Các dạng toán Đường tròn thường gặp

PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Các bài toán thiết lập phương trình đường tròn 
1.1) Phương trình đường tròn có tâm tại điểm I(a ; b) và bán kính bằng R có dạng:
* Phương trình , với điều kiện , là phương trình đường tròn có tâm I(a ; b), bán kính 
1.2) Đối với bài toán thiết lập phương trình đường tròn thì công việc chủ yếu là xác định tâm và bán kính của đường tròn. Trong công việc này điều quan trọng là phải nhớ một số tính chất sau:
* Đường tròn (C) đi qua điểm A thì tọa độ của A thỏa mãn phương trình của (C).
* Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B thì tâm I của nó phải nằm trên đường trung trực của đoạn AB.
* Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B, C thì tâm I của nó là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC, CA (thực chất chỉ cần tìm giao điểm của hai trong ba đường trung trực của các đoạn thẳng), còn bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến A (hoặc B, hoặc C); đây chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
* Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng D thì bán kính R của (C) bằng khoảng cách từ tâm I đến D.
* Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm A thì tâm I của (C) nằm trên đường thẳng vuông góc với D tại A.
* Đường tròn (C) tiếp xúc với hai cạnh của một góc thì tâm I của (C) nằm trên đường phân giác của góc ấy.
* Đường tròn (C) tiếp xúc với ba đường thẳng thì tâm I của (C) là điểm cách đều ba đường thẳng ấy (cũng là giao điểm của của hai trong ba tia phân giác của hai trong ba góc do các đường thẳng ấy giao nhau tạo nên); đây cũng chính là đường tròn nội tiếp trong tam giác do ba đường thẳng ấy giao nhau tạo thành.
Bài 1: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(1; 3), B(5; 6), C(7; 0).
ĐS: 
Bài 2: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết A(-1; 7), B(4; - 3), C(- 4; 1).
ĐS: Pt phân giác trong góc A: x + 1 = 0, pt phân giác trong góc B: x + y - 1 = 0.
PT đường tròn: 
Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 1) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): 7x + 3y + 1 = 0.
Nhận xét: Nếu gọi I là tâm đường tròn cần tìm thì I Î d, mặt khác do IA = IB nên I thuộc đường trung trực D của đoạn AB. Từ đó ta có lời giải như sau.
Bài giải: Cách 1
Gọi M là trung điểm của AB thì M(2 ; ). Gọi D là đường trung trực của AB, khi đó D đi qua M(2 ; ), nhận làm véc tơ pháp tuyến có dạng:
. 
Gọi I tà tâm đường tròn cần tìm, I = d Ç D, do đó tọa độ tâm I là nghiệm của hệ 
phương trình: 
 Lúc này 
Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: 
Cách 2
Gọi đường tròn (C) cần tìm có dạng: Theo giả thiết A, B thuộc (C), tâm của (C) thuộc đường thẳng (d) nên ta có hệ phương trình:
Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: 
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho (d): x - 7y + 10 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (D): 2x + y = 0 và tiếp xúc với (d) tại A(4 ; 2).
Nhận xét: Nếu gọi I là tâm đường tròn cần tìm thì I Î D, mặt khác do đường tròn tiếp xúc với (d) tại A nên IA vuông góc với (d) tại A. Từ đó ta có lời giải như sau.
Bài giải: Gọi đường tròn (C) cần tìm có tâm I, bán kính R. Từ IA ^ (d ) nên I thuộc đường thẳng d1 vuông góc với d: x - 7y + 10 = 0 Þ d1 có dạng: - 7x - y + m = 0.
A(4 ; 2) Î d1 nên - 7.4 - 2 + m = 0 Û m = 30.
Vậy phương trình d1: - 7x - y + 30 = 0 hay 7x + y - 30 = 0.
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
. Lúc này 
Vậy đường tròn cần tìm có phương trình: 
Bài 5: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(4 ; 2) và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1): x - 3y - 2= 0 và (d2): x - 3y + 18 = 0.
Bài giải: Gọi phương trình đường tròn (C) là: 
Khi đó vì A Î (C) nên ta có (1)
Vì (d1) tiếp xúc với (C) nên ta có (2)Vì (d2) tiếp xúc với (C) nên ta có (2)
Từ (2) và (3) suy ra 
Thay (4) vào (2) ta có . Từ (4) suy ra a = 3b - 8, thay vào (1) ta có
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: và 
Bài 6: Lập phương trình đường tròn có tâm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với 2 đường thẳng (d1): 3x - y + 3 = 0 và (d2): x - 3y + 9 = 0.
