−
+
−
+
− x
xx
x
x
x
 a) Rót gän P=
x
x−1
 b) t×m GTLN , 
GTNN cña P c) T×m x ®Ó P =2 d) TÝnh P t¹i x= 3-2 2 e ) T×m x ®Ó P > 0 
g) So s¸nh P víi -2 x 
Bài 16 P = 
1
1
1
2
1
1
++
+
−
−
+
−
−
+
xx
x
xx
x
x
x
 a) Rót gän P =
1++
−
xx
x
 b) t×m 
GTLN cña P 
 c) T×m x ®Ó P = -4 d) TÝnh P t¹i x=6-2 5 e ) T×m x 
®Ó P < -3 
g) So s¸nh P víi 1 h) T×m x Z∈ ®Ó P Z∈ 
Bài 17 P = 
1
)1(22
1
2
−
−
+
+
−
++
−
x
x
x
xx
xx
xx
 a) Rót gän P = 1+− xx b) T×m 
GTNN cña P 
c) T×m x ®Ó P = 3 d) TÝnh P t¹i x=7+2 3 e ) T×m x ®Ó P > 3 g) So s¸nh P 
víi 1/2 
Bài 18 P = 





−
+
+







−
−
−+
++
1
1
1
1
:
2
23
aaaa
a
aa
aa
 a) Rót gän P =
a
a
2
1+
 b T×m x ®Ó 
P = 3 
d) TÝnh P t¹i x= 15-6 6 e ) T×m x ®Ó P>3 g) So s¸nh P víi 1/2 
Bài 19 P = 1
1
2
1
1
:
1
1 −






−−+
−
−








+
+
xxxx
x
xx
x
 a) Rót gän P =
1
2
−
+
x
x
 c) T×m x ®Ó 
P =5 
MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
4 
b) T×m GTLN , GTNN cña P’=
1
P
 e ) T×m x ®Ó P>0 d) TÝnh P t¹i x=5-
2 6 
Bài 20 P = 
1212
1
11
2
−
+
−+
−
⋅







−
+
−
−
−+
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxx
 a) Rót gän P =
1++
+
xx
xx
 b) 
t×m GTLN , GTNN cña P c) T×m x ®Ó P = 2 d) TÝnh P t¹i x= 8+2 10 e ) T×m x ®Ó P>1 
Bài 21 P= 
1
1
1
1
1
2
−
−
++
+
+
−
+
xxx
x
xx
x
 a) Rót gän P=
1++ xx
x
b) T×m GTLN , GTNN cña P c) T×m x ®Ó P =1/3 d) TÝnh t¹i x= 22- 4 10
Bài 22 P= 






−
+
+
−
+
−+
−+ 2
2
1
1
1
2
333
xxxx
xx
 a) Rót gän P=
1
1
x
x
+
−
 b) T×m GTLN 
cña P 
c) T×m x ®Ó P = 4 d) TÝnh P t¹i x=17+12 2 e ) T×m x ®Ó P< 2 g) So s¸nh 
P víi 3 
Bài 22’ P = 






−
+
−
−








−
−
+
−
−
−
+
xx
x
xx
x
x
x
x
x
3
24
3
5
:
9
4
3
3
3
3
 a) Rót gän 
P=
2
4
−x
x
b) T×m GTNN cña P víi x>4 c) T×m x ®Ó P = 3 d)T×m x ®Ó P > 4 x 
Bài 23 P = 






+
+
−
−
−
−
−+
−








−
−
−
5
2
2
5
103
25
:1
25
5
a
a
a
a
aa
a
a
aa
 a) Rót gän P 
=
2
5
+a
b) T×m GTLN cña P c) T×m a ®Ó P = 2 d) TÝnh P t¹i a= 4 - 2 3 e ) T×m a 
®Ó P > 2 
Bài 24 P = 
2
3
:
2
4
2 −
+








−
+
− x
x
xx
x
x
x
 a) Rót gän P=
3
4
+
−
x
x
 b) T×m GTNN cña P 
c) T×m x ®Ó P = -1 d) TÝnh P t¹i x=11-4 6 e ) T×m x ®Ó P>-1 g) So s¸nh P 
víi 1 
MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
5 
Bài 25 P = ( )( )
( )
1
2
1
126
13
1
2
2
−
+
−
−−
−
−+
−
aaa
a
aa
a
 a) Rót gän P=
1
15
++
+
aa
a
b) T×m GTLN , GTNN cña P c) T×m x ®Ó P = 1 ) TÝnh P t¹i x= 7-2 6 
Bài 26 P = 






