Bài tập Lượng giác - THPT Yên Mô B

Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 1 
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 
 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác 
 Cho OA OM( , ) α= . Giả sử M x y( ; ) . 
( )
x OH
y OK
AT k
BS k
cos
sin
sintan
cos 2
coscot
sin
α
α
α πα α π
α
αα α π
α
= =
= =
 
= = ≠ + 
 
= = ≠
 Nhận xét
, 1 cos 1; 1 sin 1α α α∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤
: 
 • 
 • tanα xác định khi k k Z,
2
πα π≠ + ∈ • cotα xác định khi k k Z,α π≠ ∈ 
 • ksin( 2 ) sinα π α+ = • ktan( ) tanα π α+ = 
 kcos( 2 ) cosα π α+ = kcot( ) cotα π α+ = 
 2. Dấu của các giá trị lượng giác 
 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 
 0 
6
π 
4
π 
3
π 
2
π 2
3
π 3
4
π π 3
2
π 2π 
 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 
sin 0 1
2
 2
2
 3
2
 1 3
2
 2
2
 0 –1 0 
cos 1 3
2
 2
2
1
2
 0 1
2
− 2
2
− –1 0 1 
tan 0 3
3
 1 3 3− –1 0 0 
cot 3 1 
3
3
 0 3
3
− –1 0 
CHƯƠNG VI 
GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC 
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
Phần tư 
Giá trị lượng giác I II III IV 
cosα + – – + 
sinα + + – – 
tanα + – + – 
cotα + – + – 
cosin 
O 
cotang 
 s
in
ta
ng
H A 
M 
K 
B S 
α 
T 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 2 
 4. Hệ thức cơ bản: 
2 2sin cos 1α α+ = ; tan .cot 1α α = ; 2 2
2 2
1 11 tan ; 1 cot
cos sin
α α
α α
+ = + = 
 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt 
II. Công thức lượng giác 
 1. Công thức cộng 
 2. Công thức nhân đôi 
 sin 2 2sin .cosα α α= 
 2 2 2 2cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − 
2
2
2 tan cot 1tan 2 ; cot 2
2 cot1 tan
α αα α
αα
−
= =
−
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + 
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = − 
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = − 
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = + 
 tan tantan( )
1 tan .tan
a ba b
a b
+
+ =
−
tan tantan( )
1 tan .tan
a ba b
a b
−
− =
+
 Hệ quả: 1 tan 1 tantan , tan
4 1 tan 4 1 tan
π α π αα α
α α
   + −
+ = − =   − +   
Góc hơn kém π Góc hơn kém 
2
π 
sin( ) sinπ α α+ = − sin cos
2
π α α
 
+ = 
 
cos( ) cosπ α α+ = − cos sin
2
π α α
 
+ = − 
 
tan( ) tanπ α α+ = tan cot
2
π α α
 
+ = − 
 
cot( ) cotπ α α+ = cot tan
2
π α α
 
+ = − 
 
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau 
cos( ) cosα α− = sin( ) sinπ α α− = sin cos
2
π α α
 
− = 
 
sin( ) sinα α− = − cos( ) cosπ α α− = − cos sin
2
π α α
 
− = 
 
tan( ) tanα α− = − tan( ) tanπ α α− = − tan cot
2
π α α
 
− = 
 
cot( ) cotα α− = − cot( ) cotπ α α− = − cot tan
2
π α α
 
− = 
 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 3 
 3. Công thức biến đổi tổng thành tích 
 4. Công thức biến đổi tích thành tổng 
VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác 
 Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của 
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 
2
2
2
1 cos2sin
2
1 cos2cos
2
1 cos2tan
1 cos2
αα
αα
αα
α
−
=
+
=
−
=
+
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4 cos 3cos
3tan tantan3
1 3tan
α α α
α α α
α αα
α
= −
= −
−
=
−
 cos cos 2 cos .cos
2 2
a b a ba b + −+ = 
 cos cos 2sin .sin
2 2
a b a ba b + −− = −
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a ba b + −+ =
sin sin 2 cos .sin
2 2
a b a ba b + −− = 
 sin( )tan tan
cos .cos
a ba b
a b
+
+ = 
 sin( )tan tan
cos .cos
a ba b
a b
−
− = 
 sin( )cot cot
sin .sin
a ba b
a b
+
+ = 
 b aa b
a b
sin( )cot cot
sin .sin
−
− = 
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
π πα α α α
   