Bài giải:Gọi I(5 ; y0) là tâm của đường tròn và R là bán kính của đường tròn (C) cần tìm. 
Khoảng cách từ I đến đường thẳng (d1) là: , còn khoảng cách từ I đến đường thẳng (d2) 
là: . Từ đó ta có phương trình
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu đầu bài là:
(C1): và (C2): 
Bài 7: 
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): .
Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với (C).
Nhận xét: Đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R muốn tiếp xúc với hai trục tọa độ thì tâm I phải cách đều hai trục tọa độ và thỏa mãn Từ đó ta có lời giải như sau.
Bài giải:
Viết lại đường tròn (C): 
Vậy (C) là đường tròn tâm I(6 ; 2) và bán kính R = 2. Gọi đường tròn cần tìm có tâm I1(a ; b) và bán kính R1: 
Do đường tròn cần tìm tiếp xúc với hai trục tọa độ nên ta có: 
Xảy ra hai trường hợp
Trường hợp 1: a = b, .Vì đường tròn cần tìm tiếp xúc ngoài với (C) nên ta có: 
* Nếu a > 0 thì (1) 
Trường hợp này có hai đường tròn là: 
(C1): và (C2): 
* Nếu a 0 thì không có giá trị nào của a thỏa mãn.
Trường hợp 2: a = - b, .
Lúc này làm tương tự như trên ta có 
Giải phương trình (2) ta tìm được a = 6. Vậy đường tròn thứ ba phải tìm là:
(C3): 
Bài 8: 
Cho tam giác ABC có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng 
	AB: x - 4 = 0
	BC: 3x - 4y + 36 = 0
	AC: 4x + 3y + 23 = 0
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Nhận xét: Xuất phát từ nhận định rằng tâm J của đường tròn nội tiếp phải là giao điểm của các phân giác trong của các góc của tam giác, ta viết phương trình hai đường phân giác trong và giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm.
Bài giải: * Cách 1 
Đỉnh A là giao của hai đường thẳng AB, AC nên tọa độ của A là nghiệm của hệ:
Đỉnh B là giao của hai đường thẳng AB, BC nên tọa độ của B là nghiệm của hệ:
Đỉnh C là giao của hai đường thẳng AC, BC nên tọa độ của C là nghiệm của hệ:
Phương tình các đường phân giác của góc B, do hai đường thẳng x - 4 = 0 và 3x - 4y + 36 = 0 tạo thành là
Để tìm phương trình đường phân giác trong của góc B, ta làm như sau: 
Thế tọa độ của A(4 ; -13) vào phương trình của đường (d2) ta có: 8 + 13 + 4 > 0
tọa độ của C(-8 ; 3) vào phương trình của đường (d2) ta có: - 16 - 3 + 4 < 0
Chứng tỏ hai đỉnh A, C nằm về hai phía đối với (d2). Vậy (d2): 2x - y + 4 = 0 là đường phân giác trong của góc B.
Bằng cách tương tự, ta tìm được đường phân giác trong của góc C là: 
(d3): 3x + y + 1 = 0
Vậy tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của (d1) và (d3) nên tọa độ của J là nghiệm của hệ:
Ta lại có bán kính r = d(J; AB) = = 5
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 25.
* Cách 2
Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A trên cạnh BC. Theo tính chất đường phân giác ta có
Do ngược hướng nên ta có
Điểm D chia đoạn BC theo tỉ số k = . Vậy 
Ta lại có .
Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, khi đó J là chân đường phân giác trong của góc B trên AD, tương tự như trên ta có J là điểm chia đoạn thẳng AD theo tỉ số k' = . Vậy . 
Ta tìm ra bán kính r = 5.
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 25.
Dạng 2: Các bài toán về vị trí tương đối giữa các đường thẳng, các đường tròn
Trong mục này ta bàn đến vị trí tương đối giữa các đường thẳng với đường tròn, giữa các đường tròn với nhau. Ta nhắc lại một số kết quả chính.
2.1) Vị trí tương đối giữa các đường thẳng và đường tròn
Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ¹ 0) 
và đường tròn (C): tâm I(a ; b), bán kính R
Giả sử khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d) là h = . Khi đó
* Nếu h > R: đường thẳng (d) và đường tròn (C) không cắt nhau.
