Bài tập vecto lớp 10 có lời giải

ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
1 
VECTƠ VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA 
Các em xem video bài giảng tại 
https://www.youtube.com/watch?v=Q7fQdPeb2Bo&list=PLyaLUur87xVgaW57SXJ3xgpT
27DVF21N7&index=1 
https://www.youtube.com/watch?v=nX2FpKtiVf8&list=PLyaLUur87xVgaW57SXJ3xgpT2
7DVF21N7&index=2 
ĐIỀU CHỈNH NHỎ ÂM THANH ĐỂ DỄ NGHE HƠN 
NHỮNG ĐIỀU EM CẦN NHỚ 
1. Khái niệm vectơ 
 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. 
 Vectơ AB có A là điểm đầu, B là điểm cuối. 
 Vectơ còn được kí hiệu: , , ,...a b x 
2. Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu 0 . 
 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Hãy kể tên các vectơ khác 0 , có điểm đầu và điểm 
cuối là một trong các điểm A, B, C. 
3. Giá của vectơ AB là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B. 
Ví dụ: Đường thẳng d đi qua điểm A và điểm B nên đường thẳng d là giá của vectơ 
AB , và d cũng là giá của vectơ BA 
4. Hai vectơ a và b gọi là cùng phương nếu 2 vectơ đó có giá song song hoặc 
trùng nhau. 
 Nhận xét: Hai vectơ a và b không cùng phương  2 giá cắt nhau 
5. Hai vectơ a và b gọi là cùng hướng nếu chúng cùng phương và cùng chiều 
mũi tên. 
6. Hai vectơ a và b gọi là ngược hướng nếu chúng cùng phương và ngược 
chiều mũi tên. 
b
a
b
a
ba
b
a
ba
d
BA
ba
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
2 
 Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có 2 đáy AB và CD(2 đường thẳng AD và BC không 
song song). Gọi 2 điểm M, N nằm trên đường thẳng CD. 
 a) Các cặp vectơ sau có cùng phương hay không ? Nếu cùng phương thì hãy xét 
hướng của các cặp vectơ đó? AB và CD , DC và MN , AD và BC . 
 b) Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với CN . 
7. Độ dài vectơ AB là độ dài đoạn AB. Kí hiệu AB AB . 
8. Hai vectơ a và b gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Kí 
hiệu a b . 
Ví dụ 3: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Hãy kể tên các 
vectơ bằng với vectơ BM . 
 Nhận xét: 
 ,AB AC cùng phương  A, B, C thẳng hàng 
 ,AB CD cùng phương  Hai đường thẳng AB và CD song song hoặc 
trùng nhau. 
 0 AB Hai điểm A, B trùng nhau. 
   AB AC B C 
BÀI TẬP 
Bài 1. Cho hình lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O. 
a) Chỉ ra các vectơ khác 0 và cùng phương với vectơ FC . 
b) Tìm các vectơ bằng AB . 
ĐÁP ÁN: 
a) , , D, , O,OF, , ,AB BA E DE F OC CO CF . 
b) O, , DF OC E 
Bài 2. Có kết luận gì về vị trí của các điểm A, B, C trong các trường hợp sau: 
a) ,AB AC cùng phương b) , DAB C cùng phương. 
c) ,AB AC cùng hướng và độ dài AC > AB. 
d) ,AB AC ngược hướng và độ dài AB = AC. 
e) AB AC f) 0AB 
TRẢ LỜI 
a) Ba điểm A, B, C thẳng hàng vì khi ,AB AC cùng phương thì 2 đường thẳng AB, AC song 
song hoặc trùng nhau. Hai đường AB, AC có chung điểm A nên không thể song song được, chỉ 
có thể trùng nhau. Do đó, 3 điểm A, B, C thẳng hàng. 
b
a
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
3 
b) ,AB AC cùng hướng nên suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng và 2 điểm B và C nằm cùng phía 
đối với điểm A. Mặt khác, độ dài AC > AB nên điểm B nằm giữa 2 điểm A và C. 
c) ,AB AC ngược hướng nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng và A phải nằm giữa 2 điểm B và C. Mặt 
khác độ dài AB = AC nên A là trung điểm của BC. 
