Bài tập Hình học 10 chương 1: Vectơ

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa 
H ÌNH H ỌC 10 
Ch ư ơng 1. 
VECT Ơ 
www.saosangsong.com.vn/ 
SAVE YOUR TIME & MONEY 
SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL 
SUIT YOUR PACE 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
2
2
§ 1. Các định nghĩa : 
A. Tóm tắt giáo khoa : 
 Vectơ là đoạn thẳng có hướng,nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã 
 chỉ rõ điểm nào là điểm đầu ,điểm nào là điểm cuối. 
 Ký hiệu : AB
JJJG
 ,điểm đầu A và điểm cuối B 
 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa 
 điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó 
 Độ dài của vectơ AB được ký hiệu là AB
JJJG
 Như vậy : AB
JJJG
 = AB 
 Nếu không nói rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ ta ký hiệu : , ,a b x
G JG G
 Hai vectơ gọi là cùng phương nếu chúng nằm trên hai đường thẳng song song, 
 hoặc cùng nằm rên một đường thẳng . 
 A B F 
 C D E G 
 H 
• Hai vectơ ABJJJG và CDJJJG cùng hướng 
• Hai vectơ EFJJJG và GHJJJG ngược hướng 
 Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài 
a
G
 Hai vectơ a
G
 và b
G
 bằng nhau ta viết a
G
 = b
G
 Ta có : AB CD AC BD= ⇔ =JJJG JJJG JJJG JJJG 
b
G
 ( do tính chất của hình bình hành ABCD) 
 Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trung nhau : 0
G
 Như vậy vectơ-không có độ dài bằng 0 và cùng phương , cùng hướng 
 với mọi vectơ 
 Cho trước điểm A và vectơ a
G
 thì ta đựng được điểm B duy nhất sao cho : 
 AB
JJJG
 = a
G
B. Giải toán : 
 Ví dụ 1 : Cho hai điểm phân biệt A và B.Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng và bao nhiêu vectơ khác 
 nhau? 
Giải 
Một đoạn thẳng duy nhất AB hoặc BA 
 Hai vectơ khác nhau là AB
JJJG
 và BA
JJJG
 Ví dụ 2 : Cho hai vectơ AB
JJJG
 và AC
JJJG
 cùng phương .Kết luận gì về ba điểm A, B , C. 
B 
A 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
3
3
B CM
A
N
A
D C
B
M
N
A
D C
B
M
N
E
F
Giải 
Hai vectơ AB
JJJG
 và AC
JJJG
 cùng phương và có điểm A chung nên chúng nằm 
trên một đường thẳng .Vậy ba điểm A,B,C thẳng hàng 
 Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC cân tại A .Gọi M là trung điểm của BC và N là trung 
điểm của 
 AC. 
 a) Ta có AB
JJJG
 = AC
JJJG
 đúng hay sai? 
 b) Các vectơ nào cùng hướng với AB
JJJG
? ngược hướng với BC
JJJG
? 
 c) Các vectơ nào bằng nhau? 
Giải 
a) Hai vectơ AB
JJJG
 và AC
JJJG
 không cùng phương nên chúng không bằng 
nhau 
b) MN là đoạn nối trung điểm hai cạnh BC và AC nên MN và AB song 
song nhau Vậy NM
JJJJG
 và AB
JJJG
 là 
hai vectơ cùng hướng 
Ba điểm B,C,M thẳng hàng nên các vectơ ngược hướng với BC
JJJG
 là : 
, ,CB CM MB
JJJG JJJJG JJJG
c) Ta có : BM MC=JJJJG JJJJG vì hai vectơ này cùng hướng và có độ dài bằng 
nhau . Ta cũng có : CM MB=JJJJG JJJG 
 ,AN NC CN NA= =JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Ví dụ 4 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho 
 AM = CN. Chứng minh AN MC=JJJG JJJJG và MD BN=JJJJG JJJG . 
