Bài tập Đại số 10 - Chương 3: Phương trình & hệ phương trình

 Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa 
ĐẠI SỐ 10 
Chương 3. 
Phương Trình & 
Hệ Phương Trình 
www.saosangsong.com.vn/
SAVE YOUR TIME&MONEY 
SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL 
SUIT YOUR PACE 
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
2
2
§1. Đại cương về phương trình 
A. Tóm tắt giáo khoa 
 1 Phương trình một ẩn 
 Phương trình một ẩn là phương trình có dạng :f(x) = g(x) ;f(x) và g(x) là những biểu thức của x ; 
x là ẩn 
• 0x là một nghiệm của phương trình khi dẳng thức f( 0x ) = g( 0x ) đúng 
• Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó 
• Một phương trình không có nghiệm nào cả được gọi là phương trình vô nghiệm 
2. Điều kiện của một phương trình 
Cho phương trình f(x) = g(x) .Điều kiện để những biểu thức f(x) ; g(x) có nghĩa được gọi là 
điều kiện của phương trình . 
3. Phương trình tương đương 
 Hai phương trình gọi là tương đương khi tập nghiệm của chúng bằng nhau 
 4. Phép biến đổi tương đương 
 Để giải một phương trình ta thừơng biến đổi phương trình này thành một phương trình tương 
đương đơn giản hơn. Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi tương đương. 
Dưới đây là những biến đổi tương đương thường dùng (cần nhớ là điều kiện của phương trình 
không bị thay đổi ) 
a) Biến đổi đồng nhất ở hai vế 
b) Cộng hay trừ vào hai vế cho cùng một biểu thức 
c) Nhân hay chia hai vế với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0 
Chú ý 
¾ Khi giải một phương trình bằng máy tính và nghiệm viết dưới dạng thập phân ta có thể 
chỉ được một nghiệm gần đúng. 
¾ Khi giải phương trình f(x) = g(x) (1) mà ta không dùng biến đổi tương đương thì có thể 
dẫn đến phương trình h(x) = k(x) (2) trong đó tập nghiệm của (2) chứa tập nghiệm của 
( 1 ) 
 Khi đó (2) gọi là phương trình hệ quả của (1) 
B.Giải toán 
Dạng toán 1:Tìm điều kiện của một phương trình 
Ví dụ 1:Tìm điều kiện của những phương trình sau: 
2 1 11 3
2 2
2 3 0 (
1 1
x x
x x
x xx
x x
− + = +− −
−+ + =+ −
(1)
2)
Giải: 
a) điều kiện của phương trình (1) là: 2 0 2x x− ≠ ⇔ ≠ 
b) điều kiện của phương trình (2) là: 1 0x + ≠ và 1 0x − ≠ ⇔ 1x ≠ − và 1x ≠ 
Ví dụ 2:Tìm điều kiện của những phương trình sau: 
 2 2 3 2 2(1)x x x x− − = − − − 
 13 0
4
x x
x
+ − − =− (2) 
Giải: 
a) điều kiện của phương trình (1) là: 2 0 2x x− ≥ ⇔ ≥ 
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
3
3
b) điều kiện của phương trình (2) là 
3 0 3
3 4
4 0 4
x x
x
x x
⎧ − ≥ ≥⎧⇔ ⇔ ≤ <⎩⎩
Dạng toán 2 : Giải phương trình 
Để giải một phương trình ta thường : 
a) Tìm điều kiện cuả phương trình 
b) Biến đổi tương đương phương trình này thành một phương trình đơn giản hơn và tìm nghiệm 
thỏa điều kiện của phương trình 
Ví dụ 1: Giải những phương trình sau : 
) 2 1
2 2 4) 2
1 1
a x x x
xb x
x x
+ − = + −
++ + =+ +
2(1)
Giải : 
 a) Điều kiện cuà phương trình (1) : 2 0 2x x− ≥ ⇔ ≥ 
 (1) ⇔ x = 1 nghiệm này không thỏa điều kiện của phương trình . 
