Bài giảng môn Toán Lớp 10 sách Kết nối tri thức - Chương III - Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I II . HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC 
1 
MỐI QUAN HỆ GIỮA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU 
2 
BÀI TẬP 
3 
TOÁN HÌNH 
➉ 
5 
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA 
MỘT GÓC TỪ 0 0 ĐẾN 180 0 
Giá trị lượng giác của một góc. 
Hai góc bù nhau. 
Nhận biết giác trị lượng giác của một góc từ đến . 
Giải thích hệ thức liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau, bù nhau. 
Sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác của một góc. 
Vận dụng giải một số bài toán có nội dung thực tiễn. 
THUẬT NGỮ 
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG 
Bạn đã biết tỉ số lượng giác của một góc nhọn. Đối với góc tù thì sao? 
Nhắc lại định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn? 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính nằm phía trên trục hoành (H.3.2) được gọi là nửa đường tròn đơn vị. 
Cho trước một góc , . Khi đó, có duy nhất điểm trên nửa đường tròn đơn vị nói trên để . 
1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC 
HĐ1: 
a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau: 
 ; ; . 
b) Khi , nêu mối quan hệ giữa , với hoành độ và tung độ của điểm . 
Khi , điểm thuộc vào cung (bên phải trục tung); 
Khi , điểm thuộc vào cung (bên trái trục tung). 
1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC 
Khi , điểm trùng với điểm . 
 (Vì ); 
b) 
Vì , thuộc tia nên ; thuộc tia nên 
Vậy là hoành độ của của điểm , là tung độ của điểm 
=> Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn cho một góc bất kì từ đến , ta có định nghĩa sau: 
Với mỗi góc , gọi là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho 
 . Khi đó: 
sin của góc là tung độ của điểm , 
 được kí hiệu là ; 
Côsin của góc là hoành độ của điểm , 
được kí hiệu là ; 
Khi (hay là ), tang của là , được kí hiệu là ; 
Khi và (hay là ), côtang của là , được kí hiệu là . 
Từ định nghĩa trên, ta có: 
 ( và ); 
Sau đây là bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt mà em nên nhớ. 
Trong bảng, kí hiệu chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định. 
GTLG 
Bảng 3.1 
Bài giải 
Ví dụ 1. 
Tìm các giá trị lượng giác của góc . 
Gọi là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi tương ứng là hình chiếu vuông góc của lên các trục . 
Vì nên , . Vậy các tam giác là vuông cân với cạnh huyền . 
Từ đó, ta có . Mặt khác, điểm nằm bên trái trục tung nên có tọa độ là . 
Theo định nghĩa, ta có: 
	 ;	 ;	 ;	 . 
Bài giải 
Luyện tập 1. 
Tìm các giá trị lượng giác của góc . 
Gọi là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi tương ứng là hình chiếu vuông góc của lên các trục . 
Vì nên , . Vậy là đường cao của tam giác đều có cạnh bằng 1. 
Từ đó, ta có . Mặt khác, điểm nằm bên trái trục tung nên có tọa độ là . 
Theo định nghĩa, ta có: 
	 ;	 ;	 ; . 
Q 
Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính (đúng hoặc gần đúng) các giá trị lượng giác của một góc và tính góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó. 
Chẳng hạn, với một loại máy tính cầm tay, sau khi mở máy ta cần bấm phím (SETUP) rồi bấm phím 
 để chọn đơn vị đo góc là “độ”. Sau đó tính giá trị lượng giác của góc hoặc tính góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó. 
Tính giá trị lượng giác của một số góc 
Tính 
Bấm phím 
Kết quả 
Tìm góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó: 
Tìm , biết 
Bấm phím 
Kết quả 
Chú ý 
Khi tìm biết , máy tính chỉ đưa ra giá trị . 
Muốn tìm khi biết , , ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím tương ứng bởi phím , 
2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU 
Đối với một góc tùy ý , gọi là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc bù nhau và 
Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm , đối với trục . Từ đó nêu các mối quan hệ giữa và , giữa và . 
Hai điểm , đối xứng nhau trục . Do đó 
 , 
 . 
 ; 
 . 
Hai góc bằng nhau có sin bằng nhau; côsin, tang, côtang đối nhau 
2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU 
Đối với một góc tùy ý , gọi là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc bù nhau và 
Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm , đối với trục . Từ đó nêu các mối quan hệ giữa và , giữa và . 
Hai điểm , đối xứng nhau trục . Do đó 
 , 
 . 
 ; 
 . 
Hai góc bằng nhau có sin bằng nhau; côsin, tang, côtang đối nhau 
Ví dụ 2: Tính các giá trị lượng giác của các góc . 
GỢI Ý TÌM LỜI GIẢI 
Các góc góc bù với các góc nào trong bảng 3.1? Từ đó tính các giá trị lượng giác của góc . 
LỜI GIẢI 
Do các góc tương ứng bù với các góc nên từ bảng 3.1 ta cũng có bảng giá trị lượng giác sau: 
Luyện tập 2: Trong hình 3.6, hai điểm ứng với hai góc phụ nhau và . Chứng minh rằng . Từ đó nêu mối quan hệ giữa và . 
LỜI GIẢI 
Ta có . 
Xét hai tam giác vuông ta có . 
Ta có . 
Do đó 
 , 
 . 
 ; 
 . 
Vận dụng 
Một chiếc đu quay có bán kính , tâm của vòng quay ở độ cao (H 3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét? 
GỢI Ý GIẢI 
Gắn hệ trục vào đu quay ta được một đường tròn lượng giác như hình vẽ 
Đu quay sẽ quay theo chiều dương hoặc theo chiều âm. 
Sửa thành: 
Đu quay sẽ quay cùng chiều hoặc ngược chiều quay của kim đồng hồ 
 Từ đó ta tính được độ cao của người ngồi trong cabin ở vị trí thấp nhất sau khi quay 20 phút. 
Fourth level 
Fifth level 
Vận dụng 
TH1: ĐU QUAY QUAY CÙNG CHIỀU KIM ĐỒNG HỒ 
Sau 20 phút quay cabin đi được một góc là: tức là đến vị trí điểm . Khi đó góc và . Vậy sau phút quay, người đó ở độ cao . 
TH2: ĐU QUAY QUAY NGƯỢC CHIỀU KIM ĐỒNG HỒ 
Sau 20 phút quay cabin đi được một góc là: tức là đến vị trí điểm , đối xứng với qua . là hình chiếu của trên trục . Khi đó góc và . Vậy sau phút quay, người đó ở độ cao . 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
B 
CÂU 1 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 
Giá trị bằng bao nhiêu? 
III 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
B 
CÂU 2 
Tam giác vuông ở có góc Khẳng định nào sau đây là sai ? 
C 
D 
Từ giả thiết suy ra 
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 
C 
D 
Bài giải 
D 
Câu 3 
 Cho và là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai ? 
Hai góc bù nhau và thì cho có giá trị của sin bằng nhau, các giá trị còn lại thì đối nhau. Do đó D sai. 
B 
A 
C âu 4 
Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức 
Từ biểu thức ta suy ra 
Do đó ta có 
B 
A 
C 
D 
D