Các bài toán Đại số và Lượng giác

Mục lục
1 Các bài toán Đại số và Lượng giác 2
1.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Các đẳng thức Lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Phương trình và bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
Chương 1
Các bài toán Đại số và Lượng giác
1.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý
1. Chứng minh rằng
(a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax − by − cz − dt)2 + (bx +
ay − dz + ct)2 + (cx+ dy + az − dt)2 + (dx− cy + bz + at)2
2. Chứng minh rằng từ các đẳng thức ax−by−cz−dt = 0, bx+ay−dz+ct = 0,
cx + dy + az − dt = 0, và dx − cy + bz + at = 0 ta suy ra rằng hoặc
a = b = c = d = 0 hoặc x = y = z = t = 0.
3. Chứng minh rằng ta có đồng nhất sau
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)−(ax+by+cz)2 = (bx−ay)2+(cy−bz)2+(az−cx)2
4. Chứng minh rằng các đồng nhất nói trong các bài toán trước có thể mở rộng
như sau
(a21 + a
2
2 + ã ã ã+ a2n)(b21 + b22 + ã ã ã+ b2n)− (a1b1 + a2b2 + ã ã ã+ anbn)2 =
= (a1b2 − a2b1)2 + (a1b3 − a3b1)2 + ã ã ã+ (an−1bn − anbn−1)2
5. Giả sử rằng n(a21 + a
2
2 + ã ã ã + a2n) = (a1 + a2 + ã ã ã + an)2 . Chứng minh
rằng a1 = a2 = ã ã ã = an
6. Chứng minh rằng từ đẳng thức (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = (y + z −
2x)2 + (z + x− 2y)2 + (x+ y − 2z)2 ta suy ra rằng x = y = z
7. Chứng minh các đồng nhất thức sau
(a2 − b2)2 + (2ab)2 = (a+ b)2
(6a2−4ab+4b2)3 = (3a2+5ab−5b2)3+(4a2−4ab+6b2)3+(5a2−5ab−3b2)3
2
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 3
8. Chứng minh rằng
(p2 − q2)4 + (2pq + q2)4 + (2pq + p2)4 = 2(p2 + pq + q2)4
9. Chứng minh rằng X2 + XY + Y 2 = Z3 nếu X = q3 + 3pq2 − p3, Y =
−3pq(p+ q), và Z = p2 + pq + q2
10. Chứng minh rằng
(3a+ 3b)k + (2a+ 4b)k + ak + bk = (3a+ 4b)k + (a+ 3b)k + (2a+ b)k
với k = 1, 2, 3.
11. Chứng minh rằng nếu x+ y + z = 0 thì
(ix−ky)n+(iy−kz)n+(iz−kx)n = (iy−kx)n+(iz−ky)n+(ix−kz)n
khi n = 0, 1, 2, 4 trong đó i là đơn vị ảo, ie... i2 = −1.
12. Chứng minh rằng xn + (x + 3)n + (x + 5)n + (x + 6)n + (x + 9)n + (x +
10)n +(x+12)n +(x+15)n = (x+1)n +(x+2)n +(x+4)n +(x+7)n +
(x+ 8)n + (x+ 11)n + (x+ 13)n + (x+ 14)n khi mà n = 0, 1, 2, 3
13. Chứng minh các đồng nhất thức sau đây
i. (a+ b+ c+ d)2 +(a+ b− c− d)2 +(a+ c− b− d)2 +(a+ d− b− c)2 =
4(a2 + b2 + c2 + d2)
ii. (a2 − b2 + c2 − d2)2 + 2(ab− bc+ dc+ ad)2 = (a2 + b2 + c2 + d2)2 −
2(ab− ad+ bc+ dc)2
iii.(a2−c2+2bd)2+(d2−b2+2ac)2 = (a2−b2+c2−d2)2+2(ab−bc+dc+ad)2
14. Chứng minh đồng nhất thức sau đây
(a+b+c)4+(a+b−c)4+(a−b+c)4+(−a+b+c)4 = 4(a4+b4+c4)+24(a2b2+b2c2+c2a2)
15. Cho s = a+ b+ c = 2p . Chứng minh rằng∑