 Vậy phương trình (1) vô nghiệm 
 b) Điều kiện của phương trình (2) là : x+1≠ 0 ⇔ x≠ -1 
≠ 0 ) (2) x(x+1)+2+2(x+1) = 2x+4 (nhân 2vế với x+1⇔
 ⇔ 2 2 2 2 2 4x x x x+ + + + = + 
 ⇔ 2 0x x+ =
 x(x + 1) = 0 phương trình này có 2 nghiệm x = 0 , x = -1 Nghiệm x = -
1 bị loại vì không thỏa điều kiện của phương trình .Vậy phương trình (2) có một nghiệm là x = 0 
⇔
Ví dụ 2 : Giải những phương trình sau : 
 a)
2 5 3 2 3
2 3
x x x
x
− + = ++ (1) 
 b) 2 2 1 1x x x x x+ − = − + (2) 
Giải : 
 a) điều kiện của phương trình (1) là: 2x + 3 > 0⇔ x > - 3
2
 (1) ⇔ 2 5 3 2 3x x− + = + (nhân 2 vế với 2 3x + ) x
 ⇔ 2 7 0x x− =
( 7) 0x x⇔ − =
⇔
 x = 0 ; x = 7 Cả 2 nghiệm này đều thỏa điều kiện của phương trình (1) 
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là : x = 0 ; x = 7 
 b)điều kiện của phương trình (2) là :
1 0 1
1
1 0 1
x x
x
x x
⎧ − ≥ ≥⎧⇔ ⇔ =⎨ ⎨− ≥ ≤⎩⎩
Thế giá trị x = 1 vào phương trình (2) ta được đẳng thức đúng .Vậy phương trình (2 ) có nghiệm 
duy nhất là x = 1 
C. Bài tập rèn luyện : 
 3.1. Giải những phương trình sau: 
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
4
4
2 2
2
3
3 3) 1 4 1 )
1 1
2 2 4) 2 2 ) )
3 3 4
+ − = + − + = − ++ +
+ −+ − = + − + = = −− − −
a x x x b x x
x x
x xc x x x x d x e x
x x x
4
3.2 .Giải những phương trình sau : 
 2) 3 3 3a x x x x− − = − + 3) 2 4 2b x x x+ − = + − 
3.3. Tìm tập nghiệm của 2 phương trình sau: 9 3(x x+ = − 1) và x + 9 = (2) 2( 3)x −
Hai phương trình này có tương đương không ? 
3.4 Tìm tập nghiệm của 2 phương trình sau : 4 24 2x x+ = + (1) 4 2 24 ( 2) (2)x x+ = +
x
 và 
Hai phương trình này có tương đương không ? 
D. Hướng dẫn giải hay đáp số 
3.1. a) x = 2 . b) x = 0 . c) vô nghiệm . d) x = 0 ; x = 4 . e) vô nghiệm 
3.2 a) x = 3 b) vô nghiệm 
3.3 điều kiện của phương trình (1) là : 3 0 3x − ≥ ⇔ ≥ 
 (1) 
2
2
2
9 ( 3)
9 6
7 0
0; 7
x x
9x x x
x x
x x
⇔ + = −
⇔ + = − +
⇔ − =
⇔ = =
 x = 0 (loại) 
 Tập nghiệm của (1) là { }7 
x R∈ Điều kiện của phương trình (2) là 
 Tập nghiệm của (2) là { }0,7 
 Vậy 2 phương trình này không tương đương 
 3.4. điều kiện của cả hai phương trình này đều là : x R∈ 
 (1) 4 4 2(2) 4 4 4 0x x x x⇔ ⇔ + = + + ⇔ =
 Tập nghiệm của cả hai phương trình đều là { }0 
 Hai phương trình này tương đương 
§2. Phương trình bậc nhất . Phương trình bậc hai . 