+ = + = −   
   
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +   
   
 1cos .cos cos( ) cos( )
2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 = − + + 
 = − − + 
 = − + + 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 4 
 cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. 
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: 
 a) A = 0 0sin 50 .cos( 300 )− b) B = 0 21sin 215 .tan
7
π 
 c) C = 3 2cot .sin
5 3
π π 
− 
 
 d) D = c 4 4 9os .sin .tan .cot
5 3 3 5
π π π π 
Bài 2. Cho 0 00 90α< < . Xét dấu của các biểu thức sau: 
 a) A = 0sin( 90 )α + b) B = 0cos( 45 )α − 
 c) C = 0cos(270 )α− d) D = 0cos(2 90 )α + 
Bài 3. Cho 0
2
πα< < . Xét dấu của các biểu thức sau: 
 a) A = cos( )α π+ b) B = tan( )α π− 
 c) C = 2sin
5
πα
 
+ 
 
 d) D = 3cos
8
πα
 
− 
 
Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: 
 a) A = A B Csin sin sin+ + b) B = A B Csin .sin .sin 
 c) C = A B Ccos .cos .cos
2 2 2
 d) D = A B Ctan tan tan
2 2 2
+ + 
Bài 5. 
 a) 
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) 
 Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị 
lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. 
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 
 1. Cho biết sinα, tính cosα, tanα, cotα 
 • Từ 2 2sin cos 1α α+ = ⇒ 2cos 1 sinα α= ± − . 
 – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2cos 1 sinα α= − . 
 – Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2cos 1 sinα α= − − . 
 • Tính sintan
cos
αα
α
= ; 1cot
tan
α
α
= . 
 2. Cho biết cosα, tính sinα, tanα, cotα 
 • Từ 2 2sin cos 1α α+ = ⇒ 2sin 1 cosα α= ± − . 
 – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2sin 1 cosα α= − . 
 – Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2sin 1 cosα α= − − . 
 • Tính sintan
cos
αα
α
= ; 1cot
tan
α
α
= . 
 3. Cho biết tanα, tính sinα, cosα, cotα 
 • Tính 1cot
tan
α
α
= . 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 5 
 • Từ 2
2
1 1 tan
cos
α
α
= + ⇒ 
2
1cos
1 tan
α
α
= ±
+
. 
 – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 
2
1cos
1 tan
α
α
=
+
. 
 – Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì 
2
1cos
1 tan
α
α
= −
+
. 
 • Tính sin tan .cosα α α= . 
 4. Cho biết cotα, tính sinα, cosα, tanα 
 • Tính 1tan
cot
α
α
= . 
 • Từ 2
2
1 1 cot
sin
α
α
= + ⇒ 
2
1sin
1 cot
α
α
= ±
+
. 
 – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì 
2
1sin
1 cot
α
α
=
+
. 
 – Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 
2
1sin
1 cot
α
α
= −
+
. 
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức 
 • Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức. 
 • Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết 
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG 
 Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: 