* Nếu h = R: đường thẳng (d) và đường tròn (C) tiếp xúc nhau.
* Nếu h < R: đường thẳng (d) và đường tròn (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
2.2) Vị trí tương đối giữa hai đường tròn
Cho hai đường tròn (C1): với tâm I(a1 ; b1) và bán kính R1
	(C2): với tâm I(a2 ; b2) và bán kính R2
Khi đó 
* Nếu I1I2 > R1 + R2: hai đường tròn ở ngoài nhau.
* Nếu I1I2 = R1 + R2: hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau.
* Nếu < I1I2 < R1 + R2: hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.
* Nếu I1I2 = : hai đường tròn tiếp xúc trong.
* Nếu I1I2 < : hai đường tròn đựng nhau.
2.3) Các bài toán về tiếp tuyến với đường tròn thường có ba dạng chủ yếu:
* Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại một điểm cho trước nằm trên đường tròn.
* Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn hoặc thỏa mãn một điều kiện nào đó.
* Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
2.4) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d): x - y + 1 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = 0 (1). Tìm điểm M thuộc (d) sao cho qua M vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho .
Nhận xét: Giả sử đã tìm được M thuộc (d) thỏa mãn yêu cầu bài toán, khi đó theo tính chất đường tiếp tuyến ta có MI là phân giác góc , từ đó ta tính được MI và vì vậy tọa độ M hoàn toàn được xác định.
Bài giải:
Ta có (1) Û 
Vậy (C) là đường tròn tâm I(-1 ; 2) và bán kính R = . Từ
do đó MI = 2R = 2. Gọi tọa độ M(x0; y0), theo bài ra ta có hệ phương trình
Vậy trên (d) có hai điểm M cần tìm là M1(3 ; 4) hoặc M2(-3 ; -2).
Ví dụ 2: 
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = 0 và điểm A(). Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng .
Bài giải:
Viết lại (C): 
Vậy (C) là đường tròn tâm I(3 ; 2) và bán kính R = . Gọi đường thẳng (d) đi qua A() có dạng
Giả sử (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho MN = . Kẻ IH vuông góc với (d) tại H . 
. Theo bài ra ta có phương trình
Với a = - 3b chọn a = 3, b = -1, khi đó phương trình cần tìm là (d1): 3x - y - 12 = 0.
Với chọn a = 1, b = -3, khi đó phương trình cần tìm là (d2): x - 3y + 8 = 0.
Vậy có hai phương trình đường thẳng phải tìm là (d1) và (d2).
Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:
	(C1): x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0
	C2): x2 + y2 + 4x + 2y - 4 = 0
Bài giải: Viết lại (C1): . Vậy (C1) có tâm I1(2 ; 1) và bán kính R1 = 1.
Viết lại (C2): . Vậy (C2) có tâm I2(-2 ; -1) và bán kính R2 = 3.
Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng D là Ax + By + C = 0 với A2 + B2 ¹ 0
Để D tiếp xúc với (C1), ta phải có 	(1)
Để D tiếp xúc với (C2), ta phải có 	(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra . Ta xét hai trường hợp:
i) 3(2A + B + C) = - 2A - B + C Û C = - 4A - 2B, thế giá trị C vào (1) ta được
Với A = 0, chọn B = 1 khi đó C = - 2 Þ phương trình (D) là: y - 2 = 0.
Với A = , chọn A = 4, B = - 3 khi đó C = - 10 Þ (D) là: 4x - 3y - 10 = 0.
ii) 3(2A + B + C) = 2A + B - C Û C = -A - , thế giá trị C vào (1) ta được
Với B = 0, chọn A = 1 khi đó C = - 1 Þ phương trình (D) là: x - 1 = 0.
Với B = A, chọn A = 3, B = 4 khi đó C = - 5 Þ (D) là: 3x + 4y - 5 = 0.
Vậy có 4 tiếp tuyến chung là: x - 1 = 0, y - 2 = 0, 4x - 3y - 10 = 0, 3x + 4y - 5 = 0.
Nhận xét: 
* Khi lập các tiếp tuyến chung của hai đường tròn, ta thấy nếu hai đường tròn tiếp x ... ểm M thuộc đtròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến (D) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
* Phương pháp xây dựng bài tập:
Xét đường tròn (C) tâm I và đthẳng (D) không cắt (C). Từ I kẻ IN0 ^ D thì đường này cắt (C) tại M0 và M ( điểm M0 gần đt hơn). M0N0 = d(I,D) – R. Nhận xét M0N0 là GTNN của đoạn nối 1 điểm thuộc (C) và 1 điểm thuộc D. 