sym
s(s− 2b)(s− 2c) = (s− 2a)(s− 2b)(s− 2c) + 8abc
∑
sym
a(p− a)2 = abc− 2(p− a)(p− b)(p− c)
16. Cho s = a+ b+ c và 2δ = a2 + b2 + c2 . Chứng minh rằng∑
sym
(δ2 − a2)(δ2 − b2) = 4s(s− a)(s− b)(s− c)
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 4
17. Chứng minh rằng nếu a+ b+ c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài giải. Hãy chú ý rằng ta có đẳng thức
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca)
18. Cho các số a, b, c . Đơn giản biểu thức sau đây
(a+ b+ c)3 −
∑
sym
(a+ b− c)3
19. Chứng minh rằng
(a− b)3 + (b− c)3 + (c− a)3 = 3(a− b)(b− c)(c− a)
[(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2]2 = 2[(a− b)4 + (b− c)4 + (c− a)4]
20. Cho a+ b+ c = 0 , chứng minh rằng ta có các đẳng thức sau đây
• 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2
• a5+b5+c5
5
= abc ã a2+b2+c2
2
• a3+b3+c3
3
ã a2+b2+c2
2
= a
5+b5+c5
5
• a7+b7+c7
7
= a
2+b2+c2
2
ã a5+b5+c5
5
• a7+b7+c7
7
= a
3+b3+c3
3
ã a4+b4+c4
4
ã
21. Cho 2n số a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn và giả sử rằng sk = a1b1 + a2b2 +
ã ã ã+ akbk với k = 1, 2, ..., n. Chứng minh rằng
n∑
k=1
akbk =
n∑
k=1
(ak − ak+1)sk
theo modulo n (Khai triển Abel ).
22. Giả sử rằng a1 + a2 + ã ã ã+ an = n2s . Chứng minh rằng
n∑
k=1
(s− ak)2 =
n∑
k=1
a2k
23. Cho đa thức hai biến dạng Ax2 + 2Bxy +Cy2 . Chứng minh rằng qua phép
đổi biển x = αu + βv và y = γu + δv đa thức trên có thể viết lại ở dạng
Mu2 +2Nuv+Pv2 với N2−MP = (B2−AC)(αδ−βγ)2 . Hãy mở rộng
bài toán cho các dạng bậc hai nhiều chiều.
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 5
24. Cho 2n số a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn thoả mãn ai + bi = 1 và
a =
a1 + a2 + ã ã ã+ an
n
b =
b1 + b2 + ã ã ã+ bn
n
Chứng minh rằng
n∑
k=1
akbk = nab− (a1 − a)2 − (a2 − a)2 − ã ã ã − (an − a)2
25. Chứng minh rằng
1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+ ã ã ã+ 1
2n− 1 −
1
2n
=
1
n+ 1
+
1
n+ 2
+ ã ã ã+ 1
2n
26. Chứng minh rằng
(1+
1
x− 1)(1−
1
2x− 1)(1+
1
3x− 1) ã ã ã (1+
1
(2n− 1)x− 1)(1−
1
2nx− 1) =
=
(n+ 1)x
(n+ 1)x− 1 ã
(n+ 2)x
(n+ 2)x− 1 ã ã ã
(n+ n)x
(n+ n)x− 1
27. Chứng minh rằng
x3 = (x ã x
3 − 2y3
x3 + y3
)3 + (y ã 2x
3 − y3
x3 + y3
)3
28. Chứng minh đồng nhất thức sau đây
2
x2 − 1 +
4
x2 − 4 +
6
x2 − 9 + ã ã ã +
20
x2 − 100
= 11
(
1
(x− 1)(x+ 10) +
1
(x− 2)(x+ 9) + ã ã ã +
1
(x− 10)(x+ 1)
)
29. Chứng minh rằng từ đẳng thức
a
b
=
c
d
ta suy ra đẳng thức
ab
cd
=
(a+ b)2
(c+ d)2
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 6
30. Giả sử rằng
x =
a− b
a+ b
; y =
b− c
b+ c
; z =
c− a
c+ a
Chứng minh rằng
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1− x)(1− y)(1− z)
