Bài giảng Toán Lớp 10 - Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất

DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 
§3 D ẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 
1. NHỊ THỨC BẬC NHẤT 
Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b trong đó a; b là hai số đã cho ; 
 Trong các biểu thức sau hãy chỉ ra các nhị thức bậc nhất và các hệ số a, b của nó 
A. f(x) là nhị thức bậc nhất a = -2; b = 1. 
B. g(x) là nhị thức bậc nhất a = 2; b= 1. 
C. h(x) là nhị thức bậc nhất a = 3; b = 0 . 
A.f(x)=-2x+1 
B.g(x)=1+2x 
C.h(x)=3x 
D.p(x)=5 
Bài toán: a. Giải bất phương trình -2x + 3 > 0 và biểu diễn trên trục số tập nghiệm của nó. 
 b. Từ đó hãy chỉ ra các khoảng mà nếu x lấy giá trị trong đó thì nhị thức f(x) = -2x + 3 có giá trị: 
 *. Trái dấu với hệ số của x. 
 * Cùng dấu với hệ số của x 
Lời giải : 
a) 
)////////////////////////////////////////////// 
3/2 
x 
b) * f(x) c ùng dấu với hệ số của x khi x > 3/2 
 * f(x) trái dấu với hệ số của x khi x < 3/2 
 Cho f(x) = (m – 1)x + m – 2. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây 
f(x) là nhị thức bậc nhất khi m > 1. 
B. f(x) là nhị thức bậc nhất khi m < 1. 
C. f(x) là nhị thức bậc nhất khi m = 1. 
D. Cả ba câu trên đều đúng. 
§ 
§ 
S 
S 
2. Dấu của nhị thức bậc nhất 
Định lí 
 Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị 
cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng 
 trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng 
Ch ứ ng minh Ta c ó : f(x)= ax+b = a(x+b/a)V ới x>-b/a thì x+b/a >0 n ên f(x)= a(x+b/a) c ùng dấu với hệ số aV ới x<-b/a thì x+b/a <0 n ên f(x)= a(x+b/a) tr ái dấu với hệ số a 
Bảng xét dấu nhị thức 
 x 
- ∞ -b/a + ∞ 
f(x) = ax+b 
Trái dấu với a 
0 
Cùng dấu với a 
Khi x= -b/a th ì f(x)=0 ta n ói số x 0 = -b/a l à nghiệm của nhị thức f(x).Nghi ệ m x 0 = -b/a chia tr ục s ố l àm 2 kho ảng  
x 
-b/a 
f(x)cùng dấu với a 
f(x) trái dấu với a 
Minh họa bằng đồ thị 
-b/a 
0 
x 
y 
y = ax +b 
-b/a 
0 
(a > 0) 
(a < 0) 
x 
y 
y = ax +b 
3. Áp dụng 
f(x) = 3x +2 
Xét dấu các nhị thức 
 x 
- ∞ -2/3 +∞ 
f(x)=3x+2 
0 
+ 
- 
x < -2/3 thì f(x) < 0 
x > -2/3 thì f(x) > 0 
Giải 
Ta có 
 g(x) = -2x +5 
Giải 
Ta có: 
 x 
- ∞ 5/2 +∞ 
f(x)= -2x + 5 
0 
+ 
- 
x 0 
x > 5/2 thì f(x) < 0 
Ví dụ 1: 
. Xét dấu nhị thức sau: f(x) = mx – 1; với m là một tham số 
 - Nếu m = 0 thì f(x) = -1 < 0, với mọi x 
 -Nếu m ≠ 0 th ì f(x) l à một nhị thức bậc nhất có nghiệm x 0 = 1/m. 
Vậy dấu của f(x) trong trường hợp m > 0; m < 0 như sau: 
m > 0 
x 
f(x) 
- ∞ 1/m +∞ 
m < 0 
x 
f(x) 
- ∞ 1/m +∞ 
- 
- 
+ 
0 
+ 
0 
II. Xét dấu tích; thương các nhị thức bậc nhất 
 Cách xét dấu f(x) là tích các nhị thức bậc nhất 
Bước 1 : Tìm nghiệm của từng nhị thức 
Bước 2: Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức có mặt trong f(x). 
Bước 3:Sắp xếp nghiệm của các nhị thức theo thứ tự từ nhỏ đến lớn; từ trái sang phải 
Bước 4: Phân chia các khoảng cần xét dấu. 