Giải 
Ta có AM = CN ( theo gt) 
và AM // CN ( ví AB//CD) 
Do đó tứ giác AMNC là hình 
bình hành 
Vậy AN MC=JJJG JJJJG 
Tương tự tứ giác BMDN là 
hình bình hành . Vậy MD BN=JJJJG JJJG 
 Ví dụ 5 : Cho hình bình hành ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm củaAB và DC. AN và 
 CM lần lượt cắt BD tại E và F.Chứng minh DE EF FB= =JJJG JJJG JJJG 
Giải 
 Ta có AM NC=JJJJG JJJG nên AMCN là hình bình hành . Do 
đó AN // MC 
Suy ra E là trung điểm của DF vì N là trung điểm của DC 
và F là trung điểm của EB vì M là trung điểm của AB 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
4
4
A
B C
D
E
O DA
B C
Vậy DE EF FB= =JJJG JJJG JJJG 
C. Bài tập rèn luyện : 
 1.1 : Cho hai điểm phân biệt A và B .Câu nào sau đây đúng? 
 a) Có một đoạn AB hay BA 
 b) Có hai vectơ khác nhau AB
JJJG
 và BA
JJJG
 c) AB BA AB= =JJJG JJJG 
 d) Cả ba câu đều đúng 
1.2 : Cho điểm A .Tìm tập hợp các điểm M sao cho : 
 a) 4AM cm=JJJJG 
 b) AM
JJJJG
 cùng phương với a
G
 cho trước 
1.3 : Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D . Chứng 
tỏ : AE BD=JJJG JJJG 
1.4 : Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O đường 
kính AD .Chỉ ra các vectơ bằng với BC
JJJG
1.5 : Cho tam giác ABC và điểm M ở trong tam giác.Gọi A’ , B’ ,C’ lần 
 lượt là trung điểm của BC,CA , AB và N, P, Q lần lượt là điểm đối xứng của M qua A’ , 
B’ , C’ 
 a) Chứng tỏ : ;AQ CN AM PC= =JJJG JJJG JJJJG JJJG 
 b) Chứng tỏ ba đường thẳng AN , BP , CQ đồng qui 
D.Hướng dẫn giải và Đáp số : 
 1.1. Cả 3 câu đều đúng 
 1.2. a) Điểm A cố định và độ dài AM = 4cm.Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A 
bán kính 4cm 
 b) AM
JJJJG
 cùng phương với a
G
.Vậy M chạy trên đường thẳng qua A và song song với 
đường thẳng mang vectơ a
G
1.3. E là điểm đối xứng của C qua D nên ta có DE = CD = BA và DE//BA 
Do đó tứ giác ABDE là hình bình hành .Vậy AE BD=JJJG JJJG 
1.4.Tứ giác ABOA là hình thoi nên AO BC OD= =JJJG JJJG JJJG 
1.5. Tứ giác AQBM là hình bình hành vì có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm nên 
ta có : AQ MB=JJJG JJJG (1) và AM QB=JJJJG JJJG (3) 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
5
5
A
B CA'
B'
C'
M
N
P
Q
Tương tự tứ giác MBNC là hình bình 
hành nên CN MB=JJJG JJJG (2) 
Từ (1) và (2) ta có : AQ CN=JJJG JJJG 
Do đó tứ giác ACNQ là hình bình hành 
Vậy hai đường chéo AN và CQ giao nhau tại trung 
điểm I 
Mặt khác tứ giác AMCP là hình bình hành nên 
AM PC=JJJJG JJJG (4) 
Từ (3) và (4) ta có QB PC=JJJG JJJG 
Do đó tứ giác BCPQ là hình bình hành nên hai 
đường chéo BP và CQ giao nhau tại trung điểm I . 