31. Chứng minh rằng từ đẳng thức
(a+ b+ c+ d)(a− b− c+ d) = (a− b+ c− d)(a+ b− c− d)
suy ra đẳng thức
a
c
=
b
d
32. Giả sử rằng ax+ by + cz = 0 . Chứng minh rằng
ax2 + by2 + cz2
bc(y − z)2 + ca(z − x)2 + ab(x− y)2 =
1
a+ b+ c
33. Chứng minh tính đúng đắn của đẳng thức sau đây
x2y2z2
a2b2
+
(x2 − a2)(y2 − a2)(z2 − a2)
a2(a2 − b2) +
(x2 − b2)(y2 − b2)(z2 − b2)
b2(b2 − a2)
= x2 + y2 + z2 − a2 − b2
34. Giả sử rằng
Sk =
ak
(a− b)(a− c) +
bk
(b− c)(b− a) +
ck
(c− a)(c− b)
Chứng minh rằng S−2 = 1abc ã ( 1a + 1b + 1c );S−1 = 1abc ;S0 = S1 = 0;S2 =
a+ b+ c;S4 = ab+ bc+ ca+ a
2 + b2 + c2;S5 = a
3 + b3 + c3 + a2b+ ab2 +
b2c+ bc2 + c2a+ ca2
35. Giả sử rằng
Sk =
∑
cyclic
ak
(a− b)(a− c)(a− d)
Chứng minh rằng S0 = S1 = S2 = 0;S3 = 1;S4 = a+ b+ c+ d
36. Giả sử rằng
Sk =
∑
cyclic
ak
(a+ b)(a+ c)
(a− b)(a− c)
Hãy xác định S0, S1, S2, S3, S4 .
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 7
37. Chứng minh rằng ta có đồng nhất thức sau đây∑
cyclic
ab
(c− x)(c− y)(c− z)
(c− a)(c− b) = abc− xyz
38. Chứng minh rằng∑
cyclic
a2b2c2
(a− d)(b− d)(c− d) = abc+ bcd+ cda+ dab
39. Hãy làm đơn giản biểu thức sau đây∑
cyclic
ak
(a− b)(a− c)(x− a)
với k = 1, 2 .
40. Chứng minh đồng nhất thức sau đây∑
cyclic
b+ c+ d
(a− b)(a− c)(a− d)(a− x) =
x− a− b− c− d
(x− a)(x− b)(x− c)(x− d)
41. Chứng minh rằng ∑
cyclic
ak
(x− b)(x− c)
(a− b)(a− c) = x
k
với k = 0, 1, 2
42. Chứng minh rằng nếu a+ b+ c = 0 thì
(
a− b
c
+
b− c
a
+
c− a
b
)(
c
a− b +
a
b− c +
b
c− a) = 9
43. Hãy chứng minh rằng
a− b
a+ b
+
b− c
b+ c
+
c− a
c+ a
+
a− b
a+ b
ã b− c
b+ c
ã c− a
c+ a
= 0
44. Chứng minh rằng ∑
cyclic
b− c
(a− b)(a− c) = 2
∑
sym
1
a− b
45. Cho ∑
sym
b2 + c2 − a2
2bc
= 1
Chứng minh rằng hai trong ba phân thức bằng 1 và phân thức còn lại bằng
−1
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 8
46. Chứng minh rằng từ đẳng thức
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a+ b+ c
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương lẻ n ta có đẳng thức
1
an
+
1
bn
+
1
cn
=
1
an + bn + cn
47. Chứng minh rằng từ đẳng thức
bz + cy
x(−ax+ by + cz) =
cx+ az
y(ax− by + cz) =
ay + bx
z(ax+ by − cz)
suy ra
x
a(b2 + c2 − a2) =
y
b(c2 + a2 − b2) =
z
c(a2 + b2 − c2)
48. Cho
a+ b+ c = x+ y + z =
x
a
+
y
b
+
z
c
= 0
Chứng minh rằng
xa2 + by2 + cz2 = 0
49. Cho a3+b3+c3 = (b+c)(c+a)(a+b) và (b2+c2−a2)x = (c2+a2−b2)y =
(a2 + b2 − c2)z . Chứng minh rằng
x3 + y3 + z3 = (x+ y)(y + z)(z + x)
50. Cho
1
x
+
1
y
=
1
z
Chứng minh rằng
(z − x)2 + z2
(z − y)2 + z2 =
x2
y2
51. Chứng minh rằng tổng ba phân số
b− c
1 + bc
,
c− a
1 + ca
,
a− b
1 + ab
bằng tích của chúng .
