Chương VII: Phương trình lượng giác chứa căn và phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối

 CHƯƠNG VII 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH 
LƯỢNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
 A) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN 
 Cách giải : Áp dụng các công thức 
A 0 B
A B
0
A B A
≥ ≥⎧ ⎧= ⇔ ⇔⎨ ⎨ B= =⎩ ⎩ 
 2
B 0
A B
A B
≥⎧= ⇔ ⎨ =⎩
 Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng 
giác nên ta xử lý điều kiện B bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ 0≥
các bài toán quá phức tạp. 
Bài 138 : Giải phương trình ( )5cos x cos2x 2sin x 0 *− + = 
( )* 5cos x cos2x 2sin x⇔ − = − 
 2
sin x 0
5cos x cos2x 4sin x
≤⎧⇔ ⎨ − =⎩
 ( ) (2 2
sin x 0
5cos x 2cos x 1 4 1 cos x
≤⎧⎪⇔ ⎨ − − = −⎪⎩ )
= 2
sin x 0
2cos x 5cos x 3 0
≤⎧⇔ ⎨ + −⎩
 ( )
sin x 0
1cos x cos x 3 loại
2
≤⎧⎪⇔ ⎨ = ∨ = −⎪⎩
≤⎧⎪⇔ π⎨ = ± + π ∈⎪⎩
π⇔ = − + π ∈


sin x 0
x k2 , k
3
x k2 , k
3
Bài 139 : Giải phương trình 
3 3 3 3sin x cos x sin x cot gx cos xtgx 2sin2x+ + + = 
Điều kiện : 
cos x 0
sin 2x 0
sin x 0 sin 2x 0
sin 2x 0
sin2x 0
≠⎧ ≠⎧⎪ ≠ ⇔ ⇔ >⎨ ⎨ ≥⎩⎪ ≥⎩
Lúc đó : 
( ) 3 3 2 2* sin x cos x sin x cos x cos xsin x 2sin2x⇔ + + + = 
( ) ( )2 2sin x sin x cos x cos x cos x sin x 2sin2x⇔ + + + = 
( ) ( )2 2sin x cos x sin x cos x 2sin 2x⇔ + + = 
( )2
sin x cos x 0
sin x cos x 2sin2x
+ ≥⎧⎪⇔ ⎨ + =⎪⎩
( )
sin x 02 sin x 0
44
sin2x 1 nhận do sin2x 01 sin2x 2sin2x
⎧ π⎛ ⎞⎧ π⎛ ⎞ + ≥+ ≥⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟⇔ ⇔ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎨ ⎨⎪ ⎪ = >+ =⎩ ⎩
( )
⎧ π ⎧ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨π π π⎪ ⎪= + π ∈ = + π ∨ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩ 
sin x 0 sin x 0
4 4
5x k , k x m2 x m2 loại , m
4 4 4
π⇔ = + π ∈ x m2 ,m
4
Bài 140 : Giải phương trình ( )π⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
21 8sin 2x.cos 2x 2sin 3x *
4
+ 
Ta có : (*) 
2 2
sin 3x 0
4
1 8sin2x cos 2x 4sin 3x
4
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π⎛ ⎞⎪ + = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ +
( )
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π⎡ ⎤⎪ + + = − +⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
sin 3x 0
4
1 4 sin 2x 1 cos 4x 2 1 cos( 6x )
2
( ) (
sin 3x 0
4
1 4sin2x 2 sin6x sin2x 2 1 sin6x
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎪ ⎜ ⎟⇔ ⎝ ⎠⎨⎪ + + − = +⎩ )
⎧ π ⎧ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨ π π⎪ ⎪= = + π ∨ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩ 
sin 3x 0 sin 3x 0
4 4
1 5sin 2x x k x k , k
2 12 12
So lại với điều kiện sin 3x 0