Vậy AN,BP và CQ đồng qui tại I 
§ 2. Tổng và hiệu hai vectơ 
A.Tóm tắt giáo khoa : 
1.Định nghĩa tổng của các vectơ : Cho hai vectơ a
G
 và b
G
 .Từ một điểm A tùy ý vẽ AB a=JJJG G , rồi 
từ điểm B vẽ BC b=JJJG G thì vectơ ACJJJG được gọi là tổng của hai vectơ aG và bG . Ký hiệu : AC a b= +JJJG G G 
 B 
 a
G
 a
G
 b
G
 C 
 b
G
 A 
 Như vậy ta có : AB BC AC+ =JJJG JJJG JJJG với A,B,C tuỳ ý (gọi là qui tắc 3 điểm) 
 B b
G
 C 
 a
G
 a
G
 A D 
 b
G
 ABCD là hình bình hành nên a
G
 = AB DC=JJJG JJJG và b BC AD= =G JJJG JJJG 
 Như vậy AC AB AD= +JJJG JJJG JJJG ( gọi là qui tắc hình bình hành ) 
2. Tính chất : a) giao hoán : a b b a+ = +G G G G 
 b) kết hợp : ( ) ( )a b c a b c+ + = + +G G G G G G 
 c) vơi mọi a
G
 ta có : a
G
 + 0
G
 = a
G
 d). Ta có a b AC AC+ = =G G JJJG và a b AB BC+ = +G G 
 Mà AC ≤ AB + BC ( bất đẳng thức trong tam giác ABC) 
 Vậy a b a b+ ≤ +G G G G 
3. Vectơ đối của một vectơ : 
 Vectơ đối của vectơ a
G
 là vectơ ngược hướng với a
G
 và có cùng độ dài với a
G
 Ký hiệu : - a
G
 Như vậy a
G
 + ( - a
G
) = 0
G
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
6
6
A
C D
B
A
B
C
D
 Ta có AB BA= −JJJG JJJG 
4. Hiệu của hai vectơ : 
 Hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai 
 Như vậy a
G
 - b
G
 = a
G
 + ( - b
G
) A 
 a
G
 a
G
 - b
G
 b
G
 O B 
 Ta có AB OB OA= −JJJG JJJG JJJG với mọi điểm O , A, B 
B.Giải toán : 
 Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và AC = 2a.Tính độ dài của vectơ 
tổng : 
 AB AC+JJJG JJJG và vectơ hiệu AB AC−JJJG JJJG 
Giải 
 Theo qui tắc hình bình hành thì AB AC+JJJG JJJG = ADJJJG với AD là đường chéo hình 
bình hành ABDC.Mà góc A vuông nên ABDC là hình chữ nhựt 
Do đó AD = BC . Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác 
vuông ABC ta có : BC2 = AB2 + AC2 = a2 + 4a2 = 5a2 
Vậy 5AB AC AD AD BC a+ = = = =JJJG JJJG JJJG 
 Theo qui tắc hiệu vectơ ta có : AB AC−JJJG JJJG = CBJJJG Vậy : 
 AB AC CB BC− = =JJJG JJJG JJJG = a 5 
 Ví dụ 2 : Cho bốn điểm bất kỳ A, B, C, D. Chứng minh các đẳng thức sau : 
 a) )AC BD AD BC b AB CD AD CB+ = + + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 c) AB CD AC BD− = −JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Giải 
 a) Theo qui tắc ba điểm ta có : 
 ;AC AD DC BD BC CD= + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Do đó : AC BD AD DC BC CD AD BC+ = + + + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Vì 0DC CD+ =JJJG JJJG G 
 b) Theo qui tắc ba điểm ta có : 
( ) ( )AB CD AD DB CB BD AD CB+ = + + + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 vì 0DB BD+ =JJJG JJJG G 
 c) Theo qui tắc phép trừ ta có :CD AD AC= −JJJG JJJG JJJG 
 Do đó : ( ) ( )AB CD AB AD AC AB AD AC− = − − = − +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 = DB AC AC BD+ = −JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Ví dụ 3 : Cho sáu điểm A,B,C,D,E,F tùy ý. Chứng minh rằng : 
 AC BD EF AF BC ED+ + = + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Giải 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
7
7
A
B CM
G
D
R
F2
F1
O H
A
B C
D
O
 Theo qui tắc ba điểm ta có : 
 ; ;AC AF FC BD BC CD EF ED DF= + = + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Cộng theo vế 3 đẳng thức ta được : 
 AC BD EF AF BC ED+ + = + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
vì FC CD FD+ =JJJG JJJG JJJG và 0FD DF+ =JJJG JJJG G 
 Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC và G là trọng tâm . Chứng minh 
 rằng : 0GA GB GC+ + =JJJG JJJG JJJG G 
 Giải 
 Vẽ hình bình hành BGCD .Theo qui tắc hình bình hành ta có : 
GB GC GD+ =JJJG JJJG JJJG 
mà GD = 2 GM ( tính chất đường chéo ) 
và GA = 2GM ( tính chất trọng tâm ) 
nên GD = GA Do đó GA GD= −JJJG JJJG (ngược hướng) 
Vậy : 0GA GB GC+ + =JJJG JJJG JJJG G 
 Ví dụ 5 : Cho hai lực 1 2,F F
JJG JJG
 đều có cường độ là 50N ,có điểm đặt tại O và hợp với nhau một 
góc 
 60o . Tính cường độ lực tổng hớp của hai lực này. 