Vì vậy ta luôn có đẳng thức MN ≥ M0N0 ( với mọi M thuộc (C), N thuộc D). Dấu bằng xảy ra khi M trùng M0, N trùng N0.
Bài giải: 
Đường tròn (C) có tâm I(2; 3), bk R = . Gọi (d) đi qua I và vuông góc (D), (d) có phương trình: . Giả sử (d) cắt (C) tại M1, M2. Thay tọa độ của x, y vào (C) ta được t = - 1; t = 1.
Với t = 1 ta có M1(3 ; 2) Þ 
Với t = -1 ta có M2(1 ; 4) Þ 
Khi đó với M thuộc (C) ta có mind(M, D) = min(d1, d2) = 
maxd(M, D) = max(d1, d2) = .
PHẦN II: CÁC ỨNG DỤNG
Khi đã nắm vững được các dạng toán cơ bản về đường tròn, chúng ta tiếp tục xét những bài toán vận dụng các tính chất của đường tròn vào việc giải các bài toán cả trong các bài hình học và trong các bài toán đại số, ta sẽ thấy được sự đa dạng trong các bài tập, sự phong phú trong các lời giải. Tất nhiên trong các ví dụ sau, mỗi ví dụ còn có nhiều cách giải khác, nhưng ở đây ta chỉ xét đến các cách giải sẽ vận dụng đến các kiến thức về đường tròn. 
Ví dụ 1: 
Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn: 
Chứng minh rằng: 
Bài giải: 
Gọi M(a ; b), N(c ; d). Vì a2 + b2 = 1 nên điểm M nằn trên đường tròn x2 + y2 = 1 và c + d = 3 nên điểm M nằm trên đường thẳng (d): x + y - 3 = 0.
Ta có MN2 = (c - a)2 + (d - b)2 
= a2 + b2 + c2 + d2 - 2ac - 2bd
= a2 + b2 + (c + d)2 - 2cd - 2ac - 2bd 
= 10 - 2(ac + bd + cd).
Suy ra: ac + bd + cd = 5 - .
Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt (C) tại M0, cắt đường thẳng (d) tại N0. Ta có d(O; (d)) = , . 
Ta luôn có 
Do 
Vậy ĐT xảy ra 
Ví dụ 2: 
Cho bất phương trình: 
Tìm m sao cho bất phương trình nghiệm đúng .
Bài giải:
Đặt 
Do đó y = gồm những điểm nằm trên đường tròn (C) ở phía trên trục hoành, đường tròn (C) có tâm (1; 0) và bán kính R = 5. 
Parabol (P): y = x2 – 2x + m có đỉnh I(1; m – 1) có bề lõm quay lên trên.
Để bpt nghiệm đúng Û (P) nằm phía trên đường tròn (C).
Do đó yêu cầu bài toán Û m – 1 ≥ 5 Û m ≥ 6.
Ví dụ 3: 
Xác định m để phương trình sau có nghiệm: (1).
Bài giải:
* Nếu m + 1 < 0 Û m < - 1 thì phương trình (3) vô nghiệm, do đó phương trình (1) vô nghiệm.
* Nếu m = - 1 thì
Nghiệm này không thỏa mãn bất phương trình (2), do đó phương trình (1) vô nghiệm.
* Nếu m > - 1. Gọi (d) là đường thẳng có phương trình - x + y + 2 = 0. Nghiệm của (2) là tọa độ các điểm thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm O (kể cả bờ) giới hạn bởi đường thẳng (d). Ta có (3) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(1 ; - 2) và bán kính . Điểm I(1 ; -2) không thuộc miền nghiệm của (2).
Vậy hệ (2), (3) có nghiệm 
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi 
Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
, xét trên miền 
Bài giải:
Gọi a là giá trị tùy ý của hàm số f(x) miền , tức là hệ phương trình sau có nghiệm
Đặt 
 Dễ thấy hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
. 
