Bài giảng môn Toán Lớp 10 sách Kết nối tri thức - Chương II - Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

CHƯƠNG I 
§3. Bất phương trình bậc nhất 
 hai ẩn. 
§4. Hệ bất phương trình bậc nhất 
 hai ẩn. 
Bài tập cuối chương 2 
CHƯƠNG I I . BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
BẬC NHẤT HAI ẨN 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ 
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. 
 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
1 
 BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
2 
ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
3 
TOÁN ĐẠI SỐ 
➉ 
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
4 
1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng. 
Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất? 
HĐ1: Gọi và lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hòa theo và . 
Giải: a) Gọi và lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Khi đó ta có , . 
 Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên và cần thỏa đk . 
b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên và phải thỏa mãn điều kiện . 
c) Số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo và là . 
Điều hòa hai chiều 
Điều hòa một chiều 
Giá mua vào 
20 triệu đồng/1 máy 
10 triệu đồng/1 máy 
Lợi nhuận dự kiến 
3,5 triệu đồng/1 máy 
2 triệu đồng/1 máy 
Ví dụ 1. Cho hệ bất phương trình 
a) Hệ trên có phải là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? 
b) Kiểm tra xem cặp số có phải là một nghiệm của hệ bất phương trình trên không. 
Giải: 
a) Hệ bất phương trình đã cho là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và . 
b) Cặp số thỏa mãn cả ba bất phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho. 
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Cặp số là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó. 
Luyện tập 1. Trong tình huống mở đầu , gọi và lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn , và chỉ ra một nghiệm của hệ này. 
Giải 
 Hệ bất phương trình hai ẩn , ở HĐ1 là 
 Cặp số thỏa mãn tất cả các bất phương trình của hệ trên nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình này. 
2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
HĐ2: Cho đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ . Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ và tại hai điểm và . 
Xác định các miền nghiệm , , của các bất phương trình tương ứng ; và . 
b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao của các miền nghiệm , , hay không? 
c) Lấy một điểm trong tam giác (chẳng hạn điểm ) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác (chẳng hạn điểm ) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không: 
Giải 
a) Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm . 
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm . 
Miền nghiệm của bất phương trình 
 là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa độ . 
b) Miền tam giác (H.2.5) là giao của các miền nghiệm , và . 
c) Điểm trong tam giác thỏa mãn tất cả các bất phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình này. 
Điểm trên cạnh của tam giác thỏa mãn tất cả các bất phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình . 
Ví dụ 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ: 
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó. 
Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. 
Giải (H.2.6) 
Bước 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và gạch bỏ miền còn lại. 
 Vẽ đường thẳng . 
 Vì nên tọa độ điểm thỏa mãn bất phương trình . 
 Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ 
 chứa gốc tọa độ . 
Bước 2. Tương tự, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa độ . 
 Bước 3. Tương tự, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm . 
 Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong Hình 2.6. 
Chú ý. Nếu trong HĐ2, hệ được thay bởi thì miền nghiệm sẽ là miền tam giác bỏ đi cạnh . 
Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại. 
Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 
Luyện tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ: 
Giải 
Bước 1. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm . 
Bước 2. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm không kể đường thẳng . 
Bước 3. Xác định miền nghiệm của bất phương trình 
và gạch bỏ miền còn lại. 
Vẽ đường thẳng . 
Vì nên tọa độ điểm thỏa mãn bất phương trình . 
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa độ . 
Bước 4. Tương tự, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa độ không kể đường thẳng . 
Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong hình dưới. 
3. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
HĐ3: Xét biểu thức với thuộc miền tam giác ở HĐ2. Tọa độ ba đỉnh là , và (H.2.5). 
a) Tính giá trị của biểu thức tại mỗi đỉnh , và . 
b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ và tung độ của điểm nằm trong miền tam giác 
c) Nêu nhận xét về tổng của điểm nằm trong miền tam giác . Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của trên miền tam giác . 
Giải 
a) , , . 
b) Điểm nằm trong miền tam giác thì , . Do đó giá trị nhỏ nhất của trên miền tam giác là . 
c) Điểm nằm trong miền tam giác thì . Do đó giá trị lớn nhất của trên miền tam giác là . 
Nhận xét. Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức , với là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác , tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó. 
Ví dụ 3. Giải bài toán ở tình huống mở đầu . 
Giải 
 Giả sử cửa hàng cần nhập số máy điều hòa hai chiều là và số máy điều hòa một chiều là . Khi đó ta có , . 
Vì nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên . 
 Số tiền để nhập hai loại máy điều hòa với số lượng như trên là: (triệu đồng). 
 Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại máy là 1,2 tỉ đồng, nên ta có hay . 
 Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: 
Lợi nhuận thu được khi bán được máy điều hòa hai chiều và máy điều hòa một chiều là . 
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của khi thỏa mãn hệ bất phương trình trên. 
Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Miền nghiệm là miền tứ giác với tọa độ các đỉnh , , và (H.2.7). 