 Giải 
 Theo qui tắc hình bình hành thì : 1 2F F OR+ =
JJG JJG JJJG
 Mà OF1 = OF2 = 50N nên OF1 RF2 là hình thoi có góc O bằng 
60o và hai đường chéo OR và F1F2 vuông góc nhau tại trung 
điểm H 
Ta có OH = 50 3
2
 (đường cao tam giác đều cạnh bằng 50 . 
Vậy 1 2F F OR+ =
JJG JJG JJJG
 = OR = 2OH = 50 3 N 
 Ví dụ 6 : Cho hình bình hành ABCD tâm O .Chứng minh rằng : 
 a) ) 0BD BA OC OB b BC BD BA− = − − + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G 
 Giải 
 a) Theo qui tắc phép trừ ta có : 
 BD BA AD− =JJJG JJJG JJJG và OC OB BC− =JJJG JJJG JJJG 
 mà AD BC=JJJG JJJG vì ABCD là hình bình 
 hành . 
 Vậy : BD BA OC OB− = −JJJG JJJG JJJG JJJG 
 b) Ta có : BC BD DC− =JJJG JJJG JJJG mà DC BA= −JJJG JJJG . 
 Vậy : 0BC BD BA− + =JJJG JJJG JJJG G 
 Ví dụ 7 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính độdài các vectơ : AB BC+JJJG JJJG và CA CB−JJJG JJJG . 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
8
8
A
B C
D
O
M
CB M
A
D
 Giải 
 Theo qui tắc ba điểm ta có : AB BC+JJJG JJJG = ACJJJG 
 Vậy AB BC AC+ =JJJG JJJG JJJG = AC = a 
 Theo qui tắc phép trừ ta có : CA CB−JJJG JJJG = BAJJJG 
Vậy CA CB BA− =JJJG JJJG JJJG = AB = a 
C.Bài tập rèn luyện : 
1.6 : Cho hình bình hành ABCD tâm O và M là điểm tùy ý. Chứnh minh : 
 a) )AB OA OB b MA MC MB MD+ = + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG 
1.7 : Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và góc B = 60o .Tính độ dài các vectơ 
tổng và hiệu : AB AC+JJJG JJJG và AB AC−JJJG JJJG 
1.8 : Cho hình bình hành ABCD.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và 
 BC.Chứng minh rằng : 
 a) 0AD MB NA+ + =JJJG JJJG JJJG G b) 0C ... cạnh đáy AB 
1.33. Cho bốn điểm A(-1; 1) ; B(3; 3) ; C(1; -1) và D( -3; -3) 
 Tứ giác ABCD là hình gì? 
1.34. Cho tam giác ABC biết A(2; -2) ; B(10,-6) ; C ở trên trục Oy và trọng tâm G ở trên 
trục Ox.Tìm tọa độ của C và G. 
*1.35 .Cho A(1; 2) ; B(-2; 3) ; C( 2 ; -1) .Tìm m sao cho AB mAC+JJJG JJJG đạt giá trị nhỏ nhất 
* 1.36 : Cho tam giác ABC với A(1; 2) ; B(2; 5) và C(4; -1).Tính tọa độ chân D của phân 
giác trong AD 
*1.37 Trong hệ trục Oxy cho điểm A(-1; 2) và B(4; 5) . 
 a) Tính tọa độ của diểm A’ đối xứng của A qua Ox. 
