Bài tập môn Toán Lớp 10 (Có đáp án) - Các dạng bài tập khác về đường Elip

Các dạng bài tập khác về đường Elip
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Biết Elip (E) có các tiêu điểm F1( - √7; 0), F2(√7; 0) và đi qua M(- √7;  ) . Gọi N là điểm đối xứng với M qua gốc toạ độ. Khi đó
A.  = 1    B. OM = 3
C. ON = 3    D. NF1 + MF1 = 8.
Hướng dẫn giải:
Ta có N đối xứng với M qua gốc tọa độ nên N(√7; -  ) .
Suy ra: NF1 =  ; MF1 = 
Từ đó: NF1 + MF1 = 8.
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho elíp có phương trình 16x2 + 25y2 = 100.Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ x = 2 đến hai tiêu điểm.
A. √3    B. 2√2    C. 5    D. 4√3
Hướng dẫn giải:
Ta có: 16x2 + 25y2 = 100 ⇔ 
Tổng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc Elip đến 2 tiêu điểm bằng 2a = 5.
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho Elip (E):  = 1 và điểm M nằm trên (E). Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng
A. 4 ± √2    B. 3 và 5.    C. 3,5 và 4,5 .    D. 4 ± 
Hướng dẫn giải
Ta có a2 = 16; b2 = 12 nên c2 = a2 - b2 = 4
⇒ a = 4; c = 2 và hai tiêu điểm F1 ( - 2;0); F2 (2;0).
Điểm M thuộc (E) và xM = 1 ⇒ yM = ± 
Tâm sai của elip e =  ⇒ e =  .
⇒ MF1 = a + exM = 4,5; MF2 = a - exM = 3,5
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho elip (E):  = 1 và điểm M nằm trên (E). Nếu M có hoành độ bằng
- 13 thì khỏang cách từ M đến hai tiêu điểm bằng
A. 10 và 6    B. 8 và 18    C. 13 ± √5    D. 13 ± √10
Hướng dẫn giải
Từ dạng của elip  = 1 ta có 
Suy ra: c2 = a2 – b2 = 25 nên c = 5.
Tâm sai của elip e =  ⇒ e =  .
⇒ MF1 = a + exM = 8; MF2 = a - exM = 18
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho elip (E):  = 1 , với tiêu điểm F1; F2. Lấy hai điểm A; B thuộc elip (E) sao cho AF1 + BF1 = 8. Khi đó, AF2 + BF2 = ?
A. 6    B. 8    C. 12    D. 10
Lời giải
+ Elip ( E):  = 1 có a2 = 25 nên a = 5
+ Do A ∈( E) nên AF1 + AF2 = 2a = 10.
+ Do B ∈( E) nên BF1 + BF2 = 2a = 10
⇒ AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 20
⇔ (AF1 + BF1 ) + (AF2 + BF2 ) = 20
⇔ 8 + (AF2 + BF2 ) = 20
⇔ AF2 + BF2 = 12
Chọn C.
Ví dụ 6: Cho elip (E):  = 1. Qua một tiêu điểm của (E) dựng đường thẳng song song với trục Oy và cắt (E) tại hai điểm M và N. Tính độ dài MN.
A.     B.     C. 25    D. 
Lời giải
+ Xét elip (E):  = 1 có:
a2 = 100; b2 = 36 nên c2 = a2 – b2 = 64
+ Khi đó, Elip có tiêu điểm F1 ( - 8; 0)
⇒ đường thẳng d// Oy và đi qua F1 là x = - 8.
+ Giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ phương trình :
Vậy tọa độ hai giao điểm của d và (E) là M( - 8;  ) và N( - 8; -  )
⇒ MN = 
Chọn B.
Ví dụ 7: Cho ( E):  = 1. Một đường thẳng đi qua điểm A(2; 2) và song song với trục hoành cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N. Tính độ dài MN.
A. 3√5    B. 15√2    C. 2√15    D. 5√3
Lời giải
+ Phương trình đường thẳng d: 
⇒ (d) có phương trình là y = 2
+ Ta có d cắt (E) tại M và N nên tọa độ M và N là nghiệm hệ phương trình:
⇒ Tọa độ hai điểm M( √15; 2);N( - √15; 2)
Vậy độ dài đoạn thẳng MN = 2√15 .
Chọn C.
Ví dụ 8: Cho elip:  = 1. Hỏi có bao nhiêu điểm thuộc elip có tọa độ nguyên?
A. 1    B. 4    C. 3    D. 8
Lời giải
Nếu điểm M(x; y) thuộc elip thì các điểm A( x; - y) ; B( - x; y) ; C( - x; - y) cũng thuộc elip. Do đó; ta xét điểm M có tọa độ nguyên dương.
