Bài tập Đại số 10 - Cơ bản & nâng cao- Góc lượng giác & công thức lượng giác

- 42 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác 
 °. cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosAcosBcosC. 
 ±. cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC. 
 ². cos 2A cos 2CB− + cos 2B cos 2AC− + cos 2C cos 2BA− = sinA + sinB + sinC. 
 ³. sinA sin B sinC Acot cot
sinA sin B sinC 2 2
+ + Β=+ − . 
 Chứng minh ΔABC vuông tại A nếu và chỉ nếu sinA = sin B sinC
cosB cosC
+
+ . 
 Chứng minh biểu thức sin(250o + α)cos(200o – α) – cos240ocos(220o – 2α) 
không phụ thuộc vào α. 
 Chứng minh: ¬. sin84osin24osin48osin12o = . 
 −. sin10o + sin20o + sin30o + sin40o + sin50o = 
o
o
1 sin 25
2 sin5
. 
 ®. sin10αsin8α + sin8αsin6α – sin4αsin2α = 2cos2αsin6αsin10α. 
 ¯. 2cos22αcosα – cos5αcos4α – cos4αcos3α = 2cosαsin2αsin6α. 
 ΔABC có 4A = 2B = C. Chứng minh rằng: 
 ¬. 1 1 1
a b c
= + −. cos2A + cos2B + cos2C = . 
 Chứng minh mệnh đề sau: «Điều kiện cần và đủ để một trong các góc của 
ΔABC bằng 60o là sin3A + sin3B + sin3C = 0». 
 Chứng minh rằng ΔABC là tam giác đều nếu các góc của nó thoả: 
 ¬. sin  sin  sin  = . −. cosAcosBcosC = sin  sin  sin  . 
 Chứng minh rằng ΔABC cân nếu các góc của nó thoả hệ thức: 
tan2A + tan2B = 2tan2 A B
2
+ . 
 Chứng minh rằng ΔABC vuông hoặc cân nếu: 
acosB – bcosA = asinA – bsinB 
trong đó a, b, c lần lượt là các cạnh đối diện với các góc A, B, C. 
 Tính số đo góc C của ΔABC biết sinA + sinB + sinC – 2sin  sin  = 2sin  . 
 Tìm các góc của ΔABC nếu: sinA + sinB – cosC = . 
 Nếu A, B, C là 3 góc của ΔABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
P = 3cosA + 3(cosB + cosC). 6 
Trường THPT Nguyễn Hữu Huân 
Vũ Mạnh Hùng 
 Bài Tập 
Cơ Bản & Nâng Cao 
-09/2006 
10
Vũ Mạnh Hùng - 41 - 
 ´. o o
1 1
sin18 cos36
− = 2. !0. tanα + cotα + tan3α + cot3α = 
28cos 2
sin 6
α
α . 
 !1. sin 2 sin 3 sin 4
cos2 cos3 cos4
α − α + α
α − α + α = tan3α. !2. 2
sin 2 sin5 sin3
cos 1 2sin 2
α + α − α
α + − α = 2sinα. 
 !3. cos6 cos7 cos8 cos9
sin 6 sin 7 sin8 sin 9
α − α − α + α
α − α − α + α = cot  . 
 !4. 2sin 2 sin 4
2(cos cos3 )
α + α
α + α = tan2αcosα. !5. 
2 2 3
2 2
2 3
2
cot cot
1 cot
α α
α
−
+ = 8cos
2cosα. 
 !6. 
o o o o o
o o o o
cos28 cos56 cos2 cos4 3 sin38
sin 2 sin 28 4sin 2 sin 28
+ = . 
 !7. 16cos3α.sin2α = 2cosα – cos3α – cos5α. 
 !8. (cosα – cosβ)2 – (sinα – sinβ)2 = – 4sin2cos(α + β). 
 Đơn giản biểu thức: 
 ¬. sin sin 3
cos cos3
α + α
α + α . −. 
cos4 cos2
sin 2 sin 4
α − α
α + α . ®. 
cosm cosn
sin n sinm
α − α
α − α . 
 ¯. cos3 cos4 cos5
sin 3 sin 4 sin 5
α + α + α
α + α + α . °. 
22(sin 2 2cos 1)
cos sin cos3 sin3
α + α −
α − α − α + α . 
 ±. 2
1 cos cos2 cos3
cos 2cos 1
+ α + α + α
α + α − . ². 2
sin 2 cos2 cos6 sin 6
sin 4 2sin 2 1
α + α − α − α
α + α − . 