 b) Tìm tọa độ của M trên Ox sao cho A’,M ,B thẳng hàng.Tính A’B 
*1.38 : Cho tam giác ABC.gọi D là trung điểm của BC, N là điểm đối xứng của C qua A và 
M là điểm thỏa 1
2
AM AB= −JJJJG JJJG .Tìm điểm K trên đường thẳng MN sao cho A, D , K thẳng 
hàng 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
23
23
D. Hướng dẫn giải 
1.28 . Cho hai vectơ a
G
=(2; 4) ; b
G
= (-6 ; 10) ta có : 2a
G
 = (4; 8) và 
1
2
b− G =(-3; 
5) 
Do đó : 12
2
u a b= −G G G= ( 4 - 3 ; 8 – 5) = ( 1 ; 3) 
Ta có 
1
2
a
G
=(1; 2) và 3i− G= (-3 ;0) Vậy 1 3
2
v a b i= + −G G G G=( 1-6 -3 ; 2 + 10) 
= ( -8; 12) 
1.29 : a) ABCD là hình bình hành CD BA⇔ =JJJG JJJG .Gọi D(x ; y) ta có : 
 CD
JJJG
=(x – 0; y + 6) và BA
JJJG
 = (6+ 4 ; -4 -2) = (10; -6) 
 Do đó : 
10
6 6
x
CD BA
y
=⎧= ⇔ ⎨ + = −⎩
JJJG JJJG
 Vậy D(10 ; -12) 
b) M là trung điểm của BC nên tọa độ của M là M ( 3 ; -5) và AM
JJJJG
=(7; -7) 
 Do đó : 2
3
AG AM=JJJG JJJJG ⇔
24 (7)
3
22 ( 7)
3
G
G
x
y
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ − = −⎪⎩
 Vậy xG = 
2
3
 ; yG = -
8
3
1.30 : Cho a
G
 = ( 2m; 3m + 1) và b
G
= ( -4 ; -8) 
a) a
G
 và b
G
 cùng phương ⇔ -8(2m) = -4(3m + 1) ⇔ m = 1 
b) Gọi u
G
= (x ; y) có độ dài bằng 1 nên x2 + y2 = 1 (1) 
 u
G
 cùng phương bới b
G
 ⇔ -8x = -4y ⇔ y = 2x 
Thay y = 2x vào (1) ta được 5x2 = 1 ⇔ x = 5
5
 hay x = -
5
5
y = 2
5
5
 hay y = -2
5
5
1.31. Ta có : A(2; 3) ; B(-1 ; -1) và C(6; 0) 
a) AB
JJJG
=(-3 ; -4) ; AC
JJJG
=(4; -3) ; BC
JJJG
=(7; 1) 
 AB2 = (-3)2 + (-4)2 = 9 + 16 = 25 ⇒ AB = 5 
 AC2 = 42 + (-3)2 = 16 + 9 = 25 ⇒ AC = 5 
 BC2 = 72 + 12 = 50 ⇒ BC =5 2 
 Do đó BC2 = AB2 + AC2 .Vậy tam giác ABC vuông cân tại A 
b) Diện tích tam giác ABC = 1
2
AB.AC = 
25
2
Mặt khác diện tích tam giác ABC = 1
2
BC.AH =
25
2
Suy ra AH = 
25 5
5 2 2
= 
1.32. a) Ta có A(-1; 1) ; B( 0; 2) và C(3; 1) .Do đó AB
JJJG
=(1; 1) và AC
JJJG
=(4; 0) 
Ta thấy 1.0 ≠ 4.1 nên A,B,C không thẳng hàng 
b) ABCD là hình thang cân cạnh đáy AB thì ta có : 
 DC
JJJG
 cùng phương AB
JJJG
 và AD = BC 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
24
24
 DC
JJJG
 cùng phương AB
JJJG
 ⇔ 1(3 – xD) – 1(1 – yD) = 0 ⇔ yD = xD – 
2 
 AD2 = (xD + 1)2 + (yD – 1)2 = BC2 =(3)2 + (-1)2 
 ⇔ 2x 2D -4xD = 0 ⇔ xD = 0 hay xD = 2 và yD = -2 hay yD = 0 
Vậy D(0; -2) hay D( 2 ; 0) 
1.33 : Ta có : A(-1; 1) ; B(3; 3) ; C(1; -1) và D( -3; -3) 
 AB
JJJG
 =(4 ; 2) ; BC
JJJG
=(-2; -4) ; AD
JJJG
= (-2; -4) 
Do đó BC
JJJG
 = AD
JJJG
 và AB = BC = 20 
Vậy ABCD là hình thoi 
1.34 : C trên trục Oy nên C(0; y) và G trên trục Ox nên G(x.; 0) 