4
π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Khi x k thì
12
π• = + π 
sin 3x sin 3k cosk
4 2
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π 
( ) ( )
( ) ( )
⎡= ⎢−⎢⎣
1 , nếu k chẵn nhận
1, nếu k lẻ loại
π• = + π5Khi x k thì
12
π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ = + π = − + π⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
3sin 3x sin 3k sin k
4 2 2
⎞⎟⎠ 
( )
( )
−⎡= ⎢⎢⎣
1,nếu k chẵn loại
1, nếu k lẻ nhận
Do đó ( ) ( )π π⇔ = + π ∨ = + + π ∈ 5* x m2 x 2m 1 ,m
12 12
Bài 141 : Giải phương trình ( )1 sin2x 1 sin2x 4cos x *
sin x
− + + = 
Lúc đó : ( )* 1 sin2x 1 sin2x 2sin2x⇔ − + + = 
( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 ) 
2 22 2 1 sin 2x 4sin 2x
sin2x 0
⎧⎪ + − =⇔ ⎨ ≥⎪⎩
2 21 sin 2x 2sin 2x 1
sin2x 0
⎧⎪ − =⇔ ⎨ ≥⎪⎩
− 
2 4 2
2
1 sin 2x 4sin 2x 4sin 2x 1
1sin 2x
2
sin2x 0
⎧ − = −⎪⎪⇔ ≥⎨⎪ ≥⎪⎩
+
( )2 2sin 2x 4sin 2x 3 0
1sin 2x
2
⎧ − =⎪⇔ ⎨ ≥⎪⎩
⎧ −= ∨ =⎪⎪⇔ ⎨⎪ ≥⎪⎩
3 3sin 2x sin 2x
2 2
2sin 2x
2
3sin2x
2
⇔ = 
π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ 22x k2 2x k2 , k
3 3
π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ x k x k , k
6 3
Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trị tuyệt đối 
( ) ≠⎧⎪⇔ ⎨ − + + =⎪⎩
⇔ − + + =
sin x 0
*
cos x sin x cos x sin x 2sin 2x
cos x sin x cos x sin x 2sin 2x
Bài 142 : Giải phương trình ( )+ + + =sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 * 
Đặt 
sin
3t sin x 3 cos x sin x cos x
cos
3
π
= + = + π 
1t sin x 2sin x
3 3cos
3
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
( ) + =* thành t t 2 
⇔ = −
− ≥ ≤⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨= − + − + =⎩ ⎩
≤⎧⇔ ⇔ =⎨ = ∨ =⎩
2 2
t 2 t
2 t 0 t 2
t 4 4t t t 5t 4 0
t 2
t 1
t 1 t 4
Do đó ( ) *
π π π π π⎛ ⎞⇔ + = ⇔ + = + π + = + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ 
1 5sin x x k2 hay x k2 , k
3 2 3 6 3 6
π π⇔ = − + π ∨ = + π ∈ x k2 x k2 , k
6 2
Bài 143 : Giải phương trình 
( ) ( ) ( )+ + = +3 tgx 1 sin x 2 cos x 5 sin x 3cos x * 
Chia hai vế của (*) cho cos x 0≠ ta được 
( ) ( ) ( )* 3 tgx 1 tgx 2 5 tgx 3⇔ + + = + 
Đặt u tgx 1 với u= + ≥ 0
x
Thì 2u 1 tg− =
(*) thành ( ) ( )2 23u u 1 5 u 2+ = + 
3 23u 5u 3u 10 0⇔ − + − = 
( ) ( )2u 2 3u u 5 0⇔ − + + = 
( )2u 2 3u u 5 0 vô nghiệm⇔ = ∨ + + = 
Do đó ( ) ⇔* tgx 1 2+ = 
tgx 1 4⇔ + = 
tgx 3 tg với
2 2
π π⎛ ⎞⇔ = = α − < α <⎜ ⎟⎝ ⎠ ,x k kα π⇔ = + ∈ 
Bài 144 : Giải phương trình ( ) ( )11 cos x cos x cos2x sin4x *2− + = 
 ( ) ( )* 1 cos x cos x cos2x sin 2x cos2x⇔ − + = 
≥⎧⇔ − +⎨ =⎩
cos x 0
hay 1 cos x cos x sin 2x
cos 2x 0
= 
⎧ ≥≥⎧ ⎪⎪⇔ ≥⎨ ⎨π= + π ∈⎪ ⎪⎩ + − =⎩

2
cos x 0cos x 0
hay sin 2x 0