−
−
+
−
−
−
+








−
−
−
−−
1
8
1
1
1
1
:
1
1
1
3
x
x
x
x
x
x
xx
xx
 a) Rót gän P = 
x
x
4
4+
b) T×m GTLN , GTNN cña P c) T×m x ®Ó P = 8 h) T×m x Z∈ ®Ó 
P Z∈ 
d) TÝnh P t¹i x= 10-2 21 e ) T×m x ®Ó P >5 g) So s¸nh P víi 4 
Bài 27 P = 1+ 
121
2
1
12
−
−
⋅







−
−+
−
−
−+
x
xx
xx
xxxx
x
xx
 a) Rót gän P b 
T×m GTLN , GTNN cña P c) T×m x ®Ó P = 3 d) TÝnh P t¹i x= 13- 4 10 
Bài 28 P = 






−
+
+
++
+








−
−
+
− 1
2
1
1
:
22
3
22 xx
x
xx
x
x
x
x
x
 a) Rót gän P= ( )1.2 3++xx
 b) T×m GTLN , GTNN cña P c) T×m x ®Ó P = 3 d) TÝnh P t¹i x= 15+6 6
e ) T×m x ®Ó P >4 g) So s¸nh P víi 2 
Bài 29 P = 4 1 3: 1
2 3 3 2
x x x x
x x x x
   + − − −
+ −      
− − − −   
 a) Rót gän P = 
1
2
+
−
x
x
b) T×m GTNN cña P c) T×m x ®Ó P =1/2 d) TÝnh P t¹i x= 5+2 6
e ) T×m x ®Ó P > -1 g) So s¸nh P víi 1 
Bài 30 P = 





−
−
−








−+−
−
−
+ 1
2
1
1
:
1
22
1
1
xxxxxx
x
x
 a) Rót gän P = 
1
1
x
x
−
+
b)T×m x ®Ó P =
x3
1
 c) T×m GTNN cña P d) TÝnh P t¹i x=7-2 
Bài 31 P = 






+
−







−
+
−
−
+
−
+−
+
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
 Rót gän P =
1
4
x
x
+
−
MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
6 
b) T×m x ®Ó P = 3 c) T×m x Z∈ ®Ó P Z∈ d) TÝnh P t¹i x= 5 2 6−
e ) T×m x ®Ó P>2 g) So s¸nh P víi 2 h) T×m GTLN , GTNN cña 
P’=
1
P
Bµi 32) P = x : 







−
+
+
−
+
++
+
1
2
1
1
1
1
xx
x
xxx
x
 Rót gän P = 1++ xx 
 b) T×m x ®Ó P = 6 e ) T×m x ®Ó P >3 g) So s¸nh P víi 3 x h) T×m 
GTNN cña P 
Bµi 33) P = 
( )
1
2
2
3
2
33
−
−
−
+
+
+
−+
−+
x
x
x
x
xx
xx
 Rót gän P =
3 8
2
x
x
+
+
 b) T×m x 
®Ó P = 7/2 c) T×m x Z∈ ®Ó P Z∈ d) TÝnh P t¹i x= 13 4 10− e ) 
T×m x ®Ó P> 10/3 
g) So s¸nh P víi 3 h) T×m GTLN , GTNN cña P 
Bµi 34 P= 







−
+
−
+
+
−
−
4
72
2
1
2 x
x
x
x
x
x
: 







+
−
− 1
2
3
x
x
 a) Rót gän P = 
2
5
+
−
x
x
b) TÝnh P biÕt x= 9-4 5 c) T×m GTNN cña P d) T×m x∈Z ®Ó 
P∈Z 
Bµi 35 P = 







−
+
−
−








−
−
+
−
−
−
+
xx
x
xx
x
x
x
x
x
2
3
2
2
:
4
4
2
2
2
2
 a) Rót gän P =
3
4
−x
x
b) T×m x ®Ó P = -1 c) T×m x Z∈ ®Ó P Z∈ d) TÝnh P t¹i x= 15 4 14− 
e ) T×m x ®Ó P > 4 g) So s¸nh P víi 4 x h) T×m GTLN , GTNN cña P 
víi x>9 
Bµi 36 P = 