 A B A B AB2 2 2( ) 2+ = + − A B A B A B4 4 2 2 2 2 2( ) 2+ = + − 
 A B A B A AB B3 3 2 2( )( )+ = + − + A B A B A AB B3 3 2 2( )( )− = − + + 
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình 
 • Đặt t x t2sin , 0 1= ≤ ≤ ⇒ x t2cos = . Thế vào giả thiết, tìm được t. 
 Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính. 
 • Thiết lập phương trình bậc hai: t St P2 0− + = với S x y P xy;= + = . Từ đó tìm x, y. 
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: 
 a) a a0 04cos , 270 360
5
= < < b) 2cos , 0
25
πα α= − < < 
 c) a a5sin ,
13 2
π π= < < d) 0 01sin , 180 270
3
α α= − < < 
 e) a a 3tan 3,
2
ππ= < < f) tan 2,
2
πα α π= − < < 
 g) 0cot15 2 3= + h) 3cot 3,
2
πα π α= < < 
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: 
 a) a aA khi a a
a a
cot tan 3sin , 0
cot tan 5 2
π+
= = < <
−
 ĐS: 25
7
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 6 
 b) a aB khi a a
a a
2
0 08tan 3cot 1 1sin , 90 180
tan cot 3
+ −
= = < <
+
 ĐS: 8
3
 c) a a a aC khi a
a a a a
2 2
2 2
sin 2sin .cos 2 cos cot 3
2sin 3sin .cos 4 cos
+ −
= = −
− +
 ĐS: 23
47
− 
 d) a aD khi a
a a3 3
sin 5cos tan 2
sin 2 cos
+
= =
−
 ĐS: 55
6
 e) a a aE khi a
a a
3 3
3
8cos 2sin cos tan 2
2 cos sin
− +
= =
−
 ĐS: 3
2
− 
 g) a aG khi a
a a
cot 3tan 2cos
2 cot tan 3
+
= = −
+
 ĐS: 19
13
 h) a aH khi a
a a
sin cos tan 5
cos sin
+
= =
−
 ĐS: 3
2
− 
Bài 3. Cho a a 5sin cos
4
+ = . Tính giá trị các biểu thức sau: 
 a) A a asin .cos= b) B a asin cos= − c) C a a3 3sin cos= − 
 ĐS: a) 9
32
 b) 7
4
± c) 41 7
128
± 
Bài 4. Cho a atan cot 3− = . Tính giá trị các biểu thức sau: 
 a) A a a2 2tan cot= + b) B a atan cot= + c) C a a4 4tan cot= − 
 ĐS: a) 11 b) 13± c) 33 13± 
Bài 5. 
 a) Cho x x4 4 33sin cos
4
+ = . Tính A x x4 4sin 3cos= + . ĐS: 7A
4
= 
 b) Cho x x4 4 13sin cos
2
− = . Tính B x x4 4sin 3cos= + . ĐS: B = 1 
 c) Cho x x4 4 74sin 3cos
4
+ = . Tính C x x4 43sin 4 cos= + . ĐS: C C7 57
4 28
= ∨ = 
Bài 6. 
 a) Cho x x 1sin cos
5
+ = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot . 
 b) Cho x xtan cot 4+ = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot . 
 ĐS: a) 4 3 4 3; ; ;
5 5 3 4
− − − b) 1 2 3; ; 2 3; 2 3
22 2 3
−
+ −
−
 hoặc 2 3 12 3; 2 3; ;
2 2 2 3
−
− +
−
Bài 7. 
 a) 
VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết 
 Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết). 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 7 
Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: 
 a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 
 b) 7 13 5 10 5 11 16 13 29 319 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
2 4 4 3 3 3 3 6 6 4
π π π π π π π π π ππ π − − − − 
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: 
 a) A x x xcos cos(2 ) cos(3 )
2
π π π
 