Bước 5: Xét dấu từng nhị thức rồi suy ra dấu của f(x) 
Xét dấu biểu thức: f(x) =(2x-1)(-x+3) 
Ta có: 
x 
- ∞ 1/2 3 +∞ 
2x-1 
 0 
-x+3 
 0 
f(x) 
 0 0 
+ 
+ 
- 
- 
+ 
+ 
- 
+ 
- 
Vậy f(x) > 0 khi 
 f(x) = 0 khi x = 1/2 hoặc x = 3 
 f(x) < 0 khi 
hoặc 
Bảng xét dấu nhị thức 
 x 
- ∞ -b/a +∞ 
f(x)=ax+b 
-b/a 
f(x) trái dấu với a 
f(x) cùng dấu với a 
Trái dấu với a 
0 
Cùng dấu với a 
x 
- ∞ -1/2 1/2 2 +∞ 
1-2x 
 - | - 0 + | + 
x-2 
 - | - | - 0 + 
-2x-1 
 + 0 + | - | - 
1. Khoanh tròn vào các dấu được đánh không đúng trong bảng xét dấu dưới đây 
§3 D ẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT(TT) 
II. Xét dấu tích; thương các nhị thức bậc nhất 
 Cách xét dấu thương các nhị thức bậc nhất 
Bước 1 : Tìm nghiệm của từng nhị thức 
Bước 2: Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức có mặt trong f(x). 
Bước 3:Sắp xếp nghiệm của các nhị thức theo thứ tự từ nhỏ đến lớn; từ trái sang phải 
Bước 4: Phân chia các khoảng cần xét dấu. 
Bước 5: Xét dấu từng nhị thức rồi suy ra dấu của f(x) 
Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức 
Lời giải: 
f(x) không xác định khi x = 5/3 , nghiệm của các nhị thức : 4x-1, x+2 , -3x+5 lần lượt là : 1/4 , -2 , 5/3 
Lập bảng xét dấu: 
x 
- ∞ -2 1/4 5/3 +∞ 
4x-1 
x+2 
-3x+5 
f(x) 
0 
- 
+ 
+ 
- 
0 
+ 
0 
0 
0 
+ 
- 
- 
+ 
+ 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
- 
V ậy : * f(x) > 0 khi hoặc 
 * f(x) = 0 khi x = -2 hoặc x = 
 * f(x) không xác định khi x = 
 * f(x) < 0 khi 
 Hoặc 
III. Áp dụng vào giải bất phương trình 
 1. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức 
 Ví dụ 1: Giải bất phương trình(x-3)(x+1(2-3x)>0	(1) 
Giải 
 Để giải bất phương trình (1),ta lập bảng xét dấu vế trái của (1) 
gọi là P(x) và P(x) =0, ta được 
(x-3)(x+1)(2-3x)=0 x=3 hoặc x = -1 hoặc x = 
 Bảng xét dấu của P(x) 
x 
x-3 
- 
- 
 - + 
x+1 
 - + 
 + 
+ 
2-3x 
+ 
 + - 
- 
P(x) 
 + - + - 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1)là 
 Cách giải : 
Tìm nghiệm của từng nhị thức có trong biểu thức. 
Lập bảng xét dấu cho tất cả nhị thức. 
Kết luận tập nghiệm của bất phương trình. 
a. Bất phương trình tích; 
 Ta xét các bất phương trình có thể đưa về một trong các dạng 
với P(x) là tích của những nhị thức. 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình 
Giải 
Ta có 
x 
x+7 
 - + 
+ 
+ 
x-2 
- 
 - 
 - + 
2x-1 
- 
 - + 
+ 
Vế trái(3) 
 - + - + 
Vậy tập nghiệm của (2) là 
 Cách giải: 
b. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức 
Tìm nghiệm của từng nhị thức có trong biểu thức 
Lập bảng xét dấu cho tất cả nhị thức. 
Kết luận tập nghiệm của bất phương trình ( lưu ý đến các nghiệm của Q(x) làm cho bất phương trình không xác định ) 
Bước 1: 
Bước 2: 
Bước 3: 
 Ta xét các bất phương trình có thể đưa về một trong các dạng 
2) Giải phương trình bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: 
Ví dụ 3 : Giải bất phương trình 
TH1: Với ,ta có 
Kết hợp với điều kiện ta được 
Vậy tập các nghiệm thoả mãn điều kiện đang xét là khoảng 
TH2: Với , ta có 
Kết hợp với điều kiện ,ta được 
Vậy tập các nghiệm thoả mãn điều kiện đang xét là khoảng 
Tóm lại, tập nghiệm của bất phương trình(4) là 
Cách giải: 
* Giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. 
 +Sử dụng định nghĩa của trị tuyệt đối để khử dấu trị tuyệt đối 
 + Chia trường hợp để giải 
+ Giải từng trường hợp 
 + Kết luận tập nghiệm của bất phương trình hay bất phương trình đã cho 
Bài tập về nhà 
Bài 1; 2 ; trang 94 sách giáo khoa lớp 10 đại số