A .Tóm tắt giáo khoa 
 1 .Giải và biện luận phương trình dạng :ax+b=0 
 Cách giải và biện luận được tóm tắt trong bảng sau : 
 2 .Phương trình bậc hai . 
 ax + b = 0 
 a 0 ≠ Có nghiệm x = b
a
− 
 a = 0 • b≠ 0 :vô nghiệm 
• b = 0 :tập nghiệm là R 
 a) Định nghĩa và công thức nghiệm 
 Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng : 2ax bx+ + c = 0 
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
5
5
 Cách giải và công thức nghiệm của phương trình này được cho trong bảng sau : 
2 0ax bx c+ + = 
 Kết luận Biệt thức 2 4b aΔ = − c
 • Hai nghiệm phân biệt 
2
1,2
4
2
b b acx
a
− ± −= 
 0Δ ≥ 
 0Δ = 
• Nghiệm kép x = 
2
b
a
− 0Δ < • Vô nghiệm 
 b) Định lý Viét và ứng dụng : 
1 2,x x thì : Định lý : Nếu phương trình bậc hai 
2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm 
 1 2 1 2; .
b cS x x P x x
a a
= + = − = = 
 Ưng dụng : Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là nghiệm của 
phương trình 2 0x Sx P− + = : 
 Chú ý : Tính nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai 
• Nếu a + b + c = 0 thì phương trình 2 0ax bx c+ + = có một nghiệm và nghiệm 1 1x =
kia là 2
cx
a
= 
• Nếu a – b + c = 0 thì phương trình 2 0ax bx c+ + = có một nghiệm và nghiệm 1 1x = −
kia là 2
cx
a
= − 
 c) Phương trình trùng phương : 
4 2 0ax bx c+ + = Đó là những phương trình có dạng : 
 Cách giải : Đặt y = 2x với điều kiện y≥ ta được một phương trình bậc hai theo y , giải phươ ng 0
trình này ta tìm được y , từ đó suy ra x 
B. Giải toán 
Dạng toán 1 : Giải và biện luận phương trình ax+b = 0 
Ví dụ 1 : Giải và biện luận phương trình : mx - 5m = 3x + 4 (1) 
Giải : 
 (1) ( 3) 5 4m x m⇔ − = +
 m ≠ 3 : 5 4
3
mx
m
+= − 
 m = 3 : 0x = 19 vô nghiệm 
 Vậy : 
• m≠ 3 : phương trình (1) có nghiệm là x = 5 4
3
m
m
+
− 
• m = 3 : phương trình (1) vô nghiệm 
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình : mx + 4 = 2x + (2) 2m
Giải : 
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
6
6
 2(2) ( 2) 4m x m⇔ − = −
• m 2 : x ≠
2 4 ( 2)( 2) 2
2 2
m m m m
m m
− − += = =− − + 
• m = 2 : 0x = 0 : phương trình có nghiệm là x R∈ 
Ví dụ 3 : Giải và biện luận phương trình : m x2 1m x− = +
1
 (3) 
Giải: 
 (3) ⇔ 2( 1)m x m− = +
• : x =2 1 0 1m m− ≠ ⇔ ≠ ± 2 1 11 ( 1)( 1) 1
m m
m m m m
1+ += =− + − − 
• 
2 1 0 1
1: 0 2
− = ⇔ = ±
= = ∈∅
m m
m x x
 x 1: 0 0m x= − = ⇔ R∈ 
Vậy : * m phương trình (3) có nghiệm là :x≠ 1± 1
1m
= − 
 * m = 1 : phương trình (3) vô nghiệm 
 * m = -1 : phương trình (3) có nghiệm là x R∈ 
Dạng toán 2 : Giài và biện luận phương trình 2 0ax bx c+ = +
2 22 2(2 1) 2 5 0x m x mVí dụ 1 : Giải và biện luận phương trình sau : − + + + =
m m m+ + − −
Giải : 
 / 2 2(2 1) 2(2 5)m mΔ = + − +
 = 2 24 4 1 4 10
 = 4m -9 
• / 90 :
4
mΔ < ⇔ < phương trình vô nghiệm 
 : phương trình có nghiệm kép 
92 12 1 14
2 2
mx
++ 1
4
= = = • / 90
4
mΔ = ⇔ =
• / 90
4
mΔ > ⇔ > : phương trình có hai nghiệm 
 1
2 1 4 9
2
m mx + − −= : 
2
2 1 4 9
2
m mx + + −=
m x m
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình sau : mx2 (2 1) 3 0− + − =
m
 −
Giải : 