= + + − + + 
 
 b) B x x x x7 32 cos 3cos( ) 5sin cot
2 2
π ππ
   
= − − + − + −   
   
 c) C x x x x32sin sin(5 ) sin cos
2 2 2
π π ππ
     
= + + − + + + +     
     
 d) D x x x x3 3cos(5 ) sin tan cot(3 )
2 2
π ππ π
   
= − − + + − + −   
   
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: 
 a) A
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 )
cot 572 tan( 212 )
− − −
= −
−
 ĐS: A = –1 
 b) B
0 0
0
0 0
sin( 234 ) cos216 .tan36
sin144 cos126
− −
=
−
 ĐS: B 1= − 
 c) C 0 0 0 0 0cos20 cos40 cos60 ... cos160 cos180= + + + + + ĐS: C 1= − 
 d) D 2 0 2 0 2 0 2 0cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 180= + + + + ĐS: D 9= 
 e) E 0 0 0 0 0sin 20 sin 40 sin 60 ... sin340 sin360= + + + + + ĐS: E 0= 
 f) x x x x0 0 0 02sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )+ + − + + − ĐS: F x1 cos= + 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 8 
VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác 
 Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong 
khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. 
 Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: 
 A B C π+ + = và A B C
2 2 2 2
π
+ + = 
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) x x x4 4 2sin cos 1 2 cos− = − 
 b) x x x x4 4 2 2sin cos 1 2 cos .sin+ = − 
 c) x x x x6 6 2 2sin cos 1 3sin .cos+ = − 
 d) x x ... iến đổi thành tích: 
 a) x2sin 4 2+ b) x23 4 cos− 
 c) x21 3tan− d) x x xsin 2 sin 4 sin 6+ + 
 e) x x3 4 cos4 cos8+ + f) x x x xsin 5 sin 6 sin 7 sin8+ + + 
 cos cos 2 cos .cos
2 2
a b a ba b + −+ = 
 cos cos 2sin .sin
2 2
a b a ba b + −− = −
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a ba b + −+ =
sin sin 2 cos .sin
2 2
a b a ba b + −− = 
 sin( )tan tan
cos .cos
a ba b
a b
+
+ = 
 sin( )tan tan
cos .cos
a ba b
a b
−
− = 
 sin( )cot cot
sin .sin
a ba b
a b
+
+ = 
 b aa b
a b
sin( )cot cot
sin .sin
−
− = 
 1cos .cos cos( ) cos( )
2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 = − + + 
 = − − + 
 = − + + 
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
π πα α α α
   
+ = + = −   
   
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +   
   
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 16 
 g) x x x1 sin 2 –cos2 –tan 2+ h) o ox x2 2sin ( 90 ) 3cos ( 90 )+ − − 
 i) x x x xcos5 cos8 cos9 cos12+ + + k) x xcos sin 1+ + 
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: 
 a) x x x xA
x x x x
cos7 cos8 cos9 cos10
sin 7 sin8 sin 9 sin10
− − +
=
− − +
 b) x x xB
x x x
sin 2 2sin3 sin 4
sin3 2sin 4 sin 5
+ +
=
+ +
 c) x x xC
x x2
1 cos cos2 cos3
cos 2 cos 1
+ + +
=
+ −
 d) x x xD
x x x
sin 4 sin 5 sin 6
cos4 cos5 cos6
+ +
=
+ +
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
 a) A 2cos cos
5 5
π π
= + b) B 7tan tan
24 24
π π
= + 
 c) o o oC 2 2 2sin 70 .sin 50 .sin 10= d) o o o oD 2 2sin 17 sin 43 sin17 .sin 43= + + 
 e) o
o
E 1 2sin 70
2sin10
= − f) 
o o
F 1 3
sin10 cos10
= − 
 g) 
o o
o o o o
G tan80 cot10
cot 25 cot 75 tan 25 tan 75
= −
+ +
 h) H 0 0 0 0tan 9 tan 27 tan 63 tan81= − − + 
 ĐS: A 1
2
= B 2( 6 3)= − C 1
64
= D 3
4
= 
 E = 1 F = 4 G = 1 H = 4 
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
 a) 7 13 19 25sin sin sin sin sin
30 30 30 30 30
π π π π π ĐS: 1
32
 b) o o o o o16.sin10 .sin30 .sin 50 .sin 70 .sin 90 ĐS: 1 
 c) o o o ocos24 cos48 cos84 cos12+ − − ĐS: 1
2
 d) 2 4 6cos cos cos
7 7 7
π π π
+ + ĐS: 1
2
− 
 e) 2 3cos cos cos
7 7 7
π π π
− + ĐS: 1
2
 f) 5 7cos cos cos
9 9 9
π π π
+ + ĐS: 0 
 g) 2 4 6 8cos cos cos cos
5 5 5 5
π π π π
+ + + ĐS: –1 
 h) 3 5 7 9cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11
π π π π π
+ + + + ĐS: 1
2
Bài 7. Chứng minh rằng: 
 a) o o o otan 9 tan 27 tan 63 tan81 4− − + = 
 b) o o otan 20 tan 40 tan80 3 3− + = 
 c) o o o otan10 tan 50 tan 60 tan 70 2 3− + + = 
 d) o o o o o8 3tan30 tan 40 tan 50 tan 60 .cos20
3
+ + + = 
 e) o o o o otan 20 tan 40 tan80 tan 60 8sin 40+ + + = 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 17 
 f) o o o6 4 2tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0− + − = 
Bài 8. Tính các tổng sau: 
 a) S n k1 cos cos3 cos5 ... cos(2 1) ( )α α α α α π= + + + + − ≠ 
 b) nS
n n n n2
2 3 ( 1)sin sin sin ... sin .π π π π−= + + + + 
 c) nS
n n n n3
3 5 (2 1)cos cos cos ... cos .π π π π−= + + + 
 d) S vôùi a
a a a a a a4
1 1 1... , .
cos .cos2 cos2 .cos3 cos4 .cos5 5
π
= + + + = 
 e) 
n
S
x x x x5 1
1 1 1 11 1 1 ... 1
cos cos2 cos3 cos2 −
     
