Bài tập tự luận Hình học 10 - Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp

PHÉP CỘNG CÁC VECTƠ
1. Cho bốn điểm A ; B ; C ; D
a) Chứng minh: + = + 	b) CMR: Nếu = thì = 
2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng: + + = + 
3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng : + + = + + 
4. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. Chứng minh rằng : + + + = + + + 
5. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/ + = 	b/ + =
c/ + + + = 	d/ + = + (với M là 1 điểm tùy ý)
6. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB. CMR : + = + 
7. Cho DABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý , , . CMR : + + = + + .
8. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính úç theo a
9. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính ½ç
b/ Dựng = . Tính ú½
10. Cho DABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng = . 
b/ Tính ú ½.
11. Cho hình bình hành ABCD tâm O. 
a) Chứng minh : + + + = 
b) Với M là điểm tuỳ ý . Chứng minh : +++= 4 
c) Xác định vị trí của M sao cho ½ + ++½ nhỏ nhất.
PHÉP TRỪ HAI VECTƠ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : - = + 
2. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/ + - - + - = 
b/ - - = - - 
c/ - - = - + 
3. Cho DABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/ - + = 
b/ - + = 
c/ - + = 
d/ - - = 
e/ + - + = 
4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính ½- ç	b/ Dựng = - . Tính ½ç
5. Cho DABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính ½ç
b/ Tính ½- ç
6. Cho DABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính ½ç
PHÉP NHÂN VECTƠ
1) Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : + + = 
b/ CMR : + + = + + 
2) Cho DABC có trọng tâm G. Gọi M Ỵ BC sao cho = 2
a/ CMR : + 2 = 3
b/ CMR : + + = 3
3) Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : + = 2
b/ CMR : + + + = 
c/ CMR : + + + = 4 (với M tùy ý)
4) Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : + + + = 
b/ CMR : ++ + = + + + 
c/ CMR : + + = 4 (với G là trung điểm FH)
5) Cho hai DABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. 
CMR : + + = 3
6) Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR: 
a/ + + + = 
b/ + + 2 = 3
c/ + 2 + 4 = 
7) Cho DABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho = . Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR : = + 
b/ CMR : = + 
8) Cho DABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho = 2 , = 3. Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
a/ = + 
b/ = + 
9) Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 + 3 = 5
CMR : B, C, D thẳng hàng.
10) Cho DABC, lấy M, N, P sao cho :
= 3;+3= và + = 
a/ Tính , theo và 
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
11) Cho DABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a/ CMR : 2 + + = 
b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2 + + = 4
12) Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm DABC.
a/ CMR : 2 = 2 + 
b/ CMR : 3 = + + 
13) Cho DABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho = 3. 
Tính theo và 
14) Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a/ CMR : = ( + 2)
b/ CMR : + + = 
c/ Tìm điểm M thỏa : - + = 
15) Cho DABC và 1 điểm M tùy ý.
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho = + , = + và = + . CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M.
b/ CMR : + + = + + 
16) Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/ = 
b/ + + = 
c/ | + ç = | - ç
d/ ú + ç = ú + ç
	e/ ú + +ç = ú - ç
	f/ ú 2 - -ç = ú + 2ç
TRỤC TOẠ ĐỘ – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.
1) Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của .
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 + 5 = 
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 + 3 = -1
2) Trong mp Oxy cho A(1; -2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ , , 
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : = 2 - 3
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : + 2 - 4 = 
3) Trong mp Oxy cho DABC có A(4; 3) , B(-1; 2) , C(3; -2).
a/ CMR : DABC cân. Tính chu vi DABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.
4) Trong mp Oxy cho DABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; -1).
a/ CMR : DABC vuông. Tính diện tích DABC.
b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
5) Trong mp Oxy cho DABC có A(-3; 6) , B(9; -10) , C(-5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp DABC và tính bán kính đường tròn đó.
6) Trong mp Oxy cho A(-3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho DABM vuông tại M.
7) Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho DABC cân tại C.
b/ Tính diện tích DABC.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
8) Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(-1; -1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.
c/ CMR : DABC vuông cân.
d/ Tính diện tích DABC.
10) Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích D OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm D OAB.
d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số nào ?
e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.