Bài 3. Cho tam giác ABC đều, có M là trung điểm BC. Các đẳng thức sau đây đúng hai sai: 
a) AB AC b) BM MC c) AB BC CA  d)
3
2
AB
AM  
TRẢ LỜI 
a) Đẳng thức AB AC sai vì 2 vectơ ,AB AC chỉ bằng nhau về độ dài, nhưng không cùng 
hướng theo định nghĩa. ĐẲNG THỨC SAI 
b) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Hai vectơ ,BM MC cùng hướng và độ dài bằng nhau nên đây là 2 
vectơ bằng nhau. 
c) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Tam giác ABC đều nên 3 cạnh AB, BC, CA có độ dài bằng nhau. 
Nghĩa là  AB BC CA . 
d) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Vì đây chính là công thức tính độ dài đường cao trong tam giác đều. 
Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh ABCD là hình bình hành AB DC  . 
Chứng minh:” ABCD là hình bình hành  AB DC “ 
Vì ABCD là hình bình hành nên 2 vectơ ,AB DC cùng phương, cùng 
hướng và độ dài bằng nhau. Suy ra AB DC . 
Chứng minh : “ AB DC  ABCD là hình bình hành” 
Tứ giác ABCD có AB DC , suy ra 
{𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑐ù𝑛𝑔 ℎướ𝑛𝑔
𝐴𝐵 = 𝐶𝐷
⟹Tứ giác ABCD có AB // CD và độ dài AB = CD. Suy ra AB DC . 
Vậy ABCD là hình bình hành AB DC  . 
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. AN và CM 
lần lượt cắt DB tại E và F. Chứng minh DE EF FB  . 
Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng 
,MK CP KL BN   . 
a) Chứng minh KP PN . 
b) Xét tính chất của tứ giác AKBN. Chứng minh A và L trùng nhau. 
C
A D
B
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
4 
LỜI GIẢI 
a)  MK CP Tứ giác MCPK là hình bình hành 
 KP MC 
Mặt khác: PN là đường trung bình tam giác ABC nên tứ giác 
PNCM là hình bình hành  PN MC . 
Vậy  KP PN MC . 
b) Theo câu a ta có KP PN , suy ra P là trung điểm của KN. 
Xét tứ giác AKBN có P là trung điểm của 2 đường chéo KN và AB. Suy ra tứ giác AKBN là 
hình bình hành nên BN KA . 
Mặt khác theo giả thiết ta có: KL BN . 
Suy ra   KL KA A L 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, 
BC, CD và DA. 
a) Các cặp vectơ sau đây có cùng phương không: AB và MB , 
QM và BD , AD và MC . 
b) Tìm các vectơ cùng hướng, ngược hướng với vectơ MN ? 
c) Tìm các vectơ lần lượt bằng với các vecto OB ? 
TRẢ LỜI 
a) Hai vectơ AB và MB cùng phương vì có giá trùng nhau. 
 Hai vectơ QM và BD cùng phương vì có giá song song. 
 Hai vectơ AD và MC không cùng phương vì có giá cắt nhau(kéo dài 2 đường MC và AD 
sẽ thấy rõ 2 đường thẳng này cắt nhau. 
b) Các vectơ cùng hướng với vectơ MN là: , , ,AC QP AO OC . 
 Các vectơ ngược hướng với vectơ MN là: , , , ,CA PQ OA CO NM . 
c) Các vectơ bằng với vectơ OB là , ,DO QM PN . 
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D. Chứng tỏ E DA B . 
Bài 3. Cho tam giác ABC. Hãy dựng các điểm M, N sao cho ,AM BC AN CB   . Nhận xét gì 
về hai vecto ,AM AN và 3 điểm A, M, N. 
Bài 4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng EH và FG bằng AD . Chứng minh rằng 
CDGH là hình bình hành. 