52. Chứng minh rằng đẳng thức sau đây∑
cyclic
ak
(x− b)(x− c)(x− d)
(a− b)(a− c)(a− d) = x
k
với k = 0, 1, 2, 3 .
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán. 9
53. [HongKong TST 2004] Đặt x = 3
√
4+ 3
√
2+1. Hãy xác định giá trị của biểu
thức
(1 +
1
x
)3
54. Chứng minh các đồng nhất thức sau đây
• (a+ b+ c)(bc+ ca+ ab) = abc+ (b+ c)(c+ a)(a+ b)
• (a2 − 1)(b2 − 1)(c2 − 1) + (a+ bc)(b+ ca)(c+ ab) = (abc+ 1)(a2 +
b2 + c2 + 2abc− 1)
• (b+ c− a)3 + (c+ a− b)3 + (a+ b− c)3 − 4(a3 + b3 + c3 − 3abc) =
3(b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c)
• ∑cyclic a4(b2 − c2) = (∑cyclic a2(b− c))(a+ b)(b+ c)(c+ a)
• a5 + b5 − (a+ b)5 = −5ab(a2 + ab+ b2)
• (a+ b)7 − a7 − b7 = 7ab(a+ b)(a2 + ab+ b2)2
55. Chứng minh rằng nếu xy + yz + zx = 0 thì∏
sym
(x+ y)2 + 24x2y2z2 =
∑
sym
x4(y + z)2
56. Chứng minh rằng từ đẳng thức xy + yz + zx = 1 ta nhận được đẳng thức∑
sym
x
1− x2 =
4xyz
(1− x2)(1− y2)(1− z2)
57. Đặt
f(a, b, c) = | |b− a||ab| +
b+ a
ab
− 2
c
|+ |b− a||ab| +
b+ a
ab
+
2
c
Chứng minh rằng
f(a, b, c) = 4max{1
a
,
1
b
,
1
c
}
58. Chứng minh rằng nếu
a
b+ c
+
b
c+ a
+
c
a+ b
= 1
thì ta có đẳng thức
a2
b+ c
+
b2
c+ a
+
c2
a+ b
= 0
59. Hãy tìm các giá trị có thể nhận của biểu thức
x+ y
z + t
+
y + z
t+ x
+
z + t
x+ y
+
t+ x
y + z
nếu biết rằng
x
y + z + t
=
y
z + t+ x
=
z
t+ x+ y
=
t
x+ y + z
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.10
60. Chứng minh rằng từ đẳng thức x+ y = z + t ta suy ra đẳng thức
x2 + y2 + z2 + t2 = (x+ y)2 + (x− z)2 + (x− t)2
61. Cho ab+ bc+ ca = 1 , chứng minh rằng ta có đẳng thức
(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) = [(a+ b)(b+ c)(c+ a)]2
62. Cho ba số a, b, c thoả mãn b 6= c , a + b 6= c và c2 + 2(ab − bc − ca) = 0.
Chứng minh rằng ta có đẳng thức sau đây
a2 + (a− c)2
b2 + (b− c)2 =
a− c
b− c
63. Chứng minh rằng nếu
a
b− c +
b
c− a +
c
a− b = 0
thì ta có đẳng thức
a
(b− c)2 +
b
(c− a)2 +
c
(a− b)2 = 0
64. Cho các số thực x, y, z thoả mãn
xy + yz + zx = 0, a =
√
y2 + yz + z2
b =
√
z2 + zx+ x2, c =
√
x2 + xy + y2
Chứng minh rằng ta có đẳng thức
(a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b) = 0
65. Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn đẳng thức ac+ bd = (b+ d+ a− c)(b+
d− a+ c) . Chứng minh rằng
(ab+ cd)(ad+ bc) = (ac+ bd)(a2 − ac+ c2)
66. Cho các số thực a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Chứng
minh rằng a+ b2 + c3 = 1 .
67. Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a+ b2 = c+d2, a2+ b = c2+d. Chứng
minh rằng nếu a+ b+ c+ d ≤ 2 thì {a, b} = {x, y}
68. Giả sử rằng a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn đẳng thức a + b + c + d =
a7 + b7 + c7 + d7 = 0. Chứng minh rằng
(a+ b)(a+ c)(a+ d) = 0
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.11
69. Chứng minh đồng nhất thức sau đây∑
cyclic
ak
(a− x)(a− y)
(a− b)(a− c) =
xy
abc
70. Chứng minh các đồng nhất thức sau đây
• ∑cyclic x(y + z)2 − 4xyz = (x+ y)(y + ... c thi Olympic Toán.73
345. Giải phương trình
3
√
1 +
√
x+ 3
√
x+ ã ã ã = 2
346. Giải phương trình
(x+ 1)(x+1)
(x+1)
.
.
.
= 4
347. Cho trước 12 số thực ak, bk, ck với k = 1, 2, 3, 4. Đặt
A = (x− a1)2 + (x− b1)2 − c21
B = (x− a2)2 + (x− b2)2 − c22
C = (x− a3)2 + (x− b3)2 − c23
D = (x− a4)2 + (x− b4)2 − c24
Chứng minh rằng trong 24 = 16 hệ bất phương trình dạng
A ≶ 0
B ≶ 0
C ≶ 0
D ≶ 0
có ít nhất hai hệ vô nghiệm.
348. Giải bất phương trình
√
2x+ 4− 2√2− x > 12x− 8√
9x2 + 16
349. [Czech and Slovak Republics MO 1999] Hãy xác định tất cả các số thực a, b
sao cho hệ hai phương trình {
x+y
x2+y2
= a
x3+y3
x2+y2
= b
có nghiệm thực.
350. [Romania MO 1999] Với a, b dương, ta ký hiệu t(a, b) là nghiệm dương của
phương trình
(a+ b)x2 − 2(ab− 1)x− (a+ b) = 0
Đặt M = { (a, b) ∣∣ a 6= b, t(a, b) ≤ √ab }. Hãy xác định tất cả các cặp
(a, b) ∈M sao cho t(a, b) đạt giá trị bé nhất.
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.74
351. [Romania MO 1999] Cho các số thực a, b, c với a 6= 0 là các số phức. Ký
hiệu z1, z2 là các nghiệm của phương trình az
2 + bz + c = 0 và đặt w1, w2
là các nghiệm của phương trình (a + c)z2 + (b + b)z + (a + c) = 0. Chứng
minh rằng nếu |z1|, |z2| < 1 thì |w1| = |w2| = 1.
352. [ Vietnam MO 1999] Giải hệ phương trình{
(1 + 42x−y) ã 51−2x+y = 1 + 262x− y + 1
y3 + 4x+ 1 ln(y2 + 2x) = 0
353. [Vietnam Selection Team for IMO 1999] Xét tất cả các số thực a, b thoả mãn
a 6= 0, a 6= b và tất cả các nghiệm của phương trình
ax3 − x2 + bx− 1 = 0
là các số thực và dương. Xác định giá trị bé nhất có thể của biểu thức
P =
5a2 − 3ab+ 2
a(b− a)