= + + + +          
 ĐS: nS1
sin 2
2sin
α
α
= ; S
n2
cot
2
π
= ; S
n3
cos π= − ; 
 a aS
a4
tan 5 tan 1 5
sin
−
= = − ; 
n xS
x
1
5
tan 2
tan
2
−
= 
Bài 9. 
 a) Chứng minh rằng: x x x3 1sin (3sin sin3 ) (1)
4
= − 
 b) Thay nnn n
a a a ax vaøo tính S 3 3 1 3
2
(1), sin 3sin ... 3 sin .
33 3 3
−= = + + + 
 ĐS: nn n
aS a1 3 sin sin .
4 3
 
= − 
 
Bài 10. 
 a) Chứng minh rằng: aa
a
sin 2cos
2sin
= . 
 b) Tính n n
x x xP
2
cos cos ... cos .
2 2 2
= ĐS: n
n
n
xP
x
sin .
2 sin
2
= 
Bài 11. 
 a) Chứng minh rằng: x x
x
1 cot cot
sin 2
= − . 
 b) Tính n
n
S k1
1
1 1 1... (2 )
sin sin 2 sin 2
α π
α α α
−
−
= + + + ≠ ĐS: nS 1cot cot 2
2
α α−= − 
Bài 12. 
 a) Chứng minh rằng: x x x x2tan .tan 2 tan 2 2 tan= − . 
 b) Tính nn n n
a a a a aS a2 2 1 2
2 1
tan .tan 2 tan .tan ... 2 tan .tan
2 22 2 2
−
−
= + + + 
 ĐS: nn n
aS atan 2 tan
2
= − 
Bài 13. Tính x2sin 2 , biết: 
x x x x2 2 2 2
1 1 1 1 7
tan cot sin cos
+ + + = ĐS: 8
9
Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau: 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 18 
 a) x x x xcot tan 2 tan 2 4 cot 4− − = b) x x
x x
21 2sin 2 1 tan 2
1 sin 4 1 tan 2
− +
=
− −
 c) xx
x x
2
6
6 2
1 3tantan 1
cos cos
− = + d) x xx
x x x
1 sin 2 cos2tan 4
cos4 sin 2 cos2
−
− =
+
 e) x x x x x xtan 6 tan 4 tan 2 tan 2 .tan 4 .tan 6− − = 
 f) x x x x
x
sin 7 1 2 cos2 2 cos4 2 cos6
sin
= + + + 
 g) x x x x x xcos5 .cos3 sin 7 .sin cos2 .cos4+ = 
Bài 15. 
 a) Cho a b bsin(2 ) 5sin+ = . Chứng minh: a b
a
2 tan( ) 3
tan
+
= 
 b) Cho a b atan( ) 3tan+ = . Chứng minh: a b a bsin(2 2 ) sin 2 2sin 2+ + = 
Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh: 
 a) A B CA B Csin sin sin 4 cos cos cos
2 2 2
+ + = 
 b) A B CA B Ccos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
+ + = + 
 c) A B C A B Csin 2 sin 2 sin 2 4sin .sin .sin+ + = 
 d) A B C A B Ccos2 cos2 cos2 1 4 cos .cos .cos+ + = − − 
 e) A B C A B C2 2 2cos cos cos 1 2 cos .cos .cos+ + = − 
 f) A B C A B C2 2 2sin sin sin 2 2 cos .cos .cos+ + = + 
Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết: 
 a) B C vaø B C 1sin .sin .
3 2
π
− = = ĐS: B C A, ,
2 6 3
π π π
= = = 
 b) B C vaø B C2 1 3sin .cos .
3 4
π +
+ = = ĐS: A B C5, ,
3 12 4
π π π
= = = 
Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông: 
 a) A B Ccos2 cos2 cos2 1+ + = − b) A B Ctan 2 tan 2 tan 2 0+ + = 
 c) b c a
B C B Ccos cos sin .sin
+ = d) B a c
b
cot
2
+
= 
Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân: 
 a) A Ba A b B a btan tan ( ) tan
2
+
+ = + b) B C B C22 tan tan tan .tan+ = 
 c) A B A B
A B
sin sin 1 (tan tan )
cos cos 2
+
= +
+
 d) C A B
C
2sin .sincot
2 sin
= 
Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: 
 a) A B C 3 3sin sin sin
2
+ + ≤ HD: Cộng sin
3
π vào VT. 
 b) A B C 3cos cos cos
2
+ + ≤ HD: Cộng cos
3
π vào VT. 
 c) A B Ctan tan tan 3 3+ + ≥ (với A, B, C nhọn) 
 d) A B C 1cos .cos .cos
8
≤ HD: Biến đổi A B C 1cos .cos .cos
8
− về dạng hằng đẳng thức. 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 19 
 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI 
Bài 11. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) x x x x
x x x
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos tan
cos sin sin
− +
=
− +
 b) x x x x x2(tan 2 tan )(sin 2 tan ) tan− − = 
 c) xx x
x
2 2 6 2 cos4tan cot
1 cos4
+
+ =
−
 d) x x x
x x x
1 cos 1 cos 4 cot
1 cos 1 cos sin
+ −
− =
− +
 e) x x x x
x x
2 2sin cos1 sin .cos
1 cot 1 tan
− − =
+ +
 f) x x x0 0cos cos(120 ) cos(120 ) 0+ − + + = 
 g) 
x x
x
x x
2 cos 2 cos
4
tan
2sin 2 sin
4
π
π
 