 ³. sin(2 2 ) 2sin(4 ) sin(6 4 )
cos(6 2 ) 2cos(4 ) cos(6 4 )
α + π + α − π + α + π
π − α + α − π + α − π . 
 ´. sin(2 ) sin(2 ) cos( 2 )
cos(2 ) cos(2 ) sin( 2 )
α +β + α −β − − α
α +β + α −β − + α

 . 
 Biến đổi thành tích: 
 ¬. 3 – 4cos2α. −. 1  + si n  – 1 –  si n  (0 < α ≤ π). 
 ®. 6sin22α – 1 – cos4α. ¯. 2cos22α + 3cos4α – 3 
°. sin6α – 23 cos23α + 3. ±. cos2    – sin2    
². 1 + sin2a – cos2a – tan2a. ³. cos22α + 3cos18α + 3cos14α + cos10α. 
 Chứng minh trong ΔABC: 
 ¬. sinA + sinB + sinC = 4cos  cos  cos  . 
 −. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC. 
 ®. sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC. 
 ¯. cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin  sin  sin . 
- 40 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác 
 Chứng minh: 
 ¬. sin5osin55osin65o = sin15o. −. cos5ocos55ocos65o = cos15o. 
 ®. cos( – )sin( – )sin = sin  . 
 ¯. 4cos( – α)sin( – α) = sin 3
sin
α
α . °. 1 – 2sin50
o = o
1
2cos160
. 
 ±. 
o
o o
sin(80 4 )
4sin(20 )sin(70 )
+ α
+α −α = cos(40
o + 2α). 
 ². sin2α + cos( – α)cos( + α) = . 
 ³. sin22α – cos( – 2α)sin(2α – ) = . ´. sinαsin3α = sin22α – sin2α. 
 !0. cos2(45o – α) – cos2(60o + α) – cos75osin(75o – 2α) = sin2α. 
 !1. cos2αcosα – sin4αsinα – cos3αcos2α = 0. 
 Đơn giản biểu thức: 
 ¬. sinαsin(x−α) + sin2(−α). ®. sin22α + sin2β + cos(2α+β)cos(2α–β). 
 −. sin2(45o + α) – sin2(30o – α) – sin15ocos(15o + 2α). 
 ¯. sin3αcos3α + cos3αsin3α. °. sin3αsin3α + cos3αcos3α. 
 Chứng minh rằng biểu thức: 
A = cos2(x – a) + sin2(x – b) – 2cos(x – a)sin(x – b)sin(a – b) 
độc lập đối với x. 
µ Công thức biến đổi tổng thành tích: 
 Nếu sinα + sinβ = – , cosα + cosβ = –  và  < α < 3π, –  < β < 0. 
Tính sin, cos, cos(α + β). 
 Tính cos nếu sinα + sinβ = – , tan = ,  < α < 3π, –  < β < 0. 
 Tính giá trị biểu thức 2
sin 4 sin10 sin 6
cos2 1 2sin 4
α + α − α
α + − α nếu sinα – cosα = m. 
 Chứng minh: 
 ¬. sin495o – sin795o + sin1095o = 0. 
 −. cosα + cos2α + cos6α + cos7α = 4cos  cos  cos4α. 
 ®. sin9α + sin10α + sin11α + sin12α = 4cos  cosαsin  . 
 ¯. cos2α – cos3α – cos4α + cos5α = – 4sin  sinαcos  . 
 °. sin14α – sin5α – sin16α + sin7α = 4sin  sinαsin . 
 ±. cosα + sinα + cos3α + sin3α = 22 cosαsin( + 2α). 
 ². cos36o – sin18o = sin30o. ³. cot70o + 4cos70o = 3. 
MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 
ŒA Mệnh Đề 
 Mệnh đề là một câu có đặc tính đúng hay sai và phải thoả 2 điều kiện: 
 Mỗi mệnh đề đều phải hoặc đúng, hoặc sai. 
 Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. 
+ Phủ định của mệnh đề A, kí hiệu A: 
 Nếu A đúng thì A  sai, nếu A sai thì A đúng. 
+ Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề Nếu A thì B gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu A ⇒ B: 
 A ⇒ B sai nếu A đúng, B sai và đúng trong các trường hợp còn lại. 
 B ⇒ A gọi là mệnh đề đảo của A ⇒ B. 