354. [Poland MO 2000] Cho số nguyên n ≥ 2. Hỏi rằng hệ sau có bao nhiêu
nghiệm thực không âm 
x1 + x
2
n = 4xn
x2 + x
2
1 = 4x1
ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã
xn + x
2
n−1 = 4xn−1
355. Giải hệ phương trình {
2x2 − xy + 3y2 = 13
x2 + 4xy − 2y2 = 16
356. Giải và biện luận hệ 
xyz
x+y
= m
xyz
y+z
= 1
xyz
z+x
= 2
357. Giải phương trình (x+ a)4 + (x+ b)4 = c.
358. Giải hệ 
x+ y = z2
x = 2(y + z)
xy = 2(z + 1)
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.75
359. Giải hệ 
xy = x+ 3y
yz = 2(2y + z)
zx = 3(3z + 2x)
360. Giải hệ 
(x+ y + z)3 = 12t
(y + z + t)3 = 12x
(x+ z + t)3 = 12y
(x+ y + t)3 = 12z
361. Giải hệ{√
x+ 1 +
√
x+ 3 +
√
x+ 5 =
√
y − 1 +√y − 3 +√y − 5
x+ y + x2 + y2 = 80
362. Giải các phương trình sau đây
(a)
√
3x2 − 7x+ 3−√x2 − 2 = √3x2 − 5x− 1−√x2 − 3x+ 4
(b)
√
x2 + 15 = 3x− 2 +√x2 + 8
(c)
3
√
x2 − 1 + x = 3√x3 − 2
(d)
√
x+4+
√
x−4
2
= x+
√
x2 − 16− 6
(e) 2
√
(2− x)(5− x) = x+√(2− x)(10− x)
363. Giải các phương trình và bất phương trình dưới đây
(a)
√
2x+ 15 = 32x2 + 32x− 20
(b)
√
x2 − x+ 19 +√17x2 + 8x+ 13 +√13x2 + 17x+ 7 = 3√3(x+ 2)
(c) 2x2 + 4x =
√
x+3
2
(d)
√
4− x2 +√4x+ 1 +√x2 + y2 − 2y − 3 = 4√x4 − 16 + 5− y
(e) x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) ≥ 9
16
(f)
√
x2 − 8x+ 816 +√x2 + 10x+ 267 = √2003
(g) x+ x√
x2−1 >
35
12
(h)
√
1− x2 = 4x3 − 3x
364. Giải hệ 
x2 + x− y − 1 = 0
y2 + y − z − 1 = 0
z2 + z − t− 1 = 0
t2 + t− x− 1 = 0
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.76
365. Xác định m để hệ sau đây có nghiệm
x2 + y2 − x2 + xy − yz − zx = 1
y2 + z2 + yz = 2
x2 + z2 + zx = m
366. Giải hệ 
(x− 1)4(y − 2)2z3t6 = 1024
4x2 + z3 + 16y + t6 = 8x+ 76
x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ 0; t ≥ 0
367. Giải hệ {√
x2 + 21 =
√
y − 1 + y2√
y2 + 21 =
√
x− 1 + x2
368. Tìm m để phương trình
√
x2 + x+ 1−
√
x2 − x+ 1 = m
có nghiệm.
369. Giả sử rằng đa thức p(x) = x5+ax2+b có năm nghiệm thực x1, x2, x3, x4, x5.
Ký hiệu f(x) = x2 − 3. Chứng minh bất đẳng thức
f(x1) ã f(x2) ã f(x3) ã f(x4) ã f(x5) ≥ −234
370. Hãy xác định tất cả các giá trị của tham số a để phương trình
√
2 + x+
√
4− x−
√
8 + 2x− x2 = a
có duy nhất một nghiệm thực.
371. Giải hệ sau đây{
y6 + y3 + 2x2 =
√
xy − x2y2
4xy3 + y3 + 1
2
≥ 2x2 +√1 + (2x− y)2
372. Giải hệ sau đây 
x+ y + z = 0
x2 + y2 + z2 = 10
x7 + y7 + z7 = 350
373. Giải và biện luận theo tham số a phương trình
aã9x
8 + 84x6 + 126x4 + 36x2 + 1
x8 + 36x6 + 126x4 + 84x2 + 9
+xã9a
8 + 84a6 + 126a4 + 36a2 + 1
a8 + 36a6 + 126a4 + 84a2 + 9
= 0
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.77
374. Giải các phương trình dưới đây
(a)
√
x+ 3
√
x+ 7 = 4
√
x+ 80
(b) 2x3 − x2 + 3√2x3 − 3x+ 1 = 3x+ 1−√x2 + 2
375. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
4
√
x+ 4
√
1− x+√x+√1− x = m
376. Giải hệ phương trình {
xy3 = 9
x+ 3y = 6
377. Giải hệ 
√
1 + x1 +
√
1 + x2 + ã ã ã+
√
1 + xn = n
√
n+1
n√
1− x1 +
√
1− x2 + ã ã ã+
√
1− xn = n
√
n−1
n
ở đây n > 1 là một số nguyên.
378. Chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình x5 − x3 + x − 2 = 0 đều
nằm trong khoảng
(
6
√
3; 6
√
4
)
379. Giả sử rằng a, b, c là các số thực thoả mãn
a
2003
+
b
2004
+
c
2005
= 0
Chứng minh rằng phương trình ax2+ bx+ c = 0 có ít nhất một nghiệm trong
khoảng (0; 1).