2x k , k
2 1 2 (1 cos x)cosx sin 2x
⎧ ≥≥⎧ ⎪⎪⇔ ≥⎨ ⎨π π= + ∈⎪ ⎪⎩ + − = ≥ ≥⎩

2
cos x 0cos x 0
hay sin 2x 0
x k , k
4 2 1 2 (1 cos x)cosx sin 2x ( VT 1 VP )
≥⎧≥ ⎪⎧ ≥⎪ ⎪⇔ ⎨ ⎨π π= ± + π = ± + π ∈ =⎪ ⎪⎩ ⎪ − =⎩
 2
cos x 0
cos x 0 sin 2x 0
hay5x h hay x h , h sin 2x 1
4 4
(1 cos x ) cos x 0
π⇔ = ± + π ∈
= =⎧ ⎧⎨ ⎨= ⇒ = = ⇒ = ⇒ =⎩ ⎩
x h , h
4
sin 2x 1 sin 2x 1
hay hay
cos x 0 ( sin 2x 0 ) cos x 1 ( sin x 0 sin 2x 0 )
π⇔ = ± + π ∈ x h , h
4
Bài 145 : Giải phương trình ( ) ( ) ( )3 3sin x 1 cot gx cos x 1 tgx 2 sin x cos x *+ + + = 
( ) 3 3sin x cos x cos x sin x* sin x cos x 2 sin x cos
sin x cos x
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 
 ( ) ( )2 2sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x⇔ + + = 
sin x cos x 0
1 sin2x 2sin2x
+ ≥⎧⇔ ⎨ + =⎩
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪+ ≥⎧ ⎪ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨= π⎩ ⎪ = + π ∈⎪⎩ 
sin x 0sin x cos x 0 4
sin 2x 1
x k , k
4
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π π⎪ + = + π ∈⎪⎩ 
sin x 0
4
x k , k
4 2
⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π π π π⎪ + = + π + = + π ∈⎪⎩ 
sin x 0
4
3x h2 hay x h2 , h
4 2 4 2
π⇔ = + π ∈ x h2 , h
4
Bài 146 : Giải phương trình ( )cos2x 1 sin2x 2 sin x cos x *+ + = + 
Điều kiện cos2x 0và sin x 0
4
π⎛ ⎞≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ 
Lúc đó : ( ) ( )22 2* cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔ − + + = + 
( ) ( )2 22 2cos x sin x cos x sin x 2 cos2x cos x sin x⇔ − + + + + 
 ( )4 sin x cos x= +
( ) ( ) ( )cos x cos x sin x sin x cos x cos2x 2 sin x cos x⇔ + + + = + 
sin x cos x 0
cos x cos2x 2
+ =⎡⇔ ⎢ + =⎣
( )
tgx 1
cos2x 2 cos x * *
= −⎡⇔ ⎢ = −⎢⎣
2
tgx 1
cos2x 4 4cos x cos x
= −⎡⇔ ⎢ = − +⎣
2tgx 1 cos x 4cosx 5 0⇔ = − ∨ + − = 
( )tgx 1 cos x 1 cos x 5 loại⇔ = − ∨ = ∨ = − 
π⇔ = − + π ∨ = π ∈ x k x k2 , k
4
Thử lại : ( )π π⎛ ⎞• = − + π = − =⎜ ⎟⎝ ⎠x k thì cos2x cos 0 nhận4 2 
Và ( )sin x sin k 0 nhận
4
π⎛ ⎞+ = π =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( )• = π =x k2 thì cos 2x 1 nhận 
và ( )cos x cos 0 nhận
4 4
π π⎛ ⎞+ = >⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Do đó (*) π⇔ = − + π ∨ = π ∈ x k x k2 , k
4
Chú ý : Tại (**) có thể dùng phương trình lượng giác không mực 
( ) cos x cos2x 2* *
sin x cos x 0
⎧ + =⎪⇔ ⎨ + ≥⎪⎩
2
cos x 1
cos2x 2cos x 1 1
sin x cos x 0
=⎧⎪⇔ = −⎨⎪ + ≥⎩
=
π ∈
=⎧⇔ ⇔ =⎨ + ≥⎩ 
cos x 1
x 2k , k
sin x cos x 0
Cách khác 
( ) ( )22 2* cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔ − + + = + 
( )⇔ + − + + = +2(cos x sin x).(cos x sin x ) cos x sin x 2 cos x sin x 
( )
+ >⎧⎪⇔ + = ⎨ − + + =⎪⎩