 m = 0 : phương trình thành 3 0 3x x− = ⇔ =
 2 2 20 : (2 1) 4 ( 3) 4 4 1 4 12 8 1m m m m m m m m≠ Δ = − − − = − + − + = +
• 10
8
mΔ < ⇔ < − : phương trình vô nghiệm 
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
7
7
• 10
8
mΔ = ⇔ = − phương trình có nghiệm kép 
12( ) 12 1 8 512 2( )
8
mx
m
− −−= = =
−
• 10
8
mΔ > ⇔ > − : phương trình có hai nghiệm 
1 2
2 1 8 1 2 1 8 1;
2 2
m m m mx x
m m
− − + − + += = 
Ví dụ 3 : Cho phương trình : 2 2(2 1) 2 0x m x m m− + + + − =
Chứng minh rằng phương trình này luôn có hai nghiệm 1 2,x x .Định m để hai nghiệm này thỏa điều 
 kiện : 1 23x x< < 
Giải : 
 2 2 2 2(2 1) 4( 2) 4 4 1 4 4 8 9 0m m m m m m mΔ = + − + − = + + − − + = >
 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm : 1 2
2 1 3 2 1 31; 2
2 2
m mx m x+ m− + += − = = + 1 2 ) ( x x< =
 Theo đề bài ta phải có : 1 3 2 1 4m m m− < < + ⇔ < <
Dạng toán 3 :Phương trình đưa về bậc nhất ,bậc hai 
 *Ví dụ 1 : Giải và biện luận những phương trình sau : 
 a) 3 33 2
1 1
x xx m x
x x
+ + + = ++ + (1) 
 b) 2 22
1 1
x m
x x
+ = + +− −
1 0 1x x
 (2) 
Giải : 
+ a) điều kiện của phương trình (1) là : ≠ ⇔ ≠ −
3x m+
3 1 4m m+ ≠ − ⇔ ≠ −
3 1 4m m+ = − ⇔ = −
 (1)⇔ = 
• Nếu nghiệm x = m+3 nhận được 
• Nếu nghiệm x = m+3 không thỏa điều kiện của phương trình nên bị 
loại 
Vậy : phương trình có nghiệm là x = m+3 4m ≠ −
 m = - 4 phương trình vô nghiệm 
 b)điều kiện của phương trình (2) là : 1 0 1x x− > ⇔ > 
 (2) 2x m⇔ = +
2 1 1m m+ > ⇔ > −
2 1 1m m+ < ⇔ < −
• Nếu nghiệm x = m+2 nhận được 
• Nếu nghiệm x = m+2 không thỏa điều kiện của phương trình nên bị loại 
Vậy : m > -1 phương trình có nghiệm là x = m+2 
 m < -1 phương trình vô nghiệm 
*Ví dụ 2 : Giải và biện luận những phương trình sau : 
 a) 1 3 3
1 1
mx mx m 1
x x
− ++ + =− − (1) 
 b) 2 25 52 2 3 3
2 2
x mx x m m
x x
− + + = + − −− − (2) 
Giải : 
 Điều kiện của phương trình (1) là : 1 0 1x x− ≠ ⇔ ≠ 
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
8
8
 (1) ( )⇔ ( 1) 1 3 3x m x mx m 1+ − + = − +
1 2 3 3x x mx m mx m⇔ − + − = − +
 2 (2 1) 2 0x m x m⇔ − + + =
 1 21; 2x x⇔ = = m ( vì a + b + c = 0 ) 
Nghiệm (loại vì không thỏa điều kiện của phương trình (1) ) 1 1x =
Nghiệm 2 2x m= nhận được khi 2m 11 2m≠ ⇔ ≠ 
Vậy : 1
2
m phương trình (1) có một nghiệm là ≠ 2 2x m= 
 1
2
m = phương trình vô nghiệm 
 b) Điều kiện của phương trình ... nước là 
2
1
2
km/giờ 
*Dạng toán 5 : Giải hệ phương trình bậc hai 
Ta thường chỉ gặp các dạng giải được bằng phép thế hoặc bằng phép đặt ẩn số phụ, thường là đặt 
S = x + y và P = xy.: 
*Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau : 
 2 2 2 2
2 1 3 6
) )
19 2 3 18 0
x y x y
a b
x xy y x xy y
− = + =⎧ ⎧⎨ ⎨− + = + − + =⎩ ⎩
(Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai ) 
Giải : 
 a) Hệ phương trình cho tương đương hệ 
 2 2 2
2 1 2 1
(2 1) (2 1) 19 6 0 (*)
y x y x
x x x x x x
⎧ = − = −⎧⇔⎨ ⎨− − + − = − − =⎩⎩
2 2 2
6 3 6 3
2(6 3 ) 3(6 3 ) 18 0 4 27 45 0(**)
x y x y
y y y y y y
⎧ = − = −⎧⇔⎨ ⎨− + − − + = − + =⎩⎩
 Phương trình (*) cho : x = - 2 ; x = 3 . 