− + 
  =
 
+ − 
 
 h) 
x x
x xx
2 2
2 2
3cot cot
2 2 8
3cos .cos . 1 cot
2 2
−
=
 
+ 
 
 i) x x x x6 6 21cos sin cos2 1 sin 2
4
 
− = − 
 
 k) x x x x4 4cos sin sin 2 2 cos 2
4
π 
− + = − 
 
Bài 12. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 
 a) x x x x4 4 6 63(sin cos ) 2(sin cos )+ − + 
 b) x x x x x x6 4 2 2 4 4cos 2sin cos 3sin cos sin+ + + 
 c) x x x x 3cos .cos cos .cos
3 4 6 4
π π π π       
− + + + +       
       
 d) x x x2 2 22 2cos cos cos
3 3
π π   
+ + + −   
   
Bài 13. a) Chứng minh: 1cot cot 2
sin 2
α α
α
− = . 
 b) Chứng minh: x x
x x x x
1 1 1 1 cot cot16
sin 2 sin 4 sin8 sin16
+ + + = − . 
Bài 14. a) Chứng minh: tan cot 2 cot 2α α α= − . 
 b) Chứng minh: 
n n n n
x x x x x
2 2
1 1 1 1tan tan ... tan cot cot
2 2 2 2 2 2 2 2
+ + + = − . 
Bài 15. a) Chứng minh: 
x x x2 2 2
1 4 1
4 cos sin 2 4sin
= − . 
 b) Chứng minh: 
n n
n n
x x x xx22 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1...
sin4 cos 4 cos 4 cos 4 sin
2 2 2 2
+ + + = − . 
Bài 16. a) Chứng minh: x x x3 1sin (3sin sin3 )
4
= − . 
 b) Chứng minh: n n
n n
x x x x x3 3 1 3
2
1sin 3sin ... 3 sin 3 sin sin
3 43 3 3
−  + + + = − 
 
. 
Bài 17. a) Chứng minh: 1 tan 21
cos2 tan
α
α α
+ = . 
 b) Chứng minh: 
n
n
x
x xx x2
1 1 1 tan 21 1 ... 1
cos2 tancos2 cos2
    