+ Mệnh đề tương đương: Mệnh đề A nếu và chỉ nếu B gọi là mệnh đề tương 
đương, kí hiệu A  B: 
 A  B đúng nếu A và B cùng đúng hoặc cùng sai. 
ƒ Mệnh đề "A hoặc B" được kí hiệu là A  B, mệnh đề này sai nếu A và B đều sai, 
các trường hợp còn lại đều đúng. 
ƒ Mệnh đề "A và B" được kí hiệu là A  B, mệnh đề này đúng nếu A và B đều đúng, 
các trường hợp còn lại đều sai. 
 ‚ Phủ định của mệnh đề A  B là mệnh đề A  B: A  B = A  B 
 ‚ Phủ định của mệnh đề A  B là mệnh đề A  B: A  B = A  B 
 ‚ Phủ định của mệnh đề A ⇒ B là mệnh đề A  B: A ⇒  B = A  B 
+ Mệnh đề chứa biến: là 1 câu chứa một hay nhiều yếu tố không xác định và câu đó 
trở thành 1 mệnh đề khi thay các yếu tố không xác định bằng những yếu tố xác định, 
yếu tố không xác định gọi là biến. 
+ Mệnh đề Với mọi x, P(x) đúng, kí hiệu x, P(x). 
+ Mệnh đề Tồn tại x để P(x) đúng, kí hiệu x, P(x). 
x,  A( x)  = x, A( x)  
x,  A( x)  = x, A( x)  
+ Điều kiện cần, điều kiện đủ: 
 * Nếu mệnh đề A  B là 1 định lí thì ta nói: 
"A là điều kiện đủ để có B". 
"B là điều kiện cần để có A". 
 Lúc đó ta có thể phát biểu định lí A  B dưới dạng: 
"Để có B điều kiện đủ là A" hoặc "Điều kiện đủ để có B là A". 
"Để có A điều kiện cần là B" hoặc "Điều kiện cần để có A là B". 
 * Nếu A  B là một định lí và B  A cũng là một định lí thì B  A gọi là định lí đảo 
của định lí A  B, lúc đó A  B gọi là định lí thuận, trong trường hợp này A  B đúng 
và ta có thể nói: 
"A là điều kiện cần và đủ để có B" 
"B là điều kiện cần và đủ để có A". 
 
Chương I
-2- Mệnh Đề - Tập Hợp 
1/ Câu nào trong các câu sau là mệnh đề. Xét tính đúng sai của các mệnh đề và 
tìm mệnh đề phủ định của chúng: 
 ¬. 4.2 = 6. −. y + 5 > 2. ®. Bạn hãy ngồi xuống. ¯. 3 + 2. 
 °. 23 là số nguyên tố. ±. 2x + 4y = 7. ². Bạn bao nhiêu tuổi? 
 ³. 12 chia hết cho 3 và 7. ´. Điểm A nằm trên đường thẳng AB. 
2/ Đặt các kí hiệu , ∃ trước các mệnh đề chứa biến để được mệnh đề đúng: 
 ¬. x + 2 > 3. −. a + 3 = 3 + a. ®. 15 là bội số của x. 
 ¯. (x – 2)2 > – 1. °. x + 1 > y. ±. (a – b)(a + b) = a2 – b2. 
 ². (a – b)2 = a2 – b2. ³. x2 > 0. ´. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. 
 !0. (x – 2)2 = 1. !1. (x + y)z = xz + yz. !2. x2 – 5x + 6 = 0. 
3/ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của chúng: 
 ¬. 2 < 3. −. 2 = 2. ®. 1 là số nguyên tố. ¯. 15 không chia hết cho 5. 
 °. Ngũ giác đều bất kì có các đường chéo bằng nhau. 
 ±. Mọi số tự nhiên đều chẵn .². Mọi tứ giác đều nội tiếp được đường tròn. 
 ³. Có một số là bội số của 5. 
4/ Cặp mệnh đề sau có phải là phủ định của nhau không ? Nếu không thì sửa 
lại để chúng là phủ định của nhau: 
 ¬. 5 6. −. a là số chẵn; a là số lẻ. ®. x là số âm; x là số dương. 
 ¯. Đường thẳng a cắt đ.thẳng b; Đường thẳng a song song với đ.thẳng b. 
 °. Có 1 số là ước số của 15; Có 1 số không là ước số của 15. 