Từ  = 1 ⇔ x2 = 8 - 4y2
Phương trình trên có nghiệm nếu: 8 - 4y2 ≥ 0
Kết hợp x; y > 0 nên 0 < y ≤ √2
⇒ y = 1 và x = 2.
⇒ Các điểm thuộc elip có tọa độ nguyên là: (2;1); (-2; 1); (2; -1) và ( -2; -1)
Chọn B.
Ví dụ 9: Cho elip:  = 1. Có bao nhiêu điểm M thuộc elip sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600?
A. 1    B. 2    C. 3    D. 4
Lời giải
+ Ta có; a2 = 9; b2 = 5 nên c2 = a2 – b2 = 4
⇒ a = 3 và c = 2.
+ Elip có hai tiêu điểm là F1( - 2; 0) và F2 ( 2; 0)
+ Với mọi điểm M ta có: MF1 = a +  = 3 +  ; MF2 = a -  = 3 - 
MF1 + MF2 = 2a = 6
+ Xét tam giác MF1F2; áp dụng định lí cosin ta có:
F1F22 = MF12 + MF22 – 2. MF1. MF2. cosM
= [ ( MF1 + MF2)2 - MF1 = a +  = 3 +  ] – 2.MF1.MF2.cos600.
⇔ 42 = 62 – 3.MF1. MF2
⇔ 16 = 36 - 3. (3 +  ) .( 3 -  )
⇔ 20 = 3. ( 9 -  ) ⇔ x2 = 
⇔ x = ±  ⇒ y = ± 
Vậy có bốn điểm thỏa mãn là:
Chọn D.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho elip (E):  = 1. Hai điểm A; B là hai đỉnh của elip lần lượt nằm trên hai trục Ox; Oy. Khi đó độ dài đoạn thẳng AB bằng:
A. 34    B. √34    C. 5    D. 4
Đáp án: B
Trả lời:
Ta có: a2 = 25 và b2 = 9
⇒ a = 5; b = 3.
⇒ Tọa độ hai đỉnh A và B là ( 5;0) và (0; 3).
⇒ OA = 5 và OB = 3.
Tam giác OAB vuông tại O có AB =  = √34
Vậy AB = √34.
Câu 2: Một elip (E) có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:
A. e =     B. e =     C. e =     D. e = 
Đáp án: D
Trả lời:
Xét phương trình chính tắc của elip ( E):  = 1
Độ dài trục lớn là 2a.
Độ dài trục nhỏ là 2b.
Do độ dài trục lớn dài gấp ba lần độ dài trục nhỏ nên: 2a = 3.(2b)
⇔ a = 3b ⇔ a2 = 9b2
⇔ a2 = 9(a2 – c2) ⇔ 8a2 = 9c2
⇔ 
Vậy e =  .
Câu 3: Một elip (E):  = 1. Khoảng cách giữa hai đỉnh A( a;0) và B(0; b) gấp  lần tiêu cự của nó. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:
A. e =     B. e =     C. e =     D. e = 
Đáp án: A
Trả lời:
Ta có khoảng cách giữa hai điểm A và B là: AB = 
Tiêu cự của elip đã cho là 2c.
Do khoảng cách giữa hai điểm AB gấp  lần tiêu cự của nó nên:
AB =  F1F2 ⇔  =  .2c = 3c
⇔ a2 + b2 = 9c2
⇔ a2 + (a2 - c2) = 9c2
⇔ 2a2 = 10c2 ⇔ a2 = 5c2
⇔ 
Vậy e =  .
Câu 4: Cho điểm M(2; 3) nằm trên đường elip (E) có phương trình chính tắc:
 = 1. Trong các điểm sau đây điểm nào không nằm trên (E):
A. M1(-2; 3)    B. M2(2; -3)    C. M3(-2; -3)    D. M4(3; 2)
Đáp án: D
Trả lời:
Điểm M đối xứng qua Ox có tọa độ là (2; -3)
Điểm M đối xứng qua Oy có tọa độ là (-2; 3).
Điểm M đối xứng qua gốc tọa độ O có tọa độ là (-2; -3).
Elip nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng; nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng nên các điểm M1; M2; M3 đều thuộc elip (E).
Câu 5: Elip (E):  = 1 có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng:
A. e = 1    B. e = √2    C. e =     D. e = 
Đáp án: C
Trả lời:
Elip (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b; tiêu cự là 2c với c = 
Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên: 2b = 2c ⇔ b = c
Suy ra: b2 = c2 ⇔ a2 - c2 = c2
⇔ a2 = 2c2
⇔ 
Vậy tâm sai e =