380. Giải hệ phương trình {
x3 + y3 = 3xy + 1
x2004 + y2004 = 1
22003
381. Giải phương trình√
x− 1 + 3
√
(x− 1)2(x− 2)+
√
x− 2 + 3
√
(x− 2)2(x− 1) =
√
(2x− 3)3
382. Cho các số dương x, y, z thoả mãn hệ
3x2 + 3xy + y2 = 75
y2 + 3z2 = 63
z2 + zx+ x2 = 48
Hãy xác định giá trị của biểu thức xy + 2yz + 3zx.
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.78
383. Hãy tìm tất cả các giá trị của a, b để bất phương trình∣∣ 2 sin2 x+ a sin x+ b ∣∣≤ 1
nghiệm đúng với mọi x ∈ R.
384. Giải phương trình
x2 +
x2
(x+ 1)2
= a
với a là tham số.
385. Giải phương trình
3 cot2 x+ 2
√
2 sin2 x = (2 + 3
√
2) cosx
386. Giải hệ phương trình sau đây
x(x+ y) + y(y + z) = 0
x(x+ 1) + y(2z + 1) = 0
(x+ y)2 + (y + z)2 =
(x+ 1)2 + (2z + 1)2
2004
387. [04-30 Mathematical Olympiad 2000] Giải hệ phương trình{
(3− 5
y+42x
)
√
2y = 4
(3 + 5
y+42x
)
√
x = 2
388. [04-30 Mathematical Olympiad 2000] Giải phương trình
2 sin 2x− 3
√
2 sin x+
√
2 cos x− 5 = 0
389. Giải phương trình
x+ 1
x2 + 2x
+
x+ 6
x2 + 12x+ 35
=
x+ 2
x2 + 4x+ 3
+
x+ 5
x2 + 10x+ 24
390. Tìm m để phương trình
cosx+
√
2− cos2 x+ cosx
√
2− cos2 x = m
có nghiệm?
391. Giải phương trình
2x2 +
√
1− x2 + 2x
√
1− x2 = 1
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.79
392. Giải hệ 
6x(y2 + z2) = 13yz
3y(z2 + x2) = 5zx
6z(x2 + y2) = 5xy
393. Giải phương trình√
x2 + (1−
√
3x+ 2 +
√
x2 + (1 +
√
3)x+ 2 +
√
x2 − 2x+ 2 = 3
√
2
394. Giải hệ 
x = (y − 1)2
y = (z − 1)2
z = (t− 1)2
t = (x− 1)2
395. Giả sử rằng hai phương trình x2 + ax+ 1 = 0 và x2 + bx+ 1 = 0 thoả mãn
tích của một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của
phương trình thứ hai là nghiệm của phương trình x2 + cx + 1 = 0. Chứng
minh rằng ta có hệ thức
a2 + b2 + c2 + abc = 4
396. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam thức f(x) = ax2 + bx + c có
nghiệm trong khoảng (0; 1) là tồn tại các số dương m < n < p thoả mãn
mp ≥ n2 và ma+ nb+ pc = 0.
397. Giải hệ 
x3 − 3x = y(3x2 − 1)
y3 − 3y = z(3y2 − 1)
z3 − 3z = t(3z2 − 1)
t3 − 3t = x(3t2 − 1)
398. Giải phương trình
2 sin 2x− 3
√
2 sin x+
√
2 cos x− 5 = 0
399. [04-30 Mathematical Olympiad 2000] Hãy xác định m để phương trình
(4m− 3)√x+ 3 + (3m− 4)√1− x+m− 1 = 0
có nghiệm?
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.80
400. Giả sử rằng a, b, c là ba nghiệm của phương trình x3 − 3x + 1 = 0 sắp xếp
theo thứ tự tằng dần. Hãy xác định giá trị của biểu thức
P =
a
b
+
b
c
+
c
a
401. Giải phương trình
(x4 + x2 + 2 +
√
3 )(x2 + x+ 1) = x2 + 2x+ 3
402. Hãy xác định giá trị bé nhất của tham số nguyên dương n sao cho phương
trình
x12 − 4x4√xn − 1 + 1 = 0
có nghiệm.