 ±. Mọi hình thang đều nội tiếp được đường tròn; 
 Mọi hình thang đều không nội tiếp được đường tròn. 
5/ Điền vào chỗ trống liên từ "và", "hoặc" để được mệnh đề đúng: 
 ¬. π 5. −. ab = 0 khi a = 0 ... b = 0. 
 ®. ab ≠ 0 khi a ≠ 0 ... b ≠ 0. ¯. ab > 0 khi a > 0 ... b > 0 ... a < 0 ... b < 0. 
6/ Điền vào chỗ trống từ "điều kiện cần" hay "điều kiện đủ" hay "điều kiện cần 
và đủ" để được mệnh đề đúng: 
 ¬. Để tích của 2 số là chẵn, .... là một trong hai số đó chẵn. 
 −. Để 1 tam giác là cân, .... là tất cả các đường cao của nó đều bằng nhau. 
 ®.  để 1 số chia hết cho 8 là số đó chia hết cho 4 và cho 2. 
 ¯.  để ab = 0 là a = 0. °.  để x2 > 0 là x ≠ 0. 
 ±. Để 1 tứ giác là hình vuông, .... là tất cả các góc của nó đều vuông. 
7/ Phát biểu các định lí sau sử dụng khái niệm điều kiện cần: 
 ¬. Nếu 2 cung trên 1 đường tròn bằng nhau thì 2 dây tương ứng bằng nhau 
 −. Nếu tứ giác T là một h.bình hành thì nó có 2 cạnh đối diện bằng nhau. 
 ®. Nếu điểm M cách đều 2 cạnh của góc xOy thì M nằm trên đường phân 
giác của xOy. 
Vũ Mạnh Hùng - 39 - 
 !0. 4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – 1. !2. 3 2co s4 1 5 o – 1 0  –  8 3. 
 !1. cosαtan 2α –  si n 2 α + sinαco t 2α –  co s2 α . 
 Chứng minh: 
 ¬. tan2α + 1 cos sin
cos2 cos sin
α + α=α α − α . −. 
3 4cos2 cos4
3 4cos2 cos4
+ α + α
− α + α = cot
4α. 
 ®. cos2α – sin22α = cos2αcos2α – 2sin2αcos2α. 
 ¯. 3 – 4cos2α + cos4α = 8sin4α. °. cos4α =  cos4α + cos2α + . 
 ±. 8cos %cos cos  = 1. ². cos cos  = . 
 ³. sin18osin54o = . ´. cos260osin130ocos160o = . 
 !0. cos cos cos% cos cos = . !1. tan142o30 = 2+2 – 3 – 6. 
 !2. cos50o + 8cos200ocos220ocos80o = 2sin265o. 
 !3. cos4α.tan2α = sin4α – tan2α. !4. cos2α – sin2α.cotα = – 1. 
 !5. (cosα – cosβ)2 + (sinα – sinβ)2 = 4sin2 . !6. sin18o = . 
 !7. 8sin318o + 8sin218o = 1. !8. cotα – tanα = 2cot2α. 
 !9. sin6 – cos6 = 2sin 4
4
α − cosα. @0. cos2 tan sin2
cos2 cot sin2
α α − α
α α + α = – tan
2α. 
 @1. 
2
2
tan3 3 tan
tan 1 3tan
α − α=α − α . @2. sin
8α + cos8α = cos8α + cos4α + . 
 @3. 8 + 4tan  + 2tan  + tan  = cot . 
 @4. 2 5
4
cos(3 2 )
2sin ( )π
π − α
+α = tan(α – . ). @5. 
sin( 3 )
1 sin(3 )
+ α
− α − ... 2 –  1(x2 + x)  0 và x2 + x  0 
 ´. 
2x 5(x 1)
x 2
+ +
+  0 và 
x 1
x 2
+
+  0. !0. 
x 2
x 3
−
+  2 và 
x 2
x 3
−
+  2. 
 Giải và biện luận các bất phương trình: 
 ¬. 2(x + m) – 3(2mx + 1) > 6. −. m(mx – 3)  2 – x. 
 ®. m(mx – 1)  4(m – 1)x – 2. ¯. m2(1 – x) < m(x + 2) + 3. 
 °. m(mx – 1)  (2m + 3)x + 1. 
 Định m để bất phương trình m(mx – 1) < (2 – m)x + 2 vô nghiệm. 