++
+
−





−
−
−
+
1
41:
1
1
1
12
xx
x
xxx
x
 a) Rót gän P =
3−x
x
b) T×m x ®Ó P = - 2 c) T×m x Z∈ ®Ó P Z∈ d) TÝnh P t¹i x= 23 4 15− 
e ) T×m x ®Ó P >1 h) T×m GTLN , GTNN cña P’=
3
1
x
x
−
+
. P 
Bµi 37 P = 
3
3
1
2
32
1926
+
−
+
−
−
−+
−+
x
x
x
x
xx
xxx
 a) Rót gän P =
3
16
+
+
x
x
MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
7 
b) TÝnh P t¹i x= 7- 4 3 c) T×m GTNN cña P b) T×m x ®Ó P = 7 c) T×m 
x Z∈ ®Ó P Z∈ d) TÝnh P t¹i x= 17 12 2− e ) T×m x ®Ó P < x h) T×m 
GTNN cña P 
Bµi 38 P = 
x
x
x
x
xx
x
−
+
−
−
+
−
+−
+
3
12
4
3
127
12
 a) Rót gän P = 
4
2
−
−
x
x
b) TÝnh P t¹i x= 2 347 − c) T×m x ®Ó 2AA < d) T×m x ®Ó P = 2 
 c) T×m x Z∈ ®Ó P Z∈ e ) T×m x ®Ó P > 1 h) T×m GTLN , GTNN cña P’= P . 
4
2
x
x
−
+
Bµi 39 P = 
x
x
xx
xx
xx
xx 111 +
+
+
+
−
−
−
 a) Rót gän P = 
x
xx 12 ++
 b) T×m x ®Ó 
P= 9/2 
 c) T×m x Z∈ ®Ó P Z∈ d) TÝnh P t¹i x= 25 6 14− g) So s¸nh P víi 4 
h) T×m GTLN , GTNN cña P 
Bµi 40 P = 
1
46
1
3
1 −
−
−
+
+
−
x
x
xx
x
 a) Rót gän P =
1
1
+
−
x
x
 b) T×m x ®Ó 
P = -1 c) T×m x Z∈ ®Ó P Z∈ d) TÝnh P t¹i x= 11 4 6− e ) 
T×m x ®Ó P > 2 
g) So s¸nh P víi 1 h) T×m GTNN cña P 
i) TÝnh P t¹i x = 347347 −++ k) T×m x ®Ó P < 1/2 
Bµi 41 P = 
xx
x
x
x
x +







+
+ :
1
1
 a) Rót gän P=
x
xx 1++
 b) T×m x ®Ó 
P = -1 c) T×m x Z∈ ®Ó P Z∈ e ) T×m x ®Ó P > 2x + 
 g) So s¸nh P víi 1 
h) T×m GTLN , GTNN cña P b) TÝnh P t¹i x = 
15
8
15
8
+
−
−
Bµi 42 P = 







−
−
−








−
+
−
−
+
+
1
3
22
:
9
33
 ... tại N. 
MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
58 
CM : a) BC, BD là các tiếp tuyến của đường tròn (A). b) NB là phân giác của góc 
CND. 
c) △ CNM ∼ △MND. d) Giả sử CN = a; DN = b. Tính MN theo a và b. 
Bµi 87. Cho (O; R), AB là đường kính cố định. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) tại B. MN là 
đường kính thay đổi của (O) sao cho MN không vuông góc với AB và M ≠ A, M ≠ B. Các đường 
thẳng AM, AN cắt đường thẳng (d) tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm 
của AI và MN. Khi MN thay đổi, CM a) Tích AM.AC không đổi. b) Bốn điểm C, M, N, 
D cùng thuộc một đường tròn. 
c) Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định. 
d) Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng cố định. 
Bµi 88. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B lớn hơn góc C. Kẻ đường cao AH. Trên đoạn HC đặt 
HD = HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD tại E. a) Chứng minh các tam giác AHB và AHD bằng 
nhau. 
b) Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp và hai góc HCE và HAE bằng nhau. 
c) Chứng minh tam giác AHE cân tại H. d) Chứng minh DE.CA = DA.CE d) Tính góc BCA 
nếu HE//CA. 
Bµi 89. Cho (O;R), đường kính AB cố định, CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại 
B; các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q. AI trung tuyến của tam giác APQ a) 
CM: 
 090PAQ = . 
b) CM: CPQD nội tiếp c)AI ⊥ CD. 
d) Xác định vị trí của CD để diện tích tứ giác CPQD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC. 
Bµi 90. Cho tam giác ABC vuông ở a và góc B lớn hơn góc C, AH là đường cao, AM là trung tuyến. 
Đường tròn tâm H bán kính HA cắt đường thẳng AB ở D và đường thẳng AC ở E. 
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng. b) Chứng minh 
 
