Bài tập về giới hạn của dãy số và hàm số

Bài tập về giới hạn của dãy số và hàm số

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa:

a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có

thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:

pdf 25 trang Người đăng trường đạt Lượt xem 3991Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập về giới hạn của dãy số và hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN 
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Định nghĩa: 
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới 
hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có 
thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số 
hạng nào đó trở đi. Kí 
hiệu:
 lim 0 hay u 0 khi n + .nunn    
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn 
là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực 
( n ), nếu  lim 0. n
n
u a

  Kí hiệu: 
  nlim hay u khi n + .n
n
u a a

    
 Chú ý:    lim limn n
n
u u

 . 
2. Một vài giới hạn đặc biệt. 
a) 
*
k
1 1
lim 0 , lim 0 , n
n
  
n
b)  lim 0 nq  với 1q  . 
c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. 
a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : 
*
n
v n
n n
u w    và 
     
n
lim lim lim u
n n
v w a a    . 
b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: 
     lim lim lim
n n n n
u v u v a b     
 lim . lim .lim .
n n n n
u v u v a b  
 
 
 *n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
nn
n n
uu a
b
v v b
     
   lim lim , 0 ,a 0
n n n
u u a u    
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công 
bội q ,với 1.q  
 1lim lim
1
n
u
S
q


5. Dãy số dần tới vô cực: 
a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực 
 
n
u  khi n dần tới vơ cực 
 n nếu un lớn hơn một số dương bất 
kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: 
lim(un)= hay un  khi n . 
b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi 
n nếu lim 
n
u   .Ký hiệu: 
lim(un)= hay un khi n . 
c) Định lý: 
o Nếu :    *nlim 0 u 0 , nnu     thì 
1
lim
n
u
  
o Nếu :  lim 
n
u  thì 
1
lim 0
n
u
 
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 
1. Giới hạn của dãy số (un) với 
 
 n
P n
u
Q n
 
với P,Q là các đa thức: 
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P 
là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số 
và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : 
  0
0
lim
n
a
u
b
 . 
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và 
mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0. 
o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk 
để đi đến kết quả :lim(un)= . 
2. Giới hạn của dãy số dạng: 
 
 n
f n
u
g n
 , f 
và g là các biển thức chứa căn. 
o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. 
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
Bài tập 
DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN 
Tính các giới hạn sau : 
Tính 
2 1
lim
n
n

Ta có : 
1
2
2 1
lim lim 2
n
n n
n n
 
     
Tính 
3 1
lim
2 1
n
n


Giải 
Ta có: 
1
3
3 1 3
lim lim
12 1 2
2
n
n n
n
n
n
 
    
  
 
 
Tính 
 
 
2
2
3 2 5
lim
7 8
n n
n n
Giải 
Ta có 
2
2
2 2
22
22
3 2 5 2 5
3
3 2 5 3
lim lim lim
1 87 87 8 7
7
n n
n n n n n
n nn n
n nn
 
 
 
 
  
 
Tính lim
3
3
21
523
n
nn


 Giải 
Ta có 
Ta có : lim
3
3
21
523
n
nn


=lim
)2
1
(
)
52
3(
3
3
32
3


n
n
nn
n
=lim
2
3
2
1
52
3
3
32



n
nn 
Tính 
3
3 2
2 3 1
lim
n n
n n
  
 
 
Giải 
Ta có : 
3
3
3 3 33
3 2 3 2
3
3 3
2 3
2 1
3
2 3 1
lim lim
2 1
3
lim 3
1
1
n n
n
n n nn n
n n n n
n
n n
n n
n
 
  
     
     
 
 
  

Tính 
2
2
4 1
lim
3 2
n n
n
 

Giải 
Ta có 
2
2 2
2
2
2
1 1
4
4 1
lim lim 2
33 2
2
n
n n n n
n
n
n
 
      
  
 
 
Tính 
2
2
3 1
lim
1 2
n n
n
 

Giải 
Ta có : 
2
2 2
2
2
1
3
3 1
lim lim
1 2 1 2
1 1 1
3
lim 0
1
2
n n
n n n
n n
n
n n n
n
 
 

 
 
  
  

Tính lim
n
nn
21
14 2


BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
giải 
Ta có : 
lim
n
nn
21
14 2