 Định m để 2 bất phương trình sau tương đương: 
 ¬. 2(x + m) – 3(2mx + 1) > 6 và 2x + 1 < 0. 
 −. mx – m + 2 > 0 và (m + 2)x – m + 1 > 0. 
 x – –  + 
ax + b – 0 + 
a > 0 x – –  + 
ax + b + 0 –
a < 0 
Vũ Mạnh Hùng - 17 - 
¸. Hệ phương trình bậc nhất. 
Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: { 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ = . 
Cách giải: Đặt D = 1 1
2 2
a b
a b , Dx = 
1 1
2 2
c b
c b , Dy =
1 1
2 2
a c
a c 
 + D  0: Hệ có nghiệm duy nhất (x;y) với x = Dx:D, y = Dy:D. 
 + D = 0, Dx  0 hoặc Dy  0: Hệ vô nghiệm. 
 + D = Dx = Dy = 0: Xét cụ thể. 
  Giải hệ phương trình: 
 ¬. {2x 3y 13x 2y 9+ =− = . −. {x y 32x 2y 8+ =+ = . ®. {x 2y 4y 3x 7+ =− = . ¯. {3x y 112x 4y 4− =− = . 
 °. {y x 1| y | x 1+ =− = . ±. {x y 2| 3x y | 1+ =− = . ². {| x 1| y 02x y 1− + =− = . 
 ³. {| x 1| | y 2 | 1y 3 | x 1|− + − == − − . ´. 
4 3 4,75
2x y 1 x 2y 3
3 2 2,5
2x y 1 x 2y 3
 + =⎪⎪ + − + −⎨⎪ − =+ − + −⎪⎩
. 
 Giải và biện luận hệ phương trình: 
 ¬. {(m 2)x 3y 3m 9x (m 4)y 2+ − = ++ − = . −. {mx (m 2)y 1x my m+ + =+ = . 
 ®. 
2 3
2 3
(m 1)x (m 1)y m 1
(m 1)x (m 1)y m 1
 − + − = −⎨ + + + = +⎩ . ¯. {ax by a 1bx ay b 1+ = ++ = + . 
 °. {(a b)x (a b)y a(2a b)x (2a b)y b+ + − =− + + = . ±. 2 22a x by a bbx b y 2 4b − = −⎨ − = +⎩ . 
 Định a, b, m để hệ sau vô nghiệm: 
 ¬. { 22x (9m 2)y 3mx y 1+ − =+ = . −. 2 35m x (2 m)y m 4mx (2m 1)y m 2 + − = +⎨ + − = −⎩ . 
 ®. 
2
2
ax 3y a 1
(3a 14)x (a 8)y 5a 5
 + = +⎨ + + + = +⎩ . ¯ . {(1 a)x (a b)y b a(5 a)x 2(a b)y b 1+ + + = −+ + + = − . 
 Định a, b, k để hệ sau có nghiệm: 
 ¬. {ax 3y a3x ay a 3− =− = + . −. {ax by a bbx ay a b+ = ++ = − . 
 ®. { 22x (9k 2)y 6k 2x y 1+ − = −+ = . ¯. { 2 2(2 k)x k y 3k 2(2k 1)x ky k 1− + = +− + = − . 
- 18 - Phương Trình & Hệ Phương Trình 
 Định m để hệ { 4x my m 1(m 6)x 2y m 3− + = ++ + = + có vô số nghiệm. 
 Định a, b để 2 hệ {ax 2y b 1x y 3+ = ++ = và { 22x y a 2x 3y 3+ = ++ = tương đương. 
 Định a, b để hai hệ phương trình sau cùng vô nghiệm: {(a 1)x (b 1)y 5b 1(a 1)x by 2+ + + = −− + = và {(a 1)x ay b3x (4 a)y 2b 1+ + =+ − = − . 
 Cho hệ {mx (3m 2)y m 3 02x (m 1)y 4 0+ − + − =+ + − = . 
 ¬. Định m để hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm 
 −. Định m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên. 
 Định a để tổng xo + y o đạt giá trị nhỏ nhất biết (xo;yo) là nghiệm của hệ 
phương trình: {3x y 2 ax 2y a 1− = −+ = + . 
 Giải các hệ: 
 ¬. 
x y z 0
2x y 3z 9
3x 4y 2z 11
+ − =⎪ − + =⎨− + + =⎪⎩
. −. 
2x 3y z 1 0
y 1x 1 z
1 2 6
+ + − =⎪ +−⎨ = =⎪ −⎩
. 