cos x sin x 0
cos x sin x 0 hay
cos x sin x cos x sin x 2
+ >⎧⎪⇔ = − ⎨ + =⎪⎩
cos x sin x 0
tgx 1 hay
2cos x 2 cos 2x 4
+ >⎧⎪⇔ = − ⎨ + =⎪⎩
cos x sin x 0
tgx 1 hay
cos x cos 2x 2
=⎧π⇔ = − + π ∈ ⎨ =⎩
cos x 1
x k , k hay
cos 2x 14
π⇔ = − + πx k hay = π ∈
4
x 2k , k 
( nhận xét: khi cosx =1 thì sinx = 0 và sinx + cosx = 1 > 0 ) 
BÀI TẬP 
1. Giải phương trình : 
a/ 1 sin x cosx 0+ + = 
b/ 
2
2
4xcos cos x
3 0
1 tg x
−
=− 
c/ sin x 3 cos x 2 cos2x 3 sin 2x+ = + + 
d/ 2sin x 2sin x 2 2sin x 1− + = − 
e/ = −−
3tgx2 3sin x 3
2 sin x 1
f/ 
2 4sin 2x cos 2x 1 0
sin cos x
+ − = 
g/ + − + =28 cos 4x cos 2x 1 cos 3x 1 0 
h/ 2sin x sin x sin x cosx 1+ + + = 
k/ 25 3sin x 4 cos x 1 2cos x− − = − 
l/ 2cos2x cos x 1 tgx= + 
2. Cho phương trình : 
( )1 sin x 1 sin x mcos x 1+ + − = 
a/ Giải phương trình khi m = 2 
b/ Giải và biện luận theo m phương trình (1) 
3. Cho f(x) = 3cos62x + sin42x + cos4x – m 
a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 0 
b/ Cho ( ) 2 2g x 2cos 2x 3cos 2x 1= + . Tìm tất cả các giá trị m để phương 
trình f(x) = g(x) có nghiệm. 
( )ĐS : 1 m 0≤ ≤ 
4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
1 2cosx 1 2sin x m+ + + = 
 ( )ĐS : 1 3 m 2 1 2+ ≤ ≤ + 
 B) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CÁC TRỊ TUYỆT ĐỐI 
 Cách giải : 1/ Mở giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa 
 2/ Áp dụng 
 A B A• = ⇔ = ±B 
≥≥ ≥⎧⎧ ⎧• = ⇔ ⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨ <⎧= ± ==⎩ ⎩⎩ 2 2
B 0B 0 A 0 A 0
A B = −⎩A B A BA B A B 
Bài 147 : Giải phương trình ( )cos3x 1 3 sin3x *= − 
( )
2 2
1 3 sin3x 0
*
cos 3x 1 2 3 sin3x 3sin 3x
⎧ − ≥⎪⇔ ⎨ = − +⎪⎩
⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − = − +⎩ 2 2
1sin 3x
3
1 sin 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x
⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − =⎩ 2
1sin 3x
3
4 sin 3x 2 3 sin 3x 0
⎧ ≤⎪⎪⇔ ⎨⎪ = ∨ =⎪⎩
1sin 3x
3
3sin 3x 0 sin 3x
2
⇔ =
π⇔ = ∈ 
sin 3x 0
kx , k
3
Bài 148 : Giải phương trình ( )3sin x 2 cos x 2 0 *+ − = 
( )* 2 cos x 2 3sin⇔ = − x 
 2 2
2 3sin x 0
4cos x 4 12sin x 9sin x
− ≥⎧⇔ ⎨ = − +⎩
 ( )
⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − = − +⎩ 2 2
2sin x
3
4 1 sin x 4 12sin x 9sin x
⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − =⎩ 2
2sin x
3
13sin x 12sin x 0
⎧ ≤⎪⎪⇔ ⎨⎪ = ∨ =⎪⎩
2sin x
3
12sin x 0 sin x
13
⇔ =
⇔ = π ∈ 
sin x 0
x k , k
Bài 149 : Giải phương trình ( )sin x cos x sin x cos x 1 *+ + = 
Đặt t sin x cos x 2 sin x
4
π⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Với điều kiện : 0 t 2≤ ≤ 
Thì 2t 1 2sin xcos= + x
Do đó (*) thành : 
2t 1 t 1
2
− + = 