MAE=DAE . MA DE⊥ 
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm trên đường tròn tâm O. Tứ giác AMOH là hình gì? 
d) Cho góc ACB bằng 300 và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC. 
Bµi 91. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B thuộc đoạn AC). Đường tròn (O) đi qua B và C, 
đường kính DE vuông góc với BC tại K. AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I. 
1.Chứng minh tứ giác DFIK nội tiếp được. 2.. Chứng minh góc DHA và góc DEA bằng nhau. 
3.Chứng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC. 
4.AT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) của (O). Điểm T chạy trên đường nào khi (O) thay đổi nhưng luôn 
đi qua hai điểm B, C. 
Bµi 92. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ trung tuyến AM, phân giác AD của góc BAC. Đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB tại P và cắt AC tại Q. a).Chứng minh 

 
BAM=PQM ;
 
BPD=BMA 
MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
59 
b)Chứng minh BD.AM = BA.DP. c)Giả sử BC = a; AC = b; BD = m. Tính tỉ số BP
BM
 theo a, b, 
m. 
d.Gọi E là điểm chính giữa cung PAQ và K là trung điểm đoạn PQ. Chứng minh ba điểm D, K, E 
thẳng hàng. 
Bµi 93. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn, P là một điểm trên cung nhỏ AC ( P 
khác A và C). AP kéo dài cắt đường thẳng BC tại M. a) Chứng minh ABP AMB∠ = ∠ . 
b) Chứng minh AB2 = AP.AM. c) Giả sử hai cung AP và CP bằng nhau, Chứng minh 
AM.MP = AB.BM. 
d) Tìm vị trí của M trên tia BC sao cho AP = MP. 
e) Gọi MT là tiếp tuyến của đường tròn tại T, chứng minh AM, AB, MT là ba cạnh của một tam giác 
vuông. 
C©u 94 Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M. Gäi (O1) lµ ®−êng trßn t©m O1 
qua M vµ tiÕp xóc víi AB t¹i B, gäi (O2) lµ ®−êng trßn t©m O2 qua M vµ tiÕp xóc víi AC t¹i C. §−êng 
trßn (O1) vµ (O2) c¾t nhau t¹i D (D kh«ng trïng víi A) BO1 c¾t CO2 t¹i E .CM : 1) 
△ BCD lµ △ vu«ng. 
2) O1D lµ tiÕp tuyÕn cña (O2). 3) 5 ®iÓm A, B, D, E, C cïng n»m trªn mét ®−êng 
trßn. 
4) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó O1O2 ng¾n nhÊt. 
C©u 95 Cho tam gi¸c ABC nhän, ®−êng cao kÎ tõ ®Ønh B vµ ®Ønh C c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®−êng trßn 
ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC lÇn l−ît t¹i E vµ F. CM: 1) AE = AF. 2) A lµ t©m ®−êng trßn 
ngo¹i tiÕp tam gi¸c EFH. 
3) KÎ ®−êng kÝnh BD, chøng minh tø gi¸c ADCH lµ h×nh b×nh hµnh. 
C©u 96 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®−êng cao AH. §−êng trßn ®−êng kÝnh AH c¾t c¹nh AB t¹i M 
vµ c¾t c¹nh AC t¹i N. Tõ A kÎ ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi MN c¾t c¹nh BC t¹i I. CM : 
1) MN lµ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh AH. 2) tø gi¸c BMNC néi tiÕp. 
 3)BI = IC. 
C©u 97 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C, O lµ trung ®iÓm cña AB vµ D lµ ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh AB (D 
kh«ng trïng víi A, O, B). Gäi I vµ J thø tù lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ACD vµ BCD. 
CM : 
1) OI // BC. 2) 4 ®iÓm I, J, O, D n»m trªn mét ®−êng trßn. 
3) CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC khi vµ chØ khi OI = OJ. 
Bµi 98 Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®−êng trßn ®−êng kÝnh AD. Hai ®−êng chÐo AC, BD c¾t nhau t¹i E. 
H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F. §−êng th¼ng CF c¾t ®−êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ M. Giao 
®iÓm cña BD vµ CF lµ N. CM : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Tia FA lµ tia 
ph©n gi¸c cña gãc BFM. 
c) BE.DN = EN.BD. 
MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
60 
Bµi 99 tam gi¸c ABC c©n t¹i A, néi tiÕp ®−êng trßn (O). KÎ ®−êng kÝnh AD. Gäi M lµ trung ®iÓm cña 
AC, I lµ trung ®iÓm cña OD. 1) Chøng minh OM // DC. 
2) Chøng minh tam gi¸c ICM c©n. 3) BM c¾t AD t¹i N. Chøng minh IC2 = 
IA.IN. 
C©u 100 Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( C = 900 ) néi tiÕp trong ®−êng trßn t©m O . Trªn cung nhá AC ta 
lÊy mét ®iÓm M bÊt kú ( M kh¸c A vµ C ) . VÏ ®−êng trßn t©m A b¸n kÝnh AC , ®−êng trßn nµy c¾t 
®−êng trßn (O) t¹i ®iÓm D ( D kh¸c C ) . §o¹n th¼ng BM c¾t ®−êng trßn t©m A ë ®iÓm N . 
a) Chøng minh MB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc 
CMD . 
b) Chøng minh BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t©m A nãi trªn . 
c) So s¸nh gãc CNM víi gãc MDN . 
d) Cho biÕt MC = a , MD = b . H·y tÝnh ®o¹n th¼ng MN theo a vµ b . 
C©u 101 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®−êng trßn t©m O , ®−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A c¾t c¹nh BC 
t¹i D vµ c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp t¹i I . 
a) Chøng minh r»ng OI vu«ng gãc víi BC . 
b) Chøng minh BI2 = AI.DI . 
c) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn BC . Chøng minh gãc BAH = gãc CAO . 
d) Chøng minh gãc HAO =  B C− 
C©u 102 Cho tam gi¸c ABC , M lµ trung ®iÓm cña BC . Gi¶ sö 
 