Ta có
Do đó hệ hoặc 
Hệ (II) có nghiệm Û đường thẳng x + y = - 1 + nằm giữa hai đường thẳng x + y = 2 và x + y = - 2, tức là khi và chỉ khi 
Do đó hệ (II) có nghiệm khi 
Tương tự hệ (III) có nghiệm khi và chỉ khi
Ta có hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi một trong hai hệ (II), (III) có nghiệm tức là khi và chỉ khi .Vậy 
Ví dụ 5: 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x; y) = 4x + 3y, với x, y thỏa mãn: 
x2 + y2 + 16 = 8x + 6y.
Bài giải:
Ta có x2 + y2 + 16 = 8x + 6y 
Û (x - 4)2 + (y - 3)3 = 9 (1).
(1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(4 ; 3) và bán kính R = 3.
Khi (x ; y) thỏa mãn (1) ta có: 
f(x; y) = 4x + 3y 
= (2) 
Xét điểm M(x ; y) thỏa mãn (1).
Nối OI cắt đường tròn (C) tại M1, M2. Khi đó ta có với M( x ; y) thuộc (C) thì OM2 = x2 + y2. Từ đó dễ thấy 
Do đó từ (2) suy ra 
Ví dụ 6: 
Cho hệ: . Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
Bài giải: 
(1) là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = 1, (2) là phương trình đường thẳng (D): x – y – m = 0. Hệ có nghiệm duy nhất 
Û (d) tiếp xúc với (C) Û d(O, (D) ) = R Û m = .
Vậy để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì m = .
Ví dụ 7: 
Cho hệ: 
Xác định m để hệ có đúng hai nghiệm phân biệt.
Bài giải:
(1) Þ 2(m + 1) ≥ 0 Þ m ≥ -1. 
(1) là phương trình đường tròn tâm O(0; 0), bán kính ; 
(2) là phương trình hai đường thẳng: x - y = , hai đường thẳng này song song với nhau và cách đều tâm O. 
Để hệ có đúng 2 nghiệm phân biệt thì hai đường thẳng này cùng tiếp xúc với đường tròn 
Vậy với m = 0 thì hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 8: 
Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 
Bài giải: 
Gọi T1, T2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2) ta có. T1 là tập các điểm trong đường tròn (C1) có tâm I1(1; -1), bán kính R1 = . T2 là tập các điểm trong đường tròn (C2) có tâm I2(-1; 1), bán kính R2 = .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất Û đtròn (C1) tiếp xúc ngoài với đtròn (C2)
Û II’ = R + R’ Û 2 = 2 Û m = 2.
Vậy với m = 2 thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 9: 
Cho hệ phương trình: 
Chứng minh rằng hệ phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt (x1 ; y1) và 
(x2 ; y2). Tìm m để biểu thức P = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: 
Nghiệm của hệ là giao điểm của đường thẳng (d): 
 và đường tròn (C): có tâm I(- 1 ; 0).
Nhận xét: (d) luôn đi qua A(1 ; 2) và A nằm trong (C). Do đó (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M(x1 ; y1) và N(x2 ; y2). 
Vậy hệ luôn có hai nghiệm phân biệt.
P = MN2 nhỏ nhất 
Vậy thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 10: (ĐHGTVT – 2001): 
Xác định m để hệ sau có nghiệm: 
Bài giải:
Gọi T1, T2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2) ta có T1 là nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng (d): x + y–2 = 0 T2 là tập các điểm thuộc đường tròn (C) có tâm I(1;2), bán kính R = . Tâm I không thuộc tập nghiệm của (1) vì 1 + 2 - 2 = 1 > 0. Vậy hệ (I) có nghiệm 
Ví dụ 11:
Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của biểu thức: P = 2x + y.
Bài giải:
Gọi T1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), T2 là tập nghiệm của bất phương trình (2). Khi đó ta có T1 gồm những điểm ở ngoài đường tròn (C1) có tâm O(0 ; 0), bán kính R1 = 2, không ở trên đường tròn. T2 gồm những điểm ở trong hình tròn (C2) có tâm I(1 ; 1), bán kính R2 = , kể cả những điểm ở trên đường tròn. Miền (C) thỏa mãn điều kiện đã nêu là vùng gạch chéo trên hình vẽ.
Các điểm M(x ; y) thỏa mãn hệ đã cho và P = 2x + y là những giao điểm của đường thẳng (d): y = - 2x + P với (C).
Xét hai đường thẳng trong các đường thẳng (d)
* (d1) qua B(0 ; 2) Þ (d1) có phương trình: y = - 2x + 2.
