Bài giảng Đại số Khối 10 - Chương IV - Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

BẤT PHƯƠNG TRèNH VÀ 
HỆ BẤT PHƯƠNG TRèNH MỘT ẨN 
NỘI DUNG 
I. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNGTRèNH MỘT ẨN 
II. HỆ BẤT PHƯƠNG TRèNH MỘT ẨN 
III.MỘT SỐ PHẫP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRèNH 
Kiểm tra bài cũ 
Câu hỏi 
 Hãy biểu diễn tập số sau trên trục số A = (- ∞; 3/2]? 
x 
I. Khái niệm bất phưƯơng trình một ẩn. 
1. bất phƯương trình một ẩn . 
Cho một số ví dụ về BPT một ẩn? 
1. bất phưƯơng trình một ẩn. 
 Ví dụ về bất phưưuơng trình một ẩn: 
a. 2x - 3 < x +1 
b. 2x 2 - x ≤ 2x-1 
 (Có dạng f(x) < g(x) hoặc f(x) ≤ g(x)) 
1. bất phưƯơng trình một ẩn. 
+ Bất phưuơng trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng 
 f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) (1). 
trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. 
+ Ta gọi f(x) và g(x) lần lưuợt là vế trái và vế phải của bất phuương trình (1). 
+ Số thực x 0 sao cho f(x 0 ) < g(x 0 ) (f(x 0 ) ≤ g(x 0 ) 
là mệnh đề đúng đưuợc gọi là một nghiệm của bất phuương tr ì nh 
+ Giải bất phuương tr ì nh là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm 
rỗng thì ta nói bất phưuơng trình vô nghiệm. 
Chú ý: Bất phưuơng trình (1) cũng có thể viết lại dưuới dạng sau: 
g(x) > f(x) (g(x) ≥ f(x)). 
1. bất phưưuơng trình một ẩn . 
Cho bất phưuơng trình : 2x ≤ 3 
a. Trong các số: 
 số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bpt trên? 
 b. Giải bpt đó và biểu diễn tập của nó trên trục số? 
x 
2. Điều kiện của một bất phưưuơng trình. 
 VD1: Xét bất phưuơng trình: 
 Hãy kiểm tra các số: -1; -46; 4 
số nào là nghiệm của bất phuương trình trên? 
x 
-1 
-46 
4 
2 
7 
2. Điều kiện của một bất phưUơng trình. 
+ Tưuơng tự đối với phưuơng trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác đị nh (hay gọi tắt là điều kiện ) của bất phưuơng trình (1). 
Điều kiện của bất phuương trình: 
là 3- x ≥ 0 và x + 1 ≥ 0. 
2. Điều kiện của một bất phưUơng trình. 
VD2: Điều kiện của bất phuương trình: 
là 1- x ≥ 0 và x - 3 ≥ 0 
Có giá trị của x thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện trên không? 
VD3: Điều kiện của bất phưuơng trình: 
Giá trị nào của x thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện trên? 
Nghiệm của bất phưuơng trình là: 
là 1- x ≥ 0 và x - 1 ≥ 0 
x = 1 
x = 1 
Không có giá trị nào của x thoả mãn đồng thời hai ĐK trên . 
3. Bất phưUơng trình chứa tham số. 
VD4: Xét bất phưuơng trình: 3x- 4 < 0. 
Trong một bất phưuơng trình, ngoài các chữ đóng vai trò là ẩn số còn có thể có những chữ khác đưuợc xem nhưưu những hằng số và đưuợc gọi là tham số. 
Chẳng hạn: (2m - 1)x + 3 < 0 
	 x 2 - mx + 1 > 0 
Giải và biện luận bất phuương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phưuơng trình vô nghiệm, bất phưuơng trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó. 
(x là ẩn, m là tham số.) 
Nếu thay 4 bởi số m ( ) ta đuược mệnh đề: 3x - m < 0. 
II. Hệ bất phUương trình một ẩn. 
Điều kiện của bất phuương trình: 
Hay ta có thể viết: 
(*) 
(*) là một hệ bất phưuơng trình một ẩn. 
Ta thấy x = 1 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện trên. 
Ta nói x = 1 là nghiệm của hệ bất phuương trình (*). 
là 1- x ≥ 0 và x - 1 ≥ 0 
II. Hệ bất phưUơng trình một ẩn. 
+ Hệ bất phưuơng trình ẩn x gồm một số BPT ẩn x mà 
 ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. 
+ Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phưuơng trình của hệ đưuợc gọi là một nghiệm của hệ bất phuương trình đã cho. 
+ Giải hệ bất phuương trình là tìm tập nghiệm của nó. 
+ Để giải một hệ bất phưuơng trình ta giải từng bất phưuơng trình rồi lấy giao các tập nghiệm. 