BAM BCA= . 
a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABM ®ång d¹ng víi tam gi¸c CBA . 
b) Chøng minh minh : BC2 = 2 AB2 . So s¸nh BC vµ ®−êng chÐo h×nh vu«ng c¹nh lµ AB . 
c) Chøng tá BA lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMC . 
d) §−êng th¼ng qua C vµ song song víi MA , c¾t ®−êng th¼ng AB ë D . Chøng tá ®−êng trßn 
ngo¹i tiÕp tam gi¸c ACD tiÕp xóc víi BC . 
C©u 103 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®Ønh D n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB . H¹ BN vµ DM 
cïng vu«ng gãc víi ®−êng chÐo AC . CM: 
a) Tø gi¸c CBMD néi tiÕp . 
b) Khi ®iÓm D di ®éng trªn trªn ®−êng trßn th× 
 
BMD BCD+ kh«ng ®æi . 
c) DB . DC = DN . AC 
C©u 104 Cho tam gi¸c nhän ABC vµ ®−êng kÝnh BON . Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC , §−êng 
th¼ng BH c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i M . 
1) Chøng minh tø gi¸c AMCN lµ h×nh thanng c©n . 
2) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC . Chøng minh H , I , N th¼ng hµng . 
3) Chøng minh r»ng BH = 2 OI vµ tam gi¸c CHM c©n . 
C©u 105 Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh , cã ®é dµi c¹nh lµ a .E lµ ®iÓm ®i chuyÓn trªn ®o¹n CD ( E 
kh¸c D ) , ®−êng th¼ng AE c¾t ®−êng th¼ng BC t¹i F , ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®−êng 
th¼ng CD t¹i K . 
MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
61 
1) Chøng minh tam gi¸c ABF = tam gi¸c ADK tõ ®ã suy ra tam gi¸c AFK vu«ng c©n . 
2) Gäi I lµ trung ®iÓm cña FK , Chøng minh I lµ t©m ®−êng trßn ®i qua A , C, F , K . 
3) TÝnh sè ®o gãc AIF , suy ra 4 ®iÓm A , B , F , I cïng n»m trªn mét ®−êng trßn . 
C©u 106 Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®−êng trßn t©m O . §−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A , B 
c¾t ®−êng trßn t©m O t¹i D vµ E , gäi giao ®iÓm hai ®−êng ph©n gi¸c lµ I , ®−êng th¼ng DE c¾t CA, 
CB lÇn l−ît t¹i M , N . 
1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n . 
2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC . 
3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? 
C©u 107 Cho ®−êng trßn t©m O vµ c¸t tuyÕn CAB ( C ë ngoµi ®−êng trßn ) . Tõ ®iÓm chÝnh gi÷a cña 
cung lín AB kÎ ®−êng kÝnh MN c¾t AB t¹i I , CM c¾t ®−êng trßn t¹i E , EN c¾t ®−êng th¼ng AB t¹i F 
. 
1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp . 
2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB . 
3) Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB 
C©u 108 Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( gãc A = 1 v ) cã AC < AB , AH lµ ®−êng cao kÎ tõ ®Ønh A . C¸c 
tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B víi ®−êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i M . §o¹n MO c¾t 
c¹nh AB ë E , MC c¾t ®−êng cao AH t¹i F . KÐo dµi CA cho c¾t ®−êng th¼ng BM ë D . §−êng th¼ng 
BF c¾t ®−êng th¼ng AM ë N . 
a) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BD . 
b) Chøng minh EF // BC . 
c) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN . 
C©u 109 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®−êng trßn t©m O . M lµ mét ®iÓm trªn cung AC ( kh«ng chøa B 
) kÎ MH vu«ng gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC . 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi 
tiÕp . 
2) Chøng minh 
 