403. Giải hệ phương trình sau đây
xn+2 =
xn ã xn+1 + 5x4n
xn − xn+1 với n = 1, 8
x1 = x10
x2 = x9
404. Cho hai hàm số f(x) = ax2 + bx+ c và g(x) = a(x2 − x)2 + b(x2 − x) + c.
Tìm a, b, c để giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0, 1] của f(x)
tương ứng bằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0, 1] của hàm
số g(x).
405. [Mathematical Excalibur Vol.8, No.5, 2003] Giải phương trình
x3 − 3x = √x+ 2
406. [ Proposed by Fei Zhenpeng, Math. Excalibur Vol.8, No.5, 2003] Giả sử rằng
α, β, γ là các số phức thoả mãn hệ
α+ β + γ = 1
α2 + β2 + γ2 = 3
α3 + β3 + γ3 = 7
Hãy xác định giá trị của biểu thức α21 + β21 + γ21.
407. [Dutch Mathematical Olympiad 1983] Cho a, b, c là các số thực thoả mãn
a+
1
b
= b+
1
c
= c+
1
a
= p
Hãy xác định tất cả các giá trị có thể của p và chứng minh rằng abc+ p = 0.
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.81
408. [Putnam Exam 1974] Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình
cos pix =
1
3
là các số vô tỷ.
409. [Math.Excal 1996] Cho n > 2 là một số nguyên và c là một số thực khác
không còn z là một nghiệm không thực của phương trình xn + cx + 1 = 0.
Chứng minh rằng
|z| ≥ 1
n
√
n− 1
410. [Problem 52, Math.Excal.] Cho các số thực phân biệt a, b, c thoả mãn hệ
a3 = 3(b2 + c2)− 25
b3 = 3(c2 + a2)− 25
c3 = 3(a2 + b2)− 25
Hãy xác định giá trị của biểu thức abc.
411. [British MO 1975; Problem 59, Math.Excali.] Cho n là một số nguyên lớn
hơn 2. Hãy xác định tất cả các số thực x1, x2, . . . , xn thoả mãn điều kiện
(1− x1)2 + (x1 − x2)2 + ã ã ã+ (xn−1 − xn)2 + x2n =
1
n+ 1
412. [Greek MO 1995; Problem 68, Math.Excali.] Chứng minh rằng nếu phương
trình ax2 + (c − b)x + (e − d) = 0 thoả mãn tất cả các nghiệm của nó đều
thực và lớn hơn 1 thì phương trình
ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e = 0
có ít nhất một nghiệm thực.
413. [Israel MO 1995; Problem 71, Math.Excali.] Hãy xác định tất cả các số thực
x, y, z thoả mãn hệ 
x+ ln(x+
√
x2 + 1) = y
y + ln(y +
√
y2 + 1) = z
z + ln(z +
√
z2 + 1) = x
414. [Problem 86, Math. Excali.] Giải hệ phương trình
√
3x
(
1 +
1
x+ y
)
= 2√
7y
(
1 +
1
x+ y
)
= 2
Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.82
415. [Vietnam MO 1996; Problem 91, Math. Excali.] Giải hệ phương trình
√
3x
(
1 +
1
x+ y
)
= 2√
7y
(
1− 1
x+ y
)
= 2
416. [Russia MO 1994; Problem 143, Math. Excali.] Giải phương trình
cos cos cos cosx = sin sin sin sin x
417. [HongKong TST 2001] Hãy xác định tất cả các số thực x thoả mãn
(2x − 4)3 + (4x − 2)3 = (4x + 2x − 6)3
418. [HongKong TST 1989] Giải bất phương trình
x−3x−8 > x7
với x > 0
419. [HongKong TST 1989] Hỏi rằng phương trình
x
1988
= sinx
có bao nhiêu nghiệm?
420. [Chọn đội tuyển trường KHTN Hanoi 2003] Giải phương trình
8t3 + 12t2 + 469t− 48
√
22t + 69 = 0
421. [Crux Mathematicorum 1996, Vol.22, No.4, Problem M 2150] Giải phương
trình sau đây √
1− x = 2x2 − 1 + 2x
√
1− x2
422. Giải phương trình
4x = 2x + 6
Hà Nội ngày 30 tháng 8 năm 2003
Hà Duy Hưng.