 Với x = - 2 , ta có : y = 2(-2)-1 = -5 ; với x = 3 ; y = 2(3) - 1 = 5 
 Vậy hệ phương trình này có hai nghiệm là : ( - 2 , - 5 ) ; ( 3 , 5 ) 
 b) Hệ phương trình cho tương đương hệ : 
Phương trình (**) cho :y = 3 ; y = 15 
4
Với y = 3 , ta có x = 6 – 3(3) = -3 ; với y = 15 15 21; 6 3( )
4 4 4
x −= − = 
Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là : ( -3 , 3 ) ; 21 15( , )
4 4
− 
*Ví dụ 2 : Giải các hệ phương trình sau : 
 2 2
4
17
) )1 1 16
65
7
x y
xy x y
a b
x y
x y
+ =⎧ = + +⎧⎪⎨ ⎨+ = + =⎩⎪⎩
(các hệ phương trình này được gọi là hệ phương trình đối xứng ) 
Giải : 
 a) Đặt S = x + y ; P = xy . hệ phương trình thành : 
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
19
19
4 4
16 7
7 4
S S
S P
P
=⎧ =⎧⎪ ⎪⇔⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎩⎩
 Vậy x , y là nghiệm của phương trình : 2 7 14 0 ;
4 2
X X X X 7
2
− + = ⇔ = = 
 Do đó hệ có hai nghiệm là : 1 7 7 1( , ) ; ( , )
2 2 2 2
 b) Tương tự như trên , hệ phương trình thành : 
 2 2
17 7 9 11
2 65 2 99 0 8 28
P S P S S S
hay
S P S S P P
⎧ ⎧= + = + ⎧ = − =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨− = − − = = =⎩⎪ ⎩⎪ ⎩⎩
 Với S = - 9 ; P = 8 . x , y là nghiệm của phương trình : •
 2 9 8 0 1 ;X X X X+ + = ⇔ = − = −8
 Tương ứng hệ có hai nghiệm là : ( -1 , - 8 ) ; ( - 8 , - 1 ) 
 Với S = 11 ; P = 28 : x , y là nghiệm của phương trình : •
 2 11 28 0 7 ; 4X X X X− + = ⇔ = =
 Tương ứng hệ có hai nghiệm là : ( 7 , 4 ) ; ( 4 , 7 ) 
 Tóm lại hệ có bốn nghiệm là : ( -1 , -8 ) ; ( -8 , -1 ) ; ( 7 , 4 ) ; ( 4 , 7 ) 
 Chú ý : Với hệ phương trình đối xứng (là hệ mà các phương trình đều không đổi khi ta hoán vị 
hai ẩn x và y) , ta thường biến đổi thành hệ chứa S và P ( S = x + y ; P = xy ) . Biết S và P ta sẽ tìm 
được x , y 
C . Bài tập rèn luyện 
3.15 . Giải những phương trình sau 
 a) 2x – y = 6 ; ,x y R∈ * b) 3x – 2y = 6 ; ,x y Z∈ 
3.16 .Giải những hệ phương trình sau : 
 a) 
5 7 22 3 4 2
)
5 2 4 5 2 12
x y x y
b
x y x y
⎧ + = − = −⎧⎨ ⎨− = + = −⎩⎩
3 .17 .Giải những hệ phương trình sau : 
2 1 2 53 3
2 2 1
) )
4 3 3 21 5
2 2 1
x y x y x y
a b
x y x y x y
⎧ ⎧+ = − = −⎪ ⎪+ + −⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪− = + =⎪ ⎪+ + −⎩⎩
2 2 5 5 3 30
) 3 5 4 ) 3 3 16
7 4 16 4 2 3 23
x y z x y z
a x y z b x y z
x y z x y z
⎧ + + = − + =⎧⎪ ⎪− + = − + + =⎨ ⎨⎪ ⎪+ − = − + =⎩⎩
3 18 .Giải những hệ phương trình sau : 
3 .19 .Một dung dịch 90% axít pha với nước tạo thành dung dịch 60 % axít Khi đổ thêm 2 lít nước 
để pha loãng hơn nữa thì dung dịch thành 40 % axít Hỏi lượng nước đổ vào để dung dịch 90% 
axít xuống còn 60% axít là bao nhiêu ? 