 ®. 
y 1x 2 z 3
2 3 2
x 2y 2z 6 0
−+ −⎪ = =⎨ −+ − + =⎪⎩
. ¯. 
4x 3y 6z 5
y 1x 2 z 5
3 4 4
− − =⎪ −+ +⎨ = =⎪ −⎩
. 
 
¹. Hệ phương trình bậc hai. 
—| Hệ Phương Trình có chứa 1 phương trình bậc nhất 
Cách Giải: Dùng phương pháp thế. 
 Cho hệ { 2 2 2x y m 1x y xy 2m m 3+ = ++ = − − . 
 ¬. Giải hệ khi m = 3. −. Chứng minh rằng m, hệ luôn có nghiệm. 
.(x;y) là nghiệm của hệ { 2 2 2x y 2a 1x y a 2a 3+ = −+ = + − . Định a để xy nhỏ nhất. 
.Giải và biện luận hệ: { 2 2x y mx y 2x 2+ =− + = . 
Vũ Mạnh Hùng - 23 - 
 !4. a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2)  6abc (a, b, c  0). 
 !5. ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a)  6abc (a, b, c  0). 
 !6. (1 + a) ( 1  + b ) ( 1  + c)  1 + ab c (a, b, c  0). 
 !7. 
n1 x
2
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ +
n1 y
2
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ +
n1 z
2
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 (x, y, z dương thỏa xyz=1 và n 
*). 
 !8. a2 + b2 + c2  a + b + c nếu abc = 1. !9. 2 2 22 2 2a b cb c a+ + 
a b c
b c a
+ + . 
 Một số dạng khác 
5/ Chứng minh rằng: 
 ¬. 2p q –  q2 + p2 – q 2  p (p  q  0). ®. 2 2 21 1 11 2 n+ + +" < 2. 
 −. 1 1 1 1
2 n 1 n 2 2n
< + + ++ + " < 1 (n  
*). 
 ¯. 1 < a b c d
a b c b c d c d a d a b
+ + ++ + + + + + + + < 2. 
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
6/ Tìm GTLN của hàm số: 
 ¬. y = x4 –  x2. −. y = x 1
x
− . ®. y = x + 2 –  x 2. 
7/ Tìm GTNN của hàm số: 
 ¬. y = x + 2
4
x
 (x > 0). −. y = 1 + 1
x(1 x)− ( 0 < x < 1). 
 ®. y = x2 + 1 + 2x + 
2
2
a
(x 1)+ (a  0). 
8/ Tìm GTLN của T = ab c 2 bc a 3 ca b 4
abc
− + − + − (c 2, a  3, b 4). 
9/ Nếu x, y > 0 và x + y  1, tìm GTNN của P = 2 21 1xyx y ++ + 4xy. 
 Cho x, y thay đổi thỏa 0  x  3, 0  y  4. Tìm GTLN của: 
A = (3 – x)(4 – y)(2x + 3y). 
 x, y, z là 3 số dương thay đổi thỏa x + y + z  1. Tìm GTLN của: 
A = yx z
x 1 y 1 z 1
+ ++ + + . 
- 22 - Bất Đẳng Thức & Bất Phương Trình 
 #2. a2 + b2 + c2  k2 nếu a, b, c > 0 và a + b + c = k.. 
 #3. 2(a2 –  a) ( b 2 –  b)  (a + b)2 – (a + b) nếu a2 + b2 = 1 và ab > 0. 
 #4. (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an)  2n nếu a1, a2,... , an > 0 và a1a2...an = 1. 
 #5. ab + bc + ca  0 nếu a + b + c = 0. 
 #6. (x1 + x2)(z1 + z2)  (y1 + y2)2 nếu x1x2 > 0, x1z1  y 1, x2z2  y 2. 
 #7. a b c b
2a b 2c b
+ ++− −  4 nếu a, b, c > 0 và 
1 1 2
a c b
+ = . 
 #8. 3 3
1
x y 1+ + + 3 3
1
y z 1+ + + 3 3
1
z x 1+ +  1 nếu x, y, z > 0 và xyz = 1. 
 #9. a2 + 2
1
a 1+  1. $0.
a
b c+ +
b
c a+ +
c
a b+  2 (a, b, c > 0). 
 $1. (ab + bc + ca)2  3abc(a + b + c) $2. a4 + b4 + c4  abc(a + b + c). 