II. Hệ bất phưUơng trình một ẩn. 
VD1: Giải hệ bất phưuơng trình: 
Giải bất phưuơng trình (1): 
Giải bất phưuơng trình (2): 
3 - x ≥ 0  x ≤ 3 
x + 1 ≥ 0  x ≥ -1 
x 
3 
x 
-1 
II. Hệ bất phUương trình một ẩn. 
VD1: Giải hệ bất phưuơng trình: 
Giải bất phưuơng trình (1): 
Giải bất phuương trình (2): 
3 - x ≥ 0  x ≤ 3 
x + 1 ≥ 0  x ≥ -1 
x 
3 
-1 
Kết luận tập nghiệm của bất phưuơng trình: 
x 
3 
-1 
T = [-1; 3] 
III.MỘT SỐ PHẫP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRèNH 
1/B ất phương trỡnh tương đương 
2/Phộp biến đổi tương đương 
Để giải một bất phương trỡnh (hệ bất phương trỡnh) ta liờn tiếp biến đổi nú thành những bất phương trỡnh (hệ bất phương trỡnh) tương đương cho đền khi được bất phương trỡnh (hệ bất phương trỡnh) đơn giản nhất mà ta cú thể viết ngay tập nghiệm . Cỏc phộp biến đổi như vậy gọi là cỏc phộp biến đổi tương đương 
Hai bất phương trỡnh cú cựng tập nghiệm (cú thể rỗng)là hai bất phương trỡnh tương đương và dựng kớ hiệu để chỉ sự tương đương của hai bất phương trỡnh đú 
Tương tự:Khi hai hệ bất phương trỡnh cú cựng một tập nghiệm ta cũng núi chỳng tương đương với nhau và dựng kớ hiệu để chỉ sự tương đương đú 
VÍ DỤ 2 :Gi ải hệ phương trỡnh 
3/ Cộng (trừ) 
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trỡnh với cựng một biểu thức mà khụng làm thay đổi điều kiện cựa bất phương trỡnh ta được một bất phương trỡnh tương đương. 
VÍ DỤ 2 (SGK tr 83): Gi ải bất phương trỡnh 
Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là 
Nhận xột .Nếu cộng hai vế của bất phương trỡnh 
P(x) < Q(x) +f(x) với biểu thức –f(x) ta được bất phương trỡnh P(x) –f(x) < Q(x) .Do đú 
4/ Nhõn (chia ) (SGK tr 84) 
Nhõn (chia) hai vế của bất phương trỡnh với cựng một biểu thức luụn nhận giỏ trị dương ( mà khụng làm thay đổi điều kiện của bất phương trỡnh) ta được một bất phươngtrỡnh tương đương. Nhõn ( chia) hai vế của bất phương trỡnh với cựng một biểu thức luụn nhận giỏ trị õm ( mà khụng làm thay đổi điều kiện của bất phương trỡnh) và đổi chiều bất phương trỡnh ta được một bất phương trỡnh tương đương 
Nếu f(x) > 0 với mọi x 
Nếu f(x) < 0 với mọi x 
VÍ DỤ 3(SGK tr 84) : Giải bất phương trỡnh 
Vậy nghiệm của bất phương trỡnh là x < 1 
5. Bỡnh phương : 
Bỡnh phương hai vế của một bất phương trỡnh cú hai vế khụng õm mà khụng làm thay đổi điều kiện của nú ta được một bất phương trỡnh tương đương 
nếu 
VÍ DỤ 4 (SGK tr 85) : Giải bất phương trỡnh 
Vậy nghiệm của bất phương trỡnh là x > 1/4 
6 . Chỳ ý: 
a / Khi biến đổi cỏc biểu thức ở hai vế của một bất phương trỡnh thỡ điều kiện của bất phương trỡnh cú thể bị thay đổi . Vỡ vậy để tỡm nghiệm của một bất phương trỡnh ta phải tỡm cỏc giỏ trị của x thoả món điều kiện của bất phương trỡnh đú và là nghiệm của bất phương trỡnh mới 
VÍ DỤ 5 (SGK tr 85) : Giải bất phương trỡnh 
Giải 
Điều kiện: 
Ta cú: 
Kết hơp điều kiện ta cú hệ: 
Vậy nghiệm của bất pt là 
b/ Khi nhõn (chia) hai vế của bất phương trỡnh P(x) < Q(x) với biễu thức f(x) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f(x) . Nếu f(x) nhận cả giỏ trị dương lẫn giỏ trị õm thỡ ta phải lần lượt xột từng trường hợp . Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trỡnh 
VÍ DỤ 6( SGK tr 86) : Giải bất phương trỡnh: 
Điều kiện: 
Giải 
a/ Khi x-1 <0 x < 1 ta cú ( bptVN) 
b/ Khi x-1 >0 x > 1 
Bpt 
Khi đú ta cú hệ : 
Vậy nghiệm của bất pt là 
c/Khi giải bpt P(x) < Q(x) mà phải bỡnh phương hai vế thỡ ta lần lượt xột hai trường hợp: 
P(x) , Q(x) cựng cú giỏ trị khụng õm , ta bỡnh phương hai vế bất phương trỡnh 
P(x) , Q(x) cựng cú giỏ trị õm ta viết 
P(x) < Q(x) - Q(x) <- P(x) 
Rồi bỡnh phương hai vế bất phương trỡnh mới 
VÍ DỤ 7 (SGK tr87) : Giải bất phương trỡnh: 
Giải 
a/ Khi vế phải của bpt õm vế trai dương nờn trong trường hợp này mọi đều là nghiệm của bất phương trỡnh 
b/ Khi 
bpt 
Ta cú hệ : 
Vậy nghiệm của bất pt là x < 4 
Bài tập trắc nghiệm : 
Khoanh tròn vào đáp án em cho là đúng: 
là: 
Câu 1 : Các số là một nghiệm của bất phuương trình 
C. 2 
D. 5/3 
A. 0 
B. -1 
Câu 2 : Tập nghiệm của bất phuương trình x 2 – 1 ≤ 0 là: 
A. (-1; 1) 
B. [-1; 1) 
C. x ≤ ±1 
D. [-1; 1] 
Câu 3 : Điều kiện của bất phuương trình 
là: 
A. (- ∞; 8/3] 
B. [5/2; 8/3] 
D. [5/2; + ∞) 
C. (5/2; 8/3) 
XIN CHÀO TẠM BIỆT