3 .20 .Nếu tử số cùa một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 
1
4
 Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 5
24
 Tìm phân số đó 
D . Hướng dẫn hay đáp số 
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
20
20
3 .15 . a) , 2 6 ; ) 2 ; 3 3 ,x R y x b x n y n n Z∈ = − = = − ∈ 
3.16 a) 
8 ;
5
x y= = 2 b) x = - 2; y = - 1 
3 .17 a) 
1
3
x y= = b) x = 1 ; y = 2 
3 .18 .a) Hệ cho tương đương hệ 
3
4 3 9 2 3 2
2 4 2 4
7 4 16 7 4 16 3
2
xx y x
x y x y y
x y z x y z z
⎧ ⎧ ⎧
1
=⎪ ⎪ ⎪+ = =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ = ⇔ + = ⇔ =⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪+ − = + − =⎪ ⎪ ⎪ = −⎪ ⎩⎪ ⎩⎩
 b) Hệ có vô số nghiệm 
3 .19 . Gọi x (lít) là lượng nước có trong dung dịch 90 % axít và y (lít) là lượng nước 
đổ thêm Lượng axít có trong dung dịch là không đổi nên ta có phương trình 
0,9x = 0,6(x+y) = 0,4(x+y+2) giải ra ta có :
8 4;
3 3
x y= = 
3 .20 .Phân số phải tìm là 
3
16
§4. Trắc nghiệm cuối chương 
A. Câu hỏi . 
1 .Cho phương trình 
1 2
x xx
x x
+ =− − Điều kiện của phương trình này là 
 a . b . 0x ≠ 1x ≠ c . 2x ≠ d . 1x ≠ và 2x ≠ 
2 .Cho phương trình 
2 9
2 2
x
x x
= − ) Nếu a là nghiệm của phương trình thì bằng : 
2( 2a a+−
 a .15 b .10 c. 3 d . Một đáp số khác 
3 .Cho 3 phương trình : 
 2 4 2x x x+ − = + − (1) 
2 22 1 5 1x x x+ + = + + (2) 
2 23 1 4 1x x x− − = − − −
2
 (3) 
 Trong 3 phương trình này có bao nhiêu phương trình vô nghiệm 
 a .O b .1 c .2 d .3 
4 .Cho phương trình 2 4m x m x+ = + Phương trình này vô nghiệm khi m bằng : 
 a .2 b .0 c .4 d .Một đáp số khác 
5 .Cho phương trình Để phương trình này có hai nghiệm đều lớn hơn 2 (3 1) 3 0x m x m− + + = 1
2
 thì 
m phải thỏa điều kiện nào dưới đây 
 a . 1
6
m > b . 1
6
m < c . 1
6
m > − d . 2m < −
6 .Cho phương trình bậc nhất 2 ẩn : 2x + y = 3 và những cặp số (2,-2) ;(5.-7) ; (1,1) ; (1,4 ) ; (3,-
3) . Trong những cặp số này có bao nhiêu cặp là nghiệm của phương trình trên ? 
 a .1 b .2 c.3 d .Một đáp số khác 
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
21
21
7 .Cho phương trình Nếu phương trình này có hai nghiệm đều lớn hơn -3 
thì m phải thỏa điều kiện nào dưới đây : 
2 (2 1) 2 0x m x m+ + + =
 a .m < 3
2
 b .m > 3
2
− c . m - 3 
8 .Cho phương trình : 2 2 2006 0x x− − = có 2 nghiệm là 1 2;x x thì 2 21 2( )x x+ bằng 
 a .-4008 b .2008 c .4008 d.Một đáp số khác 
9 .Cho phương trình mx + 2 = 3x - 2m . Để phương trình này có nghiệm duy nhất thì ( ) 
phải 
2 2m m+
khác số nào dưới đây : 
 a .15 b .3 c .14 d .16 
10 .Cho phương trình 2m(x+1) = x + m . Nếu phương trình này có nghiệm duy nhất thì nghiệm này 
là : 
 a .