Bước 2. Tính giá trị của biểu thức tại các đỉnh của tứ giác này: , , , . 
Bước 3. So sánh các giá trị thu được của ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là . 
Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hòa hai chiều và 80 máy điều hòa một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất. 
Vận dụng. Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính và , giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không quá 4 tỉ đồng. Loại máy mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng cho mỗi máy bán được. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại 
Giải 
a) Giả sử cửa hàng cần nhập số máy tính loại là và số máy tính loại là . Khi đó ta có , . 
 Số tiền để nhập hai loại máy tính với số lượng như trên là: (triệu đồng). 
 Số vốn ban đầu không quá 4 tỉ đồng, nên ta có hay . 
 Vì tổng nhu cầu hàng tháng không vượt quá 250 máy nên . 
Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: 
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác với tọa độ các đỉnh , , và . 
b) Gọi (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán máy tính loại và máy tính loại . Khi đó . 
c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của khi thỏa mãn hệ bất phương trình trên. 
 Tính giá trị của biểu thức tại các đỉnh của tứ giác : , , , . 
 So sánh các giá trị thu được của , ta được giá trị lớn nhất cần tìm là . 
Vậy cửa hàng mỗi tháng cần nhập 100 máy tính loại và 150 máy tính loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất. 
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? 
a) b) 
c) d) 
Đáp án: 
a) 
d) 
Bài tập 2.4 
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ: 
 b) c) 
Bài tập 2.5 
Bước 1: Vẽ đường thẳng 
 Vì nên tọa độ điểm 
không thỏa mãn bất phương trình 
 Do đó miền nghiệm của của bất phương trình 
là nửa mặt phẳng bờ không chứa gốc tọa độ không kể đường thẳng . 
Bước 2: Vẽ đường thẳng 
 Vì nên tọa độ điểm thỏa bất phương trình 
 Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm không kể bờ . 
Bước 3: Vẽ đường thẳng ( ):y=0 
 Vì -1<0 nên tọa độ điểm (0,-1)thỏa bất phương trình y<0 
 Do đó miền nghiệm của bất phương trình y<0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm không kể bờ Ox. 
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch 
b) 
Bước 1 : Vẽ đường thẳng ( ):x=0 
 Vì 1>0 nên tọa độ điểm (1;0) thỏa bất phương trình x≥0 
 Do đó miền nghiệm của bất phương trình x≥0 
 là nửa mặt phẳng bờ Oy và đường thẳng x=0 chứa điểm (1;0). 
Bước 2: Vẽ đường thẳng ( ):y=0 
 Vì 1>0 nên tọa độ điểm (0,1) thỏa bất phương trình y≥0 
 Do đó miền nghiệm của bất phương trình y≥0 là 
 nửa mặt phẳng bờ Ox và đường thẳng y=0 chứa điểm (0;1). 
Bước 3: Vẽ đường thẳng ( ):2x+y=4 
 Vì 2.0+0=0<4 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình 2x+y≤4 
 Do đó miền nghiệm của của bất phương trình 2x+y≤4 là nửa mặt phẳng bờ và đường thẳng 2x+y=4 chứa gốc tọa độ O. 
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch. 
c) 
Bước 1: Vẽ đường thẳng ( ):x=0 
 Vì 1>0 nên tọa độ điểm (1;0)thỏa bất phương trình x≥0 
 Do đó miền nghiệm của bất phương trình x≥0 là nửa mặt 
phẳng bờ Oy và đường thẳng x=0 chứa điểm (1;0). 
Bước 2: Vẽ đường thẳng ( ):x+y=5 
 Vì 0+0=0<5 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình x+y<5 
 Do đó miền nghiệm của của bất phương trình x+y<5 là nửa mặt phẳng bờ không chứa gốc tọa độ O không kể đường thẳng . 
Bước 3: Vẽ đường thẳng ( ):x-y=0 
 Vì -1-0=-1<0 nên tọa độ điểm (-1;0) thỏa mãn bất phương trình x-y<0 
 Do đó miền nghiệm của của bất phương trình x-y<0 là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm (-1;0) không kể đường thẳng . 
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch. 
 Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. 
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó. 
b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y. 
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất. 
Bài tập 2.6 
Đáp án: 
a) Gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giả sử gia đình này mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì x và y cần thỏa mãn điều kiện: 
 0≤x≤1,6 và 0≤y≤1,1. 
Gia đình này cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là 
 800x+600y≥900 và 200x+400y≥400 
 Hay 8x+6y≥9 và x+2y≥2 
Từ các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán, 
ta có hệ bất phương trình sau: 
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: 
 , , 
(Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD 
(kể cả biên). 
b) (nghìn đồng) 
c) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD. 
 , ta có (nghìn đồng) 
 , ta có (nghìn đồng) 
 , ta có (nghìn đồng) 
 , ta có (nghìn đồng) 
Vậy gia đình đó cần mua kg thịt bò và kg thịt lợn để chi phí là ít nhất.