 $3. 
3 3 3a b c
bc ca ab
+ +  a + b + c (a, b, c > 0). 
 $4. a2b2 + b2c2 + c2a2  abc3( a2  + b2  + c2) (a, b, c  0). 
 $5. (1 + a)n + (1 + 1
a
)n  2n + 1 (a > 0, n  ). 
4/ Chứng minh rằng: 
 ¬. a b c
b c a
+ + 3 (a, b, c > 0). −. (p2 + p + 1)(q2 + q + 1)  9pq (p, q0). 
 ®. a6 + b6 + 1  3a2b2. ¯. (x+y+z)(x+y+z)9xy z (x, y, z  0). 
 °. (1 – x)(2 – y)(4x + y)  2 (0  x  1, 0  y  2). 
 ±. 
6 6a b
2
+  3a2b2 – 4. ². 6 9a b
4
+  3a2b3 – 16 (b  0, a  ). 
 ³. a1 –  a  2 3
9
 (0  a  1). !0. 1 1 1
a b c
+ +  9
a b c+ + (a, b, c > 0). 
 ´. a + 1
b(a b)−  3 (a > b > 0). !1. 
a b c
b c c a a b
+ ++ + +  2
3 (a, b, c > 0). 
 !2. 2 2 2
b c c a a b
+ ++ + +  
9
a b c+ + (a, b, c > 0). 
 !3. 2 2 2
x y z
1 x 1 y 1 z
+ ++ + +  2
3  1 1 1
1 x 1 y 1 z
+ ++ + + 
nếu x, y, z  0 và x + y + z  3. 
Vũ Mạnh Hùng - 19 - 
.Cho hệ { 2 2| x | | y | 1x y m+ =+ = . 
 ¬. Giải hệ khi m = . −. Định m để hệ có nghiệm. 
.Định m để hệ { 2 2x y 1x y m+ =+ = có nghiệm duy nhất. 
—} Hệ Đối Xứng: {f (x, y) 0g(x, y) 0== với f(x,y) = f(y,x), g(x,y) = g(y,x) 
Cách Giải: Đặt S = x + y, P = x.y. Điều kiện có nghiệm: S2 – 4P  0 
.Giải các hệ sau: 
 ¬. { 2 2x y 5x y xy 1+ =+ − = . −. { 2 2x y xy 5x y 5+ + =+ = . ®. { 2 2x y x y 8xy(x 1)(y 1) 12+ + + =+ + = . 
 ¯. { 2 2x xy y 3x y xy 2+ + =+ = . °. 2 22 2(x y)(x y ) 3(x y)(x y ) 15 − − =⎨ + + =⎩ . ±. { 2 2x yx y xy 1+− + = 
 ². 
2 2
4 2 2 4
x y 5
x x y y 13
 + =⎨ − + =⎩ . ³. 2 2
2 2
1 1x y 5
x y
1 1x y 9
x y
 + + + =⎪⎪⎨ + + + =⎪⎪⎩
. 
 ´. { 2 2 3 3x y 4(x y )(x y ) 280+ =+ + = . !0. 22xy x 1 yxy y 1 x + = −⎨ + = −⎩ . 
 Định m để hệ { 2 2x y xy mx y m+ + =+ = có nghiệm duy nhất. 
 Giải các phương trình: 
 ¬. x3 + 1 = 2 2 x  –  1. −. x2 + x  + 5 = 5. ®. 9  –  x + x  + 3 = 4. 
 Cho hệ x y a
x y xy a
 + =⎨ + − =⎩
. 
 ¬. Giải hệ khi a = 4. −. Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm. 
 Định a để hệ sau có nghiệm: 
 ¬. x 1 y 2 a
x y 3a
 + + + =⎨ + =⎩ . −. 
x 1 y 2 a
x y 3a
 + − + =⎨ + =⎩ . 
 
(CHƯƠNG*4) BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
´. Bất đẳng thức: 
Định nghĩa: ƒ a > b  a – b > 0. ƒ a < b  a – b < 0. 
¬. Bất đẳng thức Cauchy: 
 ƒ 
2 2a b
2
+  ab hay a2 + b2  2ab (a, b  ) 
 ƒ a b
2
+  ab hay a + b  2ab (a, b  0) 
 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
 ƒ a b c
3
+ +  ab c hay a + b + c  3 ab c (a, b, c  0) 
 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 
−. Bất đẳng thức tam giác: a–b  a  b  a + b 
a + b = a + b  ab  0. 
a – b = a + b  ab  0. 