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho 
AM = CN. Chứng minh AN MC và DM BN . 
L
K
P N
M
A
B C
Q
P
N
M
O
CD
B
A
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
5 
Bài 6. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD, AB = 2CD. Từ C vẽ CI DA . 
a) Chứng minh I là trung điểm AB và DI CB . 
b) Chứng minh AI IB DC  . 
Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Dựng , , ,AM BA MN DA NP DC PQ NM     . Chứng 
minh rằng 0AQ  . 
BÀI TẬP VỀ TỔNG VÀ HIỆU VECTƠ 
CÁC KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI VECTƠ 
Kỹ thuật 1: Quy tắc 3 điểm 
Với 3 điểm A, B, M tùy ý, ta có 
 Quy tắc theo phép cộng: 𝑨𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑴𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 Quy tắc theo phép trừ: 𝑴𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑴𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
Kỹ thuật 2: Quy tắc hình bình hành 
 Nếu ABCD là hình bình hành thì B D CA A A  . 
 Ý nghĩa: Tổng 2 vectơ 2 cạnh bằng vectơ đường chéo. 
 Ta có thể áp dụng theo các cách khác: 
DB BA C B  ; DB AC C C  
Tính chất của phép cộng vectơ 
Cho 3 vectơ , ,a b c tùy ý, ta có 
Tính chất giao hoán: a b b a   . 
Tính chất kết hợp :    a b c a b c     . 
D
B C
A
A
B
M
A
B
M
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
6 
Tính chất của vectơ-không: 0 0a a a    . 
Vectơ đối 
 Vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng độ dài với vectơ a gọi là vectơ đối của 
vectơ a . Kí hiệu là a . 
 Vectơ đối của vectơ AB là BA . 
 Nhận xét: 
 BA AB  
 Nếu 2 vectơ a và b đối nhau thì ta có : 0a b  . 
BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ 
Có 3 cách để chứng minh đẳng thức vectơ. Một là biến đổi từ vế trái thành vế phải. Hai là 
biến đổi từ vế phải thành vế trái. Ba là chứng minh đẳng thức đó tương đương với một đẳng 
thức đúng đã biết. 
Bài 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng 
a) 0   AB BC CD DA b)   AB AD CB CD 
 c) D EA BE CF A BF CD     . 
Giải: 
a)     0        B B D DVT A C C A AC CA AA VP . 
b) Cách 1: AB AD CB CD DB DB     (luôn đúng). 
Cách 2: AB AD DA AB DB CB CD      . 
Cách 3:  VT AB AD AC CB AC CD AC AC CB CD CB CD VP             
c) Ta dùng kỹ thuật 1: quy tắc 3 điểm 
Cách 1: Biến đổi từ vế trái thành vế phải. 
   E D E E 0 EVT A BF CD E DF F A BF CD A BF CD             
Cách 2: Biến đổi từ vế phải thành vế trái. 
   D EF D D EF DVP A DE BE CF F A BE CF DE F            
 D 0 DA BE CF A BE CF       . 
Cách 3: Biến đổi tương đương 
D E D E 0A BE CF A BF CD A A BE BF CF CD            
D E 0 E D 0 0 0E F DF F E DF          (đúng). 
Bài 2. Cho hình bình hành tâm O. Chứng minh: 
a) 0  DA DB DC b)   DA DB OD OC 
c)  CO OB BA d)   MA MC MB MD 
Giải. 
a) Cách 1: 0     VT DA DB DC BA DC (vì 2 vectơ đối nhau) 
 Cách 2:   0     VT DA DC DB BD DB 
b) Cách 1:          VT DA DB DA BD BD DA BA CD OD OC 
O
C
A D
B
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
7 
 Cách 2:      VT DA DB BA CD OD OC 
 Cách 3:     DA DB OD OC BA CD . 
c) Cách 1:        D DVT CO OB CO BO CO O C BA . 
 Cách 2:     VT CO OB OA OB BA . 