( )
2t 2t 3 0
t 1 t 3 loại
⇔ + − =
⇔ = ∨ = − 
Vậy ( ) ⇔* 21 1 2sin xcos= + x
⇔ =
π⇔ = ∈ 
sin 2x 0
kx , k
2
Bài 150 : Giải phương trình ( )sin x cos x 2sin 2x 1 *− + = 
Đặt ( )t sin x cos x điều kiện 0 t 2= − ≤ ≤ 
Thì 2t 1 sin2= − x
( ) ( )2* thành: t 2 1 t 1+ − = 
( )
22t t 1 0
1t 1 t loại dođiều kiện
2
⇔ − − =
⇔ = ∨ = − 
khi t = 1 thì 21 1 sin2= − x
⇔ =
π⇔ = ∈ 
sin 2x 0
kx , k
2
Bài 151 : Giải phuơng trình ( )4 4sin x cos x sin x cos x *− = + 
( ) ( ) ( )2 2 2 2* sin x cos x sin x cos x sin x cos x⇔ + − = + 
 cos2x sin x cos x⇔ − = + 
 2
cos2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
− ≥⎧⎪⇔ ⎨ = +⎪⎩
 2
cos2x 0
1 sin 2x 1 sin2x
≤⎧⎪⇔ ⎨ − = +⎪⎩
 2
cos2x 0
sin2x sin 2x
≤⎧⎪⇔ ⎨ = −⎪⎩
cos2x 0
sin2x 0
≤⎧⇔ ⎨ =⎩
 2
cos2x 0
cos2x 1
cos 2x 1
≤⎧⇔ ⇔⎨ =⎩
= −
 π⇔ = + π ∈ x k , k
2
Bài 152 : Giải phương trình ( )23 sin2x 2cos x 2 2 2cos2x *− = + 
Ta có : ( ) ( )2 2* 2 3 sin x cos x 2cos x 2 2 2 2cos x 1⇔ − = + − 
 3 1cos x sin x cos x cos x
2 2
⎛ ⎞⇔ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= 
 cos x.sin x cos x
6
π⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
cos x 0 cos x 0
cos x 0
sin x 1 sin x 1
6 6
> <⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ = ∨ ∨π π⎨ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩ = −
> <⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ = ∨ ∨π π π π⎨ ⎨− = + π ∈ − = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩ 
cos x 0 cos x 0
cos x 0
x k2 , k x k2 , k
6 2 6 2
> <⎧ ⎧π ⎪ ⎪⇔ = + π ∈ ∨ ∨π π⎨ ⎨= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩

 
cos x 0 cos x 0
x k , k 22 x k2 , k x k2 , k
3 3
π⇔ = + π ∈ x k , k
2
Bài 153 : Tìm các nghiệm trên ( )0,2π của phương trình : 
( )sin3x sin x sin2x cos2x *
1 cos2x
− = +− 
Ta có : ( ) 2cos2xsin x* 2 co
42 sin x
s 2x π⎛ ⎞⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠− 
Điều kiện : sin x 0 x k≠ ⇔ ≠ π
( )Khi x 0, thìsin x 0nên :• ∈ π > 
( )* 2 cos2x 2 cos 2x
4
π⎛ ⎞⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠− 
( )
π⎛ ⎞⇔ = ± − + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
π⇔ = + π ∈
π π⇔ = + ∈
π π∈ π = =



2x 2x k2 , k
4
4x k2 , k
4
kx , k
16 2
9Do x 0, nên x hay x
16 16
Khi ( )x ,2∈ π π thì sinx < 0 nên : 
( )
( )
( )
π⎛ ⎞⇔ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞⇔ π − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
π⇔ − = ± π − + π ∈
π⇔ = + π ∈
π π⇔ = + ∈



* cos 2x cos 2x
4
cos 2x cos 2x
4
2x 2x k2 , k
4
54x k2 , k
4
5 kx , k
16 2
Do ( )x ,2∈ π π π π= ∨ = •21 29nên x x
16 16
Bài 154 Cho phương trình : 6 6sin x cos x a sin 2x (*)+ = 
 Tìm a sao cho phương trình có nghiệm. 