=lim
n
n
n
n
21
1
4
2


=lim
2
1
2
1
1
1
4
2



n
n 
Tính 
 

2
1 4
lim
3 2
n n
n
Giải 
 
 
 

 

 

2
2
2
1 4
1 4
lim lim
3 23 2
1
1 4
1 4 5
lim
2 3 3
3
n n
n n n
nn
n
n
n
Tính lim(n-
1
732


n
nn
) 
giải 
Ta có : 
2 2 23 7 ( ) ( 3 7)
lim
1 1
7
2
2 7
lim lim 2
11
1
n n n n n n
n
n n
n n
n
n
      
  
  
 
 
   
 
Tính 
2
2
lim
1
n n
n n 
Giải 
2
2
2
2
1
2
2 0
lim lim 0
1 11 1
1
n
n n n
n n
n
n n
  
   
  
 
Tính 
   
3 2
5
2 3 1
lim
1 4
n n
n
 

Giải 
   
3 2
5
3 2
5
5
5
2 1
3 1
2 3 1 27
lim lim
11 4 4
4
n
n n n n
n
n
n
   
          
  
 
 
Tính 
 
2
2
2 2
lim
2 1
n n
n
 

Giải 
Ta có : 
 
2
2 2
2
2
2 2
1
2 2 1
lim lim
1 22 1 2 1
n
n n n n
n n
n
 
      
   
 
Tính 
2
4 2
2 4
lim
2 1
n n
n n
 
 
Giải 
Ta có : 
2
2 2
4 2
2
2 4
1 4
2
2 4 2
lim lim 2
1 1 22 1
2
n
n n n n
n n
n
n n
 
       
 
 
Tính 
5 2
5 3
1
lim
2 1
n n
n n
 
 
Giải 
Ta có : 
5
5 2 3 5
5 3
5
2 5
1 1
1
1
lim lim 1
2 12 1
1
n
n n n n
n n
n
n n
 
      
   
  
 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
Tính 
2 3
lim
4
n
n
n
  
   
   
Giải 
Ta có : 
2 3 2 3
lim lim 0
4 4
n n nn
n 
                     
          
Tính 
3 4 1
lim
4 2 1
n n
n n
 
 
Giải 
Ta có 
3 1
4 1
4 43 4 1
lim lim 1
4 2 1 1 1
4 1
2 4
n n
n
n n
n n n n
n
    
              
      
          
Tính 
5.2 5
lim
2
n
n
cos n
Giải 
Ta có : 
5
2 5
5.2 5 2
lim lim 5
2 2
n
n n
n n
cos n
cos n
 
     
Tính 
7.2 4
lim
2.3 4
n n
n n


Giải 
Ta có : 
7
4 1
7.2 4 2
lim lim 1
2.3 4 3
4 2 1
4
n
n n n
n n n
n
 
    
   
  
   
Tính 
1 1
5.2 3
lim
2 3
n n
n n 


Giải 
Ta có : 
1 1
5.2 3 5.2 3
lim lim
2 3 2.2 3.3
2
3 5 1
3 1
lim
32
3 2 3
3
n n n n
n n n n
n
n
n
n
 
 

 
  
       
  
     
Tính 
2
cos
lim 3
n n
n
 
 
 
Giải 
Ta có : 
2
cos cos
lim 3 lim 3 3
n n n
n n
   
      
   
Vì 
coscos 1 1 cos
lim 0 lim 0
nn n
mà nên
n n n n n
   
Tính 
2
3
cos5
lim 5
n n
n
 
 
 
Giải 
Ta có : 
2
3
cos5 cos5
lim 5 lim 5 5
n n n
n n
   
      
  
Vì 
cos5cos5 1 1 cos5
lim 0 lim 0
nn n
mà nên
n n n n n
   
Tính lim( )1 22 nnn  
Giải 
Ta có : lim( )1 22 nnn  
=lim
nnn
nnnnnn


22
2222
1
)1)(1(
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
=lim
nnn
nnn


22
22
1
)()1(
=lim
nnn
n


22 1
1
=lim
2
1
1
1
1
1
1
1
2



nn
n 
Tính  2 2lim 1n n n   
Giải 
Ta có : 
 
  
2 2
2 2 2 2
2 2
lim 1
1 1
lim
1
n n n
n n n n n n
n n n
  
     