 Cách 3:       CO OB BA CO OB BA CO OA 
d) Cách 1:      VT MA MC MB BA MD DC MB MD BA DC          
 0MB MD MB MD VP      (Do ,BA DC là 2 vectơ đối nhau). 
 Cách 2: MA MC MB MD MA MB MD MC BA C         D (đẳng thức đúng). 
Bài 3. Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngoài tam giác các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. 
Chứng minh 0RJ I PS  Q . 
Giải. 
VT RJ I PS RA AJ IB B PC CS        Q Q 
       0RA CS AJ IB B PC      Q 
Khó khăn lớn nhất trong bài này là không biết cách tìm điểm 
chèn. Các em hãy vẽ hình rõ ràng, bạn sẽ nhận ra rằng RJ có mối 
liên hệ gần nhất với điểm A, tương tự cho các điểm B và C. 
Bài 4. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O. 
a) Xác định các điểm M, N, P sao cho 
, ,OM OA OB ON OC OB OP OA OC       . Chứng minh 
các điểm M, N, P nằm trên đường tròn (O). 
b) Chứng minh rằng 0OA OB OC   . 
GIẢI 
a) Muốn chứng minh M, N, P nằm trên đường tròn (O) thì ta chứng 
minh OM = ON = OP = R. 
Đầu tiên ta có  OM OA OB , suy ra tứ giác OAMB là hình bình 
hành. 
Mặt khác, OA = OB nên suy ra tứ giác OAMB là hình thoi. 
Lại có tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn (O) nên góc 0 0120 60  AOB OAM . 
Hình thoi OAMB có góc 
060OAM nên tam giác OAM đều     OA OM M O . 
Tương tự ta chứng minh được các tam giác NOB và POC đều và suy ra 2 điểm P, N đều thuộc 
đường tròn (O). 
b) Ta có 0 0     OA OB OC OM OC . Ta sẽ chứng minh O là trung điểm MC. 
Tứ giác OCPA là hình thoi(do câu a) nên AP OC . 
Mặt khác, tứ giác OMAP cũng là hình thoi nên AP MO . 
Suy ra  OC MO O là trung điểm MC 0  OM OC . Vậy 0  OA OB OC . 
N
PM
O
A
B C
R
P
I
B
A C
J
Q
 ... 3     KI IA IB CB KI CB . 
Ta đã có điểm I được xác định ở câu a. Hai vectơ KI và CB cùng hướng và độ dài CB = 3KI. 
Vẽ đường thẳng qua I và song song với CB, chọn điểm K sao cho KI và CB cùng hướng và độ 
dài CB = 3KI. 
Bài 3: Cho tam giác ABC 
a) Xác định điểm O sao cho 2 0  OA OB OC . 
Gọi I là trung điểm AB. Ta có 2 OA OB OI . 
2 0 2 2 0 0        OA OB OC OI OC OI OC . 
Vậy O là trung điểm IC. 
c) Xác định điểm M sao cho   MA MB MC BC . 
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. 
Ta có 3  MA MB MC MG 
3    MA MB MC BC MG BC . 
Vẽ đường thẳng d qua trọng tâm G và song song với BC. Xác định điểm 
M trên d sao cho MG và BC cùng hướng, đồng thời độ dài BC = 3MG. 
Nhận xét: M là giao điểm của d và AB. 
BÀI TOÁN 4: PHÂN TÍCH VECTƠ THEO 2 VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG 
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi điểm M trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Phân tích vectơ AM 
theo 2 vectơ AB và AC . 
GIẢI 
Ta có 
2
2
3
MB MC BM BC   . 
 2 2 1 2
3 3 3 3
AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC         
Vậy ta phân tích được 
1 2
3 3
AM AB AC  . 
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. 
Gọi K là trung điểm MN. 
a) Phân tích AK theo 2 vectơ AB và AC . 
b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh 
1 1
4 3
KD AB AC  . 