Dùng định nghĩa và biến đổi tương đương 
1/ Chứng minh rằng: 
 ¬. 2
1
a 4a 4− + > 3
2
a 8− (a  2). −. x
8 + x2 + 1 > x5 + x 
 ®. a4 + b4  a3b + ab3. ¯. a4 + b4  2ab(a2 – ab + b2). 
 °. 2(x + y + z) – (xy + yz + zx)  4 (x, y, z  [0;2]). 
 ±. a2 + b2 + c2  1 + a2b + b2c + c2a (a, b, c  [0;1]). 
 ². a2 + b2 + c2  5 nếu a, b, c  [0;2] và a + b + c = 3. 
2/ Chứng minh rằng: 
 ¬. a + b > a + b (a, b > 0). −. a + b  2 2a b
b a
+ (a, b > 0) 
 ®. a + b a3  + b 3 (a, b > 0). 
 ¯. b c 4
bc b c
+ ≥ + (b, c > 0). ±. 
33 3a b a b
2 2
+ +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ (a, b > 0). 
 ². 3(x + y + xy)  2(x2 + x  + 1 )(y 2 + y  + 1). 
 ³. (ax + by)(bx + ay)  (a + b)2xy (a, b  0, x, y  ). 
 ´. x2 +x y  + y2 +y2 +y z + z2 +z2  +zx  + x 2 3(x+y+z) (x, y, z > 0). 
Vũ Mạnh Hùng - 21 - 
 !0. a2  + b 2 + c2  + d 2  (a + c)2  + (b  + d )2 . Khi nào dấu "=" xảy ra. 
Áp dụng: Chứng minh rằng: x2 + x y  + y2 + x2 + x z + z2  y2 + y z + z2. 
Dùng bất đẳng thức Cauchy 
3/ Chứng minh các bất đẳng thức: 
 ¬. a b
b a
+  2 (a, b > 0). −. ca + b
c
  2ab (a, b, c > 0). 
 ®. 
4
2
a bc
2c
+  ab (a, b, c > 0). ¯. (1+ y
x
)(1+ z
y
)(1+ x
z
)8 (x, y, z > 0). 
 °. (a + b)(b + c)(c + a)  8abc (a, b, c  0). 
 ±. (p + 2)(q + 2)(p + q)  16pq (p, q  0). ². a2 + b2 + c2  2 a(b + c). 
 ³. a2 + b2 + 1  ab + a + b. ´. a2 + b2 + c2 + 3  2(a + b + c). 
 !0. a + b + c ab +bc +ca (a, b, c  0). !1. 2a2 + b2 + c2  2a(b + c). 
 !2. a + b + 2a2+ 2b2  2ab + 2ba + 2ab (a, b  0). 
 !3. 1 1 1
a b c
+ +  1 1 1
bc ca ab
+ + (a, b, c > 0). !9. 
2
4
x 1
21 x
≤+ . 
 !4. bc ca ab
a b c
+ +  a + b + c (a, b, c > 0). 
 !5. a b b c c a
c a b
+ + ++ +  6 (a, b, c > 0). @0. 241 x 321 x
+ ≤+ . 
 !6. x2 + y2 + 1 1
x y
+  2(x + y) (x, y > 0). @1. 2 21 a 1 b1 a 1 b
+ +++ +  3. 
 !7. 3x + 2y + 4z  xy + 3yz + 5zx (x, y, z  0). 
 !8. a b 5
2
+ +  a + 2b (a, b  0). @2. x 4
1 x x
+−  8 (0 < x < 1). 
 @3. 
2 2x y
x y
+
−  22 (x > y, xy = 1). @4. 
2
2
a a 2
a a 1
+ +
+ +
 2. @5. 2
2
2x 1
4x 1
+
+
1. 
 @6. 32  11 –  x + 7 + x  6 (– 7  x  11). 
 @7. Nếu a + b = 1, a > 0, b > 0 thì 4a + 1 + 4b + 1  23. 
 @8. mn(m + n)  m3 + n3 (m, n  0). 
 @9. a2(1 + b4) + b2(1 + a4)  (1 + a4)(1 + b4). 
 #0. (4 + x2)(
x
2
x
1
2 + + 1) > 16 (x > 0). #1. –   2 2(m k)(1 mk)(m 1)(k 1)
+ −
+ + .