2 1
m
m
−
− b .
1
2
m
m
+ c .
2 1
m
m − d. 2 1
m
m
−
+ 
 11 .Chohệ phương trình : . Nếu 
100 2 3
93 10
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩ 0 0( , )x y là nghiệm của hệ th ( 7 0 0x y+ ) bằng : 
 a .7 b .-7 c .11 d .Một đáp số khác 
 12 .Cho hệ phương trình Nếu 
2 4
5
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩ 0 0( , )x y là nghiệm của hệ thì
2
0 0( )x y+
2
 bằng : 
 a .8 b .9 c .10 d .Một đáp số khác 
 13 ,Cho phương trình Nếu phương trình này có 2 nghiệm là2(2 1) ( 3)x x+ = + 1 2 1 2; ( )x x x x< thì 
2
1(9 3 )1x x+ bằng : 
 a .6 b .- 6 c.12 d .Một đáp số khác 
 14 .Cho phương trình : x 1 2 3x− = + Nếu a là nghiệm của phương trình thì a thỏa điều kiện nào 
dưới đây : 
 a) .- 5 < a < - 3 b).- 1 < a <0 c ).- 1 < a < 2
3
− d.) 0 < a < 1 
 15 Cho phương trình m x Biết rằng phương trình này có nghiệm là2 6 4 3x m+ = + x R∈ Thế thì m 
thỏa điều kiện nào dưới đây ? 
 a).1< m < 3 b) .-3< m < - 1 c ).3 < m < 5 d ) -5 < m < - 3 
 16 . Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 22m và có diện tích bằng 24 Cạnh lớn của 
hình chữ nhật có độ dài là b (đơn vị dùng là mét).b thỏa điều kiện nào dưới đây ? 
2m
 a) .4 < b < 6 b) .5 < b < 7 c ).7 < b < 9 d ).8 < b < 9 
17 .Một phân số có tử số bằng 5 Nếu cộng thêm 8 vào mẫu số ta được một phân số nhỏ hơn phân số 
cũ là 2 .Mẫu số của phân số này bằng : 
 a).3 b ).6 c ).9 d ).Một đáp số khác 
18 .Cho phương trình .Số nghiệm của phương trình này là : 2 2 2( 1) 3( 1) 2x x+ + + + = 0
 a) . 0 b) .1 c) . 2 d) . 4 
19 . Cho phương trình 4 2(2 1) 2 0x m x m− + + = . Nếu phương trình này có 4 nghiệm phân biệt thì m 
phải thỏa điều kiện nào dưới đây 
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
22
22
0
1). ). 0 ). ). 12
2
m
a m R b m c m d
m
>⎧⎪∈ > ≠ ⎨ ≠⎪⎩
 20 . Cho phương trình Nếu a , b là hai nghiệm phân biệt của phương trình này 
thì (a+b) sẽ bằng : 
4( 2) (2 1)x x+ = + 4
 a) . 3 b) . 2 c) . 0 d). 1 
 B. Bảng trả lời 
 1 .d 2c 3b 4d 5a 6 c 7a 8 d 9 a 10a 
 11 .b 12d 13c 14b 15a 16c 17d 18a 19d 20c 
C. Hướng dẫn giải 
1(d) Điều kiện của phương trình là : 1x ≠ và 2x ≠ 
2(c ) .Điều kiện của phương trình (1) là 2 0 2x x− > ⇔ < phương trình thành 
 a= -3 2 9 3(x x x= ⇔ = − < 2) 32 2 9 6a a+ = − =
3(b) .Điều kiện của phương trình (1) là : 2x ≤ phương trình (1) thành x = 4 (loại) 
 phương trình (1) vô nghiệm 
 Điều kiện của phương trình (2) là : x R∈ phương trình (2) thàn 52 5
2
x x= ⇔ = phương 
trình (2) có nghiệm. 