Tọa độ trọng tâm G cho bởi x = 2 10 0
3
+ +
 và 0 = 
2 6
3
y− − +
Vậy x = 4 và y = 8 Suy ra C(0; 8) và G(4; 0) 
*1.35 : Cho A(1; 2) ; B(-2; 3) ; C( 2 ; -1) 
Do đó AB
JJJG
=( -3; 1) và AC
JJJG
=(1; -3) suy ra m. AC
JJJG
=(m ; -3m) 
Như vậy : AB
JJJG
+ m AC
JJJG
=(-3 + m; 1 -3m) 
 AB mAC+JJJG JJJG = 2 2 2( 3 ) (1 3 ) 10 12 10m m m m− + + − = − + 
Mà 10m2 – 12m +10 =10(m2 - 
6
5
m + 1) = 
= 10[(m - 
3
5
)2 + 1 - 
9
25
] = 10 [(m-
3
5
)2 + 
16
25
] ≥ 32
5
Dấu “=” xảy ra khi m = 3
5
*1.36. Với A(1; 2) ; B(2; 5) và C(4; -1) thì AB2 = (2 - 1)2 + (5 – 3)2 = 5 
và AC2 = (4 -1)2 + ( -1 – 5)2 = 45 
Ta có : AB = 5 và AC = 45 3 5= ,do đó 5 1
33 5
AB
AC
= = 
Theo tính chất đường phân giác thì DB AB
DC AC
= = 1
3
hay 3DB = DC .Suy ra 3DB DC= −JJJG JJJG 3(2 ) (4 )
3(5 ) ( 1 )
D D
D D
x x
y y
− = − −⎧⇔ ⎨ − = − − −⎩
Vậy xD = 5
2
 và yD = 
7
2
*1.37 : Điểm A(-1; 2) thì dối xứng của A qua Ox là A’(-1 ; -2) 
Điểm M trên Ox nên M(x ; 0) 
Ta có : 'A B
JJJJG
=(5 ; 7) và 'A M
JJJJJG
=(x + 1 ; 2) 
 'A B
JJJJG
 và 'A M
JJJJJG
 cùng phương ⇔ 7(x + 1) - 5(2) = 0 ⇔ x = 3
7
 và A’B = 25 49 74+ = 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
25
25
A
B CD
N
M
K*1.38 : Theo giả thiết ta có : 1
2
AM AB= −JJJJG JJJG 
 AN AC= −JJJG JJJG và 1 ( )
2
AD AB AC= +JJJG JJJG JJJG 
Điểm K trên MN nên ta đặt KM xKN=JJJJG JJJG 
với x là số thực, ta có : 
 ( )AM AK x AN AK− = −JJJJG JJJG JJJG JJJG 
Do đó 
1
xAN AMAK
x
−= −
JJJG JJJJGJJJG
=
1
2
1
xAC AB
x
− −
−
JJJG JJJG
 = 1
1 2(1 )
x AC AB
x x
+− −
JJJG JJJG
Ba điểm A, D , K thẳng hàng ⇔ AKJJJG cùng phương với ADJJJG 
 ⇔ 2 1
1 1
x
x x
=− − ⇔ 2x = 1 ⇔ x = 
1
2
 Vậy 1
2
KM KN= −JJJJG JJJG 
§4. Trắc nghiệm cuối chương 
A. Câu hỏi : 
1. Gọi I là trung điểm của đoạn AB .Câu nào sau đây đúng ? 
 a) 2AB IA= −JJJG JJG b) Hai vectơ ,IA IBJJG JJG đối nhau 
 c) AB
JJJG
 và IA
JJG
 là hai vectơ cùng phương d) Cả ba câu đều đúng 
2. Cho vectơ a
G
 và b
G
 không cùng phương và 12
2
x a b= − +G G G .Vectơ nào sau đây 
 cùng hướng với x
G
 ? 
 a) 12
2
u a b= −G G G b) 1
4
v a b= − +G G G c) 4c a b= −G G G d) 2y a= −JG G 
3. Cho tam giác ABC .Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam 
 giác ABC thì câu nào sau đây đúng? 
 a) 2GB GC GM+ =JJJG JJJG JJJJG b) 2GB GC GA+ =JJJG JJJG JJJG 
 c) 2AB AC AG+ =JJJG JJJG JJJG c) Cả ba câu đều đúng 
4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = a thì AB AC−JJJG JJJG bằng bao nhiêu? 
 a) 0 b) a 2 c) 2a d) đáp số khác 
Cho tam giác đều ABC cạnh a .Trả lới các câu 5 , 6 và 7 sau đây 
5. Độ dài AB AC+JJJG JJJG bằng bao nhiêu? 