K
B
I
A
C
O
I
BA
C
d
M
G
BA
C
A
B C
M
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
19 
Giải 
a) Ta có  1
2
AK AN AM  (vì K là trung điểm MN) 
1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 4 6
AB AC AB AC
   
      
   
b) Ta có  1 1 1
2 4 6
D DK A AK AB AC AB AC
 
      
 
1 1
4 3
AB AC  . 
Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng với B qua G. 
a) Chứng minh rằng 
2 1
3 3
AH AC AB  và 
1 1
3 3
CH AC AB   . 
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 
1 5
6 6
MH AC AB  . 
Giải 
a) Ta có 2AH AB AG  (quy tắc hình bình hành) 
   2 4 1 22
3 3 2 3
. .AM AC AB AC AB     
Suy ra  2 2 1
3 3 3
AH AC AB AB AC AB     . 
Mặt khác từ 
2 1 2 1 1 1
3 3 3 3 3 3
AH AC AB AC CH AC AB CH AC AB          
b) 
1 1 1 1 1 1 5
2 2 2 3 3 6 6
MH MC CH BC CH BA AC AC AB AC AB          . 
Bài 4: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên 
cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC. 
a) Phân tích ,AI AF theo ,AB AC . 
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG theo ,AI AF . 
Giải 
a) Ta có 2 3 2 3 0CI BI CI BI    
     2 3 0 5 3 2 1CA AI BA AI AI AB AC        
Ta có 5 2 5 2 0FB FC BF CF    
     5 2 0 3 5 2 2BA AF CA AF AF AB AC       . 
b) Ta có  
3
2 2 3 3
2
.AB AC AM AG AB AC AG      
Từ (1), (2), (3) ta có 
35 1
48 16
AG AI AF  . 
BÀI TOÁN 5: CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẰNG HÀNG 
K
M
D
A
B C
N
H
G
M
A
B C
F I
A
B C
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
20 
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi P là trung điểm AB, M là 
điểm đối xứng với B qua C. Điểm N thỏa điều kiện 
2 0NA NC  . 
a) Phân tích vectơ ,PM PN theo ,AB AC . 
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. 
Giải 
a) Ta có 
1
2
2
PM PB BM AB BC    
 1 1 32 2 2 2
2 2 2
AB BA AC AB AB AC AB AC         
Mặt khác: 
1 2
2 3
PN PA AN AB AC     . 
b) Theo câu a ta có 
3
2
2
1 2
2 3
PM AB AC
PN AB AC

  

   

1 2
3
2 3
3
1 2
2 3
PM AB AC
PM PN
PN AB AC
  
       
   

. 
Suy ra 2 vectơ ,PM PN cùng phương nên 3 điểm P, M, N thẳng hàng. 
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao 
cho BM = 2MI. Chứng minh A, M, C thẳng hàng. 
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N là điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB 
= 3AM, CD = 2CN. 
a) Phân tích AN theo ,AB AC . 
b) Gọi G là trọng tâm tam giác MNB, phân tích AG theo ,AB AC . 
c) Gọi I là điểm xác định bởi BI kBC . Tính AI theo ,AB AC và k. Tìm k để đường thẳng 
AI đi qua điểm G. 
M
P
A
B C
N
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
21 
Giải 
a) Vì N là trung điểm CD và ABCD là hình bình hành nên 
ta có 2AD AC AN  và AD AB AC  . 
1
2 2
2
AN AC AC AB AC AB AN AC AB        
b) Do G là trọng tâm tam giác BMN nên 
1
3
3
AG AB AM AN AB AN AB      
4 1 5
3
3 2 6
AG AB AC AB AB AC      . 
5 1
18 3
AG AB AC   . 
c)  AI AB BI AB kBC AB k BA AC       
  1AI k AB k AC   
AI đi qua G ,AI AG cùng phương  
5 1 6
1
18 3 11
k k k     . 