Điều kiện của phương trình (3) là : phương trình (3) thành 2 1x ≥ 24 16( )
3 9
x x x−= − ⇔ = =
2 ) 2m x m− = −
3 4 thỏa 
điều kiện ; phương trình (3) có nghiệm Vậy chỉ có một phương trình vô nghiệm 
4(d) .Viết phương trình thành ( 4 phương trình vô nghiệm khi 
2 4 0
2
2 0
m
m
m
⎧ − = ⇔ = −⎨ − ≠⎩
5(a).Phương trình này có hai nghiệm là :1 và 3m. Do đó ta phải có 3m > 1 1
2 6
m⇔ > 
6(c) .Ta viết y = 3 - 2x Do đó các cặp số (1,1) ;(3,-3) ;(5 ,-7) thỏa đẳng thức này nên là nghiệm . 
Vậy trong những cặp số này có 3 nghiệm 
7(a) .Phương trình này có hai nghiệm là - 1 và - 2m Ta phải có ;- 2m > - 3
3
2
m⇔ > 
8(d).Tacó mà 1 2
1 2
2
. 2006
x x
x x
+ =⎧⎨ = −⎩
23 ( 2 ) 15m m m≠ ⇒ + ≠
2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 4 4012 4016x x x x x x+ = + − = + =
 9(a) .Viết phương trình này thành (m-3)x = - 2m - 2 ; phương trình này có nghiệm duy nhất nên 
10(a) .Viết phương trình thành (2m-1)x = -m nghiệm là 
2 1
mx
m
−= − 
11(b) .Ta có (Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ) 0 0 0 0
0 0
100 2 3
7
93 10
x y
x y
x y
+ =⎧ ⇒ + = −⎨ + =⎩
7
12(d) .Hệ này có nghiệm là 20 0 0 01; 6 7x y x y= − = ⇒ + =
Chương 3.Phương trình và hệ phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
23
23
13(c) .Viết phương trình thành dạng: 
2 2
1 2
4(2 1) ( 3) 0 (3 4)( 2) 0 ;
3
x x x x x x 2−+ − + = ⇔ + − = ⇔ = = 
Suy ra 21 1(9 3 ) 16 4 12x x+ = − =
14(b) .Nếu x>1 phương trình thành x -1 = 2x + 3 nghiệm là x = - 4 (loại vì x >1) 
Nếu 1x ≤ phương trình thành 1-x =2x+3 nghiệm là 2
3
x −= (nhận) a = 2
3
−
x15(a) .Viết phương trình thành Phương trình này có nghiệm là 2( 4) 3m x m− = − 6 R∈ khi : 
2 4 0
2
3 6 0
m
m
m
⎧ − = ⇔ =⎨ − =⎩
16(c) .Ta có 
11
3; 8
. 24
a b
a b
a b
+ =⎧ ⇔ = =⎨ =⎩
17(d) .Đặt x là mẫu số ,ta có phương trình 
 2
5 52 8 20 0 2;
8
x x x x 10
x x
− = ⇔ + − = ⇔ = = −+ 
Vậy mẫu số có thể bằng 2 hoặc bằng -10 
18(a). phương trình này vô nghiệm vì 2 1 0x + > 
19(d) . Đặt t = 2x phương trình thành 
 2 1 2(2 1) 2 0 1; 2 ( 0)t m t m t t m do a b c− + + = ⇔ = = + + =
Phương trình cho có 4 nghiệm phân biệt khi 
 2
2
00 2 0
11 2 1
2
mt m
t m m
⎧ ⎧ >⎧> >⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨≠ ≠ ≠⎪ ⎪ ⎪⎩⎩⎩
[ ][ ]
4 4 2 2 2 2
2 2
1 2
( 2) (2 1) ( 2) (2 1) (2 1) ( 2) 0
(2 1) ( 2) (2 1) ( 2) 0
( ( 2) (2 1) 0)
3( 1)( 1) 0 1; 1
x x x x x x
x x x x
do x x
x x x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + ⇔ + + + + − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇔ + + + + − + =
+ + + ≠
⇔ + − = ⇔ = − =
20(c) 
 Vậy a+b = 0