  
2 2
2
1
1
1 1
lim lim
21 11
1 1
n
n n
n n n
n
n n
 
     
   
   
 
Tính    2lim 2 3n n n 
Giải
 
  
  
     

  
  

  
2
2 2
2
2 2
2
lim 2 3
2 3 2 3
lim
2 3
2 3
lim
2 3
n n n
n n n n n n
n n n
n n n
n n n
 
 
   
   
 
 
2
2
2 3 2 3
lim lim
2 3 2 3
1 1
n n
n n n
n
n n

  

  
2
3
2
2
lim 1
1 12 3
1 1
n
n n
Tính  2 2lim 1 2n n n   
Giải 
Ta có : 
 
  
2 2
2 2 2 2
2 2
lim 1 2
1 2 1 2
lim
1 2
n n n
n n n n n
n n
  
     

  
   2 2
2 2 2 2
2 2
1 2 3
lim lim
1 2 1 2
3 3
lim
21 2
1 1
n n n n
n n n n
n
n
n n
      
     

  
 
   
 
Tính 
2 21 4 2
lim
3
n n n
n
   

Giải 
Ta có 
  
  
 
  
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 4 2
lim
3
1 4 2 1 4 2
lim
3 1 4 2
1 4 2
lim
3 1 4 2
n n n
n
n n n n n n
n n n n
n n n
n n n n
   

       

    
   

    
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
  
2
2 2
3 1
lim
3 1 4 2
n n
n n n n
  

    
2
2
2
2 2
1 1
3
lim 3
3 1 1 2
1 1 4
n
n n
n
n n n n
 
   
   
  
      
  
Tính  2 2lim 1 2n n n   
Giải 
Ta có : 
 
 
  
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 2
lim 1 2 lim
1 2
1 2 3
lim lim
1 2 1 2
3 3
lim
21 2
1 1
n n n
n n n
n n
n n n n
n n n n
n
n
n n
  
   
  
   
 
     

  
 
   
 
Tính   3 3lim 2n n 
Giải 
 
   
 
 
 
      
 
   
3 3
2
3 23 3 3 33
2
3 23 33
lim 2
2 2 2.
lim
2 2.
n n
n n n n n n
n n n n
   
 
 
 

   
 

   
3 3
3 3
2
3 23 33
2
3 23 33
2
lim
2 2.
2
lim
2 2.
n n
n n n n
n n
n n n n
 
2
233 33
2
lim 0
2 2.n n n n
 
   
Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát 
sau đây có giới hạn 0 : 
sin
1
n
n
u
n n


Giải 
Ta có : 
sin sinsin 1
1 1
1 sin
lim 0 lim 0
1
n nn
n nn n n n
n
mà nên
n n n
  
 
 

 
2
1
2
nu
n



Giải 
Ta có : 
       
2 2
1 1 1 1
lim 0 lim 0
2 2
n n
mà nên
n n n n
   
  
 
1
!
nu
n
 
Giải 
Ta có 
1 1 1 1
0 lim 0
! !
mà lim nên
n n n n
   
21 cos
2 1
n
n
u
n



Giải 
Ta có : 
2 21 cos 2 1 cos 2 1
2 1 22 1 2
n n
vì nên
n n nn n
   
 
 
21 1 cos
lim 0 lim 0
2 1
n
mà nên
n n

 

5
3 1
n
n n
u 

Giải 
Ta có : 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
5 5 5
3 1 3 3
5 5
lim 0 lim 0
3 3 1
n
n n
n n
n
n
n
mà nên
 
   
  
 
  
 
2
sin 2
n
n n
u
n n



Giải 
 2
2
sin 2 1 1
1
1 sin 2
lim 0 lim 0
n n n
n n n n n
n n
mà nên
n n n
 
 
 

 

  2
3
1 sin cos
2 1
n
n
n n
u
n
 


Giải 
Ta có : 
 
 
12
3
3 3 3
1
2
3
3
1 sin cos 2 1 1
2 1 2
1 sin cos1
lim 0 lim 0
2 1
n
n
n n
nn ... 
x x
x
x x
x x x x
x
x
 

 

   
     

Tính 
2
21
2 3
lim
2 1x
x x
x x
 
 
Giải 
Ta có : 
  
 
 