* (d2) tiếp xúc với (C) Þ (d2) có phương trình: y = - 2x + 3 + .
Các đường thẳng (d) cắt miền (C) khi nó ở trong dải ở giữa hai đường thẳng trên suy ra .
Vậy Max P = ; min P không có.
Ví dụ 12:
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
Bài giải:
Với m > 0 hệ phương trình vô nghiệm, ta xét với m £ 0.
Gọi T1, T2, T3 lần lượt là tập nghiệm của (1) (2) và (3).
* T1 là tập các điểm trong hình tròn (C) có tâm I(-1 ; 0), bán kính R = .
* T2 là tập các điểm trên đường thẳng (d1): y = x + m
* T3 là tập các điểm trên đường thẳng (d2): y = x - m.
* (C) tiếp xúc với (d1) Û m = - 1, khi đó (C) cắt (d2).
* (C) tiếp xúc với (d2) Û m = - 3, khi đó (C) không cắt (d1).
Vậy hệ phương tình đã cho có nghiệm duy nhất khi m = -3.
Ví dụ 13:
Biện luận theo m số nghiệm của hệ: 
Bài giải:
Với m £ 0 hệ vô nghiệm, do đó ta chỉ xét với m > 0.
Gọi T1, T2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2).
* T1 là tập các điểm trên các cạnh của hình vuông ABCD
* T2 là tập các điểm trên đường tròn (C) có tâm O(0 ; 0), bán kính R = .
* (C) tiếp xúc với ABCD khi và chỉ khi m = 2.
* (C) ngoại tiếp ABCD khi và chỉ khi m = 4.
Vậy số nghiệm của hệ là số giao điểm của (C) với các cạnh của ABCD.Vậy ta có kết quả sau:
* Với m 4 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
* Với m = 2 hoặc m = 4 hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
* Với 2 < m < 4 hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
PHẦN III: MỘT SỐ BÀI TOÁN THI VÀO ĐẠI HỌC
VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1 (ĐH - Khối A - 2007): 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0 ; 2), B(-2 ; -2) và C(4 ; -2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
ĐS: x2 + y2 – x + y – 2 = 0.
Bài 2 (ĐH - Khối D - 2007): 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 và (d): 3x – 4y + m = 0. Tìm m để trên (d) có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến PA, PB tới (C) ( A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
ĐS: m = 19; m = - 41.
Bài 3 (ĐH - Khối B - 2006): 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(-3 ; 1). Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.
ĐS: 2x + y - 3 = 0.
Bài 4 (ĐH - Khối D - 2006): 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng (d): x - y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên (d) sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với (C).
ĐS: M1(1 ; 4), M1(-2 ; 1).
Bài 5 (ĐH - Khối B - 2005): 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2 ; 0) và B(6 ; 4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B bằng 5.
ĐS: Đường tròn (C1): (x – 2)2 + (y - 7)2 = 49; (C2): (x – 2)2 + (y - 1)2 = 1. 
Bài 6 (ĐH - Khối D - 2003): 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0.
Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d). Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
ĐS: đường tròn (C’) là (x – 3)2 + y2 = 4; Tọa độ giao điểm:.
Bài 7 (ĐHTCKT - Khối A - 2001): 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường cong (Cm): 
x2 + y2 + 2mx - 6y + 4 - m = 0 (Cm).
a) CM (Cm) là phương trình đường tròn " m. Tìm tập hợp tâm đường tròn khi m thay đổi.
b) Với m = 4, hãy viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng (d): 3x – 4y + 10 = 0 và cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho AB = 6.
ĐS: a) I(- m; 3), R = Þ quỹ tích: y = 3.
b) (d1): 4x + 3y + 27 = 0; (d2): 4x + 3y - 13 = 0. 
Bài 8: 
Cho hệ phương trình: 
a) Tìm m để hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của hệ phương trình đã cho. CMR .
ĐS: a) 0 < m < .
Bài 9: 
Tìm m để hệ sau có nhiều nghiệm nhất 
Đáp số: .
Bài 10: 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
, xét trên miền .
Đáp số: 
Bài 11: Cho hệ phương trình: 
Xác định m để hệ phương trình trên có 2 nghiệm (x1; y1), (x2; y2) sao cho biểu thức A = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 đạt GTLN.
ĐS: m = 1.
Bài 12: XĐ m để hệ sau nghiệm đúng : 
ĐS: m = 0.