Bài 4. Cho tam giác ABC. Gọi điểm D định bởi 
2
3
DB BC và I là trung điểm của AD. Gọi M 
là điểm thỏa AM xAC với x số thực. 
a) Tính BI theo ,BA BC . b) Tính BM theo ,BA BC . 
c) Tính x để 3 điểm B, I, M thẳng hàng. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý. Chứng minh: 
a) 0OA OB OC OD    b) 4MA MB MC MD MO    
G
N C
A B
D
M
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
22 
Giải 
a) ,OA OC là 2 vectơ đối nhau nên 0OA OC  
,OB OD là 2 vectơ đối nhau nên 0OB OD  . 
Vậy 0OA OB OC OD    . 
b) O là trung điểm của AC nên 2MA MC MO  
O là trung điểm của BD nên 2MB MD MO  
Vậy 4MA MB MC MD MO    . 
Bài 2. Cho tam giác ABC. 
a) Xác định điểm D sao cho 2 0 DA AB 
b) Xác định điểm M sao cho 2  AB AC CM . 
c) Xác định điểm N sao cho 4 0  AB AC AN . 
d) Xác định điểm K sao cho 2 KA KB CB . 
e) Xác định điểm L sao cho   LA LB LC BC . 
f) Xác định điểm O sao cho 2 0  OA OB OC . 
g) Xác định điểm S sao cho 2   SA SB SC AB . 
Bài 3. Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả 
a) 2 0  MA MB MC b) 0  MA MB MC 
c) 0  MB MC BC d) 0  MB MC MA e) 0  MA MB MC . 
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD tâm O. 
a) Xác định điểm E sao cho 0  EA EB EC . 
b) Xác định điểm I sao cho   IA IB IC ID . 
c) Xác định điểm F sao cho 2 2 3  FA FB FC FD . 
Bài 5. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng 
2    MN AC BD BC AD . 
Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là một điểm 
tuỳ ý. Chứng minh: 
a) 0  AM BN CP b)     OA OB OC OM ON OP . 
Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC, CD và G là trung 
điểm của IJ. Chứng minh: 
a) 2 AB CD IJ b) 0   GA GB GC GD 
c) 4  AB AC AD AG d)  2 3   AB AJ KA DA DB . 
Bài 8. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh 
3AA BB CC GG      . 
Bài 9. Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của AG. Chứng minh 
6 0AB AC GI   . 
Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC, AC và BD. 
Chứng minh rằng: 
O
C
A B
D
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
23 
a)  1
2
 MN AB DC b)  1
2
 MN AC DB 
c)  1
2
 IJ AB DC d)   NA ND BA CD . 
Bài 11. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm 2 đường chéo AC, BD, và O là trung 
điểm của IJ. Chứng minh rằng: 
a) 2 AB CD IJ b) 2 AD BD IJ 
c) 4   AB AD CB CD IJ d) 0   OA OB OC OD . 
Bài 12. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là điểm thuộc BC sao cho 2BM MC . 
Chứng minh: a) 2 3 AB AC AM b) 3  MA MB MC MG . 
Bài 13. Cho tam giác đều tâm O, M là điểm tuỳ ý bên trong tam giác. Hình chiếu của M xuống 
ba cạnh của tam giác là D, E, F. Chứng minh 
3
2
  MD ME MF MO . 
Bài 14. Cho tam giác ABC. Gọi J là điểm trên cạnh AC sao cho 
2
3
JA JC . Hãy phân tích vectơ 
BJ theo hai vecto BA và BC . 
Bài 15. Cho tam giác ABC. Gọi K là điểm trên tia đối của tia AB sao cho 4KB KA . Hãy phân 
tích vectơ CK theo hai vecto CA và CB . 
Bài 16. Gọi AD là phân giác trong của góc A trong tam giác ABC, AB = 3, AC = 4. Tính DA 
theo AB và CA . 
Bài 17. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và điểm H 
định bởi: OA OB OC OH   . 
Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. 
Bài 18. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Tính BA theo GB và GC . 
ĐÁP SỐ: 2BA GB GC  . 
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
24 
Bài 19. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và I là trung điểm của AG. Lấy điểm K trên đoạn AC. 
Tính AK theo CA để ba điểm B, I, K thẳng hàng. ĐÁP SỐ: 
1
5
AK AC . 