2
21 1
1
1 32 3
lim lim
12 1
2 1
2
3 4
lim 1
1 3
2
2
x x
x
x xx x
x x
x x
x
x
x
 

  

   
  
 

   
 
 
 
Tính 
2
21
2
lim
1x
x x
x
 

Giải 
Ta có : 
  
  
 
2
21 1
1
1 22
lim lim
1 1 1
2 3
lim 1
1 2
x x
x
x xx x
x x x
x
x
x
 

  

  

   

Tính 
 
3
0
1 1
lim
x
x
x
 
Giải 
   
 
3 2
0 0
3 31 1
lim lim 3 0
x x
x x xx
x
x x 
  
  
Tính 
3
22
8
lim
11 18x
x
x x

 
Giải 
Ta có : 
  
  
 
23
22 2
2
2
2 2 48
lim lim
11 18 2 9
2 4 12
lim 2
9 11
x x
x
x x xx
x x x x
x x
x
x
 

  

   
 
   

Tính 
 
3
0
3 27
lim
x
x
x
 
Giải 
Ta có : 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
 
 
 
3 3 2
0 0
2
0
3 27 9 27 27 27
lim lim
9 27
lim 27 0
x x
x
x x x x
x x
x x x
x
x
 

     

 
   
Tính 
3 2
3 23
2 5 2 3
lim
4 13 4 3x
x x x
x x x
  
  
Ta có : 
  
  
3 2
3 23
2 2
223 3
2 5 2 3
lim
4 13 4 3
3 2 1 2 1 11
lim lim
4 1 173 4 1
3
x
x x
x x x
x x x
x x x x x
x xx x x
x

 
  
  
    
  
   
 
Tính 
31
1 3
lim
1 1x x x
 
 
  
Giải 
Ta có : 
  3 21 1
1 3 1 3
lim lim
1 1 1 1 1x xx x x x x x 
  
              
     
  
  
 
2 2
2 21 1
221 1
1 3 2
lim lim
1 1 1 1
1 2 2
lim lim 1 1
11 1
x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x x
x
x xx x x
 
 
     
  
       
  
      
    
 Tính 
5
5
lim
5x
x
x


Giải 
Ta có : 
  
 
5 5
5 55
lim lim 2 5 5
5 5x x
x xx
x
x x 
 
   
 
Tính 
2
2
5 3
lim
2x
x
x
 

Ta có : 
  
  
  
  
  
 
2 2
2
2 2 2
2
2 22 2
22
5 3 5 35 3
lim lim
2 2 5 3
2 25 9
lim lim
2 5 3 2 5 3
2 2
lim 2
35 3
x x
x x
x
x xx
x x x
x xx
x x x x
x
x
x
 
 

    

   
  
 
     

     
 
Tính 
1
1
lim
3 2x
x
x

 
Giải 
Ta có : 
  
  
     
  
1 1
1 1
1 3 21
lim lim
3 2 3 2 3 2
1 3 2 1 3 2
lim lim
1 1 1
x x
x x
x xx
x x x
x x x x
x x x
 
 
  

     
     
 
  
 
1
3 2
lim 2 1
1x
x
x
x
 
   

Tính 
2
2
lim
7 3x
x
x

 
Giải 
Ta có : 
  
  2 2
2 7 32
lim lim
7 3 7 3 7 3x x
x xx
x x x 
  

     
  
 
2 2
2 7 3
lim lim 7 3 6
2x x
x x
x
x 
  
      

Tính 
1
3 2
lim
1x
x
x
 

Ta có : 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
  
  
  
 
1 1
1 1
3 2 3 23 2
lim lim
1 1 3 2
1 1 1
lim lim 1
43 21 3 2
x x
x x
x xx
x x x
x
x
xx x
 
 
    

   

    
   
Tính 
27
2 3
lim
49x
x
x
 

Giải 
Ta có : 
  
  
 
  
 
   
  
 
27
27
27
7
7
2 3
lim
49
2 3 2 3
lim
49 2 3
4 3
lim
49 2 3
7
lim
7 7 2 3
1 1
lim 7
567 2 3
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x x
x
x x x
x
x x





 

   

  
 

  
 

   

    
  
Tính 
2 2
23
2 6 2 6
lim
4 3x
x x x x
x x
    
 
Giải 
Ta có : 
  
