Các phương pháp tìm giới hạn hàm số, hàm số liên tục

Các phương pháp tìm GIớI HạN HàM Số, Hàm số liên tục
--------------------------------&--------------------------------
Định nghĩa
 Hàm số có giới hạn là số thực L khi x dần tới nếu với mọi dãy số tuỳ ý sao cho thì .
 Chú ý rằng giới hạn của hàm số nếu có là duy nhất.
A. Các dạng toán tìm giới hạn của hàm số
I. DạNG 1. CHứNG MINH KHÔNG TồN TạI GIớI HạN
	Theo định nghĩa, để chỉ ra không tồn tại ta chỉ ra hai dãy sao cho nhưng . Khi đó không tồn tại 
Ví dụ. Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại:
 1) 	2) 	3) 	4) 
 5) 	6) 	7) 	8) 9) 	
Solution
 1) Ta chứng minh không tồn tại.
	Thật vậy, chọn hai dãy: ; 
	Rõ ràng với cách chọn thì Nhưng vì 	vậy 	 nên không tồn tại.
 Các bài khác chứng minh tương tự, ta có thể chọn các dãy như sau:
	2) Chọn hai dãy và 
	3) Chọn hai dãy và 
	4) Chọn hai dãy và 
	5) và 6) Chọn hai dãy và 
	7) 8) và 9) Chọn hai dãy và 
II. DạNG 2. Sử DụNG NGUYÊN Lý GIớI HạN KẹP
	Nguyên lý kẹp
 Cho ba hàm số xác định trên chứa điểm (có thể không xác định tại ). Nếu và thì 
 L
 *) Chú ý
	1) .
 	2) Nếu thì (điều ngược lại chưa chắc đã đúng).
Ví dụ. Tìm các giới hạn sau
 1) 	2) 	
 3) (BCVT'99) 	4) (GT'97) 
Solution
 Sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp, chẳng hạn:
(Vì và nên )
III. Dạng 3. Giới hạn xác định
 *) Chú ý: Nếu hàm số liên tục trên tập D và thì 
IV. Dạng 4. Giới hạn vô định dạng chứa đa thức và căn thức
1) Loại 1. Dạng 
 	Phương pháp
 Do nên là nghiệm của các phương trình , do đó ta lấy ra khỏi bằng cách phân tích 
 Khi đó 
	*) Nếu thì 
	*) Nếu thì 
 *) Chú ý: 	
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
 1) 	2) 	 3) 
 4) 	5) 	6)	
 7) 
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau
 1) 	2) 3) 
 4) 	5) 	 6) 
 7) (DB'A'02) 
2) Loại 2. Dạng 
	Phương pháp
 Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu số và tử số (nếu cần) để lấy ra khỏi căn thức và rút gọn để đưa về các giới hạn đã biết.
 *) Chú ý
 	1) Nếu tử số có nhiều căn thức, tách thành nhiều giới hạn để tìm từng giới hạn đó.
 	2) Các biểu thức liên hợp
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
 1) (HVNH'98) 	2) 
 3) 	 	4) 	5) 
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau
 1) 	 	2) 	3) 
 4) 	 	5) (DLĐĐ'A'01) 
 6) 	7) 
3) Loại 3. Dạng 
	Phương pháp
 Đặt và phân tích: 
 Tìm các giới hạn . Đây là các giới hạn đã biết cách tìm.
 Phương pháp trên gọi là phương pháp gọi số hạng vắng (số hạng vắng là hằng số c)
 *) Chú ý: Có một số bài toán không phải thêm bớt hằng số c như trên mà phải thêm bớt một biểu thức chứa ẩn x (phương pháp tách bộ phân nghiệm kép)
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
 1) (QGHN'A'97) 	2) (QGHN'A'98) 
 3) 	4) 
 5) 	6) 
 7) (DB'02) 	8) (HVTCKT'00) 
 9) 	10) 
 *) Chú ý: Bằng cách đặt ẩn phụ ta tìm được: 
 áp dụng kết quả trên thu được: 
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau
 1) 	 	2) (SP2'99) 
 3) (đặt ) 4) 
 5) 	6) 
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau
 1) (ĐHTL'01) 	2) 
 3)* 
Dạng 5. Giới hạn lượng giác
	Ngoài một số ít bài toán giới hạn lượng giác sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp còn lại đa số đều sử dụng kết quả 
 *) Chú ý
 1) Từ kết quả trên suy ra: 
 2) Nếu hàm số cần tìm giới hạn có chứa cả lượng giác và đa thức, căn thức,... Ta tách giới hạn đó thành nhiều giới hạn đã biết cách tìm.
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
 1) 	2) (ĐHTH'93) 
 3) 	4) 
 5) 	6) 
 7) 8) 	 	9) 10) 
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau
 1) 	 	 	2) (ĐH Luật HN'98) 
 3) (SPV'99) 	4) (QGHN'A'95) 
 5) (QGHN'B'97) 	 	 6) (ĐHĐN'97) 
 7) (GTVT'98) 	 	8) (HH'A'01) 
 9) (DB'02) 	 	10) 11) 	
 12) (BK'D'01) 	13) (AN'00) 
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau
 1) 	 2) 3) 
 4) 	 5) 	6) 
 7) (TN'98) 	8) 	
 9) 	 	10) 
 11) 	12) 
 13)* 	 	14) (TN'97)* 
 *) Chú ý: Nếu giới hạn lượng giác nhưng . Khi đó bằng cách đặt ẩn phụ (hoặc ) ta đươc về giới hạn lượng giác của biến y với .
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau
 1) (SP2'00) 	2) 	3)
 4) 	 	5) 6) 	
 7) 	8) (QG'D'99) 9) 
 10) 	 	11) 	 12) 	 
 13) 	14) 	 15) 
Dạng 6. Giới hạn dạng 
Sử dụng kết quả 
Ví dụ. Tìm các giới hạn sau
 1) 	2) (HVKTMM'99) 
 3) 	4) 	 	5) 	
 6) 	7) 	8) 
Dạng 7. Giới hạn liên quan đến hàm mũ và lôgarit
Sử dụng các kết quả: 
 *) Nếu không phải là hàm lôgarit tự nhiên hay hàm ta biến đổi đưa về các hàm này bởi công thức đồi cơ số của mũ và lôgarit: và 
Ví dụ. Tìm các giới hạn sau
 1) 	2) 	3) 
 4) (ĐHHH'99) 	5) (GT'01) 
 6) (SP2'00) 	 	7) 	8) 
Dạng 8. Giới hạn vô định dạng 
 *) Với giới hạn dạng ta chia cả tử và mẫu cho (m là bậc cao nhất của x dưới mẫu số) và sử dụng các kết quả đã biết hoặc quy tắc tìn giới hạn vô cực.
 *) Với giới hạn dạng , ta nhân với biểu thức liên hợp để đưa về dạng .
 *) Chú ý: 	
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
 1) 	2) 
 3) 	4) 
 5) 	6) 
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau
 1) 	2) 
 3) 
 4) 	5) 
 6) 	7) 
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau
 1) 	 2) 3) 
 4) (LH: )