Ta có : 
( ) ( )
( )
+ = + − +
= + −
= −
6 6 2 2 4 2 2 4
22 2 2 2
2
sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x
sin x cos x 3sin x cos x
31 sin 2x
4
Đặt t = sin 2x điều kiện 0 t 1≤ ≤ 
thì (*) thành : ( )− =231 t at * *
4
 1 3 t a
t 4
⇔ − = (do t = 0 thì (**) vô nghiệm) 
Xét ( ]= − =1 3y t trên D
t 4
0,1 
thì 2
1 3y ' 0
t 4
= − − < 
Do đó : (*) có nghiệm 1a
4
⇔ ≥ • 
Bài 155 Cho phương trình ( )= +2cos 2x m cos x 1 tgx * 
 Tìm m để phương trình có nghiệm trên 0,
3
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Đặt t = tgx thì 
Vậy : (*) thành: ( )21 t m 1 t * *− = + (chia 2 vế cho ) 2cos 0≠
Khi 0 x
3
π≤ ≤ thì t 0, 3⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦ 
Vậy (**) 
( ) ( ) ( )2 1 t 1 t1 tm 1
1 t 1 t
− +−⇔ = = = − ++ + t 1 t 
Xét ( )y 1 t 1 t trên 0, 3⎡ ⎤= − + ⎣ ⎦ 
Ta có 
( ) ( ) ( )− − + + −= − + + =+ +
− − ⎡ ⎤⇔ = < ∀ ∈ ⎣ ⎦+
1 t 2 1 t 1 t
y ' 1 t
2 1 t 2 1 t
3t 1y ' 0 t 0, 3
2 1 t
Do đó : (*) có nghiệm trên 0,
3
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )1 3 1 3 m 1⇔ − + ≤ ≤ • 
BÀI TẬP 
1. Giải các phương trình 
2
2
a/ sin x cox 1 4sin2x
b/ 4sin x 3 cos x 3
1c/ tgx cot gx
cos x
1 1 1 1 3cosd/ 2 2
sin x 1 cos x 1 cos x sin x
1e/ cot gx tgx
sin x
f/ 2cos x sin x 1
1 cos x 1 cos xg/ 4sin x
cos x
1 cos2x 1h/ 2 cos x
sin x 2
m/ cos2x 1
− = −
+ =
= +
⎛ ⎞++ − = − ⎜ ⎟− + ⎝ ⎠
= +
− =
+ + − =
− ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
+ +
x
3 3
2
sin x cos xsin2x
2
n/ cos x sin3x 0
1r/ cot gx tgx
sin x
s/ cos x 2sin2x cos3x 1 2sin x cos2x
tg x 1o/ tgx 1
tgx 1 tgx 1
p/ sin x cos x sin x cos x 2
+=
+ =
= +
+ − = + −
= + +− −
− + + =
2. sin x cos x a sin 2x 1+ + = 
Tìm tham số a dương sao cho phương trình có nghiệm 
3. Cho phương trình: sin x cos x 4sin 2x m− + = 
a/ Giải phương trình khi m = 0 
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS 652 4 m
16
− ≤ ≤ ) 
Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi ĐH Vĩnh Viễn)