  
2 2
23
2 2 2 2
3 2 2 2
2 6 2 6
lim
4 3
2 6 2 6 2 6 2 6
lim
4 3 2 6 2 6
x
x
x x x x
x x
x x x x x x x x
x x x x x x


    
 
         

      
 
  
   
  
 
2 2
3 2 2 2
3 2 2
3 2 2
2 6 2 6
lim
4 3 2 6 2 6
4 12
lim
1 3 2 6 2 6
4 1
lim 3
31 2 6 2 6
x
x
x
x x x x
x x x x x x
x
x x x x x x
x
x x x x x



    

      
 

      

    
     
Tính 
2
2 2
lim
7 3x
x
x
 
 
   
   
  
  
 
2
2
2 2
2 2
lim
7 3
2 2 7 3 2 2
lim
7 3 7 3 2 2
2 7 3 7 3 3
lim lim 2
22 22 2 2
x
x
x x
x
x
x x x
x x x
x x x
x
xx x


 
 
 
     

     
    
    
   
Tính 
2
3 2 5
lim
2 2x
x
x
 
 
Giải 
   
   
2
2
3 2 5
lim
2 2
3 2 5 3 2 5 2 2
lim
2 2 3 2 5 2 2
x
x
x
x
x x x
x x x


 
 
     

     
  
  
  
  
 
 
2
2
2
4 2 2 2
lim
2 3 2 5
2 2 2 2
lim
2 3 2 5
2 2 2 4
lim 2
33 2 5
x
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x



  

  
   

  
  
    
 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
Tính 
3
1
lim
1x
x
x


Giải 
Ta có : 
3
1 3 1
lim 2
1 3 1x
x
x
 
 
 
Tính 
4
2 1
lim
1x
x
x


Giải 
Ta có : 
4
2 1 2.4 1
lim 3
1 4 1x
x
x
 
 
 
Tính 
0
1 1
lim 1
1x x x
 
 
 
Giải 
Ta có : 
0 0 0
1 1 1 1
lim 1 lim lim 1
1 1 1x x x
x
x x x x x    
  
     
   
Tính 
  
2
22
4
lim
1 2x
x
x x


 
Giải 
Ta có : 
  
  
  
  
  
 
 
2
2 22 2
22
22
2 24
lim lim
1 2 1 2
2 2
lim
1 2
2 2
lim 0 2
1
x x
x
x
x xx
x x x x
x x
x x
x x
x
x
 


 


 

   
  

 
  
   

Tính 
3
21
1
lim
1x
x
x



Giải 
Ta có : 
  
  
  
23
21 1
2
1
1 11
lim lim
1 11
1 1
lim 0
1
x x
x
x x xx
x xx
x x x
x
 

 

  

 
  
 

Tính 
0
3
lim
2x
x x
x x



Giải 
Ta có : 
 
 0 0
0
33
lim lim
2 2
3 3 3 2
lim
22 2
x x
x
x xx x
x x x x
x
x
 

 



 

  

Tính 
3
2 1
lim
3x
x
x


Giải 
Ta có : 
 
 
3
3
lim 2 1 5
lim 3 0 3 0 3
x
x
x
x và x x




 


     
Nên 
3
2 1
lim
3x
x
x

 

Tính 
2
2 1
lim
2x
x
x


Giải 
Ta có : 
 
 
2
2
lim 2 1 3 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x




  


     
Nên 
2
2 1
lim
2x
x
x

 

Tính 
2
3 7
lim
2x
x
x


Giải 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
Ta có : 
 
 
2
2
lim 3 7 1 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x




   


     
Nên 
2
3 7
lim
2x
x
x

 

Tính 
2
2
2
lim
2x
x
x


Giải 
Ta có : 
 
 
2
2
2
lim 2 2 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x




   


     
Nên 
2
2
2
lim
2x
x
x

 

Tính 
 2
3 6
lim
2x
x
x 


Giải 
Ta có :  3 6 0 2x x     
Nên 
   
 
 2 2 2
3 6 3 2
lim lim lim 3 3
2 2x x x
x x
x x       
 
  
 
Tính 
 2
3 6
lim
2x
x
x 


Giải 
Ta có :  3 6 0 2x x     
Nên 
   
 
 2 2 2
3 6 3 2
lim lim lim 3 3
2 2x x x
x x
x x       
  
    
 