 a) 2a b) a 3 c) a 3
2
 d) đáp số khác 
6 . Độ dài AB BC+JJJG JJJG bằng bao nhiêu ? 
 a) a b) 2a c) a 3 d) a 3
2
7. Độ dài AB BC CA+ +JJJG JJJG JJJG bằng bao nhiêu? 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
26
26
 a) 0 b) 3a c) 3 a 3 d) đáp số khác 
8. Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M thỏa : MA MC AB+ =JJJG JJJJG JJJG thì : 
 a) M là trung điểm của AB b) M là trung điểm của AD 
 c) M là trung điểm của OA c) M là điểm tùy ý 
9. Cho hình chữ nhựt ABCD biết AB = 4a và AD = 3a thì độ dài AB AD+JJJG JJJG 
 bằng bao nhiêu ? 
 a) 7a b) 6a c) 2a 3 d) 5a 
10. Cho tam giác ABC trọng tâm G thì tập hợp các điểm M sao cho 6MA MB MC+ + =JJJG JJJG JJJJG là : 
 a) Đường thẳng qua G song song với AB b) Đường tròn tâm G bán kính 2 
 c) Đường tròn tâm G bán kính 6 d) Đáp số khác 
11. Cho tam giác ABC và điểm M trên đoạn AC với AC =3AM và ta có: 
 BM mBA nBC= +JJJJG JJJG JJJG thì m + n bằng bao nhiêu? 
 a) 1 b) 2 c) 2
3
 d) số khác 
12. Cho tam giác ABC.Gọi M là trung điểm của AC và N là trung điểm của BM 
thì AN mAB nAC= +JJJG JJJG JJJG với m.n bằng bao nhiêu? 
 a) 8 b) 4 c) 1
8
 d) 1
2
13. Cho tam giác ABC.Gọi I là điểm thỏa 3BC BI=JJJG JJG thì tập hợp các điểm M thỏa 
 3MC MI AB− =JJJJG JJJG JJJG là đường nào sau đây: 
 a) Đường trung trực của AB b) Đường tròn đường kính BC 
 c) Đường thẳng AB d) Điểm M cố định 
14. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là trung điểm của BC thì đẳng thức 
 vectơ nào sau đây đúng? 
 a) 2 3AM AG=JJJJG JJJG b) 2AM AG=JJJJG JJJG 
 c) 3
2
AB AC AG+ =JJJG JJJG JJJG d) 2AB AC GM+ =JJJG JJJG JJJJG 
15. Cho tam giác ABC vuông cân tại A với AB = AC = a thì độ dài của vectơ :2 2AB AC−JJJG JJJG là : 
 a) 0 b) a c) a 2 d) 2a 2 
16. Cho các vectơ a
G
=(2; 1) và b
G
= (-1; 3) .Nếu c
G
= (m ; n) cùng phương với 
 2 a
G
 - 3b
G
 thì m + n bằng : 
 a) 0 b) 1 c) 2 d) số khác 
17. Cho tam giác ABC với A(1; 1) ; B(-1; 3) ; C(-2; 0) thì tam giác ABC là tam 
 giác gì? 