AMB HMK= 3) Chøng minh ∆ AMB ®ång d¹ng víi ∆ HMK . 
Bµi110: Cho ∆PBC nhän. Gäi A lµ ch©n ®−êng cao kÎ tõ ®Ønh P xuèng c¹nh BC. §−êng trßn ®−êng 
khinh BC c¾t c¹nh PB vµ PC lÇn l−ît ë M vµ N. Nèi N víi A c¾t ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC t¹i ®iÓm 
thø 2 lµ E. 
1. Chøng minh 4 ®iÓm A, B, N, P cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. X¸c ®Þnh t©m cña ®−êng trßn Êy? 
2. Chøng minh EM vu«ng gãc víi BC. 
3. Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng cña N qua BC. Chøng minh r»ng: AM.AF=AN.AE 
Bµi 111: Cho BC lµ d©y cung cè ®Þnh cña ®−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R(0<BC<2R). A lµ ®iÓm di 
®éng trªn cung lín BC sao cho ∆ABC nhän. C¸c ®−êng cao AD, BE, CF cña ∆ABC c¾t nhau t¹i H(D 
thuéc BC, E thuéc CA, F thuéc AB). 
1. Chøng minh tø gi¸c BCEF néi tiÕp trong mét ®−êng trßn. Tõ ®ã suy ra AE.AC=AF.AB. 
2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh AH=2A’O. 
MATHVN.COM - www.mathvn.com 
500 bài toán ôn thi vào lớp 10 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
62 
3. KÎ ®−êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O) t¹i A. §Æt S lµ diÖn tÝch cña ∆ABC, 2p lµ chu vi cña 
∆DEF. 
a. Chøng minh: d//EF. b. Chøng minh: S=pR. 
Bµi 112: Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB. §iÓm I n»m gi÷a A vµ O (I kh¸c A vµ O).KÎ d©y MN 
vu«ng gãc víi AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN (C kh¸c M, N, B). Nèi AC c¾t MN t¹i 
E. Chøng minh: 
1. Tø gi¸c IECB néi tiÕp. 2. AM2=AE.AC 3. AE.AC-AI.IB=AI2 
Bµi 113 Trªn mét ®−êng th¼ng lÊy ba ®iÓm A, B, C cè ®Þnh theo thø tù Êy. Gäi (O) lµ ®−êng trßn t©m 
O thay ®æi nh−ng lu«n lu«n ®i qua A vµ B. VÏ ®−êng kÝnh I J vu«ng gãc víi AB; E lµ giao ®iÓm cña I 
J vµ AB. Gäi M vµ N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña CI vµ C J ( M ≠ I, N ≠ J). CM : 
1/. IN, JM vµ CE ®ång quy t¹i D. 2/. Gäi F lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh OF ⊥ MN. 
3/. Chøng minh FM, FN lµ hai tiÕp tuyÕn cña (O). . 
4/ Chøng minh EA. EB = EC. ED. Tõ ®ã suy ra D lµ ®iÓm cè ®Þnh khi (O) thay ®æi.