+ + + =        
. 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 20 
Bài 18. a) Chứng minh: sin 2cos
2sin
αα
α
= . 
 b) Chứng minh: 
n n
n
x x x x
x2
sincos .cos ...cos
2 2 2 2 sin
2
= . 
Bài 19. Đơn giản các biểu thức sau: 
 a) o o o o o o o o oA tan3 .tan17 .tan 23 .tan37 .tan 43 .tan 57 .tan 63 .tan 77 .tan83= 
 b) B 2 4 6 8cos cos cos cos
5 5 5 5
π π π π
= + + + 
 c) C 11 5sin .cos
12 12
π π
= 
 d) D 5 7 11sin .sin .sin .sin
24 24 24 24
π π π π
= 
 HD: a) oA tan 27= . Sử dụng x x x x0 0tan .tan(60 ).tan(60 ) tan3− + = . 
 b) B = –1 c) C 1 3
2 4
= − d) D 1
16
= 
Bài 20. Chứng minh: 
 a) 2 3 1cos cos cos
7 7 7 2
π π π
− + = 
 b) o o3 28sin 18 8sin 18 1+ = 
 c) 8 4 tan 2 tan tan cot
8 16 32 32
π π π π
+ + + = 
 d) 
o o
1 1 4
3cos290 3.sin 250
+ = 
 e) o o o o o8 3tan30 tan 40 tan 50 tan 60 cos20
3
+ + + = 
 f) o o o o o 3 1cos12 cos18 4 cos15 .cos21 .cos24
2
+
+ − = − 
 g) o o o otan 20 tan 40 3.tan 20 .tan 40 3+ + = 
 h) 3 9 1cos cos ... cos
11 11 11 2
π π π
+ + + = 
 i) 2 4 10 1cos cos ... cos
11 11 11 2
π π π
+ + + = − 
Bài 21. a) Chứng minh: x x x x x1sin .cos .cos2 .cos4 sin8
8
= . 
 b) Áp dụng tính: A 0 0 0 0sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78= , B 3 5cos .cos .cos
7 7 7
π π π
= . 
Bài 22. a) Chứng minh: x x x4 3 1 1sin cos2 cos4
8 2 8
= − + . 
 b) Áp dụng tính: S 4 4 4 43 5 7sin sin sin sin
16 16 16 16
π π π π
= + + + . ĐS: S 3
2
= 
Bài 23. a) Chứng minh: xx
x
1 cos2tan
sin 2
−
= . 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác 
Trang 21 
 b) Áp dụng tính: S 2 2 23 5tan tan tan
12 12 12
π π π
= + + . 
Bài 24. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau: 
 a) 0 0sin18 , cos18 b) A 2 0 2 0 0 0cos 18 .sin 36 cos36 .sin18= − 
 c) B 2 0 2 0sin 24 sin 6= − 
 d) C 0 0 0 0 0 0 0 0 0sin 2 .sin18 .sin 22 .sin38 .sin 42 .sin 58 .sin 62 .sin 78 .sin82= 
 HD: a) 0 5 1sin18
4
−
= . Chú ý: 0 0sin 54 cos36= ⇒ 0 0sin(3.18 ) cos(2.18 )= 
 b) A 1
16
= c) B 5 1
4
−
= 
 d) C 5 1
1024
−
= . Sử dụng: x x x x0 0 1sin .sin(60 ).sin(60 ) sin3
4
− + = 
Bài 25. Chứng minh rằng: 
 a) Nếu a bcos( ) 0+ = thì a b asin( 2 ) sin+ = . 
 b) Nếu a b bsin(2 ) 3sin+ = thì a b atan( ) 2 tan+ = . 
Bài 26. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: 
 a) b B c C a B Ccos cos cos( )+ = − b) S R A B C22 sin .sin .sin= 
 c) S R a A b B c C2 ( cos cos cos )= + + d) A B Cr R4 sin sin sin
2 2 2
= 
Bài 27. Chứng minh rằng: 
 a) Nếu B CA
B C
sin sinsin
cos cos
+
=
+
 thì tam giác ABC vuông tại A. 
 b) Nếu B B
C C
2
2
tan sin
tan sin
= thì tam giác ABC vuông hoặc cân. 
 c) Nếu B A
C
sin 2 cos
sin
= thì tam giác ABC cân.