 a) vuông tại A b) cân tại A c) cân tại C d) đều 
18. Nếu ba điểm A(2; 3) ; B(3; 4) và C(m+1; -2) thẳng hàng thì m bằng 
 a) 1 b) 3 c) -2 d) -4 
19 . Cho A(-2; -1) ; B(-1; 3) ;C(m+1; n-2) Nếu 2 3 0AB AC− =JJJG JJJG thì ta có hệ thức 
 a) 2m +n – 5 =0 b) 3m + 3n - 4 =0 
 c) 2m – n + 5 = 0 d) m +2n – 5 =0 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
27
27
20. Cho tam giác ABC với A(1; 5) ; B(-2; 1) và C( 4; y) có trọng tâm G(x; 3) thì 2x + y bằng : 
 a) 7 b) 6 c) 5 d) 3 
B. Bảng trả lời 
1d 2b 3a 4b 5b 6a 7a 8b 9d 10b 
11a 12c 13d 14a 15d 16a 17c 18d 19b 20c 
C. Hướng dẩn giải : 
1d. Cả ba câu đều đúng 
2b. Ta thấy 2x v=G G 
3a. M là trung điểm của BC nên 2GB GC GM+ =JJJG JJJG JJJJG 
4b. Ta có AB AC−JJJG JJJG = 2BC BC a= =JJJG 
5b.Gọi H là trung điểm của BC thì ta có : AB AC+JJJG JJJG = 2AHJJJG 
Mà AH là đường cao tam giác đều cạnh a nên AH = a
3
2
Vậy độ dài vectơ AB AC+JJJG JJJG bằng a 3 
6a .Ta có : AB BC AC+ =JJJG JJJG JJJG Vậy độ dài của vectơ AB BC+JJJG JJJG là AC = a 
7a. Ta có : AB BC CA+ +JJJG JJJG JJJG = 0AA =JJJG G 
8b. Ta có : 2MA MC MO+ =JJJG JJJJG JJJJG vì O là trung điểm của AC 
 Do đó : MA MC AB+ =JJJG JJJJG JJJG 2MO AB⇔ =JJJJG JJJG 
 Vậy M là trung điểm của AD 
9d. Ta có : AB AD+JJJG JJJG = ACJJJG (qui tắc hình bình hành) 
 Định lý Pitago cho : AC2 = BD2 = AB2 + AD2 = 16a2 + 9a2 = 25a2 
 Vậy độ dài của vectơ AB AD+JJJG JJJG là AC = 5a 
10b. Theo tính chất trọng tâm ta có : 
 6MA MB MC+ + =JJJG JJJG JJJJG 3 6MG⇔ =JJJJG ⇔ GM = 2 
 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính 2 
11a. Ta có : 3 3( )AC AM BC BA BM BA= ⇔ − = −JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG 
⇔ 2 1
3 3
BM BA BC= +JJJJG JJJG JJJG Vậy m + n = 1 
12c. N là trung điểm của BM nên ta có : 
1 1 1( ) ( )
2 2 2
AN AB AM AB AC= + = +JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG 
Vậy m.n = 
1
8
13d. Ta có : 3MC MI AB− =JJJJG JJJG JJJG ⇔ 3( ) 2MB BC MB BI AB MB AB+ − + = ⇔ − =JJJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG JJJG 
(vì theo giả thiết 3 0BC BI− =JJJG JJG G ) 
Vậy điểm M cố định 
14a. Theo tính chất trọng tâm thì 
2
3
AG AM=JJJG JJJJG hay 2 3AM AG=JJJJG JJJG 
15d. Độ dài của vectơ 2 2AB AC−JJJG JJJG bằng 2BC = 2a 2 
16a. Cho các vectơ a
G
=(2; 1) và b
G
= (-1; 3) ta có : 2 a
G
 - 3b
G
= ( 7; - 7) 
Do đó c
G
= (m ; n) cùng phương với : 2 a
G
 - 3b
G
= ( 7; - 7) 
Chương 1. Vectơ 
www.saosangsong.com.vn 
28
28
khi ta có : 
7 7
m n= − hay m = -n Vậy m + n = 0 
17c. Với A(1; 1) ; B(-1; 3) ; C(-2; 0) thì AB
JJJG
=( -2; 2) ; AC
JJJG
=(-3; -1) ; 
 BC
JJJG
=(-1; -3). Ta thấy CA = CB = 10 
Vậy tam giác ABC cân tại C 
18d.Cho ba điểm A(2; 3) ; B(3; 4) và C(m+1; -2) ta có : 
 AB
JJJG
=( 1; 1) và AC
JJJG
=( m – 1; -5) 
Do đó A,B,C thẳng hàng ⇔ ABJJJG và ACJJJG cùng phương ⇔ m- 1 = -5 
Vậy m = -4 
19b Cho A(-2; -1) ; B(-1; 3) ;C(m+1; n-2) thì ta có : 
 AB
JJJG
=( 1; 4) và AC
JJJG
=( m + 3; n – 1) .Do đó 
 2 3 0AB AC− =JJJG JJJG ⇔ 2(1) 3( 3) 0
2(4) 3( 1) 0
m
n
− + =⎧⎨ − − =⎩ Vậy 3m = -7 và 3n = 11 
Suy ra 3m + 3n -4 =0 
20c.Ta biết tọa độ trọng tâm của tam giác cho bởi công thức : 
1 2 4
3
x − += = 1 và 3 = 5 1
3
y+ +
 hay y = 3 
Vậy 2x + y = 5