Tính 
 3
3 9
lim
3x
x
x 


Giải 
Ta có :  3 9 0 3x x     
Nên 
   
 
 3 3 3
3 9 3 3
lim lim lim 3 3
3 3x x x
x x
x x       
 
  
 
Tính 
 3
3 9
lim
3x
x
x 


Giải 
Ta có :  3 9 0 3x x     
Nên 
   
 
 3 3 3
3 9 3 3
lim lim lim 3 3
3 3x x x
x x
x x       
  
    
 
Tính 
 
2
1
3 2
lim
1x
x x
x 
 

Giải 
Ta có :  1 0 1x x     
Nên 
   
  
 
 
 
2
1 1
1
1 23 2
lim lim
1 1
lim 2 1
x x
x
x xx x
x x
x
 

   
 
  

  
    
Tính 
 
2
1
3 2
lim
1x
x x
x 
 

Giải 
Ta có :  1 0 1x x     
Nên 
   
  
 
 
2
1 1
1
1 23 2
lim lim
1 1
lim 2 1
x x
x
x xx x
x x
x
 

   
 
  

 
  
Tinh
2 2
lim
1x
x x
x
 

Giải 
Ta có : 
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
  
  
 
2 1 22
lim lim
1 1
1 2
lim lim 2
1
x x
x x
x xx x
x x
x x
x
x
 
 
  

  
 
     
 
Tính 
2 5 2
lim
2 1x
x x
x
 

Giải 
 Ta có : 
 
 
 
2 25 2 5 2
lim lim
2 1 2 1
9 1
lim
2 4 4 2 1
1 9 1
lim
2 4 4 2 1
x x
x
x
x x x x
x x
x
x
x
x x x
 


   

  
 
    
  
 
      
  
Tính 
2 4
0
3
lim
2x
x x
x

Giải 
Ta có : 
22 4
0 0
33
lim lim
2 2x x
x xx x
x x 

 
Xét 
2 2 2
0 0 0
3 3 3 3
lim lim lim
2 2 2 2x x x
x x x x x
x x    
  
  
2 2 2
0 0 0
3 3 3 3
lim lim lim
2 2 2 2x x x
x x x x x
x x    
    
   
vậy không tồn tại 
2 4
0
3
lim
2x
x x
x

. 
Tính 
2 4
0
2
lim
2x
x x
x

Giải 
Ta có : 
22 4
0 0
1 22
lim lim
2 2x x
x xx x
x x 

 
Xét 
2 2 2
0 0 0
1 2 1 2 1 2 1
lim lim lim
2 2 2 2x x x
x x x x x
x x    
  
  
2 2 2
0 0 0
1 2 1 2 1 2 1
lim lim lim
2 2 2 2x x x
x x x x x
x x    
    
   
vậy không tồn tại 
2 4
0
2
lim
2x
x x
x

. 
Cho hàm số 
 
 
 
 
2
2
9 3 3
1 3
9 3
x x
f x x
x x
    

 

 
Tính      
33 3
lim , lim , lim
xx x
f x f x f x
   
Giải 
Ta có : 
  2
3 3
lim lim 9 0
x x
f x x
  
   
  2
3 3
lim lim 9 0
x x
f x x
  
   
 
3
lim 0
x
f x

 
Cho hàm số 
 
 
 
3
1 3
, 1
1 1
2 1
x
x xf x
mx x

 
  
  
Với giá trị nào của m thì hàm số có giới hạn 
khi 1x ? Tìm giới hạn này. 
Giải 
Ta có : 
 
  
  
  
3
1 1
2
2 21 1
2
1
1 3
lim lim
1 1
1 21 3
lim lim
1 1 1 1
2
lim 1
1
x x
x x
x
f x
x x
x xx x
x x x x x x
x
x x
 
 

 
 

 
  
  
   
 
     

 
 
   
1 1
lim lim 2 2
x x
f x mx m
  
    
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC 
NGUỒN KHÁC ) 
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 
 Để hàm số có giới hạn 1x khi 
   
1 1
lim lim
1 2
1
x x
f x f x
m
m
  

  
  
Và  
1
lim 1 1
x
f x khi m

   

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai tap gioi han day du.pdf