Các dạng toán về 3 đường cônic

Các dạng toán về 3 đường cônic
A. Elíp
I/ lập phương trình chính tắc của (E)
Lập phương trình chính tắc của (E) trong các trường hợp sau:
1/ Khoảng cách giữa các đường chuẩn là 16 và độ dài trục lớn bằng 8
2/ Hình chữ nhật cơ sở có một cạnh nằm trên đường thẳng x +4 = 0 và có diện tích bằng 48.
3/ Tâm sai bằng và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (E) có phương trình x2 +y2 =34
4/ Tâm sai bằng và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.( Khối A năm 2008)
5/ (E) nhận các tiêu điểm của (H) : làm tiêu điểm và (E) ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
6/ M là một điểm nằm trên (E) sao cho MF1 + MF2 = 8, chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng 20.
7/ Độ dài trục lớn bằng 15, ( E) đi qua M sao cho và diện tích tam giác MF1F2 bằng 26.
8/ (E) đi qua , tam giác MF1F2 vuông tại M.
9/ Tiêu cự bằng 6 và đường tròn nội tiếp tam giác 0F2B2 có bán kính bằng 1. ( Với F2 là tiêu điểm phải của (E) và B2 đỉnh của (E) có tung độ dương).
II. Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng và (E)- xác định các yếu tố có liên quan đến (E).
Bài 1: Cho (E): . Tìm các điểm M trên (E) sao cho:
2MF1 = 3MF2
Bài 2: Cho (E):4x2 +9y2 =36. Tìm các điểm M trên (E) sao cho số đo góc (hay nói cách khác M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc):
600 
900
Bài 3: Cho (E) có hai tiêu điểm và có một đường chuẩn có PT .
Lập phương trình chính tắc của (E).
M là một điểm trên (E) . Tính giá trị của biểu thức 
Viết PT đường thẳng song song với trục hoành và cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho 
Bài 4: Cho (E) có PT: 
Xác định m để đường thẳng d: y = x + m và (E) có điểm chung
Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1; 1) và cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.
Bài 5: Cho (E): 
Một điểm M nằm trên (E) mà MF1 = 3. Tính MF2 và toạ độ M
AB là một dây cung thay đổi đi qua tiêu điểm F1 và không qua tiêu điểm F2 của (E). Chứng minh rằng chu vi tam giác ABF2 không đổi.
Bài 6: Cho (E) có phương trình 13x2 +16y2 = 208
Tìm hai điểm M, N trên (E) sao cho tam giác F1MN đều
Xác định toạ độ 4 đỉnh của hình vuông nội tiếp trong (E) ( nghĩa là 4 đỉnh của hình vuông nằm trên (E))
Bài 7: Cho (E) và đường thẳng d: 3x + 4y -12 = 0
CMR d cắt (E) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính độ AB
Tìm toạ độ C thuộc (E) sao cho tam giác ABC cân tại A
Tìm toạ độ C thuộc (E) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
B. Hypebol
I/ lập phương trình chính tắc của (H)
Lập phương trình chính tắc của Hypebol (H) trong các trường hợp sau:
1/ Độ dài trục ảo là 6 và phương trình một đường tiệm cận là 3x – 4y = 0
2/ (H) đi qua điểm điểm A và phương trình 2 đường tiệm cận là 
3/ (H) đi qua điểm M(6;3) và góc giữa 2 đường tiệm cận bằng 600
4/ Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là 
5/ Tâm sai bằng và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 24
6/ Độ dài trục ảo là 6 và hai tiệm cận vuông góc với nhau.
7/ Đi qua M và 2 đường chuẩn có phương trình: 
8/ Khoảng cách giữa các đường chuẩn là và phương trình 2 đường tiệm cận là 
II. Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng và (H)- xác định các yếu tố có liên quan đến (H).
Bài 1: Cho (H): . Tìm điểm M trên (H) sao cho:
M nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc vuông
Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng 
M nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 1200 
Bài 2: Cho (H) . 
M trên (H) với MF1 = 4. hãy tính MF2 và toạ độ điểm M.
 b) Tìm trên (H) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm này bằng 2 lần khoảng cách từ M đến tiêu điểm kia
c) Tìm trên một nhánh của (H) hai điểm A, B sao cho tam giác 0AB là tam giác đều
Bài 3: Cho (H) . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(0;2) sao cho (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho .
Bài 4: Cho (H): x2 - 4y2 =20 và đường thẳng (d): x – 3y = 0
Chứng minh rằng (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính độ dài của đoạn AB.
Tìm toạ độ điểm C thuộc (H) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4.
Bài 5: Cho (H) có tâm sai bằng và một đường chuẩn có phương trình 
Lập phương trình chính tắc của (H)
Đường thẳng : x – y + m cắt (H) tại A, B và cắt 2 đường tiệm cận tại C, D. Chứng minh rằng CA = DB và là một hằng số 
Bài 6: Cho (H): 9x2 - 4y2 = 36 và một đường thẳng : mx – y -1 = 0
Xác định toạ độ các tiêu điểm, PT các đường tiệm cận và phương trình các đường chuẩn của (H).
Tìm các giá trị của m để đường thẳng cắt (H) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của (H).
Bài 7: Cho (H): 3x2 - y2 = 12
Tính độ dài phần đường tiệm cận bị chắn bởi 2 đường chuẩn của (H).
Tính khoảng cách từ tiêu điểm của (H) đến các đường tiệm cận
Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm đến các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó.
C. Parabol
I/ lập phương trình chính tắc của (P)
Lập phương trình chính tắc của parabol (P) trong các trường hợp sau:
1/ Một dây cung của (P) vuông góc với trục 0x có độ dài bằng 8 và khoảng cách từ đỉnh 0 của (P) đến dây cung này bằng 1
2/ (P) cắt đường thẳng (d): 3x - y = 0 tại 2 điểm A, B sao cho AB = 
3/ (P) cắt elip (E): 4x2 + 6y2 = 24 tại 2 điểm A, B sao cho AB = 2
4/ (P) chắn trên đường thẳng x = 2 một đoạn có độ dài bằng 4.
II. Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng và (P)- xác định các yếu tố có liên quan đến (P).
Bài 1: Cho (P): y2 = 8x. Tìm các điểm M trên (P) sao cho:
Khoảng cách từ M đến đường chuẩn bằng 3
40M2 = 5MF2
Bài 2: Cho (P): y2 = 16x và đường thẳng (d): 4x – y -8 = 0
Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B
Tìm điểm M trên cung AB sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất 
Bài 3: Cho (P): y2 = 4x, A, B là 2 điểm di động trên (P) sao cho (A, B không tùng với 0). Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4: Cho (P): y2 =x và 2 điểm A(1;-1), B(9; 3). Gọi M là một điểm thuộc cung AB của (P) ( phần của (P) bị chắn bởi dây AB) . Xác định vị trí của M trên cung AB sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất. 
Bài 5: Cho (P): y2 = 4x. Lập phương trình các cạnh của tam giác nội tiếp (P) ( tam giác nội tiếp (P) là tam giác có 3 đỉnh nằm trên (P)), biết một đỉnh của tam giác trùng với đỉnh của (P) và trực tâm của tam giác trùng với tiêu điểm của (P).
Bài 6: Cho (P): y2 = 12x và đường thẳng (d) có PT: mx- y -3m =0. 
Chứng minh rằng: Với mọi , (d) luôn đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B
Chứng minh rằng đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường chuẩn của (P).