Bài 20. Cho tam giác ABC. 
a) Xác định điểm D thỏa mãn 3 0DA DB  . 
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn 3 8MA MB  . 
Bài 21. Cho tam giác ABC. Xác định D thỏa mãn 3 0DB DC  . Cho M là điểm bất kì và 
3MB MC MN  . Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định. 
ĐÁP ÁN: Đường thẳng MN đi qua điểm D cố định. 
Bài 22. Cho tam giác ABC. Gọi D, E là các điểm được xác định bởi 
2
3
AD AB , 
2
5
AE AC . 
Gọi K là trung điểm của DE và M là điểm xác định bởi BM mBC . 
a) Phân tích các vecto ,AK AM theo ,AB AC và m. 
b) Tìm m để A, K, M thẳng hàng. 
Bài 23. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên 
cạnh AC sao cho 
1
3
AK AC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. 
Bài 24. Cho tam giác ABC. Gọi M, N là trung điểm BC, AM. Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho 
AB = 3AK. 
a) Phân tích ,CN CK theo ,CA CB . 
b) Chứng minh ba điểm C, N, K thẳng hàng. 
Bài 25. Cho tam giác ABC, gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Đặt ,  AB b AC c . 
a) Phân tích vecto AP theo , b c . 
b) Gọi Q, R là điểm thoả 
1 1
,
2 3
 Q A c AR b . Tính ,QR RP theo , b c . 
c) Chứng minh P, Q, R thẳng hàng. 
Bài 26. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm I thoả CA = 4CI và gọi J là điểm thoả 
1 2
2 3
 BJ AC AB . Hãy phân tích BI theo , AB AC rồi suy ra B, I, J thẳng hàng. 
Bài 27. Cho tam giác ABC. Gọi I, J là hai điểm sao cho 2 , 2 3IA IB JA JC   . 
a) Tính IJ theo , AB AC . 
b) Chứng minh IJ qua trọng tâm G của tam giác ABC. 
Bài 28. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức 0BC MA  , 
3 0AB NA AC   . Chứng minh MN song song AC. 
Bài 29. Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho 
1
4
CI CA , J là điểm sao cho 
1 2
2 3
BJ AC AB  . 
a) Chứng minh 
3
4
BI AC AB  . 
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
25 
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng. 
c) Hãy dựng điểm J thoả điều kiện đề bài. 
LỚP TOÁN THẦY XUÂN NHÂN 
CHUYÊN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH 
Cơ sở 1: E203 Chung cư Đào Duy Từ, số 51 đường Thành Thái, Phường 14, 
Quận 10, TPHCM. 
Cở sở 2: Trường THPT Trần Khai Nguyên, quận 5. 
LỊCH HỌC NĂM 2016 - 2017 
LỚP KHAI GIẢNG THỜI GIAN HỌC ĐỊA ĐIỂM HỌC 
12 17g45 Thứ 3 
ngày 2-8-2016 
Tối thứ 3,5,7 
từ 17g45 đến 19g15 
Cơ sở 1 
11 
Ca 1 
17g45 Thứ 2 
ngày 1-8-2016 
Tối thứ 2,4,6 
từ 17g45 đến 19g15 
Cơ sở 1 
11 
Ca 2 
19g30 Thứ 2 
ngày 1-8-2016 
Tối thứ 2,4,6 
từ 19g30 đến 21g00 
Cơ sở 1 
10 19g30 Thứ 3 
ngày 2-8-2016 
Tối thứ 3,5 
từ 19g30 đến 21g00 
Cơ sở 2 
(Phòng 24) 
ĐẶC BIỆT: - LỚP 12T1 ĐƯỢC TĂNG CƯỜNG CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017. 
 - PHÒNG HỌC TRANG BỊ MÁY LẠNH. 
 - TÀI LIỆU PHÁT MIỄN PHÍ. 
ĐĂNG KÍ QUA SỐ ĐT: 098 4321 969 Thầy Nhân